高三数学二项式定理3
2020年浙江高考数学一轮复习： 二项式定理
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角度三：由已知条件求 n 的值或参数的值 5．(2019·浙江考前冲刺)若二项式(2x＋a x)n 的展开式中所有
项的二项式系数和为 32，x3 的系数是 160，则 n＝________， a＝________. 解析：∵2n＝32，∴n＝5，二项展开式的通项 Tr＋1＝ Cr5(2x)5－rarx2r＝C5r25－rarx5－2r，当 5－2r＝3 时，r＝4， ∴C45×2×a4＝160，解得 a＝±2. 答案：5 ±2
x
的展开式中，x2
的系数为________．
解析：x－2
1
5
x
的展开式的通项为
Tr＋1＝Cr5x5－r·－12r·x－2r＝－12rC5rx 5－32r .
令 5－32r＝2，解得 r＝2.
故展开式中 x2 的系数为－122C52＝52. 答案：52
[通法在握]
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求二项展开式中的特定项的方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk＋1＝ Cnkan－kbk 的特点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通 项求解，注意 k 的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
(1)第 m 项：此时 k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”
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[题点全练] 角度一：求展开式中的某一项
1．二项式4x2－1x6 展开式中的第 4 项为
A．－1 280x3
B．－1 280
C．240
D．－240
()
解析：4x2－1x6 展开式中的第 4 项为 T3＋1＝C36(4x2)3－1x3＝ －1 280x3，选 A.
答案：A
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2．(2019·浙江名校联考)(1＋x－2)( x－2)5 的展开式中的常数
新教材高中数学第3章排列组合与二项式定理3
3.1.3 组合与组合数第1课时 组合与组合数、组合数的性质(教师独具内容)课程标准：1.通过实例，理解组合的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式. 教学重点：理解组合的概念、组合数公式及组合数的性质. 教学难点：利用公式及性质解决一些简单的实际问题.知识点一 组合的定义一般地，从n 个不同对象中取出m (m ≤n )个对象□01并成一组，称为从n 个不同对象中取出m 个对象的一个组合.知识点二 组合与组合数公式组合数定义从n 个不同对象中取出m 个对象的□01所有组合的个数，称为从n 个不同对象中取出m 个对象的组合数表示法 □02C m n组合数乘积式C mn ＝□03公式阶乘式□04性质1.C mn ＝□05C n －mn ； 2.□06C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1n ＋1 备注①n 和m 都是自然数，且m ≤n ； ②规定：C 0n ＝□071，C 1n ＝□08n ，C nn ＝□091组合的定义包含两个基本内容：一是“取出对象”；二是“合成一组”，表示与对象的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同对象中任取m 个对象，不同点是组合是“不管对象的顺序合成一组”，而排列是要求对象按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的对象有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1n ＋1要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的对象中任取两个对象的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)若组合C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700题型一 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的对象，没有顺序，是组合问题．(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．教材判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个对象的先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1]判断下列问题是排列问题，还是组合问题：(1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？(2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a，b，c，d这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？(4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此，此问题只与取出的对象有关，与对象的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其除数、被除数的位置，其结果就不同，因此其商的值与对象的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题．(4)四人互发电子邮件，由于发件人与收件人是有区别的，与顺序有关，是排列问题.题型二组合数以及组合数性质的应用例2 (1)计算：C410－C37A33；(2)已知1C m5－1C m6＝710C m7，求C m8；(3)求C38－n3n＋C3n21＋n的值；(4)证明：m C m n＝n C m－1n－1.[解] (1)原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为＝，即＝，即，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或m ＝21(不符合题意，舍去)． ∴C m 8＝C 28＝28.即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或m ＝21(不符合题意，舍去)． ∴C m8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5.∵n ∈N ，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031 ＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·＝n ·＝n C m －1n －1.点睛(1)像排列数公式一样，公式C m n＝一般用于计算；而公式C mn＝及C m n＝A mnA mm一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N ”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C nn ＋1C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又n ∈N ，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝，m ＋1n －mC m ＋1n ＝＝，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n .