概率统计复习题1--7(含解答)

概率论与数理统计复习题（一）一．填空1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。

若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。

2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。

4．1)()(==X D X E 。

若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。

8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。

9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。

但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。

二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求： （1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。

（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。

四．X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,0,0 ,)(c x kx x f 且E(X)=32。

（1）求常数k 和c ；(2) 求X 的分布函数F(x)；五．（X,Y ）的概率密度⎩⎨⎧<<<<+=otherwise,020,42 ),2(),(y x y kx y x f 。

求 （1）常数k ；（2）X 与Y 是否独立；（3）XY ρ；六．.设X ，Y 独立，下表列出了二维随机向量（X ，Y ）的分布，边缘分布的部分概率，试将其余概率值填入表中空白处. 1y2y3yX i p1x81 2x81Y j p61七．. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.006。

用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率.概率与数理统计复习题（一） 一、填空1.P(A-B)=0.28 P(A-B)=0.3⇒⇒⎫⎫⎪⎬⎬⎭⎪⎭ P(A)=0.4分析: P(B)=0.3 P(AB)=0.28 A,B 独立 P(AB)=P(A)*P(B)=0.12 P(AB)+P(AB)=P(A)()0.1()0.3()0.4P AB P AB P A =⎫⎫⇒⇒=⎬⎬=⎭⎭P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A+B)=0.6 P(A)=0.4 P(B)=0.32.()0.8P B =[])1()1()()()1()()0()0.8()0.2P A B P A P B P AB P A P B P B P A =-+=-+-⇒--=⎫⇒=⎬=⎭分析: P(AB)=P(AB)=P(A+B{}23.0.8μ== P ｘ>0{}{}{}{}{}{}{}{}{}:2202221x 01(0)1142222240.3(4)(2)0.30.30x 2x 21x 22x 2120.5(2)0.50.50P P P F P x F F P P P P P F μμσσσσσσσμσ-=--=-≤=-=-Φ=-Φ=Φ--<<=⇒-=⇒Φ-Φ=⇒Φ==≥⇒<=-<⇒<=⇒-⎛⎫=⇒=⇒Φ=⇒=⇒ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析　x>0ｘ<2 ｘ<2{}00.8.8P x >=⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭ＹＸ{}{}4.1010P P x x e≠=-≠ =1{}{}{}{}{}k11x k e P x=k e k!x , k!x 01x 0x x 111x 01eP P P E D P λλλ--⎫⎫===⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪≠=-===⇒=⎭⎭≠=-分析: a. 服从泊松分布则{}{}{}x x 0x 01x 01P P =⇒≠=-==ｂ.服从均匀分布,属连续分布,则P =0 {}65.x n 0.4P =={}n n n-n n n :x ~b(n,p)x npn 6p x np(1-p)x~b(n,p)P x=n p q p E(x)=2.4 D(x)=1.44 E D C ⇒=⎫⇒=⎫⎪⎪=⇒⎬⎬⇒==⎪⎭⎪⎭分析 =0.4 {}6x n 0.4P == 6.(x 2y 1)6D -+=:(x 2y 1)(x 2y)x (2y)cov(x,2y)x 4y 2cov(x,y)x 4y-2(Exy-ExEy)(x 2y 1)6E(x)=E(y)=0 Dx=Dy=2 Exy=1D D D D D D D D D -+=-=++-=+-=+⎫⇒-+=⎬⎭分析 {}17.2x y 1()0.5xy 05P P -<-<-=Φ-= {}2x ~(0,9)x y~N(-1,5)(x y)x y 011:y ~(1,16)(x y)x y 91625x y (1)(2)x,y N E E E N D D D F F ⎫⎫-=-=-=-⎧⎫⎪⎪⇒⇒⇒⎬⎨⎬⎬-=+=+==---⎩⎭⎪⎪⎭⎭-　分析P -2<-<-1相互独立{}x y x y cov(x,y)=0xy cov(x,y)xy=Dx y D ρρΦΦΦΦΦ⇒⎫⎪⇒⎬⎪⎭-1-(-1)-2-(-1)11P -2<-<-1=()-()=(0)-(-)=()-0.55555,相互独立　=0{}x ≥78.P 2<<8　9{}{}{}{}22xx x 127x x x 53x 53139x 2D P P D εε⎫<≥-⎪⎪⎪⇒=-<⇒-<≥-=⎬⎪=⎪⎪⎭P -E 分析:由切比雪夫不等式 E =5 P 2<<8^29.θ^^^^1222^^^^^^2222^^^111111122^^^^^^222222222^^12()()()()()()()():()()()()()()()()()()E E E D E E E D E D D D E E E D E E E θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎫⇒==⎪⎪=-⇒=+⎪⇒>⇒⎬⎪=-⇒=+⎪⎪>⎭与均是未知参数的无偏估计分析更有效 10.,,高小变大12:()0.10.20.030.27()0.030.3P B P A A ⎫⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⇒=+-=⎬⎪⇒=⎬⎪⎪⎪⎪⇒=⎪⎪⎪⎭⎭121212*********二.解:A 甲河流泛滥 A :乙河流泛滥 B:某地区受灾P(B)=P(A +A )=P(A )+P(A )-P(A A )P(A )=0.1(1)P(A )=0.2A P(A A )P()=0.3A P(A ) 120.03(2)()0.150.2A P A ===122P(A A )P(A ) i 12333ii 3i i 3i 1i 1i i 222.:()0.2,()0.6,()1()()*()*(0.3)(0.7)*()0.2286()*()()0.496()A B B B B P P P A A A B B P B P A P C P A A B P A P A A P BP B -============∑∑三解设敌机中了弹 敌机被击落四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有①⎩⎨⎧⎰⎰==⋅cc x f x f x 001)(32)( 即⎩⎨⎧⎰⎰==cc kxdx dx kx 002132}⇒{12==c k②由①知x 的密度函数为{1020)(<<=x x x f 其他当x 时0≤ ()0=x F ； 当10<<x 时()()202x tdt dt t f x F xx ===⎰⎰∞-当1≥x 时 ()()⎰⎰===∞-112xdx dt t f x F x()110102≥<<∞≤⎪⎩⎪⎨⎧=∴x x x x x F五、由（x 、y ）联合密度的性质有： ①．()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1,dxdy y x 即()361124220=⇒=+⎰⎰k dxdyy kx ②． 由①可求出（x ，y ）的联合密度：()()其他20,,4202361,<<<<⎪⎩⎪⎨⎧+=y x y x y x f()()()x dy y x dy y x f x f X 612361,20=+==⎰⎰()20<<y ()()()()y dx y x dx y x f y f Y +=+==⎰⎰+∞∞-2612361,42 ()42<<x()⎪⎩⎪⎨⎧∴061x x f X 其他20<<y ()()⎪⎩⎪⎨⎧+=0261y y f Y 其他42<<x ()()()y f x f y x f Y X ⋅=∴, 故x, y 相互独立。

