最新高中数学--条件概率与独立事件二项分布

高中数学--条件概率与独立事件二项分布1．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12 B.512 C.14D.16【解析】 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝23×14＋13×34＝512. 【答案】 B2．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1]B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1]【解析】 设事件A 发生的概率为p ，则C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A.【答案】 A3．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能【解析】 p 1＝1－⎝⎛⎭⎫1－110010＝1－⎝⎛⎭⎫9910010 ＝1－⎝⎛⎭⎫9 80110 0005，p 2＝1－⎝⎛⎭⎫C 299C 21005＝1－⎝⎛⎭⎫981005则p 1<p 2. 【答案】 B4．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__________． 【解析】 由1－P 2＝1625，得P ＝35.【答案】 355．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率． 【解】 (1)P ＝⎝⎛⎭⎫1－132×13＝427. 所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为427；(2)6场胜3场的情况有C 36种， ∴P ＝C 36⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫1－133＝20×127×827＝160729. 所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160729.课时作业【考点排查表】1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( )A.35 B.34 C.12D.310【解析】 在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有2个白球和2个黑球共4个球，所以取到白球的概率P ＝24＝12，故选C.【答案】 C2．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164B.5564C.18D.116【解析】 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率P ＝1－P (T )P (R )P (C )P (D )＝5564. 【答案】 B3．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.66 【解析】 甲市为雨天记为事件A ，乙市为雨天记为事件B ，则P (A )＝0.2，P (B )＝0.18， P (AB )＝0.12，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.2＝0.6. 【答案】 A4．(2013·九江模拟)某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A.81125B.54125C.36125D.27125【解析】 P ＝C 23×0.62×0.4＋0.63＝81125. 【答案】 A5．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( )①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件； A ．②④ B ．①③ C ．②③D ．①④【解析】 由题意知P (B )的值是由A 1，A 2，A 3中某一个事件发生所决定的，故①③错误；∵P (B |A 1)＝P (B ∩A 1)P (A 1)＝12×51112＝511，故②正确；由互斥事件的定义知④正确，故正确的结论的编号是②④.【答案】 A6．在一次反恐演习中，三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别是0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹击中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率是( )A ．0.998B ．0.046C ．0.936D ．0.954【解析】 法一：(直接求解)P ＝0.9×0.9×0.2＋0.9×0.1×0.8＋0.1×0.9×0.8＋0.9×0.9×0.8＝0.954. 法二：(排除法)P ＝1－(0.9×0.1×0.2＋0.1×0.9×0.2＋0.1×0.1×0.8＋0.1×0.1×0.2)＝0.954. 【答案】 D 二、填空题7．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是__________．【解析】 设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A 、B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710，∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝25×710＝725.【答案】7258．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__________．【解析】 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.【答案】 0.1289．将一枚硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为__________．【解析】 由题意知，正面可以出现6次，5次，4次，所求概率P ＝C 66⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 46⎝⎛⎭⎫126＝1＋6＋1564＝1132. 【答案】113210．(2013·聊城模拟)某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是12，两次闭合都出现红灯的概率为16.在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率为____________．【解析】 “第一次闭合后出现红灯”记为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”记为事件B ，则P (A )＝12，P (AB )＝16.∴P (B |A )＝1612＝13.【答案】 13三、解答题11．(2013·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)【解】 (1)由已知，得25＋y ＋10＝55，x ＋y ＝35 所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得p (X ＝1)＝15100＝320，p (X ＝1.5)＝30100＝310，p (X ＝2)＝25100＝14，p (x ＝2.5)＝20100＝15，p (X ＝3)＝10100＝110.X 的分布为X 的数学期望为E (X )＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9(2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)． 由于顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以 P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1) ＝320×320＋320×310＋310×320＝980. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 12．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：(1)至少有1株成活的概率； (2)两种大树各成活1株的概率．【解】 设A k 表示第k 株甲种大树成活，k ＝1,2，B l 表示第l 株乙种大树成活，l ＝1,2. 则A 1，A 2，B 1，B 2独立，且P (A 1)＝P (A 2)＝56，P (B 1)＝P (B 2)＝45.(1)至少有1株成活的概率为 1－P (A 1·A 2·B 1·B 2)＝1－P (A 1)·P (A 2)·P (B 1)·P (B 2) ＝1－(16)2(15)2＝899900.(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为 P ＝C 12(56)(16)·C 12(45)(15)＝1036×825＝80900＝445. 四、选做题13．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．【解】(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A＋B·C，P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3，P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B·C)＝P(A)＋P(B)P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.40.(2)记A0表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；A1表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用；A2表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用．A2＝A0＋A1.P(A0)＝(1－0.4)4＝0.129 6，P(A1)＝4×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6，P(A2)＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.129 6＋0.345 6＝0.475 2，P(A2)＝1－P(A2)＝1－0.475 2＝0.524 8.。