18届高三理科数学下学期二诊模拟考试试卷
2018届重庆市南开中学高三二诊模拟理科数学试题及答案
重庆南开中学高2018届高三二诊模拟考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设i 是虚数单位，则复数1iz i=-+的虚部是（ ） A 、2i - B 、12-C 、12D 、2i2、已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ） A 、命题p q ∨是假命题 B 、命题p q ∧是真命题 C 、命题()p q ∧⌝是真命题 D 、命题()p q ∧⌝是假命题3、已知等比数列{}n a 的公比2q =，且462,,48a a 成等差数列，则{}n a 的前8项和为（ ）A 、127B 、255C 、511D 、10234、若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A 、180B 、120C 、90D 、455、已知菱形ABCD 的边长4，150ABC ∠= ，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为（ ）A 、4πB 、14π-C 、8πD 、18π-6、若抛物线()2:20C y px p =>上一点到焦点和x 轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为（ ）A 、22y x =B 、)24y x = 或C 、22y x =或218y x =D 、23y x=)24y x =7、某程序框图如图所示，现分别输入下列四个函数()f x ，则可以输出()f x 的是（ ）A 、()11212x f x =+- B 、()1lg 21xf x x x -=-+ C 、()1212x x f x x =--D 、()32f x x x=--8、已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1b a c b -=-=且2C A =，则cos C =（ ）A 、12B 、14C 、16D 、189、已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点作平面α，使得α平分该几何体的体积，则可以作此种平面α （ ） A 、恰好1个 B 、恰好2个 C 、至多3个 D 、至少4个10、数列{}n a ()2014,n n N ≥∈满足：120120i i i a a a +++++< ，其中1,2,,2012i n =- ，120130j j j a a a +++++> ，其中1,2,,2013j n =- ，则满足条件的数列{}n a 的项数n 的最大值为（ ）A 、4025B 、4026C 、20132D 、20142第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
2018届高三下学期第二次模拟理数试卷
A．
B．C．D． ）源自6． [2018·漳州调研]某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的最长棱的长度为 （
A． 5
B． 2 2
C． 3
D． 2 3
7．[2018·凯里一中]公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他 提出让乌龟在阿基里斯前面 1000 米处开始， 和阿基里斯赛跑， 并且假定阿基里斯的速 度是乌龟的 10 倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑完下一个 100 米时，乌龟仍然前于他 10 米．当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟仍然前于他 1 米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规 律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 102 米时，乌龟爬行的总距离为（ A．
2．[2018·集宁一中]已知集合 U {x | y 3 x } ， A {x | y log 9 x} ， B { y | y 2 x } ，则
A ðU B = （
A．
） B． R C． x | x 0 D． 0
3． [2018·山东师大附中]设随机变量 X 服从正态分布 N , 2 ， 若 P ( X 4) P ( X 0) ， 则 =（ A． 1 ） B． 2 C． 3 D． 4
第 18 项 a18 （ A．
1 36
） B．9 C．18 D．36
12．[2018·佛山质检]双曲线 C :
x2 y2 1(a 0, b 0) 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，焦距 a 2 b2
2c ，以右顶点 A 为圆心的圆与直线 l : x 3 y c 0 相切于点 N ，设 l 与 C 交点为 P ， Q ，若点 N 恰为线段 PQ 的中点，则双曲线 C 的离心率为（
成都七中18届高三理科数学下学期二诊模拟考试试卷(含答案)
若对任意的正整数 n， 在区间[1，n 成立，则 m 的最大值为（ ） A. 4 B. 5
C. 6
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二. 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
yx
13. 若实数 x, y 满足
2 x y 2 ，则 y 的最大值为 x y 1
1 1 1 m 恒成立，求 m 的最小值. a1 a2 an
18. （本题满分 12 分） 随着移动互联网的快速发展， 基于互联网的共享单车应运而生． 某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 M 的经 营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：
25
市场占有率y(%)
y2 x2 1 a b 0 所围成 a2 b2
的平面图形绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图，称为“椭球体”） ，请类比 以上所介绍的应用祖 暅原理求球体 体积的做法求 这个椭球体的体 积 . 其体积等于 ________． 三. 解答题（本大题共 7 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分 12 分） 已知等比数列 a n 满足 an 1 λS n 1 ，其中 λ 1 ， S n 为 a n 前 n 项和， n N * . (1) 求 a1 ； (2) 设 λ 4 ，若 n N *，
23. （本题满分 10 分） 已知函数 f (x)＝m－|x－1|，m∈R. (1) 当 m 1时，求不等式 f x 3 的解集； (2) 若 f (x＋2)+ f (x－2)≥0 的解集为[－2,4]，求 m 的值.
