乔丹篮球鞋介绍
乔丹篮球鞋系列(1代-23代)
在对菲尼克斯太阳队的总决赛中
平均每场抢下41分，并一举摘得
连续第三枚NBA总 Jordan鞋 1993年－
1994年
九年的精工细作创造出这款造型
简洁的经典Air Jordan鞋，中底
的齿轮形状结构是最大特色。乔
丹参与了这款鞋的设计，这款鞋
成为他的至爱，但他从来没有穿
出生地：纽约布鲁克林
身 高：1米98
毕业学校：84年毕业于北卡莱罗纳州立大学
NBA生涯：14个赛季(1984-1993、1994-1998、
2001-2002)
司 职：得分后卫/小前锋
效力球队：芝加哥公牛、华盛顿奇才
绰号：飞人
主要战绩： 6次NBA总冠军：(1991-93, 1996-98)
2次奥运会冠军：84、92年
着它参加过比赛。在夺得一个又
一个冠军后，迈克尔·乔丹暂时
藏起了他心爱的Air Jordan鞋，
转而参加职业棒球比赛 。
精选课件
15
第十代Air Jordan鞋 1994年－1995 年 当迈克尔·乔丹从棒球场回到篮球场 后，就迅速地再次攀上个人运动生 涯的顶峰，而他对Air Jordan鞋的喜 爱依然没有改变。乔丹十代鞋底上 记录了他在NBA赛场上取得的辉煌 战绩。
精选课件
10
第五代Air Jordan鞋 1989年－1990年 乔五代独创鞋带锁定设计和透明橡胶鞋 底，可以发挥高度抓地力。
精选课件
P-51 野马，二战中盟军最优秀 的全能活塞动力战斗机，也是 盟军空权的象征。而中底的喷 射火焰花纹也是乔五的特色。
11
总冠军之靴
•
第六代Air Jordan鞋 1990年－
单场常规赛得分纪录：69分精选课件
air jordan篮球鞋简介
• 由于Nike Air Jordan VI只在2000年的时候被复刻过一次，因此这 款超经典的球鞋便在如今用自身向人们解释了物以稀为贵的道理。而 每当Nike Air Jordan VI出现在人们面前的时候，人们对其似乎也总 是会有各种各样说不完的话题：关于它那另类的鞋舌、关于它那形状 奇怪的鞋提、关于它鞋帮两侧的独特设计、关于它和蝙蝠侠之间的姻 缘、以及关于它和樱木花道之间所拥有的故事……
背景
‚飞人‛，这是人们送给乔丹的绰号。 不光是因为他弹跳惊人、经常在场上做 出不可思议的动作，还因为他脚上的Air Jordan 1。‚Air Jordan‛，这是 Nike为乔丹推出的专署签名鞋的名字。 不仅体现出鞋子的科技工艺，也可以反 映出乔丹打球的风格。而于1984年感恩 节期间推出的那则广告，则给很多人留 下了深刻的印象。镜头首先从空中俯看 芝加哥概貌，随之传来引擎的呼啸声， 乔丹以慢动作跑进镜头，手中接住一个 篮球，运球至篮筐下，双腿展开，一手 高举篮球，一手直伸向下前方，将球扣 进。此时画外音响起：谁说他不是在飞!