(2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32.③原式＝C 1n ＋1C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .题型三 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？(3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同对象中取出2个对象的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法．点睛解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的对象之间的顺序有关，而组合问题与取出对象的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在50件产品中，有4件次品，现从中任意抽取3件． (1)“全部是合格品”的不同抽取方法共有多少种？ (2)“恰有2件次品”的不同抽取方法共有多少种？ (3)“最多有1件次品”的不同抽取方法共有多少种？ 解 在50件产品中，有4件次品，即有46件合格品．(1)抽取的3件产品“全部是合格品”，即在46件合格品中任取3件即可，有C 346＝15180种取法．(2)在46件合格品中任取1件，在4件次品中任取2件，根据分步乘法计数原理，共有C 146C 24＝276种取法．(3)分两类：第1类，抽取的3件产品中有1件次品，2件合格品，有C 14C 246种取法；第2类，抽取的3件产品全为合格品，有C 346种取法，故共有C 14C 246＋C 346＝19320种取法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 ∵C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，∴n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种 答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N ，∴n ＝6,7,8,9.∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．现有6名内科医生和4名外科医生，要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生选1人，2人，3人，4人，相应地，外科医生选4人，3人，2人，1人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知组合数C yx ＝6，则在平面直角坐标系内以点(x ，y )为顶点的图形是 ( ) A ．三角形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．矩形 答案 A解析 当x ＝6，y ＝1；x ＝6，y ＝5；x ＝4，y ＝2时，C yx ＝6，所以满足题意的点有(6,1)，(6,5)，(4,2)，共3个，可构成三角形．故选A.2．从2,3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为 ( )A ．35B ．42C ．105D ．210 答案 A解析 由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为C 37＝7×6×53×2×1＝35.3．从6名男生和3名女生中选出4名代表，其中必须有女生，则不同的选法种数为( ) A ．168 B ．45 C ．60 D ．111 答案 D解析 选出的代表中女生有1,2,3名时，男生相应有3,2,1名，则不同的选法种数为C 13C 36＋C 23C 26＋C 33C 16＝111.4．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 20192022＝( )A ．C 22020B ．C 32021 C ．C 32022D ．C 42023 答案 D解析 原式＝C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 20192022＝C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 20192022＝C 26＋C 36＋…＋C 20192022＝…＝C 20182022＋C 20192022＝C 20192023＝C 42023.故选D.5．(多选)以下四个式子正确的是( ) A ．C m n＝A mn m ！B ．A m n ＝n A m －1n －1C ．C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m D ．C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n 答案 ABCD解析 对于A ，显然成立；对于B ，A m n ＝n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n－2)…(n －m ＋1)，所以A mn ＝n A m －1n －1，故B 成立；对于C ，C mn ÷Cm ＋1n＝C mnC m ＋1n＝＝m ＋1n －m，故C 成立；对于D ，C m ＋1n ＋1＝＝＝n ＋1m ＋1C mn ，故D 成立．故选ABCD. 二、填空题6．设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，则集合A 的含有3个元素的子集共有________个． 答案 10解析 从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A 的子集，则共有C 35＝10个子集． 7．若A 3m ＝6C 4m ，则m 的值为________． 答案 7解析 由A 3m ＝6C 4m ，得＝6·，即1m －3＝14，解得m ＝7.8．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．答案 140解析 第一步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C 37种不同的选法；第二步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C 34种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有C 37C 34＝140种不同的安排方案． 三、解答题9．有两组平行线，第一组平行线有5条，第二组平行线有6条，第一组平行线与第二组平行线相交，问这两组平行线能构成多少个平行四边形？解 每一个平行四边形有两组对边平行，即两组对边平行的一个组合对应于一个平行四边形．而两组对边平行的组合数为C 25C 26＝150.因此能构成150个平行四边形．10．(1)解方程：3C x －7x －3＝5A 2x －4； (2)解不等式：2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1；(3)计算C 3n13＋n ＋C 3n －112＋n ＋C 3n －211＋n ＋…＋C 17－n 2n . 解 (1)由排列数和组合数公式，原方程可化为即(x －3)(x －6)＝40.∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x ＝11.