成都七中高 2018 届数学二诊模拟考试理科答案
四川省成都市2018届高三数学二诊试卷理科 含解析
2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2]D．[0，4]2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0）C．（0，1）D．（1，2）3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．24．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B．C．D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．407．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于______．12．的展开式中，x2项的系数为______．（用数字作答）13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是______．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为______15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，（n≥2，n∈N*）．﹣1（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2]D．[0，4]【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|y=}={x|4x﹣x2≥0}={x|0≤x≤4}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，则A∪B={x|﹣2≤x≤4}，故选：B．2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（﹣1），f（0），f（1），f（2）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（﹣1）=2﹣1+1﹣2=﹣＜0，f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，f（2）=4＞0，故有f（0）•f（1）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的区间是（0，1）故选：C．3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解．【解答】解：∵z=====1+2i，∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断．【解答】解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为A，（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B，（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，（4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为故选：D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则y=cos（2x+），即g（x）=cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[﹣，]，故选：D．6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．40【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出得分数低于112分的频率，从而求出高三（1）班总人数，再求出分数不低于120分的频率，由此能求出分数不低于120分的人数．【解答】解：由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：（0.01+0.18+0.18）×4=0.36，∵分数低于112分的有18人，∴高三（1）班总人数为：n==50，∵分数不低于120分的频率为：（0.18+0.18）×4=0.2，∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人．故选：A．7．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种【考点】计数原理的应用．【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32=12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32=6种，根据分类计数原理可得，共有12+6=18种，故选：C．8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形【考点】棱锥的结构特征．【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE ⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．故选：B．9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，讨论f（x）的符号，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：由3x+1=0得x=﹣，当x＜﹣时，3x+1＜0，则由f（f（x））＜4f（x）+1得f（3x+1））＜4（3x+1）+1，即3（3x+1）+1＜12x+4+1，即9x+4＜12x+5，得x＞﹣，此时不等式无解，当x≥﹣时，当x≥0时，f（x）=3x≥1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得＜4•3x+1，设t=3x，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x＜2，得0≤x＜log32，当﹣≤x＜0时，f（x）=3x+1≥0，则f（f（x））=33x+1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得33x+1＜4（3x+1）+1，设t=3x+1，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x+1＜2，即﹣1＜3x＜1，得﹣＜x＜，此时﹣＜x＜0，综上所述，﹣＜x＜log32．即不等式的解集为（﹣，log32），故选：D10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解利用=2，求出b，可得直线AB方程为y=kx+2，设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离，利用四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2），可得S关于k的函数，利用导数知识即可求解．【解答】解：不妨设位于第一象限的交点为A（x1，y1）、第二象限的交点为B（x2，y2），则x1＞0，x2＜0．OA的直线方程为y=x=x1x，F点的坐标为（0，）．设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解，有x2﹣kx﹣b=0∴x1+x2=k，x1x2=﹣b，∴y1y2=b2，∵=2，∴x1x2+y1y2=﹣b+b2=2∵b＞0，∴b=2∴△=k2+8，x1=（k+）①；线段AB=②．设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离．∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d1．∴四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2）．根据点到直线距离公式，d1=③，d2=④．又线段OA=⑤，∴将①～⑤代入S，有S=（k+17）．由S对k求导，令导函数=0，可得1+=0，解得k=﹣时，S最小，其值为3．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线=1的右焦点为（3，0），求出|a|，再利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9，∴|a|=2，∵c=3，∴双曲线的离心率等于．故答案为：．12．的展开式中，x2项的系数为﹣20．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：在的展开式中，它的通项公式为T r+1=•x5﹣r•（﹣1）r，令5﹣r=2，求得r=3，可得x2项的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是[﹣1，19] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，求出（x﹣1）2+y2的范围，从而求出x2+y2﹣2x的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（3，4），x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，0≤（x﹣1）2+y2≤20，∴﹣1≤（x﹣1）2+y2≤19，故答案为：[﹣1，19]．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=•tan•tan…tan的值．