2005-2016高中数学联赛试题汇总
2005年全国高中数学联赛试题及参考答案
二○○五年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，适当划分档次评分，55分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x 的不等式36x x k -+-³有解的实数k 的最大值是（的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 解：令36,36,y x x x =-+-££则2(3)(6)2(3)(6)2[(3)y x x x x x =-+-+--£-(6)] 6.x +-=06,y k \<£\实数的最大值为6。
选D 。
2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====D A CD B C AB 则BD AC ×的取值（取值（ ）A ．只有一个．只有一个B ．有二个．有二个C ．有四个．有四个D ．有无穷多个．有无穷多个解：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++DA CD BC AB 则22DA DA == -=×+×+×+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB+++-=×+×+×+++AB CD BC AB AB CD CD BC BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +×即BD AC CD AB BC AD BD AC ×\=--+=×,022222只有一个值得0，故选A 。
2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。
2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。
所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。
2005年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
二〇〇五年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一、选择题1.使关于x的不等式≥k有解的实数k的最大值是（）A. B. C. D.2.空间四点A、B、C、D，满足、、、，则的取值（）A.只有一个B.有两个C.有四个D.有无穷多个3.△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则的值是（）A.2B.4C.6D.84.如图，ABCD－A′B′C′D′为正方体，任作平面α与对角线AC′垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）A.S是定值，l不是定值B.S不是定值，l是定值C.S、l均是定值D.S、l均不是定值5.方程表示的曲线是（）A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线6.记集合T={0,1,2,3,4,5,6}，，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（）A. B.C. D.二、填空题7.将多项式f(x)=1-x+x2-x3+…-x19+x20表示为关于y的多项式g(y)=a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，且y=x-4，则a0+a1+…+a20=__________.8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)＜f(3a2-4a+1)成立，则实数a的取值范围是_____________.9.设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0成立，则γ-α=___________.10.如图，四面体DABC的体积为，∠ACB=45°，，则CD=_________.11.正方形ABCD的一条边在直线y=2x-17上，另外两顶点在y=x2上，则正方形面积的最小值为_____________.12.若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。
将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若a n=2005，则a5n=______.三、解答题13.数列{a n}满足a0=1，，n∈N，证明：(1)对于任意n∈N，a 为整数；(2)对于任意n∈N，a n a n+1-1为完全平方数.14.将编号为1、2、3、…、9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）.15.过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，，F在线段BC上，，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程.参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1.解：令，3≤x≤6，则..∴0＜y≤，∴实数k的最大值为.选D.2.解：注意到32+112=130=72+92，由于，则，即，∴只有一个值0.故选A.3.解：如图，连，则. ∴，同理，，∴，∴原式.选A.4.解：将正方体切去两个正三棱锥A-A′BD与C′-D′B′C后，得到一个以平行平面A′BD与D′B′C为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱A′B′剪开，展开在一张平面上，得到一个平行四边形A′B′B1A1，而多边形W的周界展开后便成为一条与A′A1平行的线段(如图E′E1)，显然E′E1=A′A1，故l为定值.当E′位于A′B′中点时，多边形W为正六边形，而当E′移至A′处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值.选B.5.解：∵，∴.∴，即sin＞sin.又，∴cos＞0，cos＜0.∴cos-cos＞0，方程表示的曲线是椭圆.∵……(*)，∴.∴.∴.∴(*)式＜0，即sin-sin＜cos-cos.∴曲线表示焦点在y轴上的椭圆.选C.6.解：用{a1a2…a k}p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得M′={a1·73+a2·72+a3·7+a4，｜a i∈T，i=1,2,3,4}={[a1a2a3a4]7|a i∈T，i=1,2,3,4 }，M′中的最大数为[6666]7=[2400]10.在十进制数中,从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396.而[396]10=[1104]7，将此数除以74,便得M中的数.故选C.二、填空题(本题满分54分，每小题9分)本题共有小题，要求直接将答案写在横线上.7.解：由题设知，f(x)和式中的各项构成首项为1，公比为-x的等比数列，由等比数列的求和公式，得.令x=y+4，得，取y=1，有.8.解：∵f(x)在(0,+∞)上定义，又；3a2-4a+1=(3a-1)(a-1)，仅当a＞1或a＜时，3a2-4a+1＞0.(*)∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴2a2+a+1＞3a2-4a+1，，∴0＜a＜5，结合(*)知.9.解：设f(x)=cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)，由x∈R，f(x)=0知，f(-α)=0，f(-γ)=0，f(-β)=0，即cos(β-α)+cos(γ-α)=-1，cos(α-β)+cos(γ-β)=-1，cos(α-γ)+cos(β-γ)=-1，∴cos(β-α)=cos(γ-β)=cos(γ-α)=-.∵0＜α＜β＜γ＜2π，∴β-α，γ-α，γ-β∈[].又β-α＜γ-α，γ-β＜γ-α，只有β-α=γ-β=.∴γ-α=.另一方面，当β-α=γ-β=，有β=α+，γ=α+.x∈R，记x+α=0，由于三点(cosθ,sinθ)，(cos(θ+),sin(θ+))，(cos(θ+),sin(θ+))构成单位圆x2+y2=1上正三角形的三个顶点，其中心位于原点，显然有cosθ+cos(θ+)+cos(θ+)=0.即cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0.10.