高二数学教案：相互独立事件同时发生的概率(2)
高二数学相互独立事件同时发生的概率教案
高二数学相互独立事件同时发生的概率教案一、教学目标：1.了解相互独立事件的意义；2.注意弄清事件“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念；3．会用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算一些事件的概率。
二、教学重、难点：相互独立事件的意义；相互独立事件同时发生的概率乘法公式；事件的相互独立性的判定。
三、教学过程：（一）复习引入：1．复习互斥事件的意义及其概率加法公式：互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．()()()P A B P A P B +=+对立事件：必然有一个发生的互斥事件叫做对立事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-2．问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球。
提问1：问题1、2中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）提问2：问题1、2中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）（二）新课讲解：1．相互独立事件的定义：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
例1．（步步高P127例1）说明：若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。
2．相互独立事件同时发生的概率：问题1中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果。
于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果。
同时摸出白球的结果有32⨯种。
所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
高考数学一轮复习 11.3 相互独立事件同时发生的概率教案
11.3 相互独立事件同时发生的概率●知识梳理1.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生k 次的概率为P n （k ）=C k n p k（1－p ）n －k.3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解： 第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.5.事件A 与B 的积记作A ·B ，A ·B 表示这样一个事件，即A 与B 同时发生. 当A 和B 是相互独立事件时，事件A ·B 满足乘法公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ），还要弄清A ·B ，B A ⋅的区别. A ·B 表示事件A 与B 同时发生，因此它们的对立事件A 与B 同时不发生，也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即B A +，因此有A ·B ≠B A ⋅，但A ·B =B A +.●点击双基1.（2004年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A.p 1p 2B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）C.1－p 1p 2D.1－（1－p 1）（1－p 2） 解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）.答案：B2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为A.0B.1C.2D.3解析：由C k5（21）k （21）5－k =C 15+k （21）k +1·（21）5－k －1， 即C k 5=C 15+k ，k +（k +1）=5，k =2.答案：C3.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）A.94B.901 C.54 D.95 解析：P =31×61×451=901.答案：C4.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________. 解析：P =21×32×43+ 21×31×43+ 21×32×41=2411. 答案：2411 5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P =（1－31）（1－31）×31=274. 答案：274●典例剖析【例1】 （2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少?（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B ，于是P （A ）=106= 53，P （A ）=52；P （B ）=104= 52，P （B ）=53. 由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A ·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=53·52=256. 答：两人都抽到足球票的概率是256.（2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件A ·B 发生）的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=52·53=256. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为P =1－P （A ·B ）=1－256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519. 【例2】 有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.解：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球，则A 、B 互斥，且P （A ）=107，P （B ）=103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球，事件D ：从第三号盒子中取一个红球，则C 、D 互斥，且P （C ）=21，P （D ）=108=54. 显然，事件A ·C 与事件B ·D 互斥，且事件A 与C 是相互独立的，B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P =P （A ·C +B ·D ）=P （A ·C ）+P （B ·D ）=P （A ）·P （C ）+P （B ）·P （D ）=10059. ∴本次试验成功的概率为10059. 【例3】 （2004年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率. 解：（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶. 记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A ，则p =P （A ）=21. 题（1）即求7次独立重复试验中事件A 发生5次的概率为P 7（5）=C 57p 5（1－p ）2=C 27（21）7=12821. （2）有且仅有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.所求概率为P 6（5）+P 5（5）+P 4（4）=C 65p 5（1－p ）+C 55p 5+C 44p 4=163. 答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为12821，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为163. ●闯关训练 夯实基础1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有 A.A 与AB.A 与BC. A 与BD. A 与B解析：由定义知，易选A.