应该强调的是，在 Nike Air Jordan VI之 后，Air Jordan系列 球鞋便不再继续使用后 掌开窗式气垫设计，是 技术上的革新让此后的 Air Jordan系列球鞋 在实用性方面有了一个 很大的提升； 而从Nike Air Jordan VI开始，Nike品牌则开始将所谓的球鞋科 技更为丰富化，那个隐藏在Nike Air Jordan VI整体设计中的内 靴最终演变成Nike品牌在1992年时所推广的Huarache技术，直 接受益的球鞋便是排在Nike Air Jordan VI之后并跟随乔丹一同 征战奥运会的Nike Air Jordan VII。
球鞋简介
Jordan标准型
Jordan标准型Jordan标准型是一种非常经典的篮球鞋款，它以其独特的设计和优越的性能而备受球迷和运动员的青睐。
作为一名篮球鞋文档创作者，我将为大家介绍Jordan标准型的特点和优势。
首先，Jordan标准型采用了轻量化的设计，鞋身采用了高质量的材料，既保证了鞋子的耐用性，又减轻了运动员的负担，使得他们在比赛中更加灵活自如。
鞋底采用了高强度的橡胶材料，具有良好的抓地力和耐磨性，可以在不同地面上提供稳定的支撑，让运动员可以更加专注于比赛。
其次，Jordan标准型在缓震性能方面表现出色。
鞋底采用了先进的缓震科技，能够有效地吸收冲击力，减轻脚部的压力，保护运动员的脚部免受受伤。
这种设计不仅能够提高运动员的比赛表现，还能够减少运动中的不适感，让他们能够更加专注于比赛。
此外，Jordan标准型的鞋面设计也非常出色。
采用了透气性良好的材料，能够有效地排出脚部的汗液，保持鞋内干爽舒适。
鞋面的设计也非常时尚，符合现代年轻人的审美需求，不仅在比赛中展现出色，日常穿着也非常合适。
最后，Jordan标准型的品牌影响力也是其优势之一。
作为Nike旗下的明星产品，Jordan标准型凭借着其卓越的品质和独特的设计，深受球迷和运动员的喜爱。
许多知名篮球明星都是Jordan标准型的忠实粉丝，他们的支持也为这款鞋子增添了不少光环。
总的来说，Jordan标准型作为一款经典的篮球鞋，不仅在外观设计上独具匠心，而且在性能表现上也非常出色。
它的轻量化设计、优秀的缓震性能、透气舒适的鞋面以及强大的品牌影响力，使得它成为了众多篮球爱好者和专业运动员的首选。
相信随着篮球运动的不断发展，Jordan标准型将会继续发光发热，为更多的篮球爱好者带来无尽的激情和动力。
中国乔丹磨砺5pro测评
中国乔丹磨砺5pro测评
（原创版）
目录
1.引言：介绍中国乔丹磨砺 5PRO 篮球鞋
2.测试内容：外观、舒适度、耐磨性、抓地力等
3.测试结果：各项表现均令人满意
4.结论：推荐购买
正文
作为一名篮球爱好者，我一直在寻找一双适合外场篮球的鞋子。
最近，我收到了一双中国乔丹磨砺 5PRO 篮球鞋，经过一段时间的测试，现在向大家分享一下我的感受。
首先，让我们来看一下这双鞋子的外观。
中国乔丹磨砺 5PRO 采用了简约的设计风格，整体造型流线型，颜色搭配也非常协调。
鞋子的材质使用了轻质透气的材料，使得鞋子整体轻盈，非常适合在户外进行篮球运动。
接下来，我们测试一下鞋子的舒适度。
在穿着这双鞋子进行了一段时间的篮球运动后，我感觉鞋子的舒适度非常好。
鞋子的内里有足够的缓冲，能够很好地保护脚部。
同时，鞋子的鞋底也很柔软，提供了足够的支撑，使得在运动过程中脚部不会感到疲劳。
然后，我们来看一下这双鞋子的耐磨性。
在穿着这双鞋子进行了一段时间的户外篮球运动后，鞋子的鞋底并没有出现明显的磨损，说明这双鞋子的耐磨性非常好。
最后，我们测试一下鞋子的抓地力。
在球场上，这双鞋子的抓地力表现非常出色，即使在高速移动的过程中，也能够提供足够的抓地力，使得我在做各种动作时都能够得心应手。