(2)∵2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1，∴2C 3x ＋1<3C 2x ＋1，∴x －13<32，∴x <112， ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x ＋1≥2，∴x ≥2，∴2≤x <112，又x ∈N *，∴x ＝2,3,4,5.∴不等式的解集为{2,3,4,5}．(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3n ≤13＋n ，17－n ≤2n ，解得173≤n ≤132，又n ∈N *，故n ＝6.∴原式＝C 1819＋C 1718＋C 1617＋…＋C 1112＝C 119＋C 118＋C 117＋…＋C 112＝19＋18＋17＋…＋12＝124.B 级：“四能”提升训练1．(1)设x ∈N *，求C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值； (2)解不等式：C x －420＜C x －220＜C x20.11解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x ≤4， ∵x ∈N *，∴x ＝2或x ＝3或x ＝4，当x ＝2时，原式值为4；当x ＝3时，原式值为7；当x ＝4时，原式值为11.∴所求式的值为4或7或11.(2)原不等式可化为又x ∈N *且x ≥4，∴x ＝4,5,6,7,8,9,10.∴原不等式的解集是{4,5,6,7,8,9,10}．2．某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？解 (1)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，有C 120C 215＝2100种． 所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种．(2)选取2种假货有C 120C 215种，选取3种假货有C 315种，共有选取方法C 120C 215＋C 315＝2555种． 所以至少有2种假货在内的不同取法有2555种．(3)选取3种商品的种数为C 335，选取3种假货的种数为C 315，所以至多有2种假货在内的不同取法有C 335－C 315＝6090种．。
高三数学精品课件：二项式定理
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考点二 二项式系数的性质及各项系数和 (核心考点——合作探究)
[方法总结] 1．赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于 x，y 的一切值都成立．因 此，可将 x，y 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令 x， y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1 或 0”，有 时也取其他值．如： (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式 的各项系数之和，只需令 x＝1 即可．
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[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
小题纠偏
2由．二若项二式项式x－x2x－n2x展n开展式开的式第中的5 项第 5 项是常数，则自然数 n
的 AC．n4值(6为x)(n－C4－)2x4＝16Cn4Bxn．2－106 是常数项，
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1．二项式的通项易误认为是第 k 项，实质上是第 k＋1 项． 2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系 数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符 号，二项式系数仅指 Ckn(k＝0,1，…，n)．
2020届高三理科数学一轮复习 第十一章 第3节 二项式定理
令10－3 2k＝r(r∈Z)，则 10－2k＝3r，k＝5－32r，∵k∈N，∴r 应为
－2，即 k 可取 2，5，8，∴第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它
24556x－2.
规律方法 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后， 要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出 通项公式即可.
019＋C22 018＋C42
019＋…＋C22 018＋…＋C22
019
001198的值
018
A.2
B.4
C.2 019
D.2 018×2 019
解析 原式＝222 201081－9 1＝22＝4.
答案 B
4.(2018·全国Ⅲ卷)x2＋2x5的展开式中 x4 的系数为(
)
A.10
B.20
(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2 ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39， ∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3， ∴m＝－3或m＝1. 答案 (1)3 (2)1或－3
2.(选修2－3P31T4改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(
A.Cmn
B.Cmn ＋1
C.Cmn －1
D.(－1)m－1Cmn －1
解析 (x－y)n 展开式中第 m 项的系数为 Cmn －1(－1)m－1.
答案 D
3.(选修
2－3P35
练习
A1(3)改编)CC0202
019＋C12 018＋C22
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷改编)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系
高三数学总复习课件-二项式定理
明·角度
命题角度1:与整除有关的问题
【典例3】(2015·潍坊模拟)设a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整
除,则a=( )
A.0
B.1
C.11
D.12
【解题提示】将512012分解成适合二项式定理的形式.
【规范解答】选D.由于51=52-1,
(52-1)2012=
(3)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为
f(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=
f 1 f 1
, 2
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=
f 1 f 1
.
2
【变式训练】1.若 (x 1 )n 展开式的二项式系数之和为64,则展开式
x
的常数项为( )
A.10
B.20
C.30
D.120
【解析】选B.二项式系数之和2n=64,所以n=6,
Tr+1=
C6r
x6r
(
1 x
)r＝C6r
x
， 62r
当6-2r=0,即r=3时为常数项.T4= C36 =20.
2.已知 (x a )8 展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式
再令x＝-1得
C02n
C12n＋C22n
…＋
1
r
C2r n＋…
C2n 2n
1＋C22nn＝0.
