12.5相互独立事件与概率的乘法公式.ppt
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相互独立事件与概率的乘法公式
的把握有80%!
我只有45%,看来这大奖
与咱是无缘啦!
别急,常言道:三个臭 皮匠臭死诸葛亮,咱
VS 去把老三叫来,我就
不信合咱三人之力, 赢不了诸葛亮!
老大 老二 老三
诸葛亮
臭皮匠联队
比规赛 则假4亮：0%如吗团,臭？各那队位皮么中选匠臭只手老皮要独三匠有立解联一解出人队题的解能，出把不胜即握得过为商只诸获量有葛胜
A B
P(A B)=P(A)·P(B)
三、教学过程分析 （六）作业布置
P189 第1、3题
思考题
在什么条件下“三个臭 皮匠顶不上诸葛亮”?
三、教学过程分析 （七）板书设计
投影屏幕
5.3 相互独立事件与概率乘法公式
定义
变式2
概率公式 例1
变式3
变式1
引例解答
四、教学反思
1、以问题作为教学的主线，在趣味性情境中发现 问题，在猜想、对比性问题中展开探索，在实践应 用性问题中感悟数学的思维方法。在本课教学中， 由于学生基础薄弱对乘法公式的本质理解不够深刻。 2、以课堂作为教学的辐射源，通过教师、学生、 多媒体多点辐射、带动和提高所有学生的学习积极 性与主动性。师生、生生合作交流较充分，有利于 面向全体整体提高，但还有少数学生对事件分析不 清，应用知识不灵活。
下列事件哪些是相互独立的?
①篮球比赛的“1+1罚球” 中:
事件A:第一次罚球,球进了; 事件B:第二次罚球,球进了. ②袋中有三个红球,两个白球,采取不放回的取球:
事件A:从中任取一个球是白球; 事件B:第二次从中任取一个球是白球.
下列事件哪些是相互独立的? ③篮球比赛的“罚球两次”中: 事件A:第一次罚球,球进了; 事件B:第二次罚球,球进了.
数学：《概率相互独立事件同时发生的概率》课件
3.独立性在可靠性理论中的计算
例 设元件A,B,C正常工作的概率分别为0.6,0.7,0.8，且是否 出故障彼此独立，分别按下图混联，求系统正常D的概率。 解 (1) P(D)=P[(A+B)C]=P(AC+BC) A =P(AC)+P(BC)P(ABC) C B =P(A)P(C)+P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) =[P(A) +P(B) P(A)P(B)]P(C)=[0.6+0.70.6×0.7]×0.8=0.704
第一章 随机事件及概率
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 随机事件 事件的概率 概率的基本性质与运算法则 条件概率与独立性 独立重复试验 全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率
1.条件概率的概念
定义1 在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率称为事 件A在给定B下的条件概率，也简称为A对B的条件概率， 记作P(A|B)． 相应地P(A)称为无条件概率或原概率 条件概率也是一种概率，具有概率的基本性质。
A
C
B
第五节
独立重复试验
n重独立重复试验(n重伯努利试验) ： 试验模型的特点： (1)每次试验都在相同条件下进行； (2)各次试验是相互独立的，即各次试验的结果之间相互独立 ; (3)每次试验有且仅有两种结果：A发生或 A 发生； (4)每次试验的结果发生的概率相同，即P(A)=p， P( A )=1p=q 凡是具有上述特征的重复进行的试验称为独立重复试验，若 试验共进行n次，即称为n重独立重复试验。 n重伯努利试验中事件A恰好出现k次的概率简记为b(k;n,p), 则P(Bk)= P(A1A2 Ak Ak 1 An A1A2 An k An k 1 An )
2025届高中数学一轮复习课件《事件的相互独立性与条件概率》ppt
高考一轮总复习•数学
第1页
第十章 统计、排列组合与概率
第8讲 事件的相互独立性与条件概率
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概 率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.3.结合古典概 型，会利用全概率公式计算概率．
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A 正确； 对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1,1,1，
利用相互独立事件的概率公式判断 A，B．
则依次收到 1,0,1 的事件，是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的 积，
门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得 2 个 A＋的概率是____3_0___．
高考一轮总复习•数学
解析：(1)P(A)＝AA22A66 55＝13，P(B)＝AA33A66 34＝15， A66
P(C)＝2AA3366A33＝110，P(D)＝AA6336＝A133＝16. 对于 A，P(AB)＝A22AA3366A23＝110≠P(A)·P(B)，故 A 错误； 对于 B，P(AC)＝2C15AA6622A22＝74200＝118≠P(A)P(C)，故 B 错误； 对于 C，P(AD)＝C12AC1466C15＝118＝P(A)·P(D)，故 C 正确； 对于 D，P(BC)＝P(C)≠P(B)P(C)，故 D 错误．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第10页