答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42 解析：P =（1－0.3）（1－0.4）=0.42. 答案：D3.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为53，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.解析：该生被选中，他解对5题或4题.∴P =（53）5+C 45×（53）4×（1－53）=31251053. 答案：312510534.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为________.解析：P =1－（1－0.6）（1－0.3）=0.72. 答案：0.72 培养能力5.在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中， （1）至少有2天预报准确的概率是多少？（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？ 解：（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C 23·0.82·0.2+C 33·0.83=0.896.∴至少有2天预报准确的概率为0.896.（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为2·0.82·0.2+0.83=0.768.∴至少有一个连续2天预报准确的概率为0.768.6.（2004年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p ，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率； （2）能进行通讯的概率.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A ，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B .由题意知P （A ）=p 3，P （B ）=p 3，P （A ）=1－p 3，P （B ）=1－p 3.（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P （A ·B + A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ） =p 3（1－p 3）+（1－p 3）p 3=2p 3－2p 6.（2）方法一：两套设备都能正常工作的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=p 6.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P （A ·B + A ·B ）+P （A ·B ）=2p 3－2p 6+p 6=2p 3－p 6.方法二：两套设备都不能正常工作的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－p 3）2.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1－P （A ·B ）=1－P （A ）·P （B ）=1－（1－p 3）2=2p 3－p 6. 答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3－2p 6，能进行通讯的概率为2p 3－p 6.7.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球，试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.解：从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为2723C C ×291415C C C =635； 从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取2个白球的概率为271413C C C ×2925C C =6310. 所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为635+6310=6315=215. 探究创新8.（2004年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 解：（1）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅,92)(,121)(,41)(C A P C B P B A P即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅.92)()(,121)](1[)(,41)](1[)(C P A P C P B P B P A P 由①③得P （B ）=1－89P （C ）， 代入②得27［P （C ）］2－51P （C ）+22=0. 解得P （C ）=32或911（舍去）. 将P （C ）=32分别代入③②可得P （A ）=31，P （B ）=41， 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是31，41，32.（2）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则P （D ）=1－P （D ）=1－［1－P （A ）］［1－P （B ）］［1－P （C ）］=1－32·43·31=65. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为65. ●思悟小结1.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A 与B 来说，才能运用公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.2.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.3.善于将具体问题化为某事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率. ●教师下载中心 教学点睛1.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A 和事件B 互相独立时，才有P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.2.A 、B 中至少有一个发生：A +B .（1）若A 、B 互斥：P （A +B ）=P （A ）+P （B ），否则不成立. （2）若A 、B 相互独立（不互斥）.法一：P （A +B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）； 法二：P （A +B ）=1－P （A ·B ）； 法三：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）.① ② ③3.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化，如例1.4.n 次独立重复试验中某事件发生k 次的概率P n （k ）=C k n p k（1－p ）n －k正好是二项式［（1－p ）+p ］n的展开式的第k +1项.拓展题例【例1】 把n 个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m 的m 个盒子内，求1号盒恰有r 个球的概率.解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m 个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P =m1.这样n 个球放入m 个不同的盒子内相当于做n 次独立重复试验.由独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式知，1号盒恰有r 个球的概率P n （r ）=C r np r （1－p ）n －r=C r n·（m 1）r ·（1－m 1）n －r =nrn r n mm --⋅)1(C . 