解：∵，即.又，等号当且仅当AD=BC==1时成立，这时AB=1，AD⊥面ABC，∴DC=.11.解：设正方形的边AB在直线y=2x-17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为C(x1,y1)、D(x2,y2)，则CD所在直线l的方程y=2x+b，将直线l的方程与抛物线方程联立，得.令正方形边长为a，则a2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=20(b+1).①在y=2x-17上任取一点(6,-5)，它到直线y=2x+b的距离为a，∴②.①、②联立解得b1=3，b2=63.∴a2=80，或a2=1280.∴.12.解：∵方程的非负整数解的个数为.而使x1≥1，x i≥0(i≥2)的整数解个数为.现取m=7，可知，k位“吉祥数”的个数为P(k)=.∵2005是形如2abc的数中最小的一个“吉祥数”，且，，，对于四位“吉祥数”1abc，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数，即个，∴2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即a65=2005.从而n=65，5n=325.又，而，∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即a5m=52000.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.证明：(1)由题设得a1=5，且{a n}严格单调递增.将条件式变形得，两边平方整理得，①∴.②①-②得(a n+1-a n)(a n+1+a n-1-7a n)=0.∵a n+1＞a n，∴a n+1+a n-1-7a n=0..③由③式及a0=1，a1=5可知，对任意n∈N，a n为正整数.……10分(2)将①两边配方，得，∴.④记，由于，从而，∴④式成立.∴a n a n+1-1是完全平方数.……20分14.解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的方法有种. ……5分下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧和劣弧两条路径，对其中任一条路径，设x1，x2，…，x k是依次排列于这段弧上的小球号码，则|1-x1|+|x1-x2|+…+|x k-9|≥|(1-x1)+(x1-x2)+…+(x k-9)|=|1-9|=8.上式取等号当且仅当1＜x1＜x2＜…＜x k＜9，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此S最小=2·8=16. ……10分由上知，当每个弧段上的球号{1,x1,x2,…,x k,9}确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.在1，2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2，3，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是26种，故所求概率. ……20分15.解一：过抛物线上点A的切线斜率为，∴切线AB的方程为y=2x-1.∴B、D的坐标为B(0,-1)，D(,0).∴D是线段AB的中点. ……5分设，则由知，；.∴EF所在直线方程为，化简得.…①……10分当时，直线CD的方程为.…②联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为.……15分当时，EF方程为，CD方程为，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴.∴.∴所求轨迹方程为. ……20分解二：由解一知，AB的方程为y=2x-1，B(0,-1)，D(,0)，故D是AB的中点. (5)分令，则t1+t2=3.因AD为△ABC的中线，∴S△CAB=2S△CAD=2S△CBD.而，∴.∴P是△ABC的重心. ……10分设P(x,y)，，因点C异于A，则，故重心P的坐标为(x≠)，，消去，得.故所求轨迹方程为. ……20分。
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 F.G.online 整理 默认采用非官方解法2007联赛二试 类似九点圆如图，在锐角∆ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。
求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。
（官方解答）证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。
同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。
于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。
因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
充分性：设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O =∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆 必要性：设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = πABDCEFP1O2O注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。
因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点，也就是∆BFP 的外心，从而∠PF 1O =2π - ∠BF 1O = 2π- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以∠AFE =∠ACB ，∠PFE =2π- ∠ACB 于是，由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得： （∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP ）+ (2π - ∠ABP +2π- ∠ACB) = π ， 即∠ABP =∠ACP 。
2005年全国高中数学联赛二试及解答
2005年全国高中数学联赛试题（二）一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。
证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。
（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
） 二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+求函数zz y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值. 三、（本题满分50分）对每个正整数n ，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧=.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当n n n n f（其中[x ]表示不超过x 的最大整数，]).[}{x x x -= 试求：∑=2401)(k k f 的值.2005年全国高中数学联赛试题（二）参考答案一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。
证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。
（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
） 证明：（1）先证DE 过△ABC 的内心。
如图，连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DC 于G 、DE 于I ，连IC ，则由AD=AC ， 得，AG ⊥DC ，ID=IC. 又D 、C 、E 在⊙A 上， ∴∠IAC=21∠DAC=∠IEC ，∴A 、I 、C 、E 四点共圆， ∴∠CIE=∠CAE=∠ABC ，而∠CIE=2∠ICD ， ∴∠ICD=21∠ABC.∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+21∠ABC ，∴∠ACI=21∠ACB ，∴I 为△ABC 的内心。