两式相加得 2(C02n＋C22n＋…＋C22nn )＝22n，又 C02n ＝1，
得
2022届高三数学第10章 第2节 二项式定理
二项式定理[考试要求] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1na n－1b＋…＋C rna n－rb r＋…＋C nnb n(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝C rna n－rb r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n ，C1n，…，C nn.2．二项式系数的性质(1)0≤r≤n时，C rn 与C n－rn的关系是C rn＝C n－rn.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n为奇数时，第n＋12项和n＋32项的二项式系数最大，最大值为.3．各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C nn＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1 n ＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[常用结论](1)C0n＝1；(2)C nn＝1；(3)C mn＝C n－mn；(4)C mn＋1＝C m－1n＋C mn.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C rna n－rb r是(a＋b)n的展开式中的第r项．( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )(4)通项Tr＋1＝C rna n－rb r中的a和b不能互换．( )[答案] (1)×(2)×(3)√(4)√二、教材习题衍生1．(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为( ) A ．6 B ．－6 C ．24D ．－24A [(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C 24＝6.故选A.] 2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 3y 2的系数是( )A ．5B ．－20C ．20D ．－5A [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r (－2y)r.根据题意，得⎩⎨⎧5－r ＝3，r ＝2，解得r ＝2.所以x 3y 2的系数是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫123×(－2)2＝5.故选A.]3．C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019C 02 020＋C 22 020＋C 42 020＋…＋C 2 0202 020的值为( )A ．1B ．2C ．2 019D ．2 019×2 020A [原式＝22 01922 020－1＝22 01922 019＝1.故选A.]4．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________． 8 [令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0；令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.]考点一 二项式展开式的通项公式的应用形如(a ＋b)n 的展开式问题二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a ＋b)n 的展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r(r ＝0,1,2，…，n)求通项．②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．[典例1－1] (1)(多选)若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－3x 5的展开式中含x α(α∈R)项，则α的值可能为( ) A ．－5 B ．1 C ．2D ．7(2)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.(3)(2019·浙江高考)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．(1)ABD (2)－2 (3)16 2 5 [(1)易知⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－3x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x r ＝C r 525－r (－3)r x 10－3r ，其中r ＝0,1,2，…，5.令r ＝1，则10－3r ＝7；令r ＝3，则10－3r ＝1；令r ＝5，则10－3r ＝－5.令10－3r ＝2，则r ＝83∉N ，所以α的值可能为7,1，－5，故选ABD.(2)⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x－r 2＝C r 5a 5－r ·x10－52r ，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2. (3)由题意，(2＋x)9的通项为T r ＋1＝C r 9(2)9－r x r (r ＝0,1,2，…，9)，当r ＝0时，可得常数项为T 1＝C 09(2)9＝162；若展开式的系数为有理数，则r ＝1,3,5,7,9，有T 2, T 4, T 6, T 8, T 10共5个项．]点评：已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．形如(a ＋b)n (c ＋d)m 的展开式问题求解形如(a ＋b)n(c ＋d)m的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b)2(c ＋d)m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d)m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b)(c ＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x 2)5(1－x)2.(3)分别得到(a ＋b)n ，(c ＋d)m 的通项公式，综合考虑．[典例1－2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y)5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．20(2)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3(3)若(x 2－a)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A ．13B ．12C ．1D ．2(1)C (2)D (3)D [(1)因为(x ＋y)5的展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5x5－r y r，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y)5的展开式中x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝15.故选C. (2)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x 2项，第二个因式取1x 2项得x 2×1x2×C 45(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C 55＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.(3)由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 10x 10－2k ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－aC 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.]点评：求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．形如(a ＋b ＋c)n 的展开式问题求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．[典例1－3] (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6的展开式中，x 3y 3的系数是________．(用数字作答)(1)－160 (2)－120 [(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x)6－k·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k ·C k 6x 3－k.令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6表示6个因式x 2－2x ＋y 的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y ，其余的3个因式中有2个选x 2，剩下一个选－2x，即可得到x 3y 3的系数，即x 3y 3的系数是C 36C 23×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.]点评：二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．[跟进训练]1．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为( )A ．±2B ．12C ．－2D ．±12A [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax k ＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k x 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4.故C 46·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝1516，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝116，解得a ＝±2，故选A.]2．(2021·全国统一考试模拟演练)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x 2的系数是( )A ．60B ．80C ．84D ．120D [(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝1＋x 2[1－1＋x8]1－1＋x＝1＋x10－1＋x2x.