综合以上各项测试，我认为中国乔丹磨砺 5PRO 篮球鞋是一双非常适
合外场篮球的鞋子。
无论从外观、舒适度、耐磨性还是抓地力等方面来看，这双鞋子的表现都令人满意。
乔丹篮球鞋巭科技话术
乔丹篮球鞋巭科技话术
一、乔丹篮球鞋巭科技的背景介绍
1.1 乔丹篮球鞋巭科技的品牌起源
1.2 乔丹篮球鞋巭科技的技术创新
1.3 乔丹篮球鞋巭科技的市场地位
二、乔丹篮球鞋巭科技的产品优势
2.1 高度贴合
2.2 弹性支撑
2.3 减震性能
2.4 透气舒适
三、乔丹篮球鞋巭科技的销售话术
3.1 强调科技创新
3.2 强调乔丹品牌
3.3 强调产品优势
3.4 强调用户体验
四、与竞争对手进行对比
4.1 与阿迪达斯篮球鞋巭科技对比
4.2 与耐克篮球鞋巭科技对比
4.3 与安踏篮球鞋巭科技对比
4.4 与李宁篮球鞋巭科技对比
五、乔丹篮球鞋巭科技的市场前景
5.1 中国篮球市场的潜力
5.2 品牌经营的重要性
5.3 发展线上销售渠道
5.4 与明星球员合作的影响力
六、结论
6.1 总结乔丹篮球鞋巭科技的优势
6.2 展望乔丹篮球鞋巭科技的未来。
Air Jordan 1-23介绍
辉煌之靴
第十四代Air Jordan鞋 1998年 －1999年 灵感来源与法拉力赛车，这款 高性能、豪华外观的球鞋让每 一个穿上它的球员至少在装备 上不亚于历史上最伟大的球员 迈克尔· 乔丹。
第十五代Air Jordan鞋 1999年－ 2000年 这款高性能球鞋的设计灵感得自 “飞人”迈克尔· 乔丹和X－15飞 机（这个型号的飞机打破了当时 的速度极限）。鞋面上有23、6 和15三个数字，分别代表迈克 尔· 乔丹的球衣号码、获得总冠军 的次数和鞋的名称……中掌的独 特结构和编织鞋面，其中融合了 迈克尔· 乔丹在球场上的飞翔英姿 和在商场中的特立独行 。
Nike Grind材料——是由鞋底制造期间产生的废料制成。
3,Air Jordan 23的鞋骨承托板直接垫入TPU鞋垫模，TPU直接压模于整 个承托板之上。这种最新研发的制造工艺不仅可以提高鞋子耐用性，而 且避免浪费，更减少溶剂型粘着剂的使用.
乔丹元素----手工制作
外底上有迈克尔· 乔丹的指模摩擦力压印。
AIR JORDAN 历代回顾
1985 ——2008
芝加哥联合体育中心
联合体育中心的JORDAN雕像
雕像下面的注解和手膜 The best there ever was. The best there ever will be.
主场的大屏幕上播放着乔丹的精彩镜头。 凯利身穿乔丹在奇才队的球衣在演唱Hero 场边的乔丹眼中泛着泪珠。 凯利来介绍乔丹出场！ 全场球迷起立致敬！ 乔丹感谢球迷。 东西部的全明星们也起身鼓掌。 全场的掌声不断，乔丹都无法说话。
乔丹22代（07年2月17日）：
• Nike第一次使用不规则的六边形鞋盒， 配合迷彩图案体现超凡的价值感。 • 可更换的ZOOM AIR （冲击气垫）和 MAX AIR（大气垫），两种选择可以满 足你在球场上任何位置的缓震保护需要。 • 外底处超轻质的钛合金中掌承托盘提供 最佳的防扭转性能。水晶橡胶外底带来 良好的防滑性。 • 鞋后跟的金属反光承托片加强保护，让 你成为场上最闪耀的明星！ • F22战斗机灵感设计，给你带来超轻质、 舒适的穿着感受。
乔丹1到23代介绍
乔丹1到23代介绍乔丹1到23代是以迈克尔·乔丹（Michael Jordan）为名的篮球鞋系列。
这个系列的鞋款是由尼克斯公司Nike于1984年推出，并持续发展至今。
