2.3条件概率与独立事件
北师大版数学【选修2-3】练习：2.3 条件概率与独立事件(含答案)
第二章 §3一、选择题1．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )A ．1B ．0.629C ．0D ．0.74或0.85[答案] B[解析] 事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生，依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为0.85×0.74＝0.629.2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34[答案] C[解析] 依题意得P (A )＝12，P (B )＝16，事件A ，B 中至少有一件发生的概率等于1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－(1－12)×(1－16)＝1－512＝712.3．(2014·哈师大附中高二期中)一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是( )A.12 B.13 C.14 D.23[答案] A[解析] 解法1：设A ＝“第一次取到二等品”，B ＝“第二次取得一等品”，则AB ＝“第一次取到二等品且第二次取到一等品”，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝2×35×42×3＋3×25×4＝12.解法2：设一等品为a 、b 、c ，二等品为A 、B ，“第二次取到一等品”所含基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(b ，a )，(b ，c )，(c ，a )，(c ，b )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )共12个，其中第一次取到一等品的基本事件共有6个，∴所求概率为P ＝612＝12.二、填空题4．3人独立地破译一个密码，每人破译出密码的概率分别为15，14，13，则此密码被破译出的概率为________．[答案] 35[解析] 可从对立事件考虑，此密码不被译出的概率是⎝⎛⎭⎫1－15×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－13＝45×34×23＝25，所以此密码被破译出的概率是1－25＝35. 5．若P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，P (AB )＝0.2，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________. [答案] 23 25[解析] P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.20.3＝23，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.20.5＝25. 三、解答题6．(2014·陕西理，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率．[解析] (1)设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000， 300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800，P (X ＝4000)＝P (A －)P (B －)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3季的利润均不少于2000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2000元的概率为P (C －1C 2C 3)＋P (C 1C －2C 3)＋P (C 1C 2C －3)＝3×0.82×0.2＝0.384， 所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为 0．512＋0.384＝0.896.一、选择题1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56 B.910 C.215 D.115[答案] C[解析] 本题主要考查由条件概率分式变形得到的乘法公式，P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故选C. 2．假日期间，甲去黄山的概率是14，乙去黄山的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是( )A.320 B.15 C.25 D.920 [答案] C[解析] 设甲、乙去黄山分别为事件A 、B ，则P (A )＝14，P (B )＝15，∴P ＝1－P (A B )＝1－34×45＝25.3．甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女同学15名，则在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率为( )A.12B.13 C.14 D.15[答案] A[解析] 设“碰到甲班同学”为事件A ，“碰到甲班女同学”为事件B ，则P (A )＝37，P (AB )＝37×12，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12，故选A.4．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12[答案] B[解析] ∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. 5．已知每门大炮射击一次击中目标的概率是0.3，现用n 门这样的大炮同时对某一目标射击一次，若要使目标被击中的概率超过95%，则n 的最小整数值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11[答案] B[解析] 把每门大炮射击一次看成做了一次试验，击中目标看成试验成功，则试验成功的概率为0.3，用X 表示这n 门大炮击中目标的次数．事件“目标被击中”即{X >0}，则“目标被击中”的概率为P (X >0)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－0.3)n .为使目标被击中的概率超过95%，则有1－(1－0.3)n >95%，解得n >8.4.根据实际意义，至少要用9门这样的大炮才能使目标被击中的概率超过95%，即n 的最小整数值为9.二、填空题6．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．[答案] 0.128[解析] 由题设，分两类情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由概率乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；(2)第1、2个错误，第3、4个正确， 此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6.由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． [答案] ②④[解析] P (B )＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝5×510×11＋2×410×11＋3×410×11＝922，故①⑤错误；②P (B |A 1)＝5×510×1112＝511，正确；③事件B 与A 1的发生有关系，故错误； ④A 1，A 2，A 3不可能同时发生，是互斥事件． 三、解答题8．