统计学原理辅导(7章)

答案：相关系数 r = 0.98
b = 0.24
a = -1.13 yc = -1.13+0.24x 回归系数b的涵义:人均年收入每增加一元,耐用消 费品销售额平均增加0.24万元。
四
回归系数与相关系数的关系
因为：
n x
2 xy
n xy x y
2 2
x n y y
第七章 相关分析
教学目的与要求
相关分析是研究变量之间相互关系的密切程度 和相互联系方式的重要方法。本章详细讲述了 相关分析的概念、相关关系的确定、回归方程 的建立和应用等内容。通过本章的学习，要理 解相关分析的有关概念，掌握计算相关系数和 配合回归方程的方法，并能够结合实际资料对 变量进行相关分析。
则相关系数为：

n x
n xy x y
2 2
x n y y
2

2

0.97
说明产量和生Hale Waihona Puke 费用之间存在高度正相关。第三节
回 归 分 析
一、回 归 分 析 的 意 义 回归分析是对具有相关关系的两个或两个以 上变量之间的数量变化的一般关系进行测定，确 立一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来 推测另一个未知量，为估算预测提供一个重要的 方法。 二、回 归 的 种 类 按自变量的个数分 按回归线的形态分 一元回归 多元回归 线性回归 非线性回归
c
2、原数列与趋势线的离差平方和为最小值。即
( y yc ) 2 最小值
解联立方程得到：
y bx a y bx
b xy x y x x
2 2

n n n xy x y n x ( x)
2 2
根据前面例题资料配合生产费用依产量变化的回归方程：
相关系数计算分析例题
序 月产量 号 1 1.2 2 2.0 3 3.1 4 3.8 5 5.0 6 6.1 7 7.2 8 8.0 ∑ 36.4 生产费用
x
y
62 86 80 110 115 132 135 160 880
x
2
y
2
xy
74.4
172.0 248.0
1.44 4.00 9.61 14.44 25.00 17.21 51.84 64.00
第二节 相关图表和相关系数
一、相 关 图 表
相关图表是相关分析的重要方法。通过相关图表可 以直观地判断现象之间呈现的相关的形态和方向。
简单相关表（P264表7-3） 相关表 分组相关表 双变量分组相关表（P266表7-5） 相关图 利用直角坐标系第一象限，把自变量置于横轴上，
因变量置于纵轴上，在将两变量相对应的变量值 用坐标点形式描绘出来即可。（p268图7-1）
则回归方程为:
yc 51.3 12.9 x
回归系数b的涵义: 月产量每增加1000吨,生产费用平均增加12.9万元。
有某地区人均年收入与耐用消费品销售额资料如下： 时间 人均年收入（元） 耐用消费品销售额（万元） 1990 340 82 1991 380 90 1992 450 100 1993 470 114 1994 560 140 1995 620 144 2820 670 合计 要求：分析两变量相关密切程度，若为显著相关以上， 则对两变量进行回归分析。
序 月产量 号 1 1.2 2 2.0 3 3.1 4 3.8 5 5.0 6 6.1 7 7.2 8 8.0 ∑ 36.4
生产费用
x
y
62 86 80 110 115 132 135 160 880
x
2
y
2
xy
1.44 4.00 9.61 14.44 25.00 37.21 51.84 64.00 207.54
单变量分组相关表（P265表7-4）
二、相 关 系 数
相关系数是测定变量之间相关密切程度的统计指标。
1、相关系数的计算方法：
相关系数按“积差法”计算。该方法是通过两变量与各 自平均值的离差的乘积来反映两变量之间的相关程度。 积差法公式在教材第271页
计算相关系数的简化式：

n x
n xy x y
3844 7396 6400
12100
13225
418.0
575.0 805.2 972.0 1280.0 4544.6
17424 18225 25600 207.54 104214
根据计算结果可知：
x 36.4, y 880, n 8, x 2 207.54,
y
2
104214, xy 4544.6
2
2
x n y y
2

2

2、相关系数的性质
（1）相关系数有正负号，分别表示正相关和负相关。 （2）相关系数的取值范围在绝对值的 0 1 之间。 其值大小反映两变量之间相关的密切程度， 具体判断方法见教材P275。 （3）相关系数 1表明两变量完全相关； 0 表明两变量完全不相关；
3844 74.4 7396 172.0 6400 248.0 12100 418.0 13225 575.0 17424 805.2 18225 972.0 25600 1280.0 10421 4544.6 4
计算得到： x 36.4,
2
y
104214, xy 4544.6
本章主要内容
第一节 第二节 第三节 相关的意义和种类 相关系数 回归分析
第一节
相关的意义和种类
一、相关分析的含义：P259 二、相关关系的概念 函数关系：函数关系是一种严格的依存关系，这种 关系可以用y = f（x）的方程来表现。 相关关系：相关关系是一种不完全确定的随机关系。
函数关系与相关关系的联系：对具有相关关系的现 象进行分析时，必须利用相应的函数关系的数学表 达式来表明现象之间的相关方程式。
n xy x y n x 2 ( x) 2
y 880, n 8, x 2 207.54,
b
8 4544.6 36.4 880 12.9 2 8 207.54 36.4 y b x 880 12.9 36.4 51.3 a n n 8 8
六
估 计 标 准 误
1、估计标准误的涵义：教材P289 2、估计标准误的计算公式：教材P289
S yx
( y y
n2
c
)
2
简化公式：教材P291
S yx
y 2 a y b xy n2
配合直线回归方程的方法
配合直线回归方程的过程就是求解方程系数a、b 的过程，求解a、b的方法一般采用最小平方法。 用最小平方法配合回归直线的基本思想是： 在所有的相关点中，通过数学方法配合一条较为理 想的直线，这条直线必须满足两点：
1、原数列与趋势线的离差之和为零。即：
( y y ) 0
三、简单线性回归方程 简单线性方程式的一般形式： y a bx
（当两变量的增长比率为常数时，它们之间就呈 现为一种简单线性关系。）
利用简单线性回归方程进行回归分析的前提： 所分析的两个变量之间必须存在相关关系，且 相关程度在显著相关以上。
对两变量进行简单线性回归分析的任务：
设法在分散的、具有线性关系的相关点之间配合一 条最优的直线，以表明两变量之间具体的变动关系。
2

2

b
n xy x y n x 2 ( x) 2
x 所以： b y
即： x y
b y br x
2 xy 2 x
五 回归分析与相关分析的特点
1、回归分析必须区分自变量和因变量，而相关 分析不必区分。 2、回归分析的两个变量一个是自变量，一个是 因变量，通过给定自变量的值来推算因变量 的可能值；而相关分析的两个变量都是随机 变量。 3、回归分析中对于因果关系不甚明确的两个变量， 可以建立两个回归方程；而相关分析只能计算 出一个相关系数。 4、一种回归方程只能做一种推算，即只能给出自 变量的值来推算因变量的值，不能逆推。
估 计 回 归 线：
在两变量相关的散点图中，引出一条最优的 直线，这条直线就是估计回归线。它表明了两变 量数量变动的一般关系。 配合估计回归线的方程称为回归方程 方程式为： y c a bx y c：因变量的估计值,
a : 直线的起点值， b：直线的斜率，又称回归系数 x :自变量
回归系数b的经济涵义： 当自变量变动一个单位时，因变量的平均变动值。