3 ． (2024·四 川 成 都 七 中 月 考 ) 某 保 险 公 司 将 其 公 司 的 被 保 险 人 分 为 三 类 ： “ 谨 慎
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第十章 统计、排列组合与概率
第8讲 事件的相互独立性与条件概率
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概 率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.3.结合古典概 型，会利用全概率公式计算概率．
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A 正确； 对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1,1,1，
利用相互独立事件的概率公式判断 A，B．
则依次收到 1,0,1 的事件，是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的 积，
门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得 2 个 A＋的概率是____3_0___．
高考一轮总复习•数学
解析：(1)P(A)＝AA22A66 55＝13，P(B)＝AA33A66 34＝15， A66
P(C)＝2AA3366A33＝110，P(D)＝AA6336＝A133＝16. 对于 A，P(AB)＝A22AA3366A23＝110≠P(A)·P(B)，故 A 错误； 对于 B，P(AC)＝2C15AA6622A22＝74200＝118≠P(A)P(C)，故 B 错误； 对于 C，P(AD)＝C12AC1466C15＝118＝P(A)·P(D)，故 C 正确； 对于 D，P(BC)＝P(C)≠P(B)P(C)，故 D 错误．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第10页
3 ． (2024·四 川 成 都 七 中 月 考 ) 某 保 险 公 司 将 其 公 司 的 被 保 险 人 分 为 三 类 ： “ 谨 慎
事件相互独立的公式
事件相互独立的公式
事件a（或b）是否发生对事件b（a）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
设a,b是两事件,如果满足等式p(a∩b)=p(ab)=p(a)p(b),则称事件a,b相互独立,简称a,b独立。
设a,b是试验e的两个事件,若p(a)\ue0,可以定义p(b∣a).一般,a的发生对b发生的概率是有影响的,所以条件概率p(b∣a)≠p(b),而只有当a的发生对b发生的概率没有影响的时候（即a与b相互独立）才有条件概率p(b∣a)=p(b)。
这时,由乘法定理p(a∩b)=p(b∣a)p(a)=p(a)p(b)。
因此设a,b就是两事件,如果满足用户等式子p(a∩b)=p(ab)=p(a)p(b),则表示事件a,b相互单一制,缩写a,b单一制.
注:
1、p(a∩b)就是p(ab)
2、若p(a)\ue0,p(b)\ue0则a,b相互独立与a,b互不相容不能同时成立,即独立必相容,互斥必联系.
难推展:设a,b,c就是三个事件,如果满足用户
p(ab)=p(a)p(b),p(bc)=p(b)p(c),p(ac)=p(a)p(c),p(abc)=p(a)p(b)p(c),则表示事件
a,b,c相互单一制
更一般的定义是,a1,a2,……,an是n(n≥2)个事件,如果对于其中任意2个,任意3个,…任意n个事件的积事件的概率,都等于各个事件概率之积,则称事件a1,a2,……,an 相互独立。
相互独立事件同时发生概率-PPT精选文档
是
②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 不是 事件B：第二次从中任取一个球是白球. ③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球 . 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球. 是
好运动者健，好思考者智，好助人 者乐好读书者博，好旅游者悦，好 7
(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ①
A 与 B； ② A 与 B；
③ A 与 B.
注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭.
证① A A A ( B B ) AB A B
P ( A ) P ( AB ) P ( A B ) P ( A B ) P ( A ) P ( AB )
A 与 B； ② A 与 B；
③ A 与 B.
引例：盒中有5个球其中有3个绿的2个红的， 每次取一个有放回的取两次，设
事件A={第一次取到绿球}
事件B={第二次取到红球}
事件A对事件B是否有影响？ 事件A对事件B是否有影响？ 事件A对事件B是否有影响？
好运动者健，好思考者智，好助人者乐 好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新●▂●请收藏 10
2º 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念.