解法二：用古典概型.把n 个不同的球任意放入m 个不同的盒子内共有m n个等可能的结果.其中1号盒内恰有r 个球的结果数为C r n（m －1）n －r，故所求概率P （A ）=nrn r n mm --)1(C .答：1号盒恰有r 个球的概率为nrn r n m m --)1(C .【例2】 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k 次（k ≥2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k 次（k ≥1）的概率，由此建立不等式求解.解：4引擎飞机成功飞行的概率为C 24P 2（1－P ）2+C 34P 3（1－P ）+C 44P 4=6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4.2引擎飞机成功飞行的概率为C 12P （1－P ）+C 22P 2=2P （1－P ）+P 2.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4≥2P （1－P ）+P 2.化简，分解因式得（P －1）2（3P －2）≥0. 所以3P －2≥0， 即得P ≥32. 答：当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.。
相互独立事件同时发生的概率教案
相互独立事件同时发生的概率教案----相互独立事件及其同时发生的概率山西省平遥中学 常毓喜【教学目的】1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式运算一些事件的概率；2．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必定性之中的辨证唯物主义思想；【教学重点】用相互独立事件的概率乘法公式运算一些事件的概率；【教学难点】互斥事件与相互独立事件的区不；【教学用具】投影仪、多媒体电脑等。
【教学过程】一、提出咨询题有两门高射炮，每一门击中侵犯我领空的美军侦察机的概率均为0.7，假设这两门高射炮射击时相互之间没有阻碍。
假如这两门高射炮同时各发射一发炮弹，那么它们都击中美军侦察机的概率是多少？〔板书课题〕二、探究研究明显，依照课题，本节课要紧研究两个咨询题：一是相互独立事件的概念，二是相互独立事件同时发生的概率。
〔一〕相互独立事件1．中国福利彩票，是由01、02、03、…、30、31这31个数字组成的，买彩票时能够在这31个数字中任意选择其中的7个，假如与运算机随机摇出的7个数字都一样〔不考虑顺序〕，那么获一等奖。
假设有甲、乙两名同学前去抽奖，那么他们均获一等奖的概率是多少？〔1〕假如在甲中一等奖后乙去买彩票，那么也中一等奖的概率为多少？〔P=1311C 〕 〔2〕假如在甲没有中一等奖后乙去买彩票，那么乙中一等奖的概率为多少？〔P=1311C 〕 2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分两次取出2个球。
设第1次取出的球是白球叫做事件A ，第2次取出的球是白球叫做事件B 。
〔1〕假设第1次取出的球不放回去，求事件B 发生的概率；〔假如事件A 发生，那么P 〔B 〕=74；假如事件B 不发生，那么P 〔B 〕=75〕 〔2〕假设第1次取出的球仍放回去，求事件B 发生的概率。
〔假如事件A 发生，那么P 〔B 〕=85；假如事件B 不发生，那么P 〔B 〕=85〕 相互独立事件：假如事件A 〔或B 〕是否发生对事件B 〔或A 〕发生的概率没有阻碍，如此的两个事件叫做相互独立事件。
新人教版高中数学必修第二册《事件的相互独立性》教学设计
【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B̅，A与B，A与B̅也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).四、典例分析、举一反三题型一相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】 因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】 设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516． 【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。
相互独立事件同时发生的概率(2)
(2)“一件不合格品能通过第i名检验员检验”记为事件Bi(i=1、 2), “一件不合格品能出厂”即不合格品通过两名检验员检验 事件B1·B2发生，所求概率为： P(B1·B2)=P(B1)·P(B2)=1·2
两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是0.03，第
二台出废品的概率是0.02.加工出来的零件堆放在一起.若第一台
为事件 A B C, A B C, A B C
所求概率为：
P(A B C A B C A B C)
P(A B C) P(A B C) P(A B C)
P( A) P(B) P(C) P( A) P(B) P(C) P( A) P(B) P(C) 4
9
例5.掷三颗骰子，试求： (1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率； (2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率． (3)至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少
则男女排双双夺冠的概率为：
PA B PA PB 0.90.7 0.63
答：男女排双双夺冠的概率为0.63.
变式一 只有女排夺冠的概率有多大？
略解: 只有女排夺冠的概率为
P A B PA P B 0.90.3 0.27
例1. 假如到2008年北京奥运会时，凭借着天时、地
利、人和的优势，男排夺冠的概率有0.7；女排夺冠的 概率有0.9.那么，男女排双双夺冠的概率有多大？
求：(1)一件合格品不能出厂的概率， (2)一件不合格产品能出厂的概率
高二数学最新教案-§2018.7.2相互独立事件同时发生的概率(2) 精品
相互独立事件同时发生的概率（2）一、课题：相互独立事件同时发生的概率(2)二、教学目标：1．能正确分析复杂事件的构成；2．能综合运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率的乘法公式解决一些实际问题。
三、教学重、难点：掌握求解较复杂事件概率的一般思路：正向思考和反向思考。
正向思考的一般步骤是：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件；反向思考就是转化为求它的对立事件的概率。
四、教学过程：（一）复习：互斥事件、对立事件和相互对立事件的概念。
（二）新课讲解：例1 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作。
假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。
解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。
根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是[][][]()()()()1()1()1()(10.7)(10.7)(10.7)0.027P A B C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=---=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常 工作的概率。
（1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。
方法一：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0.847P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且 A J 与B J 至少有1个开的情况。
高考数学第一轮专项复习教案 11.3相互独立事件同时发生的概率