由于：S=•tan•tan…tan tan=•tan•tan…cot•cot=tan=．故答案为：．15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有③④．（写出所有正确命题的序号）【考点】函数的图象．【分析】①用特殊值的方法即可；②③根据函数图象判断；④可用反代的方法判断成立．【解答】解：①当x=时，显然f（x）＞2x，故错误；②根据函的图象易知，方程f（x）=k最多有三个不相等的实数根，故错误；③根据函数的图象易知函数f（x）的图象存在无数个对称中心，故正确；④f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，∴a l+a2+a3=3π，sina l+sina2+sina3=0，解得a2=π，故正确．故答案为：③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由余弦定理可得：cosA===，即可得出．（II）由正弦定理可得：可得b=，可得bsinC=2sinBsin=+，根据B∈即可得出．【解答】解：（I）由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）由正弦定理可得：，可得b=，bsinC=•sinC=2sinBsin=2sinB=sin2B+=+，∵B∈，∴∈．∴∈．∴bsinC∈．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，（n≥2，n∈N*）．﹣1（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）依题意，可得a n=••…×××a1=，再验证n=1时是否符合该式即可得到答案，（Ⅱ）先裂项求和，再放缩法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，﹣1∴=，∴=，…，==，==，∴a n=••…×××a1=，又n=1时a1=1，满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=，（Ⅱ）∵a n==2（﹣），∴S n=a1+a2+…+a n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）＜2，问题得以证明．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，X∴EX==55（元）．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）建立空间直角坐标系，利用向量关系求出F的坐标，根据线面平行的判定定理即可证明证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（I）如图，连接AB1，交A1E于F，连接MF，∵E为BB1的中点，∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设AA1=h，则A（0，0，0），C1（0，1，h），A1（0，0，h），E（2，0，），M（0，，0），B1（2，0，h），设F（x，0，z），则∥，∥，∵=（x，0，z），=（2，0，h），∴①∵=（x，0，z﹣h），=（2，0，﹣），∴=②，由①②得z=h，x=，或F作FT⊥AB，则==，则∴AF=AB1，∵=．∴MF∥CB1，∵MF⊂平面平面A1EM，CB1⊄平面A1EM，∴CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）设平面C1A1E的法向量为=（x，y，z），平面MA1E的法向量为=（x，y，z），则，则，令z=1，则x=，y=0，则=（，0，1），由得，令z=1，则x=，y=，即=（，，1）|cos＜，＞|==，得h2=2，即h=，则AA1的长度为．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得抛物线的焦点，可得c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解方程可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，由判别式为0，可得kb=1，再由椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），可得椭圆的c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解得a=2，b==，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，可得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0，由相切的条件可得，△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=0，化简可得kb=1，由y=kx+和椭圆方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+8x+﹣12=0，由64﹣4（3+4k2）（﹣12）＞0，可得k＞，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，即有中点坐标为（﹣，），设N（0，n），由=﹣，可得n=﹣，由y=kx+，设y=0，则x=﹣，M（﹣，0），可得直线MN的斜率为k MN==﹣=﹣≥﹣=﹣．当且仅当k=＞时，取得最小值﹣．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，构造函数，得出m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，即可求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），证明＜，分类讨论，即可比较f（tana）与﹣cos2a的大小．【解答】解：（I）函数g（x）=x﹣1﹣f（x）=x﹣1﹣lnx，g′（x）=（x＞0），∴g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，g（x）的极小值为0；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，令h（x）=mlnx﹣（x≥1），则h′（x）=，∵h（1）=0，∴∃x0＞1，h（x）在[1，x0]上单调递增，∴m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，∴m≥；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知x＞1，＞．∵0＜x＜1，∴＞1∴＞，∴＜，令x=t2，可得t＞1，lnt＞，0＜t＜1，lnt＜，∵f（tana）=lntana，﹣cos2a=，∴0＜a＜，0＜tana＜1，f（tana）＜﹣cos2aa=，tana﹣1，f（tana）=﹣cos2a，＜a＜，tana＞1，f（tana）＞﹣cos2a．2018年9月20日。
山西省2018届高三第二次模拟理科数学试卷(附解析)
山西省2018届高三第二次模拟理科数学试卷（附解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，()()120B x x x =-+<，则A B =（ ） A ．{}1,0- B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．已知复数241iz i+=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标 是（ ） A ．()3,3B ．()1,3-C ．()3,1-D ．()1,3--3．一次考试中，某班学生的数学成绩X 近似服从正态分布()100,100N ，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到90分为及格）（参考数据：()0.68P X μσμσ-≤≤+≈）（ ） A ．60%B ．68%C ．76%D ．84%4．若函数()()22,0,x x f x g x x -⎧-<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则()()2f g =（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．15．已知点P 是直线0x y b +-=上的动点，由点P 向圆22:1O x y +=引切线，切点分别为M ，N ，且90MPN ∠=︒，若满足以上条件的点P 有且只有一个，则b =（ ）A ．2B ．2±CD ．6．已知不等式组210210x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，表示的平面区域为D ，若函数1y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（ ）A ．283π B ．323π C ．523π D ．563π 8．设()201212nn n x a a x a x a x -=++++，若140a a +=，则5a =（ ）A ．32-B ．64C ．128-D ．2569．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）A ．2-B ．0C ．2D 10．设P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上的点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且212PF F F ⊥，1PF 与y 轴交于点Q ，O 为坐标原点，若四边形2OF PQ 有内切圆，则C 的离心率为（ ）A B C ．