每一双鞋都以乔丹在NBA生涯中不同阶段创造的历史时刻为灵感，融合了先进的技术和设计，成为篮球鞋界的经典之一、以下是乔丹1到23代的介绍：1. Air Jordan 1（1984年）：乔丹系列的首款鞋款，由Peter Moore设计，设计灵感来自乔丹所穿的Nike篮球鞋。
鞋身采用真空吸塑技术制成，鞋帮采用高帮设计，配备优秀的支撑性和抓地力。
2. Air Jordan 2（1986年）：这款鞋的设计灵感来自意大利时尚产业，带有一些高级皮革材质，鞋身没有Nike Swoosh标志。
这种设计可使鞋子在乔丹的地面表现方面提供更好的灵活性。
3. Air Jordan 3（1988年）：这是一款具有革命性的鞋款，是Tinker Hatfield设计的，也是第一款携带"Jumpman"标志的鞋款。
同时，它也是第一款由可见气垫技术Air Sole提供缓震功能的篮球鞋。
4. Air Jordan 4（1989年）：这款鞋款在外观上更注重细节，带有网状设计的鞋身，搭配了后跟的马达胆，提供了更好的稳定性。
5. Air Jordan 5（1990年）：这款鞋的设计灵感来自于乔丹在飞人之夜比赛中的表现。
它采用了透明外底，具有更好的抓地力。
鞋舌上的23标志和发带设计是其最大的亮点之一6. Air Jordan 6（1991年）：这款鞋是乔丹首次赢得总决赛MVP头衔时所穿的鞋款。
它采用了两个可拆卸的带扣，同时也是乔丹第一次在鞋舌上加入"Jumpman"标志。
8. Air Jordan 8（1993年）：这款鞋是乔丹第三次夺得总冠军时所穿的。
它的设计灵感来自乔丹的座驾法拉利和鞋舌上的一个亮点是手持篮球的"Jumpman"标志。
一共有多少双AJ？全部正代乔丹球鞋历史科普介绍!
一共有多少双AJ？全部正代乔丹球鞋历史科普介绍！每一代AJ 球鞋都有着他特殊的粉丝群体，1984年10月，乔丹与Nike 签署代言合约，初代AJ球鞋Air Jordan 1 零售版本在1985年9月份推出。
作为世上最伟大的签名球鞋系列，Jordan Brand 已经走过了近32个年头（截止17年6月），Air Jordan 品牌也共出品了31双正代球鞋，分别为AJ1-AJ23 、AJ2009(AJ24) 、AJ2010(AJ25) 、AJ2011(AJ26) 、AJ2012(AJ27) 、aj28 、aj29 aj30 、aj31。
其中最为最为经典且多次复刻的是AJ1、AJ4、AJ5、AJ6、AJ11、AJ13等。
这款游戏全靠智商！点击下载广告光看文字不过瘾，关注过我们公众号的朋友都知道，之前我们发过一篇文章《乔丹生涯上脚的Air Jordan/AJ正代球鞋评测，附带每双鞋背后的历史》介绍了全部AJ 球鞋，并附带了国外评测视频，还没看过的朋友可以关注我们“TY 潮鞋够”微信公众号，然后编辑文字发送“AJ球鞋”，我们就会发送这篇文章给你。
展开剩余90%Air Jordan 1AJ1 的诞生标志着一个传奇的品牌开始，它既是功能卓越的鞋类产品，又是一种文化标志。
中底内置了AIR气垫技术带来较好的缓震。
关于经典永恒的黑红禁穿配色也流传着很多故事。
Air Jordan 1 “Chicago”芝加哥白红配色也是每位公牛爱好者不可或缺的宝贝，更是开启了Jordan Brand 的传奇序幕。
Air Jordan 2AJ2 是推出的第二代战靴，是历史50大鞋款之一，是乔丹系列中最珍贵的款型。
由Bruce Kilgore 所设计，分中筒与底筒两款。
而意大利生产及设计令AJ 2 外型上与当时的篮球鞋与众不同，而Bruce 所讲当时用于AJ2 的注塑模具技术只能于意大利可以做到。
另外AJ 2 是最后一次使用AIR JORDAN “飞翼” LOGO的AIR JORDAN。
一共有多少双AJ全部正代乔丹球鞋历史科普介绍