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？[分析] 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙为雨天”，则根据题意有P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，P (A ∩B )＝0.12.问题(1)为求P (A |B )，(2)为求P (B |A )．[解析] 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则 (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝0.120.18＝0.67. (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝0.120.20＝0.60. [点评] 要弄清所求事件的概率是在什么条件下的发生的概率，以便正确地运用条件概率公式．9．(2014·北京理，16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛互相独立)：(1)的概率； (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x －为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x －的大小．(只需写出结论)[解析] (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝A B －∪A －B ，A ，B 独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25，P (C )＝P (A B －)＋P (A －B ) ＝35×35＋25×25 ＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.10．(2012·全国大纲文，20)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙在一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．[解析] 记A 1表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B 1表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A ) ＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A ) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36， P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48， P (B 2)＝0.42＝0.16， P (A 2)＝0.62＝0.36. C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2 P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16 ＝0.307 2.。
高二选修2-3概率与统计知识点
高二选修2-3概率与统计知识点在高二数学的选修课中，学生将学习到概率与统计这一重要的数学领域。
概率与统计是数学中一门与实际生活息息相关的学科，它帮助我们了解和分析事件的可能性和数据的分布规律。
本文将介绍高二选修2-3概率与统计的知识点。
1. 随机事件与概率随机事件是指在相同的条件下，可能发生也可能不发生的事件。
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用一个介于0到1之间的数来表示。
概率的计算可以通过频率法、古典概型和几何概型等方法进行。
2. 条件概率与独立事件条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算可以利用乘法法则得出。
如果两个事件的发生与对方无关，则称它们为独立事件。
独立事件的概率计算可以利用乘法法则简化。
3. 排列与组合排列是指从一组不同的元素中按一定的顺序选取若干个元素的方式。
组合是指从一组不同的元素中无序选取若干个元素的方式。
排列和组合的计算可以通过阶乘等方法进行。
4. 随机变量与概率分布随机变量是指随机试验结果的数值表示。
它可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
概率分布是描述随机变量可能取值及其对应概率的函数。
常见的概率分布有离散型概率分布如二项分布和泊松分布，以及连续型概率分布如正态分布和指数分布。
5. 期望与方差期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。
方差是随机变量取值与其期望值之间的差异程度的度量，用来描述随机变量的波动情况。
期望和方差的计算可以利用概率分布函数进行。
6. 统计推断与假设检验统计推断是根据样本数据对总体进行估计和推断的过程。
假设检验是通过对样本数据进行统计推断来判断对总体的某个假设是否成立。
常用的统计推断方法有点估计、区间估计和假设检验等。
以上是高二选修2-3概率与统计的主要知识点。
通过学习这些知识，学生可以更好地理解和应用概率与统计在实际问题中的作用，例如预测天气变化、分析市场需求等。
概率与统计不仅是数学领域的重要内容，也是培养学生分析问题和决策能力的重要途径。
概率与统计中的条件概率与独立事件
概率与统计中的条件概率与独立事件概率与统计是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，例如生物学、物理学、经济学等。
其中条件概率与独立事件是概率与统计中的两个重要概念。
本文将就条件概率与独立事件进行深入探讨。
一、条件概率条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。
假设有两个事件A和B，那么在事件B发生的前提下，事件A发生的概率即为条件概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“A在B条件下发生的概率”。
在计算条件概率时，我们可以使用以下公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
举个例子来说明条件概率的计算方法。
假设有一批产品，其中有10个产品属于A型，90个产品属于B型。
现从中随机抽取一个产品，请问该产品是A型的概率是多少？首先，我们可以计算出产品是A型的概率，即 P(A) = 10 / (10 + 90) = 1/10 = 0.1。
接着，假设我们已知该产品是B型的条件下，它也是A型的概率记作 P(A|B)。
根据上述的条件概率公式，我们可以计算出P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
由于在已知产品是B型的前提下，它也是A型的概率为0，所以P(A∩B) = 0。
因此，P(A|B) = 0 / P(B) = 0。
可见，在已知产品是B型的情况下，该产品是A型的概率为0。
二、独立事件独立事件是指两个事件之间的发生没有相互影响，即一个事件的发生不会改变另一个事件的发生概率。
如果事件A和事件B是独立事件，那么它们的联合概率等于两个事件发生概率的乘积。
数学上，我们用P(A∩B) = P(A) * P(B)来表达事件A和事件B是独立事件。
在日常生活中，我们可以通过一个例子来理解独立事件的概念。
假设有一批骰子，我们分别投掷两次，A表示第一次投掷结果为1的事件，B表示第二次投掷结果为2的事件。
如果A和B是独立事件，那么它们的发生概率应为P(A∩B) = P(A) * P(B)。
北师大版高中数学选修2-3课件2.3条件概率与独立事件
(4)甲、乙各射击 1 次,“至少有 1 人射中目标”与“甲射中目标,但乙没 有射中目标”可能同时发生,二者构不成互斥事件,也不可能是相互独立事 件.