2D ．311．在四面体ABCD 中，AB AC ==，6BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为DBC ∆的重心，且直线DG 与平面ABC 所成的角是30，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是（ ）A ．24πB ．32πC ．46πD ．49π12．设等差数列{}n a 的公差为9π，前8项和为6π，记tan 9k π=，则数列{}1tan tan n n a a +的前7项和是（ ）A ．22731k k --B ．22371k k --C ．221171k k --D ．227111k k --第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．13．问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是 ． 14．已知向量a 与b 的夹角是56π，且a a b =+，则向量a 与a b +的夹角是 ．15．已知函数()()2cos2cos 0222xxxf x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x m =+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ． 16．当1x >，不等式()211x x e ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos c B b C a A +=．（1）求A ；（2）若2a =，2sin sin sin B C A =，D 为BC 边上一点，且13BD BC =，求AD 的长．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=，1AC ⊥平面1A BC ． （1）证明：1BC AA ⊥；（2）若BC AC =，11A A AC =，求二面角11B A B C --的余弦值．19．（12分）某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次．抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的5个红球和5个黑球的不透明口袋中，随机摸出4个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值X，当4,2,0X=时，消费者可分别获得价值500元、200元和100元的购物券．求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望．20．（12分）已知抛物线2:4E x y =的焦点为F ，(),0P a 为x 轴上的点． （1）当0a ≠时，过点P 作直线l 与E 相切，求切线l 的方程；（2）存在过点P 且倾斜角互补的两条直线1l ，2l ，若1l ，2l 与E 分别交于A ，B 和C ，D 四点，且FAB ∆与FCD ∆的面积相等，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知函数()ln f x m x =． （1）讨论函数()()11F x f x x=+-的单调性； （2）定义：“对于在区域D 上有定义的函数()y f x =和()y g x =，若满足()()f x g x ≤恒成立，则称曲线()y g x =为曲线()y f x =在区域D 上的紧邻曲线”．试问曲线()1y f x =+与曲线1xy x =+是否存在相同的紧邻直线，若存在，请求出实数m 的值； 若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为221613sin ρθ=+，P 为曲线C 上的动点，C 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点．（1）求线段OP 中点Q 的轨迹的参数方程；（2）若M 是（1）中点Q 的轨迹上的动点，求MAB ∆面积的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()221f x x x =+--． （1）解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式()f x ax >只有一个正整数解，求实数a 的取值范围．2018届山西省高三第二次模拟考试卷数学（理）答案一、选择题.二、填空题. 13．90尺 14．120︒15．(]3,2--16．(],1-∞三、解答题.17．【答案】（1）3A π=；（2）3AD =． 【解析】（1）∵cos cos 2cos c B b C a A +=，∴sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=． ∴()sin 2sin cos B C A A +=，∴sin 2sin cos A A A =， ∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∴3A π=． （2）∵2a =，2sin sin sinBC A =，∴24bc a ==．由2222cos a b c bc A =+-，得2244b c =+-，∴228b c +=，又4bc =，∴2b c ==．则ABC ∆为等边三角形，且边长为2，∴23BD =．在ABC ∆中，2AB =，23BD =，3B π=，由余弦定理可得AD =．18．【答案】（1）证明见解析；（2）7-． 【解析】（1）证明：∵1AC ⊥平面1A BC ，∴1AC BC ⊥． ∵90BCA ∠=，∴BC AC ⊥，∴BC ⊥平面11ACC A ， ∴1BC AA ⊥．（2）∵1AC ⊥平面1A BC ，∴11AC AC ⊥， ∴四边形11ACC A 为菱形，∴1AA AC =．又11A A AC =，∴1A AC ∆与11ACC ∆均为正三角形． 取11AC 的中点1D ，连接1CD ，则1CD AC ⊥．由（1）知1CD BC ⊥，则可建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．设2BC AC ==，则()2,0,0A，(1C -，()0,2,0B，(1A，(1B -． ∴()112,2,0B A =-，(11,0,B B =，(1AC =-．设平面11B A B 的法向量为(),,m x y z =，则11100,m B A m B B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴2200x y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴x yx =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1z =，则)m =为平面11B A B 的一个法向量．又(1AC =-为平面1A BC 的一个法向量，∴111cos ,77m AC m AC m AC ⋅<>===-⋅． 又二面角11B A B C --的平面角为钝角，所以其余弦值为 19．【答案】（1）0.05p =；（2）()5003E Y =元． 【解析】（1）因消费额在区间(]0,400的频率为0.5，故中位数估计值为400． 设所求概率为p ，而消费额在(]0,600的概率为0.8． 故消费额在区间(]600,800内的概率为0.2p -．因此消费额的平均值可估计为()1000.253000.255000.37000.2900p p ⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯． 令其与中位数400相等，解得0.05p =．（2）根据题意()44554101412C C P X C +===，()1331555541010221C C C C P X C +===，()225541010021C C P X C ===．设抽奖顾客获得的购物券价值为Y ，则Y 的分布列为故()15002001002121213E Y =⨯+⨯+⨯=（元）． 20．【答案】（1）切线l 的方程为0y =或20ax y a --=；（2）a 的取值范围为1a <<-或11a -<<或1a <<．【解析】（1）设切点为200,3x Q x ⎛⎫⎪⎝⎭则002x x l x yk ===． ∴Q 点处的切线方程为()200042x x y x x -=-． ∵l 过点P ，∴()200042x x a x -=-，解得02x a =或00x =． 当0a ≠时，切线l 的方程为0y =或20ax y a --=． （2）设直线1l 的方程为()y k x a =-，代入24x y =得2440x kx ka -+=，①216160k ka ∆=->，得()0k k a ->， ②由题意得，直线2l 的方程为()y k x a =--， 同理可得()0k k a --->，即()0k k a +>， ③ ②×③得()2220k k a ->，∴22a k <．④设()11,A x y ，()22,B x y ，则224x x k +=，224x x ka =．∴AB =F 到AB的距离为d =，∴FAB ∆的面积为41S =+ 同理FCD ∆的面积为41S =-由已知得4141+=- 化简得()2221a k -=， ⑤欲使⑤有解：则22a <，∴a < 又22212a k k=-<，得21k ≠，∴21a ≠． 综上，a的取值范围为1a <-或11a -<<或1a << 21．【答案】（1）见解析；（2）存在，1m =． 【解析】（1）()()'22110m mx F x x x x x -=-=>． 