2005-2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(无答案)
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题集（2005年-2016年）姓名_________班级_________2017.3目录1、2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题....................1-3页2、2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题....................4-6页3、2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题....................7-9页4、2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................10-12页5、2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................13-15页6、2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................16-18页7、2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................19-21页8、2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................22-24页9、2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................25-28页10、2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.................29-30页11、2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.................31-33页12、2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.................34-36页2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一． 选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y=f (x ) 的图像按a →=(4，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x +4)+2，那么y=f (x ) 的解析式为 ( )A ． y=sin xB ． y=cos xC ．y=sin x +2D ．y=cos x +42．如果二次方程x 2－px －q=0 (p ，q ∈N*)的正根小于3，那么这样的二次方程有 ( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个3．设a >b >0，那么a 2+1b (a －b )的最小值是 （ ）A ． 2B ． 3C ．4D ． 54．设四棱锥P －ABCD 的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α ( )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个5．设数列{a n }：a 0=2, a 1=16，a n +2=16 a n +1－63 a n (n ∈N )，则a 2005被64除的余数为 ( )A ． 0B ．2C ．16D ．486．一条走廊宽2m 、长8m ，用6种颜色的11m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多)，要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方案种数有( )A ．308B ．30257C ．30207D ．30217 二．填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.7．设向量→OA 绕点O 逆时针旋转2得→OB ，且2→OA +→OB =（7，9），则向量→OB = ．8．设无穷数列{a n }的各项都是正数，S n 是它的前n 项之和，对于任意正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，则该数列的通项公式为 ．9．函数y=|cos x |+|cos2x | (x ∈R ) 的最小值是 ．10．在长方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=2， AA 1=AD=1，点E 、F 、G 分别是棱AA 1、C 1D 1与BC 的中点，那么四面体B 1－EFG 的体积是 ．11．由三个数字1，2，3组成的5位数中，1，2，3都至少出现1次，这样的5位数共有 个．12．已知平面上两个点集：M={(x ，y )| |x +y +1|≥2(x 2+y 2)，x ，y ∈R }，N={(x ，y )| |x －a |+|y －1|≤1，x ，y ∈R }，若M ∩N ≠，则a 的取值范围为 ．三、解答题：13． 已知点M 是ABC 的中线AD 上的一点，直线BM 交边AC 于点N ，且AB 是NBC 的外接圆的切线，设BNBC=λ，试求 BM MN （用λ表示）．(15分)14．求所有使得下列命题成立的正整数n (n ≥2)：对于任意实数x 1，x 2，…，x n ，当i=1∑n x i =0时，总有i=1∑nx i x i +1≤0 (其中x n +1=x 1)．(15分)ABCDNM15．设椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR 为正三角形，求离心率e 的取值范围，并用e 表示直线PQ 的斜率．(24分)16．⑴ 若n (n ∈N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005，求n 的最小值，并说明理由；( 12分)⑵ 若n (n ∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于20022005，求n 的最小值，并说明理由．( 24分)2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的． 1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n 2－4n ＋5，则{a n }的最大项是 （ ）A ．a 1B ．a 2C ．a 3D ．a 4 2．函数y ＝3 |log 3x |的图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．3．已知抛物线y 2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有 （ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个4．设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数，若x 1＋x 2＞0，x 2＋x 3＞0，x 3＋x 1＞0，则（ ） A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＜0 C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0 D ．f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条6．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010．若的最长边为1，则最短边的长为 （ ）A ．455B ．355C ．255D ．55二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．集合A ＝｛x |x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y |y ＝5m ，m ∈N ，0≤n ≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．