弄清“互斥事件”与“相互独立事件”的区别是关键,“互斥事件”不能
§3 条件概率与独立事件
-1-
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
1.了解条件概率的概念,理解互斥事件,会用条件概率公式求解简单的实际 问题. 2.理解相互独立事件的意义,理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式.
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
=1 4 1Fra bibliotek=12.
2
答案:A
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12345
2 在 10 支铅笔中,有 8 支正品,2 支次品,从中任取 2 支,则在第一次抽的
是次品的条件下,第二次抽的是正品的概率是( )
A.15
B.485
C.89
D.45
解析:记事件 A,B 分别表示“第一次、第二次抽得正品”,
【例 2】 判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件. (1)运动员甲射击 1 次,“射中 9 环”与“射中 8 环”; (2)甲、乙两运动员各射击 1 次,“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环”; (3)甲、乙两运动员各射击 1 次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有
射中目标”; (4)甲、乙两运动员各射击 1 次,“至少有 1 人射中目标”与“甲射中目标,
则
P(A2)=P(������1 A2)+P(A1A2)=25
概率的条件与独立事件
概率的条件与独立事件概率是数学中一个重要的概念，用于衡量事件发生的可能性。
在概率理论中，条件概率和独立事件是两个关键概念。
本文将介绍条件概率和独立事件的概念和计算方法，并探讨它们在实际生活和统计学中的应用。
一、条件概率条件概率是指在某些已知条件下，另一个事件发生的概率。
在数学中，条件概率可以用以下公式表示：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过具体问题进行实例化。
例如，假设有一个盒子，里面有20个红球和30个蓝球。
从中随机选取一个球，如果我们已经知道选中的球是红球，那么选中下一个红球的概率是多少？解答：已知选中的球是红球，表示在已经选中红球的前提下，再次选中红球的概率。
因此，事件A表示第一次选中红球，事件B表示第二次选中红球。
根据条件概率的定义，我们可以计算如下：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)P(A|B) = (20/50) / (20/50)P(A|B) = 20/50P(A|B) = 0.4从上述计算可以看出，在已知选中的球是红球的情况下，再次选中红球的概率为0.4。
二、独立事件独立事件是指两个或多个事件之间不会相互影响的事件。
当两个事件A和B是独立事件时，它们的概率计算可以简化为乘法原理：P(A∩B) = P(A) * P(B)例如，假设有一副标准扑克牌，从中随机抽取两张牌，第一张是A，第二张是K。
如果我们已经知道第一张是A，那么第二张是K的概率是多少？解答：已知第一张牌是A，表示在已经知道第一张牌是A的前提下，第二张牌是K的概率。
根据独立事件的定义，我们可以计算如下：P(A∩B) = P(A) * P(B)P(A∩B) = (4/52) * (4/51)P(A∩B) = 1/663从上述计算可以看出，在已知第一张牌是A的情况下，第二张牌是K的概率为1/663。
条件概率与独立事件
P( AB) P( B ) P ( B A) = = = 0.8 P( A) P( A)
Ω
5
B
0.56
0.7
A
二、独立事件
A：表示取出的牌是“Q”；B：表示取出的牌是红桃。 ：表示取出的牌是“ ； ：表示取出的牌是红桃。
1 13 1 4 1 P (B) = = P ( AB) = P ( A) = = 52 52 4 52 13 1 P ( AB) 52 1 = = P( A | B) = = P ( A) 1 13 P( B) (B 4 P( AB) = P( A) P( A | B) = P( A) P( B)
例
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P( AB) 70 100 P( B A) = = ≈ 0.7368 P( A) 95 100
B
A
5
1.某种动物出生之后活到 岁的概率为 ， 某种动物出生之后活到20岁的概率为 某种动物出生之后活到 岁的概率为0.7， 活到25岁的概率为 活到 岁的概率为0.56，求现年为 岁的这种 岁的概率为 ，求现年为20岁的这种 动物活到25岁的概率。 动物活到 岁的概率。 岁的概率 表示“ 解 设A表示“活到 岁”(即≥20)，B表示 表示 活到20岁 即 ， 表示 活到25岁 “活到 岁” (即≥25) 即 则 P ( A) = 0.7, P ( B ) = 0.56 所求概率为
A:取得是蓝球 取得是玻璃球 取得是蓝球,B:取得是玻璃球 取得是蓝球 4
P(B | A) =
P( AB) P( A)
6 = 4 =1 1 1 1 1 1 6
变式:若已知取得是玻璃球 求取得是篮球的概率 变式 若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率 若已知取得是玻璃球 求取得是篮球的概率.
