2019教育第一章 §2 21 条件概率与独立事件数学

[例 3] 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统 计甲、乙、丙三人 100 m 跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称为合 格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的 100 m 跑 的成绩进行一次检测，则
(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大？
[一点通] (1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝ P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是 用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握．
(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的 角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的 发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就 不是相互独立事件．
4．若 A 与 B 相互独立，则下面不是相互独立事件的是( )
A．A 与 A
B．A 与 B
C. A 与 B
D. A 与 B
解析：当 A，B 相互独立时，A 与 B ，A 与 B 以及 A 与 B
都是相互独立的，而 A 与 A 是对立事件，不相互独立． 答案：A
5．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”， B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立． 解：抽到老 K 的概率为 P(A)＝542＝113，抽到红牌的概率 P(B)＝2562＝12，故 P(A)P(B)＝113×12＝216，事件 AB 即为 “既抽得老 K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老 K 或方 块老 K”，故 P(AB)＝522＝216，从而有 P(A)P(B)＝P(AB)， 因此 A 与 B 互为独立事件.
有这样一项活动：甲箱里装有 3 个白球、2 个黑球， 乙箱里装有 2 个白球、2 个黑球，从这两个箱子里分别摸 出 1 个球，记事件 A＝{从甲箱里摸出白球}，B＝{从乙箱 里摸出白球}．
问题 1：事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？ 提示：不影响． 问题 2：试求 P(A)，P(B)，P(AB)． 提示：P(A)＝35，P(B)＝12，P(AB)＝35× ×24＝130.
[精解详析] (1)设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A， “再摸出 1 个白球”为事件 B，则“先后两次摸到白球”为 AB，先摸 1 球不放回，再摸 1 球共有 4×3 种结果．
∴P(A)＝24× ×33＝12，P(AB)＝24× ×13＝16. ∴P(B|A)＝PPAAB＝13. (2)设“先摸出 1 个白球放回”为事件 A1，“再摸出 1 个 白球”为事件 B1，两次都摸到白球为事件 A1B1.
问题1：试求P(A)，P(B)，P(A∩B)． 提示：P(A)＝19030，P(B)＝19000，P(A∩B)＝18050.
问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)， 求它的长度(即A发生)也合格的概率．
提示：若用 A|B 表示上述事件，则 A|B 发生相当于从 90 件产品中任取 1 件长度合格，其概率为 P(A|B)＝8950.
6．先后抛掷一枚骰子两次，则两次都出现奇数点的概率为 ________．
答案：14
7．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命 中率分别为12和 P，且乙投球 2 次均未命中的概率为116.求： (1)乙投球的命中率 P； (2)甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率．
解：设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命 中”为事件 B，则 A，B 相互独立． (1)法一：由题意，得(1－P(B))2＝(1－P)2＝116. 解得 P＝34或 P＝54(舍去)． ∴乙投球的命中率为34.
∴P(A1)＝42××44＝12，P(A1B1)＝24× ×24＝14.
1 ∴P(B1|A1)＝PPAA1B11＝41＝12.
2
故先摸 1 个白球不放回，再摸出 1 个白球的概率为13；先
摸 1 个白球后放回，再摸出 1 个白球的概率为12.
[一点通] 求条件概率一般有两种方法： 一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的 办法来计算，P(B|A)＝nnAAB，其中 n(AB)表示事件 AB 包含 的基本事件个数，n(A)表示事件 A 包含的基本事件个数． 二是直接根据定义计算，P(B|A)＝PPAAB，特别要注意 P(AB)的求法．
1．由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的； 另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为P(B|A)， 其值不一定等于P(B)．
2．事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B 发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率．
[例1] 一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么： (1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？ [思路点拨] 先摸出1个白球后放回或不放回，影响到 后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的 不同．
(2)三人都不合格的概率： P0＝P(－A －B －C )＝P(－A )P(－B )P(－C )＝35×14×23＝110. (3)恰有两人合格的概率： P2＝P(AB－C )＋P(A－B C)＋P(－A BC) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13 ＝2630.
恰有一人合格的概率： P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2630－110＝2650＝152. 结合(1)(2)可知 P1 最大． 所以出现恰有 1 人合格的概率最大．
问题3：如何理解问题2? 提示：在质量合格的情况下，长度又合格，即事件B
发生的条件下事件A发生．
问题4：试探求P(B)，P(A∩B)，P(A|B)间的关系． 提示：P(A|B)＝PPA∩BB.
条件概率 (1)概念 事件 B 发生的条件下，A 发生的概率，称为 B发生时A 发生 的条件概率，记为 P(A|B)． (2)公式 P(A|B)＝PPA∩BB(其中，A∩B 也可记成 AB)． (3)当 P(A)>0 时，A 发生时 B 发生的条件概率为 P匀的硬币，令A＝{硬币 甲出现正面}，B＝{硬币乙出现正面}，验证事件A，B是 相互独立的．
[思路点拨] 判定两复杂事件是否独立应借助定义判 断，即判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立，再作出结论．
[精解详析] 掷甲、乙两枚硬币的所有可能情形为 Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}． 事件 A 中含 2 个基本事件，事件 B 中含 2 个基本事件， 事件 AB 中含 1 个基本事件． ∴P(A)＝24＝12，P(B)＝24＝12， P(AB)＝14.∴P(AB)＝P(A)P(B)． ∴事件 A，B 是相互独立的．
法二：由题意，得 P( B )·P( B )＝116. ∴P( B )＝14或 P( B )＝－14(舍去)， ∴P(B)＝1－P( B )＝1－14＝34. 即乙投球的命中率为34. (2)由题意知，P(A)＝12，P( A )＝12.
法一：甲投球两次，至少命中一次的概率为 1－P( A ·A )＝1－P( A )P( A )＝1－12×12＝34. 法二：甲投球两次，至少命中一次的概率为 P(A A ＋ A A＋AA)＝P(A A )＋P( A A)＋P(AA) ＝12×12＋12×12＋12×12＝34.
2．已知 P(A|B)＝12，P(B)＝13，则 P(AB)＝________. 解析：∵P(A|B)＝PPABB， ∴P(AB)＝P(A|B)P(B)＝12×13＝16. 答案：16
3．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录， 知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%， 两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
解：设“甲地为雨天”为事件 A，“乙地为雨天”为事件 B， 由题意，得 P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12. (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(A|B)＝PPABB＝00..1128≈0.67. (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A)＝PPAAB＝00.1.22＝0.60.
[思路点拨] 若用A，B，C表示甲、乙、丙三人100 m 跑的成绩合格，则事件A，B，C相互独立．
[精解详析] 记“甲、乙、丙三人 100 m 跑成绩合格”分 别为事件 A，B，C，显然事件 A，B，C 相互独立，
则 P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13. 设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率： P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.
[一点通] (1)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情 形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n 个事件同 时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：①首先确定 各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件发生的概率，再求其积．
(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝CC13C52 12·CC5223＝160·130＝590. 故第一次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球，第二 次取出的 2 个球都是白球的概率是590.
1．计算条件概率要明确： (1)准确理解条件概率的概念，条件概率中的两个事 件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约； (2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发 生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的 条件下发生”的概率之间的关系．
1．抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果
为 Ω＝{1,2,3,4,5,6}，记事件 A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，
则 P(A|B)＝
()
1
1
A.2
B.5
2
3
C.5
D.5
解析：P(B)＝56，P(A∩B)＝13，