当0m ≤时，()'0F x <，函数()F x 在()0,+∞上单调递减；当0m >时，令()'0F x <，得1x m <，函数()F x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 令()'0F x >，得1x m >，函数()F x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上所述，当0m ≤时，()F x 在()0,+∞上单调递减；当0m >时，()F x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）原命题等价于曲线()1y f x =+与曲线1xy x =+是否相同的外公切线． 函数()()1ln 1f x m x +=+在点()()11,ln 1x m x +处的切线方程为()()111ln 11m y m x x x x -+=-+，即()1111ln 111mx my x m x x x =++-++， 曲线1x y x =+在点222,1x x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭处的切线方程为()()22222111x y x x x x -=-++， 即()()222222111x y x x x =+++．曲线()1y f x =+与1xy x =+的图象有且仅有一条外公切线， 所以()()()21221212121,(1)11ln 1.(2)11m x x mx x m x x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪+-=⎪++⎩有唯一一对()12,x x 满足这个方程组，且0m >，由（1）得()21211x m x +=+代入（2）消去1x ，整理得()2222ln 1ln 101m x m m m x +++--=+，关于()221x x >-的方程有唯一解． 令()()()22ln 1ln 111g x m x m m m x x =+++-->-+， ∴()()()()'2221122111m x m g x x x x +-⎡⎤⎣⎦=-=+++． 当0m >时，()g x 在11,1m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以()min 11ln 1g x g m m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭．因为x →+∞，()g x →+∞；1x →-，()g x →+∞，只需ln 10m m m --=． 令()ln 1h m m m m =--，()'ln h m m =-在0m >为单减函数， 且1m =时，()'0h m =，即()()max 10h m h ==， 所以1m =时，关于2x 的方程()2222ln 1ln 101m x m m m x +++--=+有唯一解， 此时120x x ==，外公切线的方程为y x =． ∴这两条曲线存在相同的紧邻直线，此时1m =．22．【答案】（1）点Q 的轨迹的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）4．【解析】（1）由C 的方程可得2223sin 16ρρθ+=，又222x y ρ=+，sin y ρθ=，∴C 的直角坐标方程为22416x y +=，即221164x y +=．设()4cos ,2sin P θθ，则()2cos ,sin Q θθ，∴点Q 的轨迹的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）由（1）知点Q 的轨迹的普通方程为2214x y +=，()4,0A ，()0,2B，AB =直线AB 的方程为240x y +-=． 设()2cos ,sin M θθ，则M 到AB 的距离为d ==≤， ∴MAB ∆面积的最大值为142S =⨯=．23．【答案】（1）{3x x ≥或13x ≤}；（2）13a ≤<． 【解析】()()()()4,23,214,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩， （1）当2x ≤-时，41x -≤，∴5x ≤，∴2x ≤-； 当21x -<≤时，31x ≤，∴13x ≤，∴123x -<≤； 当1x >时，41x -+≤，∴3x ≥，∴3x ≥． 综上，不等式的解集为{3x x ≥或13x ≤}． （2）作出函数()y f x =与y ax =的图象，由图象可知当13a ≤<时，不等式只有一个正整数解1x =， ∴13a ≤<．。
【高三数学试题精选】2018届高三数学(理)二诊试题及答案
2018届高三数学（理）二诊试题及答案
5 c 东省淄博市六中10 cABDA
二、填空题11 2; 12 ; 131; 14 ; 15①②
三、解答题
16解命题p为真命题得，---------------------------3分命题q为真命题（1）若，经检验符合条---------5分
（2）若，则解得综（1）（2）得 ---8分
根据题意知，命题p、q有且只有一个为真命题，
当p真q假时实数a的取值范围是；
当p假q真时，实数a的取值范围是 -------10分
综上 -------12分
17、（1）由条得
18．（Ⅰ）当时，有 //平面AD
证明∵D 平面ABcD，NB 平面ABcD，∴D//NB，…………2分
∴ ，又，∴ ，…………4分
∴在中，QP//A，
又面AD，A 面AD，∴ // 面AD…………６分
（Ⅱ）解以DA、Dc、D所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0,0,0），B（2,2,0），c（0,2,0），（0,0,2）N（2,2,1），∴ =（0,-2,2）， =（2,0,1）， =（0,2,0），………………7分设平面cN的法向量为 =（x,,z）则，∴ ，
∴ =（1,-2,-2）
又NB 平面ABcD，∴NB Dc，Bc Dc，∴Dc 平面BNc，
∴平面BNc的法向量为 = =（0,2,0），………………11分
设所求锐二面角为，则………………12分
19．解（1）设 ,则， a=2, ，…… 3分
（2）由（1）知，因为是奇函数，所以 =0，即。
四川省成都市2018届高三二诊模拟考试数学理科试卷含答案
2018届2017~2018学年下期二诊模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位，则复数.3A.3B -.3C i.4D i -2.已知全集U =R ，集合{|30}A x x =-<，那么集合U A C B ⋂等于.{|23}A x x -≤≤.{|23}B x x -<< .{|2}C x x ≤-.{|3}D x x <3.若,x y 满足约束条件02326x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =+ 的最小值是.3A -.6B.3D4.则sin 2α的值为5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为6. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积 为2 ，则此四棱锥最长的侧棱长为7.等比数列{}n a 中，20a >则25""a a <是35""a a <的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数()f x 对任意x ∈R 都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(2018)f=A. B. C. D.9、已知是双曲线的左、右焦点, 点在上若,则的离心率为A. B. C. D.10.，将()f x 图像的横坐标伸长为原来的2个单位后得到函数()g x ，在区间[0,]π上随机取一个数x ，则()1g x ≥的概率为11.若函数y =f (x )的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ,则称函数y =f (x )为“t 函数”.下列函数中为“2函数”的个数有① y =x -x 3 ②y =x +e x ③y =x ln x ④y =x +cos xA.1个B.2 个C.3 个D.4个12、已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于A. B.2 C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．133项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14、已知数列{}n a 的各项都为正数，前n 项和为n S ，若2{log }n a 是公差为1的等差数列，且5=62S ，则2=a15．已知四面体ABCD 的所有棱长都为,O 是该四面体内一点,且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为,x ,和y ,则+的最小值是 .16．为抛物线上一点，且在第一象限，过点作垂直该抛物线的准线于点为抛物线的焦点,为坐标原点, 若四边形的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）如图，,,a b c 分别是锐角ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边，（1）求sin C 的值；（2）若点D 在边BC 上,3BD CD =，ABC ∆的面积为14，求AD 的长度.18. （本小题满分12分）2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科，每个考生，英语，语文，数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75，所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立，用随机变量X 表示他所选的三个科目中考试成绩获A等的科目数，求X的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与正方形ABC D所在平面垂直，点M为AE的中点.