8．设cos2θ＝23，则cos 4θ＋sin 4θ 的值是__________________． 9．(x －3x 2)3的展开式中，x 5的系数为__________________．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，3x －y ≥0，x ＋3y －3≤0，则x 2＋y 2的最大值是__________________．11．等比数列{a n }的首项为a 1=2020，公比q ＝－12，设f (n )表示这个数列的前n 项的积，则当n ＝_________________时，f (n )有最大值．12．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB 1＝4，AD 1＝3，则对角线AC 1的取值范围是______________________________．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x |log 12(3－x )≥－2｝，B ＝｛x |2ax －a ≥1｝，若A ∩B ＝ ，求实数a 的取值范围．14．椭圆x 29＋y 24＝1的有焦点为F ，P 1，P 2，…，P 24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P 1是椭圆的右顶点，并且∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝∠P 3FP 4＝…＝∠P 24FP 1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EA C ．证明是直角．16．设p是质数，且p2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p．2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）.1．已知函数2siny x=，则（）A．有最小正周期2πB．有最小正周期πC．有最小正周期2πD．无最小周期2．关于x的不等式22200x ax a--<任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是（）A．2 B．1 C．0 D．－13．已知向量a、b，设AB=a2+b，5BC=-a6+b，7CD=a2-b，则一定共线的三点是（）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D4．设α、β、γ为平面，m、n为直线，则mβ⊥的一个充分条件是（）A．αβ⊥，nαβ=，m n⊥B．mαγ=，αγ⊥，βγ⊥C．αβ⊥，βγ⊥，mα⊥D．nα⊥，nβ⊥，mα⊥5．若m、{}22101010n x x a a a∈=⨯+⨯+，其中{}1234567ia∈，，，，，，，012i=，，，并且636m n+=，则实数对(,)m n表示平面上不同点的个数为（）A．60个B．70个C．90个D．120个6．已知()122007122007f x x x x x x x=+++++++-+-++-（x∈R），且2(32)(1),f a a f a-+=-则a的值有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题.7．设nS为等差数列{}n a的前n项和，若510S=，105S=-，则公差为 .8．设()log()af x x b=+(0a>且1)a≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点（2，8），则a+b等于 .9．已知函数()y f x=的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x xf f x xx x--⋅-+≤-+的x的取值范围为 .1030x y-+=的离心率是 .11．在ABC∆中，已知tan B=，sin3C=，AC=ABC∆的面积为.12．设命题P:2a a<，命题Q: 对任何x∈R，都有2410x ax++>. 命题P与Q中有且仅有一个成立，则实数a的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）13．设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C .过点F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.14．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===. 求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离.B 1BA 1C 1AC15．已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .16．已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx +ny的最大值为 答：___A. 2b a +B. abC. 222b a +D. 222b a +2. 设)(x f y =为指数函数xa y =. 在P (1,1)，Q (1,2)，M (2,3)，⎪⎭⎫⎝⎛41,21N 四点中，函数 )(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图像的公共点只可能是点 答：___A. PB. QC. MD. N3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么z y x ++的值为 答：___ A. 1 B. 2C. 3D. 44. 如果111C B A ∆222A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β 答：___ A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对 二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则___AB =.7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是___ (结果要求写成既约分数）. 8. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为___.9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为____________或_________.10. 在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222c b a +=______ .三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.12. A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。
高中数学历届全国高中数学联赛一试解析版
19 1999 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 97
20 2000 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 102
21 2001 年全国高数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 107
和 AB′ 相交的直线有 4 条，共面 (相交或平行)
C. 24
的直线有 2 条，与其异面的直线有 5 条：
CD′, DA′, BC′, BD, A′C′.
于是异面直线的对数为 12 ·5 2
= 30. 所以选
A.
D. 48
6. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N . M 是由 y ⩾ 0, y ⩽ x 和 y ⩽ 2 − x 这三个
7 1987 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 33
8 1988 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 37
9 1989 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 42
解答
S△ABC =
1 2 ab
sin C
⇒ C1 =Biblioteka C2 或C1 = π
− C2，于是甲
⇏
乙，乙
⇒
甲.
甲是乙的必要条件，所以选 B.