所以x 2的系数为C 310＝120，故选择D.]3.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x －y 6的展开式中含xy 的项的系数为( ) A ．30 B ．60 C ．90D ．120B [展开式中含xy 的项来自C 16(－y)1⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5展开式通项为T r ＋1＝(－1)r C r5x5－43r ，令5－43r ＝1⇒r ＝3，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5展开式中x 的系数为(－1)3C 35，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x －y 6的展开式中含xy 的项的系数为C 16(－1)C 35(－1)3＝60，故选B.] 考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题(1)系数和问题常用“赋值法”求解赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和．(2)二项式系数和：(a ＋b)n的展开式中二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn ＝2n. [典例2] (1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为( )A ．50B ．70C ．90D ．120(2)若(x ＋2＋m)9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．(1)C (2)－3或1 [(1)令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53r x5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90，故选C.(2)令x ＝0，则(2＋m)9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39，∴(2＋m)9·m 9＝39， ∴m(2＋m)＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.]点评： (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)．(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．[跟进训练]1．在二项式(1－2x)n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )A ．－960B ．960C ．1 120D ．1 680C [因为偶数项的二项式系数之和为2n －1＝128，所以n －1＝7，n ＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x)8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(－2x)r ＝C r 8(－2)r x r，所以T 5＝C 48(－2)4x 4，其系数为C 48(－2)4＝1 120.]2．(a ＋x)(1＋x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 3 [设(a ＋x)(1＋x)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.]考点三 二项式系数的性质二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx)n (a ，b ∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1， 从而解出k 来，即得．二项式系数的最值问题[典例3－1] 设m 为正整数，()x ＋y 2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，()x ＋y 2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若15a ＝8b ，则m ＝________.7 [()x ＋y 2m 展开式中二项式系数的最大值为a ＝C m 2m ，()x ＋y 2m ＋1展开式中二项式系数的最大值为b ＝C m ＋12m ＋1，因为15a ＝8b ，所以15C m 2m ＝8C m ＋12m ＋1，即152m ！m ！m ！＝82m ＋1！m ！m ＋1！，解得m ＝7.]项的系数的最值问题[典例3－2] 已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．－8 064 －15 360x 4 [由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，故2n＝32，解得n ＝5.由二项式系数的性质知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x)5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064. 设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x)10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k C k 10·210－k·x 10－2k ，令⎩⎨⎧C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1， 得⎩⎨⎧C k 10≥2C k －110，2C k10≥C k ＋110，即⎩⎨⎧11－k≥2k，2k ＋1≥10－k 解得83≤k≤113.∵k ∈Z ，∴k ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.]点评：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C nn ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．[跟进训练]1．二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7D [根据⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x 20的展开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x)20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r ·C r 20·x20－4r 3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数且0≤r≤20，∴r ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项．]2．已知(1＋3x)n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．C 715(3x)7和C 815(3x)8[由已知得Cn －2n＋C n －1n＋C n n＝121，则12n·(n－1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T 8＝C 715(3x)7和T 9＝C 815(3x)8.]。
高三数学教案《二项式定理》四篇
高三数学教案《二项式定理》四篇教学过程篇一1.情景设置问题1：若今天是星期二，再过30天后的那一天是星期几？怎么算？预期回答：星期四，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少？问题2：若今天是星期二，再过810天后的那一天是星期几？问题3：若今天是星期二，再过天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少？在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3（提问）：对于(a+b)4，(a+b)5如何展开？（利用多项式乘法）（再提问）：（a+b)100又怎么办？(a+b)n(n?N+）呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。
也就是研究（a+b)n(n?N+）的展开式是什么？这就是本节课要学的内容。
这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性。
学完本课后，此题就不难求解了。
（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
）2.新授第一步：让学生展开；问题1：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂、另一字母升幂排列，且两个字母幂指数的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
第二步：继续设疑如何展开以及呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。
）继续新授师：为了寻找规律，我们以中为例问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项？这里的字母各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗？问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。
2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
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4 4 4
一般地，对于任意正整数
n
0 n n 1 n 1 n
n ，都有
r nr r n n n n
( a b) C a C a b C a b C b
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式 n 叫做 (a b) 的二项展开式，它共有 n 1 项， r nr r 其中C n a b 叫做二项式展开式的第 r 1 项， r nr r 也称通项，用 Tr 1 表示，即 Tr 1 C n a b ，
例1、展开下列各式：
(1)( a b)
6
1 6 (3)( 2 x ) x
7
1 4 (2)(1 ) x
例2、求 (1 2 x) 的展开式中的第4项 的二项式系数和系数。
无痛催乳 /tech/article/20170914/2017091459010.html 无痛催乳
C (r 0,1,2, , n) 叫做第r 1 项的二项式系
r n
数
说明： 1、用组合的知识理解、记忆二项式定 理。 2、二项展开式有如下特征： （1）展开式共 n 1 项 （2）展开式中各项均为a与b的n次齐 次式，其中a的指数由n逐项减少到0，b的 指数由0逐项增加到n （3）注意a、b的指数与二项式系数 的对应关系。 3、注意二项式系数与系数的区别。
1.5.1 二项式定理（一）
(a b) a 2ab b
2
2
2 2 3
(a b) a 3a b 3ab b
3
3
பைடு நூலகம்
2
( a b) ?