11.3相互独立事件同时发生的概率●知识梳理1.相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为P n（k）p k（1－p）n－k.=C kn3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.5.事件A与B的积记作A·B，A·B表示这样一个事件，即A与B同时发生.当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清A·B，BA⋅的区别.A·B表示事件A与B 同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B 至少有一个发生的对立事件即BA⋅，但A+，因此有A·B≠BA ·B =B A +.●点击双基1.（2019年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A.p 1p 2B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）C.1－p 1p 2D.1－（1－p 1）（1－p 2） 解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）.答案：B2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为A.0B.1C.2D.3 解析：由C k 5（21）k （21）5－k =C 15+k （21）k +1·（21）5－k －1，即C k 5=C 15+k ，k +（k +1）=5，k =2.答案：C3.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响） A.94B.901C.54D.95 解析：P =31×61×451=901. 答案：C4.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________.解析：P =21×32×43+21×31×43+21×32×41=2411. 答案：2411 5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P =（1－31）（1－31）×31=274. 答案：274 ●典例剖析【例1】（2019年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少?（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B ，于是P （A ）=106=53，P （A ）=52；P （B ）=104=52，P （B ）=53.由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B 是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A ·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=53·52=256. 答：两人都抽到足球票的概率是256. （2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件A ·B 发生）的概率为 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=52·53=256. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为P =1－P （A ·B ）=1－256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519.【例2】有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.解：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球，则A 、B 互斥，且P（A ）=107，P （B ）=103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球，事件D ：从第三号盒子中取一个红球，则C 、D 互斥，且P （C ）=21，P（D ）=108=54. 显然，事件A ·C 与事件B ·D 互斥，且事件A 与C 是相互独立的，B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P =P （A ·C +B ·D ）=P （A ·C ）+P （B ·D ）=P （A ）·P （C ）+P （B ）·P （D ）=10059. ∴本次试验成功的概率为10059. 【例3】（2019年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.解：（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶.记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A ，则p =P （A ）=21. 题（1）即求7次独立重复试验中事件A 发生5次的概率为P 7（5）=C 57p 5（1－p ）2=C 27（21）7=12821. （2）有且仅有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.所求概率为P 6（5）+P 5（5）+P 4（4）=C 65p 5（1－p ）+C 55p 5+C 44p 4=163. 答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为12821，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为163.●闯关训练夯实基础1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有A.A 与AB.A 与BC.A 与BD.A 与B解析：由定义知，易选A.答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42解析：P =（1－0.3）（1－0.4）=0.42.答案：D3.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为53，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.解析：该生被选中，他解对5题或4题.∴P =（53）5+C 45×（53）4×（1－53）=31251053. 答案：31251053 4.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为________.解析：P =1－（1－0.6）（1－0.3）=0.72.答案：0.72培养能力5.在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，（1）至少有2天预报准确的概率是多少？（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？解：（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C23·0.82·0.2+C33·0.83=0.896.∴至少有2天预报准确的概率为0.896.（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为2·0.82·0.2+0.83=0.768.∴至少有一个连续2天预报准确的概率为0.768.6.（2019年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率；（2）能进行通讯的概率.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.由题意知P（A）=p3，P（B）=p3，P （A ）=1－p 3，P （B ）=1－p 3.（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P （A ·B +A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）=p 3（1－p 3）+（1－p 3）p 3=2p 3－2p 6.（2）方法一：两套设备都能正常工作的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=p 6.