2. 条件甲：√1 + sin θ = a；条件乙：sin θ + cos θ = a. 则
2
2
()
A. 甲是乙的充分必要条件
B. 甲是乙的必要条件
C. 甲是乙的充分条件
2005年全国高中数学联赛试题及解答
2005 年高中数学联赛试卷 一、选择题 1. 使关于 x 的不等式 A ． 6 − 3 B． 3 答案：D． 解：令 y = x − 3 + 6 − x ,3 x 6, 则 y 2 = ( x − 3) + ( 6 − x ) + 2
x − 3 + 6 − x k 有解的实数 k 的最大值是
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答案：B． 解：将正方体切去两个正三棱锥 A − ABD与 C − DBC 后 ， 得 到 一个 以平 行 平 面 ABD与DBC 为上、下底面的几何体 V，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面 多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行， 将 V 的侧面沿棱 AB 剪开， 展平在一张平面上，得到一个平行四边形 ABB1 A1 ，而多边形 W 的周界展开后便成 为一条与 AA1 平行的线段（如图中 E E1 ） ，显然 E E1 = AA1 ，故 l 为定值． 当 E 位于 AB 中点时，多边形 W 为正六边形，而当 E 移至 A 处时，W 为正三 角形，易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为 定值．
∴ sin(
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2005年全国高中数学联赛试卷1．使关于x 的不等式x －3+6－x ≥k 有解的实数k 的最大值是2．空间四点A 、B 、C 、D 满足|→AB |＝3，|→BC |＝7，|→CD |＝11，|→DA |＝9．则→AC ·→BD 的取值有 个 3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cosC2sin A +sin B +sin C的值为4．如图，ABCD －A 'B 'C 'D '为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则 ( ) A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值5．方程x 2sin 2－sin 3+y 2cos 2－cos 3＝1表示的曲线是焦点在 轴上的 6．记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6}，M ＝{a 17+a 272+a 373+a 474| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )A ．57+572+673+374B ．57+572+673+274C ．17+172+073+474D ．17+172+073+3747．将关于x 的多项式f (x )＝1－x +x 2－x 3+…－x 19 +x 20表为关于y 的多项式g (y )＝a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20，其中y ＝x －4，则a 0+a 1+…+a 20＝ ； 8．已知f (x )是定义在(0，+∞)上的减函数，若f (2a 2+a +1)＜f (3a 2－4a +1)成立，则a 的取值范围 是 ； 9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x ∈R ，cos(x +α)+cos(x +β)+cos(x +γ)＝0，则γ－α＝10．如图，四面体DABC 的体积为16，且满足∠ACB ＝45︒，AD +BC +AC2＝3，则CD ＝11．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x －17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上，则该正方形面积的最小值为12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉 祥数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2005，则a 5n ＝13．数列{a n }满足a 0＝1，a n +1＝7a n +45a n 2－362，n ∈N ，证明：⑴ 对任意n ∈N ，a n 为正整数；⑵ 对任意n ∈N ，a n a n +1－1为完全平方数．14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S ，求使S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)15．过抛物线y ＝x 2上一点A (1，1)作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE EC ＝λ1；点F 在线段BC 上，满足BFFC ＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD 与EF 交于点P ，当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．A'B'C'D'DC B A 45°ADCB加试卷一、如图，在△ABC 中，设AB ＞AC ，过点A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以点A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于点D ；交直线l 于点E 、F ．证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心．二、设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．求函数f (x ，y ，z )＝x 21+x +y 21+y +z 21+z 的最小值．三、对每个正整数n ，定义函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为完全平方数，[1{n }]，当n 不为完全平方数．(其中[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ])．试求k ＝1∑240f (k )的值．2006年全国高中数学联合竞赛试题1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 形状为 ．2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为 3． A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为 ． 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为 ． 5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的 条件 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9，则2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为 ． 7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ． 9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上. 当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3． 11．方程(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005的实数解的个数为 ．12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ．13. 给定整数n ≥2，设M 0(x 0，y 0)是抛物线y 2＝nx －1与直线y ＝x 的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数k ≥2，使(x 0m ，y 0m)为抛物线y 2＝kx －1与直线y ＝x 的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5之和．记S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j ．问：⑴ 当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最大值；⑵ 进一步对任意1≤i ，j ≤5有||x i －x j ≤2，当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最小值.说明理由．15．设 f (x )＝x 2＋a . 记f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R |对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]．2006年全国高中数学联合竞赛加试试题一、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧P 0Q 0⌒交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1⌒交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1⌒交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1P 0'⌒，交AB 0的延长线于P 0'. 试证：⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒相内切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆．二、已知无穷数列{a n }满足a 0＝x ，a 1＝y ，a n ＋1＝a n a n －1＋1a n ＋a n －1，n ＝1，2，…．⑴ 对于怎样的实数x 与y ，总存在正整数n 0，使当n ≥n 0时a n 恒为常数？ ⑵ 求通项a n ．三、解方程组⎩⎨⎧x －y ＋z －w ＝2，x 2－y 2＋z 2－w 2＝6，x 3－y 3＋z 3－w 3＝20，x 4－y 4＋z 4－w 4＝66，B 1B 0C 1P 1P 0Q 1Q 0AC 02007年全国高中数学联合竞赛一试试卷1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C的平面角的余弦值为_______2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数 x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是_______3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于_______4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则acb cos =_______ 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A ∩B 为空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为_______7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则EF 与的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。