③． 由②知()y x ,相互独立。

0=∴xy ρ六、略七、解：令x 为一年内死亡人数，题中10000人投标，每人每年死亡率0.006且每人每年死亡相互独立，故x~ N （10000*0.006，10000*0.006*0.994）即x~ N （60，59.64）设A ：保险公司一年内的利润不少于60000元。

即A ：10000*12-1000x ≥6000060≤⇒x()()()5.0064.59606060}60{000=Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=Φ=≤=x P A P5.060000元的概率为不少于该保险公司一年的利润∴概率复习题（三）答案6. 解：（1）假设 01: 1.23;: 1.23H H μμ=≠. 当0H 为真，检验统计量 )1(~/0--=n t nS X T μ0.0252(1)(4) 2.7764t n t α-== ， 拒绝域 (, 2.7764][2.7764,)W =-∞-⋃+∞221.246,0.0288x s ==， [ 221.23,0.0224x s == ]0 1.242T W =∉，接受0H . [ W T ∈=571.30，拒绝0H ]（2）假设 222201:0.015;:0.015H H σσ=>. 当0H 为真，检验统计量 )1(~)1(2222--=n S n χσχ220.05(1)(4)9.488n αχχ-==， 拒绝域 [9.488,)W =+∞. 2014.86W χ=∈，拒绝0H .概率论与数理统计复习题（二）本复习题中可能用到的分位数：8595.1)8(95.0=t ，8331.1)9(95.0=t ，306.2)8(975.0=t ，2662.2)9(975.0=t 。