条件概率与独立事件的判定方法
条件概率与独立事件的判定方法概率论是数学中的一个重要分支，研究了随机现象的规律性。
在概率论中，条件概率和独立事件是两个基本概念。
条件概率指的是在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
而独立事件则是指两个事件之间的发生与否没有相互影响。
本文将围绕条件概率和独立事件展开讨论，并介绍它们的判定方法。
条件概率是概率论中的一个重要概念，它描述了在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算方法可以通过以下公式得到：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
通过条件概率，我们可以更准确地评估事件的概率。
例如，假设有一个袋子里有红球和蓝球，红球的数量比蓝球多。
我们从袋子中随机抽取一个球，如果我们已知抽取的球是红色，那么下一次再次抽取红球的概率就会增加，因为红球的数量比蓝球多。
这个例子中，条件概率帮助我们更好地估计下一次抽取红球的可能性。
除了条件概率，独立事件也是概率论中的一个重要概念。
独立事件指的是两个事件之间的发生与否没有相互影响。
具体来说，如果事件A和事件B是独立事件，那么满足以下条件：P(A∩B) = P(A) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
通过判断事件之间是否独立，我们可以更好地理解事件之间的关系。
例如，假设有一个硬币，我们连续抛掷两次。
如果每次抛掷的结果是独立的，那么第一次抛掷为正面的概率和第二次抛掷为正面的概率是相等的。
这个例子中，独立事件的概念帮助我们更好地理解连续抛掷硬币的规律。
在实际应用中，我们可以通过一些方法来判断条件概率和独立事件。
首先，我们可以通过观察事件的发生频率来判断它们之间的关系。
如果两个事件的发生频率相似，那么它们可能是独立事件；如果一个事件的发生频率在另一个事件发生的条件下发生的概率有所变化，那么它们可能是有关联的。
条件概率与独立事件
条件概率与独立事件条件概率和独立事件是概率论中的重要概念，它们在许多实际问题的建模和分析中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍条件概率和独立事件，探讨它们的定义、性质和应用。
一、条件概率的定义和性质条件概率是指在一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A、B为两个事件，且P(B)>0，则事件A在事件B发生的条件下发生的概率记作P(A|B)，其定义为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
针对条件概率，有以下两个重要性质：1. 乘法公式：对于两个事件A、B，有P(A∩B)=P(B)×P(A|B)。
这个公式可以从条件概率的定义中推导出来，对于事件A同时发生且B发生的概率，等于B先发生的概率乘以在B发生的条件下A发生的概率。
2. 全概率公式：对于一组互斥事件B1、B2、...、Bn，它们构成了一个样本空间的划分，即B1∪B2∪...∪Bn=Ω（Ω表示样本空间）。
则对于事件A，有P(A)=P(A|B1)×P(B1)+P(A|B2)×P(B2)+...+P(A|Bn)×P(Bn)。
全概率公式的作用在于利用条件概率进行事件概率的计算。
二、独立事件的定义和性质独立事件是指两个事件发生与否互不影响的事件。
设A、B为两个事件，如果P(A|B)=P(A)，则称事件A与事件B相互独立。
同理，如果P(B|A)=P(B)，也可以认为事件A与事件B相互独立。
独立事件有以下重要性质：1. 事件的独立性是一个对称的概念，即A与B独立等价于B与A独立。
2. 如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与事件B的补集A'与B的补集B'也相互独立。
3. 如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与B的并集A∪B的概率等于事件A的概率与事件B的概率之和减去事件A与B的交集的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