（1）求证：BM//平面EFC，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值.（2）若DE AB20、（本小题满分12分）,O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率大于0的直线l 交椭圆C 于A B 、两点（A 在x 轴上方），交x 轴正半轴于P 点,若3PB PA +=0，求AOB ∆面积的最大值以及此时直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知a ∈R ，()(1)ln f x ax x =-（1）若2()ln f x x x x ≤--恒成立，求a 的值；（2）若()f x 有两个极值点，，求a 的范围并证明1()4f x >.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为2sin2cos (0)a a ρθθ=>，过点的直线的参数方程为（t 为参数）， 直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； (2)求a 的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|32|f x x =+. （1）解不等式()4|1|f x x <--（2）若0a >，不等式||()4x a f x --≤恒成立，求实数a 的取值范围．石室中学高2018届2017-2018学年下期二诊模拟考试数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题13. 20-； 14. 4；三、解答题17. 解：（1，因B 为锐角，所以分，分（2分分，由余弦定理，2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，解得5AD =…………………………12分18..(1).记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，分 (2)随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3.所以X 的分布列为:19..(1)由题知B D E F A B C ⊥面面，而B D E D ⊥，BDEF ABCD=BD 面面∩，DE BDEF ⊂面所以DE ABCD 面⊥，以DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD=1，则()1,1,0B ，，()0,0,1E ，()1,1,1F ，()0,1,0C ，所以EFC 的法向量为()1,1,1m =- ，则0MB m ⋅= 即MB m ⊥ ，又面MB EFC ⊄，所以//面MB EFC ;……………6分(2)由（1）知所以面BDM 的法向量为()1,1,1n =-又()1,0,1AE =- ,所以直线AE 与面BDM12分 20.解： （1）设切线为0bx ay ab +-=，则，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程分（2）设直线l 为(0,0)x my n m n =+>>，联立得222(34)63120m y mny n +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，②由0∆>，可得22340m n -+>…….6分 又因为3PB PA +=0，可得123y y -=③…………7分分分满足0∆>， 所以AOB ∆面积的最大值为此时直线l 的方程为分 21. 解(1)由题:得1ln 0x a x --≥ 令:，，…………………1分 所以F，且．所以当时恒成立，此时在上单调递增，(0,1),()0x F x ∴∈<这与F矛盾；………………………………..3分 当时令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，即，又因为，又F(1)=0 所以………………………..6分①若0a ≥时, 知:'()f x 在(0,)+∞单调递增,不合题…分 此时知道：()f x 在1(0,)x 单减，12(,)x x 单增，2(,)x +∞单减 且易知又110ax -<<1()4f x ∴>…………………………………………………12分 22. (1)由=整理得=,∴曲线的直角坐标方程为=,直线的普通方程为=…………………………………………………….4分(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程=中,得, 设两点对应的参数分别为,则有==,……………………………….6分∵=,∴=即=…………………………….8分∴=即,解得或者(舍去),∴的值为1…………………………………………………………………………….10分23. （1）不等式．当，，解之得；当时，，解之得；当时，，无解．综上，不等式的解集为．…………………… 5分（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即…………………………….10分。
2018年高三第二次模拟数学(理科)测试题 及答案
2018年高三第二次模拟数学（理科）测试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|20}A x x =->，{|0}B x x =>，则AB =（ ）A．(0 B ．(2)(0)-∞-+∞，， C．)+∞ D．((0)-∞+∞，，2.复数13ii -=+（ ） A ．931010i - B ．131010i + C ．931010i + D ．131010i -3. 以下关于双曲线M ：228x y -=的判断正确的是（ ） A ．M 的离心率为2 B ．M 的实轴长为2 C.M 的焦距为16 D ．M 的渐近线方程为y x =±4.若角α的终边经过点(1-，，则tan()3πα+=（ ）A． B．5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）A ．51296π-B ．296 C.51224π- D ．512 6.设x ，y 满足约束条件330280440x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8 C.3 D ．47.执行如图所示的程序框图，若输入的11k =，则输出的S =（ ）A ．12B ．13 C.15 D ．188.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S，则“三斜求积公式”为S =.若2sin 24sin a C A =，2(sin sin )()(27)sin a C B c b a A -+=-，则用“三斜求积公式”求得的S =（ ） ABD9.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于100的产品为优质产品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值（都在区间[90110]， 内），将这些数据分成4 组：[9095)，，[95100)，，[100105)，，[105110]，，得到如下两个频率分布直方图：已知这2 种配方生产的产品利润y （单位：百元）与其质量指标值t 的关系式均为19509510011001052105t t y t t -<⎧⎪<⎪=⎨<⎪⎪⎩，，≤，≤，≥.若以上面数据的频率作为概率，分别从用A 配方和B 配方生产的产品中随机抽取一件，且抽取的这2 件产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为0 的概率为（ ） A ．0.125 B ．0.195 C.0.215 D ．0.235 10. 设38a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c << C.b a c << D ．b c a << 11. 将函数sin 2cos2y x x =+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度后得到()f x 的图象，若()f x 在5()4ππ，上单调递减，则ϕ的取值范围为（ ）A ．3()88ππ，B ．()42ππ， C.3[]88ππ， D ．[)42ππ，12.过圆P ：221(1)4x y ++=的圆心P 的直线与抛物线C ：23y x = 相交于A ，B 两点，且3PB PA =，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为（ ） A ．116 B ．2 C.136 D ．73第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()AB m n =，，(21)BD =，，(38)AD =，，则mn =． 14.71(4)2x - 的展开式中3x 的系数为．15. 若函数32()3f x x x a =--（0a ≠）只有2个零点，则a =．16.在等腰三角形ABC 中，23A π∠=，AB =BC 边上的高AD 翻折，使BCD △ 为正三角形，则四面体ABCD 的外接球的表面积为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，11S +，3S ，4S 成等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若4S ，6S ，10S 成等比数列，求n 及此等比数列的公比.18. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10 名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率； （2）在参加问卷调查的10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X 的分布列及数学期望.19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E 为棱AB 上一点，113B M MA = 且GM ∥ 平面1B EF .（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率2e =，直线10x +-= 被以椭圆C （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(40)M ， 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅，求λ 的取值范围.21. 已知函数3()ln(1)ln(1)(3)f x x x k x x =+----（k ∈R ） （1）当3k = 时，求曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程； （2）若()0f x > 对(01)x ∈， 恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 0ρθθ-=. （1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(01)P ，，点0)Q ，直线l 过点Q 且曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求PM 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23f x x x =-++. （1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.广西区2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试数学参考答案（理科）一、选择题1-5:DADBC 6-10:ACDBA 11、12：CC 二、填空题13.7 14.140- 15.4- 16.15π 三、解答题17. 1）设数列{}n a 的公差为d由题意可知3142215210S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩，整理得1112a d a =⎧⎨=⎩，即112a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =-（2）由（1）知21n a n =-，∴2n S n =，∴416S =，836S =，又248n S S S =，∴22368116n ==，∴9n =，公比8494S q S == 18.由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名的取法共有21045C = 种， 这两名学生来自同一小组的取法共有22234210C C C ++= 种.所以所求概率102459P == （2）由（1）知，在参加问卷调查的10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.X 的可能取值为0，1，2，22251(0)10C P X C ===，1132253(1)5C C P X C ===，23253(2)10C P X C ===.所以X 的分布列为()012105105E X =⨯+⨯+⨯=19.（1）证明：取11A B 的中点N ，连接AN ，因为1=3B M MA ，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN ∥， 因为GM ∥ 平面1B EF ，GM ⊂ 平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11B EF B E =所以1GM B E ∥，即1AN B E ∥，又1B N AE ∥，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N =，所以E 为AB 的中点. （2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨令正方体的棱长为2，则1(222B ，，），(210)E ，，，(021)F ，，，1(202)A ，，，可得1(012)B E =--，，，(211)EF =-，，，设()m x y z =，， 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2z =，得(142)m =--，， 易得平面11ABC D 的一个法向量为1(202)n DA ==，，所以cos 4222m n m n m n⋅===， 故所求锐二面角的余弦值为4220.解：（1）因为原点到直线10x -=的距离为12，所以2221()2b +=（0b >），解得1b =. 又22222314c b e a a ==-=，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2） 当直线l 的斜率为0 时，12MA MB λ=⋅=当直线l 的斜率不为0 时，设直线l ：4x my =+，11()A x y ，，22()B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(4)8120m y my +++=由22=6448(4)0m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+21122212(1)312(1)44m MA MB y m m λ+=⋅===-++由212m >，得2330416m <<+，所以39124λ<<. 综上可得：39124λ<≤，即39(12]4λ∈，21.解：（1）当3k = 时，211()9(1)11f x x x x'=+--+-，∴(0)11f '=故曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程为11y x =（2）22223(1)()1k x f x x+-'=- 当(01)x ∈， 时，22(1)(01)x -∈，，若23k -≥，2223(1)0k x +->，则()0f x '>，∴()f x 在(01)， 上递增，从而()(0)0f x f >=.若23k <-，令()0(01)f x x '=⇒=，，当(0x ∈时，()0f x '<，当1)x ∈ 时，()0f x '>，∴min ()(0)0f x f f =<= 则23k <-不合题意. 故k 的取值范围为2[)3-+∞，22.解：（1）由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为sin cos cos 0x y ααα-+=，由2sin 0ρθθ-=得22sin cos 0ρθθ-=所以曲线C的直角坐标方程为2y =（2）易得点P 在l，所以tan 3PQ k α===-，所以56πα= 所以l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入2y = 中，得21640t t ++=.设A ，B ，M 所对应的参数分别为1t ，2t ，0t . 则12082t t t +==-，所以08PM t == 23.解：（1）因为213()532212x x f x x x x --<-⎧⎪=-⎨⎪+>⎩，，≤≤，，13x <-≤ 所以当3x <- 时，由()15f x ≤ 得83x -<-≤； 当32x -≤≤ 时，由()15f x ≤ 得32x -≤≤； 当2x > 时，由()15f x ≤ 得27x <≤ 综上，()15f x ≤ 的解集为[87]-，（2）（方法一）由2()x a f x -+≤ 得2()a x f x +≤，因为()(2)(3)5f x x x --+=≥，当且仅当32x -≤≤ 取等号， 所以当32x -≤≤ 时，()f x 取得最小值5.所以，当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(5]-∞，（方法二）设2()g x x a =-+，则max ()(0)g x g a ==， 当32x -≤≤ 时，()f x 的取得最小值5， 所以当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(5]-∞，。
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成都七中高2018届二诊模拟考试
数学（理）
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
第I 卷（选择题，共60分）
一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合(){}03|≤-=x x x S ，⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
<=-1)2
1(|1x x T ，则=T S （ ） A. [)+∞,0 B. (]3,1 C. [)+∞,3 D. (]()+∞∞-,10, 2. 已知复数z 为纯虚数，且
11=-i
z
，则z = （ ） A. i 2± B. i 2± C. i 2 D. i
3. 若向量)2
3
,
21(=，)1,3(=，则ABC Δ的面积为（ ） A.