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P （A ·B +A ·B ）+P （A ·B ）=2p 3－2p 6+p 6=2p 3－p 6.方法二：两套设备都不能正常工作的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－p 3）2.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1－P （A ·B ）=1－P （A ）·P （B ）=1－（1－p 3）2=2p 3－p 6.答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3－2p 6，能进行通讯的概率为2p 3－p 6.7.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球，试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.解：从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为2723C C ×291415C C C =635； 从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取2个白球的概率为271413C C C ×2925C C =6310. 所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为635+6310=6315=215. 探究创新8.（2019年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.解：（1）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件， 由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅,92)(,121)(,41)(C A P C B P B A P 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅.92)()(,121)](1[)(,41)](1[)(C P A P C P B P B P A P ① ② ③由①③得P （B ）=1－89P （C ）， 代入②得27［P （C ）］2－51P （C ）+22=0.解得P （C ）=32或911（舍去）. 将P （C ）=32分别代入③②可得P （A ）=31，P （B ）=41， 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是31，41，32. （2）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则P （D ）=1－P （D ）=1－［1－P （A ）］［1－P （B ）］［1－P （C ）］=1－32·43·31=65. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为65. ●思悟小结1.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A 与B 来说，才能运用公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.2.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.3.善于将具体问题化为某事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率.●教师下载中心教学点睛1.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（A·B）=P （A）·P（B）.2.A、B中至少有一个发生：A+B.（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立.（2）若A、B相互独立（不互斥）.法一：P（A+B）=P（A·B）+P（A·B）+P（A·B）；法二：P（A+B）=1－P（A·B）；法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.3.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化，如例1.4.n次独立重复试验中某事件发生k次的概率P n（k）=C knp k（1－p）n－k正好是二项式［（1－p）+p］n的展开式的第k+1项.拓展题例【例1】把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m 个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率.解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P=m1.这样n个球放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验.由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式知，1号盒恰有r个球的概率P n（r）=C rn p r（1－p）n－r=C rn·（m1）r·（1－m1）n－r=nrnrnmm--⋅)1(C.解法二：用古典概型.把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有m n 个等可能的结果.其中1号盒内恰有r 个球的结果数为C r n （m－1）n －r ，故所求概率P （A ）=n r n r n m m --)1(C .答：1号盒恰有r 个球的概率为nr n r n m m --)1(C . 【例2】假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k 次（k ≥2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k 次（k ≥1）的概率，由此建立不等式求解.解：4引擎飞机成功飞行的概率为C 24P 2（1－P ）2+C 34P 3（1－P ）+C 44P 4=6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4.2引擎飞机成功飞行的概率为C 12P （1－P ）+C 22P 2=2P （1－P ）+P 2.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4≥2P （1－P ）+P 2.化简，分解因式得（P －1）2（3P －2）≥0.所以3P －2≥0，即得P ≥32. 答：当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.。
高二数学最新教案-17相互独立事件同时发生的概率二 精
第周年月日星期姓名相互独立事件同时发生的概率㈡1、甲乙二人同时报考某一大学，甲被录取的概率是0.6，乙被录取的概率是0.7，二人是否被录取互不影响。
⑴甲乙二人都被录取的概率；⑵甲乙二人都不被录取的概率；⑶甲乙二人至少一人被录取的概率。
2、一名工人看管3台机床，在1小时内，甲、乙、丙3台机床不需要工人照看的概率分别为0.9、0.8和0.85，求在1小时内：⑴没有1台机床需要照看的概率；⑵至少有一台机床不需要照看的概率。
3、某段时间内，甲地下雨的概率是0.3，乙地下雨的概率是0.4，假定甲、乙两地是否下雨彼此无关，那么甲、乙两地都下雨的概率为______________；甲、乙两地都不下雨的概率为______________。
4、第一台车床制造出一级零件的概率为0.7低二台车床制造出一级零件的概率0.8。
在第一台车床上生产1个零件，在第二台车床上生产2个零件，则所有零件均为一级零件的概率是______________。
5、在同一时间内，对同一城市，市、县两个气象台预报天气准确的概率分别为0.9、0.8，两个气象台预报天气准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率是______________。
