高中北师大版数学必修五 模块学习评价

模块学习评价(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞b ＞c ，则一定成立的不等式是( ) A ．a |c |＞b |c | B ．ab ＞ac C ．a －|c |＞b －|c | D.1a ＜1b ＜1c 【解析】 ∵a ＞b ，∴a －|c |＞b －|c |. 【答案】 C2．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为( ) A ．－14 B.14 C ．－23 D.23【解析】 由正弦定理知，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4， 设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，(k ＞0)，由余弦定理得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋4k 2－16k 22×3k ×2k ＝－14.【答案】 A3．(2013·洋浦高二检测)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，A ＝30°，则B 为( ) A ．60° B ．60°或120° C ．30° D ．30°或150°【解析】 根据正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝23×sin 30°2＝32，∴B ＝60°或120°，∵b >a ，故两解都符合题意． 【答案】 B4．不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集是(－2，3)，则a ＋c 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14 D ．－14【解析】 不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集是(－2，3)，即方程ax 2＋2x ＋c ＝0的解为x ＝－2或x ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－2a ，－2×3＝c a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，c ＝12，∴a ＋c ＝10.【答案】 A5．设{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 5 B ．S 4＝S 5 C ．S 6＜S 5 D ．S 6＝S 5【解析】 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋7d ＝6解得d ＝2，a 1＝－8.则a 4＝－2，a 5＝0，a 6＝2，∴S 4＝S 5. 【答案】 B6．(2013·乌鲁木齐高二检测)已知U 为实数集，M ＝{x |x 2－2x <0}，N ＝{x |y ＝x －1}，则M ∩(∁U N )等于( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x <2}C ．{x |x <1}D ．∅【解析】 不等式x 2－2x <0可化为x (x －2)<0， 所以M ＝{x |0<x <2}， 又因为N ＝{x |x ≥1}， 所以∁U N ＝{x |x <1}，M ∩(∁U N )＝{x |0<x <2}∩{x |x <1}＝{x |0<x <1}． 【答案】 A7．不等式组⎩⎨⎧（x －y ＋5）（x ＋y ）≥0，0≤x ≤3表示的平面区域是( )A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形【解析】 画出图形可知：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋5）（x ＋y ）≥00≤x ≤3表示的平面区域是等腰梯形．【答案】 D8．(2013·惠州高二检测)若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 由AB →·BC→＋AB →2＝0，得c 2＝－ac ·cos(π－B )， ∴cos B ＝c a ，根据余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝c a ，整理得a 2＝c 2＋b 2，所以该三角形为直角三角形．【答案】 A9．等比数列{a n }是递增数列，若a 5－a 1＝60，a 4－a 2＝24，则公比q 为( ) A.12 B ．2 C.12或－2 D ．2或12【解析】 由已知得a 1q 4－a 1＝60，a 1q 3－a 1q ＝24，两式相除得q ＝2或12，经检验q ＝2或12均满足{a n }是递增数列，故选D.【答案】 D10．(2013·丰台高二检测)已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝1－1a n －1(n ≥2)，则a 2 012＝( )A ．－12B ．－23 C.35 D.52【解析】 由a n ＝1－1a n －1及a 1＝35得a 2＝－23，a 3＝52，a 4＝35，a 5＝－23，…，所以数列中的项呈周期出现，周期为3，于是a 2 012＝a 670×3＋2＝a 2＝－23.【答案】 B11．(2012·辽宁高考)设变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为()A ．20B ．35C ．45D ．55【解析】 不等式组表示的区域如图所示，所以过点A (5，15)时2x ＋3y 的值最大，此时2x ＋3y ＝55.【答案】 D图112．如图1，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年【解析】 由图像知，函数过点(6，11)，可设y ＝a (x －6)2＋11，把点(4，7)代入得7＝a (4－6)2＋11，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －6)2＋11＝－x 2＋12x －25.∴平均利润y x ＝－x 2＋12x －25x ＝－(x ＋25x )＋12≤－2x ×25x ＋12＝2.这时x ＝25x 即x ＝5.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为(－∞，－1)∪(12，＋∞)，则实数a ＝________．【解析】 由题意知 x ＝－1和x ＝12是方程(x －a )·(x ＋1)＝0的两个根，∴a ＝12. 【答案】 1214．等比数列{a n }的前n 项和为2n －1，则数列{a n 2}的前n 项和为________． 【解析】 设{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝2n －1， ∴n ≥2时S n －1＝2n －1－1，∴a n ＝S n －S n －1＝2n －1，n ＝1时也适合上式， ∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，故a n 2＝4n －1.