2
1
B. 23
C. 1
D.
3
4. 为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响, 某地从育龄人群中随机抽取了容量为 100的调查样本, 其中城镇户
籍与农民户籍各 50人; 男性 60人 , 女性 40人. 绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示), 其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例, 则下列叙述中错误的是 （ ）
A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B. 是否倾向选择生育二胎与性别无关
C. 倾向选择生育二胎的人员中, 男性人数与女性人数相同
D. 倾向选择不生育二胎的人员中, 农村户籍人数少于城镇户籍人数
5. 一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是 （ ）
A. π9
B. 2
9π
C. π36
D. π18
6. 按照右图所示的程序框图，若输入的a 为2018，k 为8，则输出的结果为（ ） A. 2473 B. 3742 C. 4106 D. 6014
7. 若实数a 满足a a
4
3log 132
log >>，则a 的取值范围是（ ） A. )1,32
( B. )43,32( C. )1,43( D. )3
2,0( 8. 在ABC Δ中，角B 为4
3π
，BC 边上的高恰为BC 边长的一半， 则=A cos （ ） A.
552 B. 55 C. 3
2
D. 35 9. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-112134
2x x x 的展开式中1
-x 的系数是 （ ）
A. 2
B. 1
C.
25 D. 2
1
10. 等差数列{}n a 各项都为正数，且其前9项之和为45. 设
n
n n a a b -+
=
104
1，其中91≤≤n .若{}n b 中的最小项为3b ，则{}n a 的公差不能为（ ） A. 1 B.
65 C. 32 D. 2
1 11. 已知圆C ：()
()()R 4
1
222
2∈=-+-a a y a x ，考虑下列命题：①圆C 上的点到()0,4的距离的最小值为27；②圆
C 上存在点P 到点⎪⎭⎫
⎝⎛0,21的距离与到直线23-=x 的距离相等；③已知点A ⎪⎭
⎫
⎝⎛0,23，在圆C 上存在一点P ，使得以
AP 为直径的圆与直线2
1
=
x 相切. 其中真命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 12. 已知函数()()0>+
=t x
t
x x f ，过点P (1，0)作曲线y =f (x )的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，设g (t )=|MN |，若对任意的正整数n ，在区间[1，n
n 16
+
]内存在m +1个数a 1， a 2，…，a m +1使得不等式g (a 1)+g (a 2)+…+g (a m )＜g (a m +1)成立，则m 的最大值为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
第II 卷（非选择题，共90分）
二. 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若实数x , y 满足
1
22≤+≤+≤y x y x x
y ，则y 的最大值为
14. 若双曲线
19
162
2=-y x 的渐近线与圆()422=-+m y x 相切，则m =
15. 设函数()x x x f cos 2sin -=. 已知常数)2,0(πθ∈且满足55cos =
θ，]2
5,2[π
πt ∈，则关于t 的不等式2
5
)(<
+θt f 的解集为 16. 祖暅是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.” 这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等. 于是可把半径相等的半球（底面在下）和圆柱（圆柱高等于半径）放在同一水平面上，圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥（锥尖朝下），考察圆柱里被圆锥截剩的立体，这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等，因
此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积. 设由椭圆 122
22=+b
x a y ()0>>b a 所围成
的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图，称为“椭球体”），请类比
以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积. 其体积等于________．
三. 解答题（本大题共7小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分12分）
已知等比数列{}n a 满足11+=+n n S λa ，其中1-≠λ，n S 为{}n a 前n 项和，*N ∈n . (1) 求1a ；
(2) 设4=λ，若*N ∈∀n ，
m a a a n
≤+++11121 恒成立，求m 的最小值. 18. （本题满分12分）
随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：
(1) 由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系．求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年4月的市场占有率；
(2) 为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致单车使用寿命各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各100
辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频
数表如下：
500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
参考公式：回归直线方程为a x b y
ˆˆˆ+=，其中 = x b y a
ˆˆ-=．
19. （本题满分12分）
如图，四棱锥ABCD P -中，侧棱P A 垂直于底面ABCD ， AB=AC=AD=3，
2AM =MD ，N 为PB 的中点，AD 平行于BC ，MN 平行于面PCD ，PA =2. (1) 求BC 的长；
(2) 求二面角N -PM -D 的余弦值. 20. （本题满分12分）
已知椭圆C ：12
22
=+y x 的左右顶点分别为A 、B ，P 为椭圆C 上不同于A 、B 的任意一点. (1) 求APB ∠的正切的最大值并说明理由；
(2) 设F 为椭圆C 的右焦点，直线PF 与椭圆C 的另一交点为Q ，PQ 的中点为M ，若QM OM =，求直线PF 的斜率.
21. （本题满分12分） 已知函数()()a
x a
x x f ++
+=21ln ． (1) 讨论函数()x f 的单调性；
(2) 若函数()x f 存在两个极值点x 1，x 2且满足f (x 1)+f (x 2)＞4，求a 的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分. 请考生用2B 铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑.
22. （本题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为x y 42
=.
(1) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2) 直线l 的参数方程是 α
t y α
t x s in c o s 2=+=(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，64||=AB ，求l 的倾斜角.
23. （本题满分10分）
已知函数f (x )＝m －|x －1|，m ∈R .
(1) 当1-=m 时，求不等式()3-≥x f 的解集； (2) 若f (x ＋2)+ f (x －2)≥0的解集为[－2,4]，求m 的值.。