6、甲、乙两位同学独立的解同一道数学题，若甲能解对的概率为m ，乙能解对的概率为n ，那么这道数学题能被解对的概率为（ ）A 、m n +B 、mnC 、1mn -D 、1(1m)(1n)---7、设某种产品分2道独立工序生产，第1道工序的次品率为0.1，第2道工序的次品率为0.03，生产这种产品只要有1道工序出次品就将产生次品，则该产品的次品率为（ ）A 、0.873B 、0.13C 、0.127D 、0.038、已知某人射击一次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且每次射击是否击中相互之间没有影响，求：⑴ 在第2次没有击中，其他3次都击中的概率；⑵ 4次射击中只有1次没有击中的概率；⑶ 4次射击中只有2次击中的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相互独立事件同时发生的概率（2）
一、课题：相互独立事件同时发生的概率(2)
二、教学目标：
1．能正确分析复杂事件的构成；
2．能综合运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率的乘法公式解决一些实际
问题。
三、教学重、难点：掌握求解较复杂事件概率的一般思路：正向思考和反向思考。
正向思考的
一般步骤是：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的
和事件或相互独立事件的积事件；反向思考就是转化为求它的对立事件的概率。
四、教学过程：
（一）复习：互斥事件、对立事件和相互对立事件的概念。
（二）新课讲解：
例1 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就
能正常工作。
假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内
线路正常工作的概率。
解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．
由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。
根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能 闭合的概率是 [][][]()()()()1()1()1()(10.7)(10.7)(10.7)0.027
P A B C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=---=---= ∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是 1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973． 变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内
此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常
工作的概率。
（1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦
） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都
是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。
方法一：()()()()()
()()()()()()()()()()()()()()()0.847
P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=
方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且
A J 与
B J 至少有1个开的情况。
[]21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=
例2 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
分析：因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1
门高炮击中敌机的概率。
解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，
那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．
∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立， ∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅
5(10.2)=-=5)54(。
∴敌机未被击中的概率为5)5
4(． （2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）
可得：敌机被击中的概率为1-n )5
4( ∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得110.313lg 2
n ≥≈- ∵+∈N n ，∴11n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机。
注：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法。
采用这种方法在解决带有词语“至
多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便。
五、小结：掌握求解较复杂事件概率的一般思路：正向思考和逆向思考。
正向思考的一般步骤是：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的
互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件；逆向思考就是转化为求它的对立事件的概率。
六、作业：补充。
相互独立事件同时发生的概率（2）
班级 学号 姓名
1．甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为15、13、14
，则此密码 能译出的概率为 （A ）
()A 35 ()B 25 ()C 5960 ()D 160
2．甲、乙两歼击机飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击
中敌机的概率为 （D ）
()A 0.9 ()B 0.2 ()C 0.7 ()D 0.5
3．甲、乙两人独立地解决一道数学题，已知甲能解对的概率为m ，乙能解对的概率为n ，那
么这道数学题被得到正确解答的概率为 （C ） ()A m n + ()B m n ⋅
()C 1(1)(1)m n --- ()D 1m n -⋅
4．有n 个相同的电子元件并联，每个电子元件能正常工作的概率为0.5，要使整个线路正常工 作的概率不小于0.95，n 至少为 （C ） ()A 3 ()B 4 ()C 5 ()D 6
5．如图所示，有通往东、南、西、北的道路，在各个
交叉点掷一次骰子。
设出现一点时向北前进到下一
个交叉点；出现二点或三点时向东前进到下一个交
叉点；出现其他点时，不能前进，要停在该交叉点上，
直到再掷出能前进的点数为止。
（1）掷两次骰子就从A 到达B 的概率为19； （2）掷三次就从A 到达B 的概率为19； （3）最多掷三次就从A 到达B 的概率为29； （4）在哪个交叉点也不停留地从A 到达C 的概率为
154． 6．有甲、乙、丙3批罐头，每批100个，其中各有1个是不合格的，从三批罐头中各抽出1 个，则抽出的3个中至少有1个不合格的概率是0.0297．
7．如图，用A ，B ，C 三类不同的元件连接成两个系统1N ，2N ，当A ，B ，C 都正常时， 系统1N 正常，当A 正常工作，元件B ，C 至少有一个正常工作时，系统2N 正常工作．已 知元件A ，B ，C 正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，分别求系统1N ，2N 正 常工作的概率1P ，2P ．
提示：1()()()()0.648P P ABC P A P B P C === 2()()()0.792P P ABC P ABC P ABC =++= 8．掷三颗骰子，试求：
（1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率；
（2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。
提示：1222833327P =
⋅⋅= 24()()()9
P P ABC P ABC P ABC =++=
（） 交点 北 第5题图。