易知{a n 2}为以1为首项，以4为公比的等比数列， ∴其前n 项和为1－4n 1－4＝4n －13.【答案】 13(4n －1)15．设x ，y 为正实数，且x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________． 【解析】 2x ＋1y ＝(2x ＋1y )×1＝(2x ＋1y )·(x ＋y 2)＝32＋y x ＋x 2y ≥32＋2y x ·x 2y ＝3＋222，当且仅当⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y x ＝x 2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－22，y ＝22－2，时等号成立． 【答案】3＋22216．(2013·哈师大附中高二检测)如图2，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A 点出发沿正北方向行进x m 到达B 处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x ＝________．图2【解析】 ∠ABC ＝180°－105°＝75°，∠BCA ＝180°－135°＝45°，∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°， 又AB ＝x ，BC ＝10，∴x sin 45°＝10sin 60°. 得x ＝10sin 45°sin 60°＝1063. 【答案】 1063三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角所对的边，若△ABC 面积S △ABC ＝32，c ＝2，A ＝60°，求a 、b 的值．【解】 ∵32＝12b ×2×sin 60°， ∴b ＝1，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝3，即a ＝ 3.18．(本小题满分12分)(2013·福州高二检测)已知不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为{x |x <－12，或x >2}．(1)求m ，n 的值；(2)解关于x 的不等式：(2a －1－x )(x ＋m )>0，其中a 是实数．【解】(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－12＋2＝－n m ，－12×2＝－1m2得m ＝－1，n ＝32.(2)原不等式为(2a －1－x )(x －1)>0即[x －(2a －1)](x －1)<0. ①当2a －1<1，即a <1时，原不等式的解集为{x |2a －1<x <1}． ②当2a －1＝1即a ＝1时，原不等式的解集为∅.③当2a －1>1即a >1时，原不等式的解集为{x |1<x <2a －1}．19．(本小题满分12分)某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离为12 6 n mile ；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile .货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求：(1)A 处与D 处之间的距离； (2)灯塔C 与D 处之间的距离．【解】 (1)在△ABD 中，由已知得∠ADB ＝60°，B ＝45°.由正弦定理得AD ＝AB sin B sin ∠ADB＝126×2232＝24(n mile )．(2)在△ADC 中，AC ＝83，AD ＝24， ∠CAD ＝30°，由余弦定理得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30° ＝242＋(83)2－2×24×83cos 30° ＝3×64，∴CD ＝83(n mile )．所以A 处与D 处之间的距离为24n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为8 3 n mile . 20．(本小题满分12分)某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时，又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？【解】设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝2x ＋3y . 作出可行域：把直线l ：2x ＋3y ＝0向右上方平移至l ′的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z ＝2x ＋3y 取最大值，解方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝83x ＋y ＝9，得M 的坐标为(2，3)．故每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润．21．(本小题满分12分)(2013·黄冈高二检测)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a n 2－1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1；S n ＝3n ＋n （n －1）2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a n 2－1＝1（2n ＋1）2－1＝14·1n （n ＋1）＝14·(1n －1n ＋1)，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n4（n ＋1），即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4（n ＋1）.22．(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和f (n )＝(前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以10万元出售该厂，问哪种方案更合算？【解】 由题意知，f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n （n －1）2×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)由f (n )＞0，即－2n 2＋40n －72＞0，解得2＜n ＜18. 由n ∈N ＋知，从第三年开始盈利．(2)方案①：年平均纯利润f （n ）n ＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16当且仅当n ＝6时等号成立．高中北师大版数学必修五模块学习评价故方案①共获利6×16＋48＝144(万元)，此时n＝6.方案②：f(n)＝－2(n－10)2＋128.当n＝10，f(n)max＝128. 故方案②共获利128＋10＝138(万元)．比较两种方案，选择第①种方案更合算．。