三、条件概率和独立事件的应用条件概率和独立事件在实际问题中有着广泛的应用，例如医学诊断、网络安全、金融风险评估等领域。
概率的条件与独立事件
概率的条件与独立事件概率是数学中的一个分支，用于研究随机事件发生的可能性。
在概率理论中，条件和独立事件是两个重要的概念。
本文将详细探讨概率的条件和独立事件，以及它们在实际生活中的应用。
1. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A、B为两个事件，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A 发生的概率。
条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的应用十分广泛。
例如，在医学诊断中，医生根据病人的症状判断某种疾病的概率就是条件概率；在市场调查中，根据消费者的不同特征，预测其购买某种产品的概率也是条件概率的应用之一。
2. 独立事件独立事件是指两个或多个事件之间相互不影响的事件。
设A、B为两个事件，如果P(A|B) = P(A)，则称事件A和事件B是独立事件。
换句话说，如果事件B的发生与事件A的发生无关，那么这两个事件就是独立事件。
独立事件在现实生活中也有很多应用。
例如，投掷一个标准的骰子，每个面出现的概率都是相等的，因此连续投掷两次，第一次投掷结果不会对第二次投掷结果产生影响，这就是独立事件的应用之一。
3. 条件独立事件条件独立事件是指在已知某个事件发生的条件下，另外两个事件是相互独立的事件。
设A、B、C为三个事件，如果P(A∩B|C) = P(A|C) × P(B|C)，则称事件A和事件B在事件C的条件下是独立的。
对于条件独立事件来说，假设C事件发生的情况下，事件A和事件B之间的独立性保持不变。
条件独立事件在统计学和机器学习中有广泛的应用，例如朴素贝叶斯分类器是基于条件独立事件假设的。
4. 应用案例为了更好地理解条件和独立事件的概念以及其应用，我们举一个实际的例子。
假设某公司的销售记录表明，在晴天的情况下，销售手机的概率为0.8；而在雨天的情况下，销售手机的概率为0.3。
数学课件：2.3《事件的独立性(1)》
（1）2人都击中目标的概率；0.36
0.48 （2）其中恰有1人击中目标的概率；
（3）2人都没有击中目标的概率；0.16
（4）至少有一人击中目标的概率
0.84
练习1、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( D )
(A)
3 5
(B)
3 4
(C)
12 25
例1.口袋中有a只黑球b只白球，连摸两次，每次
一球.记A={第一次摸时得黑球}，B={第二次摸时 得黑球}.问A与B是否独立？就两种情况进行讨论： ① 放回抽取；② 不放回抽取.
① 放回抽取 a 解：P(A) =
ab
a P（B）= ab
a P(B|A)= a b
② 不放回抽取.
a P（A）= P（B）= a b a 1 a a 1 P(AB)= P(B|A)= a b 1 a b a b 1 a ab
A、B中至多有一个发生的概率
独立重复试验
（一） 形成概念
掷一枚图钉，针尖向上的概 率为0.6，则针尖向下的概率为 1－0.6=0.4
问题（1）第1次、第2次、第3次… 第n次针尖向上的概率是多少?
第1次、第2次、第3次…第n次针尖向----在同样条 件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。
解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) 0.7, P( B) 0.56 所求概率为
P( AB) P( B) P( B A) 0.8 P( A) P( A)
B
5
0.56
0.7
A
, 2． 根据以往的临床记录某种诊断癌症的试 验具有如下的效果: 若以 A 表示事件" 试验反应 为阳性" , 以 C 表示事件" 被诊断者患有癌症 , 则 " 有 P( A C ) 0.95, P( A C ) 0.95.现在对自然人群 进行普查, 设被试验的人患有癌症 的概率为 .005, 0 即 P(C ) 0.005, 试求 P(C A).