一共有多少双AJ全部正代乔丹球鞋历史科普介绍Air Jordan（常简称AJ）是由乔丹品牌（Jordan Brand）为前NBA巨星迈克尔·乔丹（Michael Jordan）设计的一系列篮球鞋。
自1984年首款AJ面世以来，AJ球鞋一直备受球迷和球鞋爱好者的追捧和喜爱。
他们不仅是功能强大的运动鞋，更成为了时尚的象征和乔丹传奇的一部分。
AJ的历史由于数量众多，故本文仅以主要代表款进行介绍。
第一代AJ于1985年发布，被称为“黑红1代”（Air Jordan 1）。
这是乔丹和乔丹品牌创始之初的代表鞋款，正代1代琥珀色橡胶大底与黑红高筒设计成为AJ的经典元素。
这款球鞋颠覆了以白色为主的运动鞋市场，再度证明了运动鞋也可以成为时尚的标志。
第二代AJ于1986年发布，被称为“黑橙2代”（Air Jordan 2）。
相比于第一代的高筒设计，2代采用了低筒的设计，并添加了由意大利名师制作的手工细节，更显奢华感。
虽然乔丹本人并不是特别喜欢这个款式，但它在球鞋文化中的地位不容忽视。
第四代AJ于1989年发布，被称为“白黑火红4代”（Air Jordan 4）。
这款球鞋在设计上延续了前一代的成功元素，并增加了可拆卸的翅膀扣带，让球鞋更具个性和功能性。
4代同样采用了可见气垫技术，使乔丹在场上的表现更加出色。
第五代AJ于1990年发布，被称为“黑银抛光绿5代”（Air Jordan 5）。
这是AJ系列中第一款采用抛光皮革材质的球鞋，这一亮眼的细节使5代在外观上更具吸引力。
5代还首次加入了反光材质，使球鞋在夜间拥有更好的可见性。
第六代AJ于1991年发布，被称为“黑红冰蓝6代”（Air Jordan 6）。
这是AJ历史上第一双更符合运动员要求的篮球鞋，特别在鞋舌上增加了贴身的包裹感设计。
此外，6代还有两个标志性设计：清晰可见的透明大底和鞋舌上的两个“贴身扣带”。
第七代AJ于1992年发布，被称为“黑紫樱桃7代”（Air Jordan 7）。
乔丹篮球鞋系列(1代-23代)PPT
3
第二十一代（AJ21） 设计创新，采用全新的抗扭系统和气垫技术，提 供了更好的支撑和缓震效果。
各代产品设计与功能对比
要点一
第二十二代（AJ22）
设计简洁，采用网面和合成革材质，增加了透气性和耐用 性。
要点二
第二十三代（AJ23）
乔丹篮球鞋的起源与历史
乔丹篮球鞋的起源
乔丹与耐克的合作，源于1984年 耐克为乔丹推出的第一款签名鞋。
发展历程
乔丹篮球鞋系列从1984年的Air Jordan 1开始，至今已发展至第 23代。
重要里程碑
乔丹的退役与复出，以及乔丹在球 场上的卓越表现，都为乔丹篮球鞋 系列的发展带来了重要影响。
乔丹篮球鞋的设计理念与特点
第十六代至第二十三代
市场表现稳定，乔丹的篮球鞋系 列已经成为了一个经典品牌。
各代产品的优缺点分析
优点是具有历史意义和 文化价值；缺点是设计
和功能较为简单。
第一 代至 第三
代
优点是设计和材质开始 豪华和创新；缺点是部 分款式存在重量过大的
问题。
第四 代至 第六 代
优点是技术和设计更加 豪华和创新；缺点是价
https://
2023 WORK SUMMARY
乔丹篮球鞋系列(1代23代)
REPORTING
https://
目录
• 乔丹篮球鞋系列概述 • 乔丹篮球鞋系列各代产品介绍 • 乔丹篮球鞋系列的产品对比与评价
PART 01
乔丹篮球鞋系列概述
第五代（AJ5）
设计独特，采用蛇皮纹路， 增加了鞋子的抓地力和稳 定性。
第六代（AJ6）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d 2 i 4 j 6 k ,
(3) e i 2 j k 与
f 3 i j k .