独立是事 互斥是事 件间的概 件间本身 率属性 的关系
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A ) P ( B ) 二者之间没 有必然联系 两事件互斥 AB 例如
B
AB
1
1 1 若 P ( A ) , P ( B ) , 2 2
则 P ( AB ) P ( A ) P ( B ).
结论：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发 生的概率没有影响好运动者健，好思考者智，好助人者乐
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第11章 第5节事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
n
∑ P(Ai)P(B|Ai) .此公式称为全概率公式.
i=1
常用结论
1.若事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n(n>2)个事件同时发生的概率等于
每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
2.当P(A)>0时,事件A与B相互独立⇔P(B|A)=P(B).
1
由于 P(甲丁)=P(甲)·
P(丁)=36,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互
独立,故选 B.
(2)(多选题)甲、乙两人参加消防安全知识竞赛活动.活动共设三轮,在每轮活
动中,甲、乙各回答一题,若一方答对且另一方答错,则答对的一方获胜,否则
2
1
本轮平局.已知每轮活动中,甲、乙答对的概率分别为3 和 2,且每轮活动中甲、
如果事件A,B是两个随机事件,且 P(A)>0,则在事件A发生的条
件下事件B发生的概率叫作条件概率,记为P(B|A),且
()
()
P(B|A)=
设P(A)>0,
条件概率的 则(1)P(Ω|A)=1;
相关结论 (2)如果B和C是两个互斥事件,则P((B∪C)|A)= P(B|A)+P(C|A);
球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( B )
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
1
1
5
5
6
1
解析 由已知得 P(甲)=6,P(乙)=6,P(丙)=6×6 = 36,P(丁)=6×6 = 6,
1
1
1
1
P(甲丙)=0,P(甲丁)=6×6 = 36,P(乙丙)=6×6 = 36,P(丙丁)=0.
∑ P(Ai)P(B|Ai) .此公式称为全概率公式.
i=1
常用结论
1.若事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n(n>2)个事件同时发生的概率等于
每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
2.当P(A)>0时,事件A与B相互独立⇔P(B|A)=P(B).
1
由于 P(甲丁)=P(甲)·
P(丁)=36,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互
独立,故选 B.
(2)(多选题)甲、乙两人参加消防安全知识竞赛活动.活动共设三轮,在每轮活
动中,甲、乙各回答一题,若一方答对且另一方答错,则答对的一方获胜,否则
2
1
本轮平局.已知每轮活动中,甲、乙答对的概率分别为3 和 2,且每轮活动中甲、
如果事件A,B是两个随机事件,且 P(A)>0,则在事件A发生的条
件下事件B发生的概率叫作条件概率,记为P(B|A),且
()
()
P(B|A)=
设P(A)>0,
条件概率的 则(1)P(Ω|A)=1;
相关结论 (2)如果B和C是两个互斥事件,则P((B∪C)|A)= P(B|A)+P(C|A);
球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( B )
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
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解析 由已知得 P(甲)=6,P(乙)=6,P(丙)=6×6 = 36,P(丁)=6×6 = 6,
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P(甲丙)=0,P(甲丁)=6×6 = 36,P(乙丙)=6×6 = 36,P(丙丁)=0.
第4节 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
再求事件 AB 包含的样本点个数 n(AB),得
()
P(B|A)=
()
缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩
下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简
[对点训练 2](1)(2024·重庆万州模拟)某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾
9
7
客量超过 1 万人次的概率是 ,连续两天顾客量超过 1 万人次的概率是 ,该地
P(B|A)+P(C|A)
(3)设与 B 互为对立事件,则 P(|A)=1-P(B|A)
微思考P(B|A)与P(A|B)表示的意思相同吗?