4 n
( a b) ?
有什么规律？
(a b) C a C a b C a b C ab C b 4 3 a ab ab ab b 0 每个都不取b的情况有1种，即 C4 种， 0 4 所以 a 的系数是 C4 1 恰有1个取b的情况有 C4 种， 1 3 所以 a b 的系数是 C4 2 恰有2个取b的情况有 C4 种， 2 2 2 所以 a b 的系数是 C4 3 恰有3个取b的情况有 C4 种， 3 3 所以 ab 的系数是 C4 4 4个都取取b的情况有 C4 种， 4 4 所以 b 的系数是 C4
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在地上的时候，夜北冥就出现在他身边接住了他。打跑那两个窝囊废之后，自己就已经身体透支坚持不住了，马上要倒地的时候感觉有人接住了 自己，快要闭上的眼睛费力的睁大了一点，只看到一个带着银色面具的女人，她的眼睛，真的好美，好像天上的星星一样。只看了一眼，将那双 星星似的眼睛印在自己的脑海中后，司无言就已经支撑不住晕过去了。第017章 司无言司无言是二十一世纪的世界佣兵组织实力最为强大的人物， 出任务无一败绩，加上他出的任务完成度极高，所以被佣兵们称为佣兵之王。被授予佣兵之王的称号后，所有嫉妒他视他为眼中钉的人。无一不 使出千方百计想要弄死他，可最后的结果都以失败告终，于是，看戏的人就说出，司无言这人是个没有弱点的人。弱点？注意到这个词，司无言 的对手或者是想要巴结他的人，都开始送他女人，当一个男人爱上了一个女人，这个女人就会成为他的弱点。妖娆的、成熟的、纯洁的，萝莉的 等等多种类型的女人都给他送过，可是司无言就没一个瞧得上的，于是想要暗杀司无言的计划再次失败。这些人就纳儿了，几乎是所有类型的女 人都送到司无言面前了，怎么司无言就这么无动于衷呢？没关系，接着送！只不过，这次送的不是女人，而是……×××酒店的总统套房中，， 刚做完任务回来的司无言，看着自己的床上躺着的正太，无语的扶了扶自己的额头。正太大约十七八的样子，身体被绑着，眼睛里含着泪花，眼 神满是惊恐，红着一张正太脸跟受了惊吓的小兔子似的看着门口站着的司无言，因为嘴里塞着一个大苹果，所以无法开口说话，只得呜呜的叫着。 司无言无语的想着，这肯定又是那帮人的杰作了。于是拿起手中的电话把自己的手下叫过来。被司无言打电话叫过来的几个手下看着床上躺着的 受害者，也是纷纷无语的抽了抽嘴角。得，之前送女人，高矮胖瘦美丑老少都送了也就算了，你送个男人是几个意思？不过心里再愤慨，也只能 老老实实的解决这件事了。至于司无言，打完电话后就离开了酒店，驱车来到了海边。夜晚的海滩上空无一人，司无言脚底下踩着柔软的沙子， 慢慢的靠近海边，直到自己的脚被海水淹没才停下脚步，深吸了一口气，张开双臂任由海风吹打着自己的身体，享受了片刻的宁静。每次敌对自 己的那帮人给自己送女人的时候，自己就能感觉到，自己的心乃至身体都在发出抗议，然后心里就会涌现出一种特别浓重的思念，就好像自己有 一个深爱的人在远方等着自己。这种感觉很清晰却又很模糊，明明好像就要碰到了却又什么都没抓住，让司无言非常的疑惑。自己确定自己从小 到大从来都没有接触过什么女人，又哪里来的这种思念爱人的感觉呢？还有梦里那双温柔的凝视着自己的双眼和那温柔的话语声都