28. (1)设 a m i j 2 k 与 b 2 i 4 j k 垂直,求 m 的值.
(2)设 a i j 2 k 与 b i j 4 k 平行,求, 的值.
(1) a b , (2) a b , (3) (2 a b) (a b) ,
(4) (2 a b) (a 3 b) .
3.求点 M(2,3,0)到直线 x 2 y 2 z 的距离.
3
2 1
4.求过点 M 1 (2,-1,3)和 M 2 (3,1,2),且垂直于平面 3x-y+4z+2=0 的平面方程.
29.设 a 3 i 2 j k , b i 4 k , c j 2 k ,试求:
(1) (a b) c , (2) (a b) c .
30.设 a i 2 j 2 k , b j k ,试求:
(1) a 与 b 的夹角,
(2)与 a, b 共面的向量 u ,且使得( u ) =1, ( u ) = 2 .
z 3,
(2)
x
2
x2
y2
4z y2
2
z
2.
1,
37.求抛物线
z
y 1, 绕 y 轴旋转一周而成的旋转曲面方程,并画出草图.
x0
38.求曲线
x2
y2
2x
0, 绕
x
轴旋转一周而成的旋转曲面方程,并画出草图.
z0
39,下列方程表示什么曲线?请在其上任取两点:
(1)
x
2
y2
z2
13.求下列各向量的模、方向余弦以及同方向的单位向量:
(1) p i 2 j 2 k , (2) q i j k .
14.已知向量 a, b 的夹角为
2
,模为
a
3,
b
4 ,试求:
3
(1) a a , (2) a b , (3) (3 a 2 b) (a 2 b) .
22.已知,
a
,
b
,
c
两两都成
60
0
角,且
a
4,
b
2,
c
6 ,求
a b c
.
23.已知
a
1,
b
2,
a 与b 的夹角
2
,求
a b
.
3
24.设 a i 2 j k , b 3 i j 2 k ,试求:
(1) a b , (2) (3 a b) a .
25.已知 a 2 i 2 j k , b i 2 j ,试求:
4.过点
Q(1,2,-1)且与直线
x
3x
2
yz yz
0, 1
平行的直线方程是________.
三、计算题 1.设有如图所示的长方体 OABC-DEFG,试求
(1) OD 在 BG 在的投影; (2) ACE 的面积; (3)四面体 BEFG 的体积.
2.设 a 2 i j 2 k , b 6 i 3 j 2 k ,试求:
基本题
1.设 , 都是单位向量,回答下列问题:
(1) , 必定相等吗?
(2) , 有可能也是单位向量吗?
2.设平行四边形 ABCD,其两对角线的交点为 P,记 AB m, AD n ,试用 m, n 表示向量
AC , BD, PA, PB, PC , PD.
3.试就已知向量 a 和b ,画出下列各向量:
20.设向量 (2 a 5 b) 与 (a b) 垂直,又向量 (2 a 3 b) 与 (a 5 b) 垂直,试求向量 a 与b 的
夹角.
21.求一向量 p ,使 p 满足下列条件:
(1) p 与 y 轴垂直,
(2) a 2 i j 3 k , a p =-5,
(3) b 4 i 2 j k , b p =4.
17.求向量 a i j 4 k 与 b i 2 j 2 k 的夹角 及 a 在 b 上的投影.
18.设 a 5 i j k , b 4 i 3 k , c 2 i j 2 k ,验证投影性质:
(a b) (a) (b) .
c
c
c
19.得用向量知识,证明直径所对的圆周角是直角.
(1)以 a, b 为邻边的平等四边形的面积,
(2)与 a, b 都垂直的单位向量.
26.求顶点为 A(5,2,-1),B(4,3,1),C(0,7,2)的三角形面积.
27.下列各组向量中,哪些组的向量有平等或垂直的关系:
(1) a 2 i j k 与
b i 8 j10 k ,
(2) c i 2 j 3 k 与
2x
x
y y
z z
4 0, 1 0
的距离.