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B 先 A 后；而在 P( AB ) 中，事件 A， 同时发生。 B
（2）样本空间不同，在 P( A B ) 中，事件 B 成为样本 空间；在 P( AB )中，样本空间为所有事件的总和。 因而有 P( A B ) P( AB )
小结
＊ 条件概率： 当事件B发生时，事件A发生的概率： P( A B ) 当 P( B ) 0 时，P( A B ) 。 P( B ) ＊ 独立事件的概率： 若A的发生与B的发生互不影响，称A、B相互 独立。A、B同时发生的概率： P( AB ) P( A) P( B )
对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , , A n ， 则有 P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
你能举出生活中的一些独立生活的例子么？？
判断：下列哪些事件相互独立。 ① 篮球比赛的“罚球两次”中，
事件A：第一次罚球，球进了；
事件B：第二次罚球，球进了。
③ 袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球，
事件A：第一次从中任取一个球是白球；
事件B：第二次从中任取一个球是白球。 ④ 甲坛子里有3个红球，2个黄球，乙坛子里也有3
个红球，2个黄球，从这两个坛子里分别摸出1个球， 事件A：从甲坛子里摸出1个球，得到黄球； 事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到黄球。
例题分析
例1 调查发现，某班学生患近视的概率为0.4，现
随机抽取该班级的2名同学进行体检，求他们都近视 的概率。 分析： 设抽取出甲乙两位同学，A为甲近视，B为乙近 视，甲乙是否近视，是相互独立的，即A、B相互独
立，要求A、B同时发生的概率，直接利用公式即可。 解： 记A为甲同学近视，B为乙同学近视，则A、B相
互独立，且 P( A) P( B) 0.4 ，则
P( AB ) P( A) P( B ) 0.4 0.4 0.16
动手做一做 在一段线路中并联着3个自动控制的常开 开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就 能正常工作。 假定在某段时间内每个开关能
任取一个产品，已知它的质量合格（即B发生）， 则它的长度合格（即A发生）的概率是 85 。 90 考虑：
这个概率与事件A、B的概率有什么关系么?? 由已知可得：
长度合 格 8
85 2
质量 合格5
93 90 85 P( A) , P( B) , P( A B) 100 100 100
课后思考
思考讨论： 将一枚均匀硬币掷4次，有人认为：“第一次出现
正面，第二次出现反面，第三次出现正面，第四次出
现反面” 发生的概率比 “第四次出现正面” 的概率大，
你认为这种说法正确么？？
P( AB) 类似地 P( A ) 0 时， P( B A) 。 P( A )
A发生时B发生的概率
动手做一做
某种动物出生之后活到20岁的概率 为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年 为20岁的这种动物活到25岁的概率。
概率 P( A B ) 与 P( AB )的区别与联系
联系： B 事件 A ， 都发生了。 区别：
够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线
路正常工作的概率。
推广： 前面讨论了两个相互独立事件的概率公式， 若 A 、B 相互独立，则有
P( AB ) P( A) P( B )
事实上，对于多个独立事件，公式也是成立的。
对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , , A n ， 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
分析：
B=｛产品的质量合格｝ ｛产品的长度合格｝ A=
100个产品中有93个产品的长度合格，90个产 品的质量合格，85个产品的长度、质量都合格。现 在任取一个产品，若已知它的质量合格，那么它的 长度合格的概率是多少？ A∩B=｛产品的长度、质量都合格｝
在集合中，“都”代表着“交”，则A、 B同时发生为A∩B。
容易发现：
85 85 100 P( A B ) 90 90 P( B ) 100
概括
求B发生的条件下，A发生的概率，称为B发
生时A发生的条件概率，记为 P( A B)。
P( A B ) 当 P( B ) 0 时， ( A B ) ，其中， P P( B ) A B 可记为 AB 。 A、B同时发生
说明事件B的发生 不影响A的发生
概括总结
一般地，两个事件 A、 ，若有 B
P( AB ) P( A) P( B ) ，
或者说A的发 生与B的发生 互不影响。
则称 A、B相互独立。
思考：若 A 、B 相互独立，则 A 与 B， A与 B，
A 与B 是否也相互独立呢？？ 可证：若 A 、B 相互独立，则 A 与 B， A与 B， A 与B 也相互独立。
来计算 P( A B )
？？
分析( AB ) 52
P(A)=1/13
由条件概率公式知，当取出牌是红桃时为Q的概率为：
P( AB) 1 P( A B ) P( B ) 13
易看出此时： P( A B) P( A)
P( AB ) P( A) P( B )
问题2：
从一副扑克牌（去掉大小王）中随机抽取1张， 用A表示取出牌“Q”，用B表示取出的是红桃，是否 可以利用 P ( B ), P ( AB ) 来计算 P( A B ) ？？
从一副扑克牌（去掉大小王）中随机抽取1张，用A表示取
P 出牌“Q”，用B表示取出的是红桃，是否可以利用 ( B ), P ( AB )
复习
以前我们学习概率有两种类型，一种是 古典概型与几何概型。
你能各举个例子吗？ 例子：抛一枚硬币两次，则第一次正面，第二次 反面的概率是多少？
例2，在区间（-1，1）上随机取一个数，该数落在（0.75,1)上 的概率是多少？
新课引入 问题1：
100个产品中有93个产品的长度合格，90个产 品的质量合格，85个产品的长度、质量都合格。现 在任取一个产品，若已知它的质量合格，那么它的 长度合格的概率是多少？