50.求直线 x 1 y 1 z 与平面 2x+3y+z-1=0 的交点. 1 2 6
51.求点 M(2,5,1)在直线 x 4 y z 2 上的投影点的坐标. 1 1 1
52.求点 N(3,-1,4)在平面 4x+3y-7z-55=0 上的投影点的坐标. 53.画出下列曲面所转成的图形:
(1) y 2 z 2 =2y, (2)x+y+z=2,
(3)x+z=2,
(4) x 2 =4z,
(5) x 2 y 2 2z 2 -2x=0,
(6) y 2 x 2 -2x=0.
36,求下列曲线投影到 xOy 坐标平面的投影柱面方程、投影曲线方程,并说出投影曲线的名 称:
(1)
x
2
y2
z,
6.设 m, n 为两个非零向量,试求它们的夹角平分线上的单位向量.
7.写出点 P(1,2,3)关于三个坐标平面,关于三条坐标轴以及关于坐标原点的对称点. 8.求顶点为 A(2,1,4),B(3,-1,2),C(5,0,6)的三角形的各边长.
9.已知向量 2 i j 4 k 的起点与 M(1,-3,0)重合,求向量 的终点坐标.
15.已知 a 2 i 2 j k , b i 3 j 2 k ,试求:
(1) a a , (2) a b , (3) (2 a 3 b) a .
16.设有力 F 4 i 7 j 3 k ,使质点从点 M1 (1,2,-1)沿直线移动到点 M 2 (4,-3,0),求此力
所作的功(力的单位为牛顿,位移单位为米).
2x
5x 3y
y
z 0, 2z 5
0.
x 3t 2,
44.求直线
z
y t, t 3
与直线
x 1 2
y 0
z
3 1
的夹角.
45.求平面 2x+y-2z-4=0 与平面 3x+6y-3z-12=0 的夹角.
46.求满中下列条件的平面方程:
(1)过点(3,4,0)与直线 x 2 y 3 z 1 ,
(1) a b ,
(2)
a b ,
(3)
b a ,
(4)3
a
1
b
,
(5)
2
a
1
b
.
2
3
4.设向量 a 和b 的夹角为
60 0 ,且
a
2, b
1,试用几何作图法画出下列各向量,并用余
弦定理计算它们的模:
(1) p 3 a 2 b, (2) q 2 a 3 b .
5.设 a, b 均为非零向量,若 a b a b ,证明 a b .
25,
y 3,
(2)
x2 y 2 (z 1)2 1,
x2 y 2 z 2 1,
(3)
x
y
0, 0,
(4)
x 2,
y
3.
40.试将下列空间曲线用参数方程表示:
(1)
z
x2
y2,
z 4,
(2)
x2 y2
a2,
x y 2z 1.
41.求平面方程.已知 (1)点(2,1,-1)是原点到这个平面的垂足, (2)过点(3,0,-2)且与平面 4x-y+2z-5=0 平行,
1
2
3
(2)过点(1,-2,1)且垂直于两个平面 x-2y+z-3=0 与 x+y-z+2=0,
(3)过直线
4x y x 5y
3z 6 z 10
0, 0,
且垂直于平面
2x-y+5z-5=0,
(4)过两条平行直线 x 3 y z 1 与 x 1 y 1 z , 212 2 12
(5)过两点(1,1,1)和(0,1,-1)且与平面 x+y+z=0 垂直.
一、单项选择题 1.下列陈述正确的是( )
A.因为 a, b 是单位向量,必有 a b
自测题
B.3 i j
C.若 a b = a c ,则必 b = c
D.若 a b a b ,则 a b
2.设, , 是一个向量的方向角,则有( ).
A.
B. sin 2 sin 2 sin 2 2
C. 2
D. , , 可以任意选取
3.已知 a 1, b 5, 且 a b =-3,则 a b =( ).
A.4 B.3 C.5 D.-4
4.设直线 L 1 :
x 1 1
y5 2
z 8 1
与直线
L
2
:
x y 2x z
6, 3,
,则
L
1
与
L
2
的夹角是(
).
A.
B.
C.
D.
(1) x 2 y 2 z 2 +2z+2x=0, (2) x 2 y 2 z 2 -2x-4y+2=0