提示 不同.P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;而P(A|B)
表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率.另外从计算公式上看,
()
=
1
;
8
比赛进行五局,有以下 6 种情况:
AABBA,AABCA,ACBAA,ACCAA,BBAAA,BCAAA,
1 1
1 1 1
3
甲获胜的概率为2 × 2 × 2 × 2 × 2 ×6=16;
比赛进行七局,有以下 8 种情况:
AABCCBA,AABBCCA,ACBBCAA,ACBACBA,ACCABBA,BBACACA,BCAACBA,
P(AB)=P(A)P(B)是事件A与B相互独立的充要条件
1.事件的相互独立性
事件 A 与事件 对任意的两个事件 A 与 B,如果 P(AB)=P(A)P(B)成立,则
B 相互独立
称事件 A 与事件 B 相互独立,简称为独立
性质
若事件 A 与事件 B 相互独立,则 A 与, 与 B,与也都
相互独立
20
事件的相互独立性条件概率与全概率公式课件-2025届高三数学一轮复习
相互独立事件的概率
典例2 （双空题）（2023 · 天津卷）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为,, .现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_____；将三个盒子混合后任取一个球是白球的概率为__.
题组3 走向高考
5.（2023 · 全国甲卷）某地的中学有的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( ) .
A
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
解析 记“该同学爱好滑雪”为事件，记“该同学爱好滑冰”为事件，则 ,，同时爱好两项的概率 ，所以 .故选A.
掌握
2023年新高考Ⅰ卷
★★☆
逻辑推理数学运算
考点考向
课标要求
真题印证
考频热度
核心素养
命题分析预公式，常与数列交汇，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点.预计2025年高考的命题情况变化不大，全概率公式属于比较新的考点，应加强对相关模型的理解以及训练
C
A.0.78 B.0.8 C.0.82 D.0.84
解析 设事件表示“甲正点到达目的地”，事件表示“甲乘动车到达目的地”，事件 表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知,, , . 由全概率公式得 .故选C.
利用全概率公式解题的思路1. 按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件 ；2. 求和所求事件在各个互斥事件发生条件下的概率 ；3. 代入全概率公式计算.【注意】要区分和 .
4.（人教A版选修③P52 · 练习T1改编）现有12道单选题，某同学对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为 ，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.若该同学从这12道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为___.
典例2 （双空题）（2023 · 天津卷）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为,, .现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_____；将三个盒子混合后任取一个球是白球的概率为__.
题组3 走向高考
5.（2023 · 全国甲卷）某地的中学有的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( ) .
A
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
解析 记“该同学爱好滑雪”为事件，记“该同学爱好滑冰”为事件，则 ,，同时爱好两项的概率 ，所以 .故选A.
掌握
2023年新高考Ⅰ卷
★★☆
逻辑推理数学运算
考点考向
课标要求
真题印证
考频热度
核心素养
命题分析预公式，常与数列交汇，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点.预计2025年高考的命题情况变化不大，全概率公式属于比较新的考点，应加强对相关模型的理解以及训练
C
A.0.78 B.0.8 C.0.82 D.0.84
解析 设事件表示“甲正点到达目的地”，事件表示“甲乘动车到达目的地”，事件 表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知,, , . 由全概率公式得 .故选C.
利用全概率公式解题的思路1. 按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件 ；2. 求和所求事件在各个互斥事件发生条件下的概率 ；3. 代入全概率公式计算.【注意】要区分和 .
4.（人教A版选修③P52 · 练习T1改编）现有12道单选题，某同学对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为 ，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.若该同学从这12道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为___.
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12.5相互独立 事件与概率的
乘法公式
一、课前准备
1.互斥事件
我们把不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件
2.和(并)事件
由事件A和B至少有一个发生所构成的事件C称为事件A与B的和(并)事件
3.对立事件
其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件
4.交(积)事件
事件A和B同时发生所构成的事件D称为事件A与B的交(积)事件
5.互斥事件的概率加法公式
P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P(A1) ? P(A2 ) ? ? ? P( An )
6.反概率公式 P(A)=1－P(A)
二.新课引入
引例、甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛子里有2个白球,2个黑球, 从这两个坛子里分别摸出1个球,它们都是白球的概率是多少？
甲
乙
同时摸出白球的 结果有3× 2种．
?
P(A? B) ?
3? 2 5? 4
又?
P(A)
?
3， 5
P(B)
?
2. 4
P(A? B) ? P(A) ? P(B)
这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发 生的概率的积．
一般地,如果事件A1，A2，…，An相互独立,那么这n个事件同时 发生的概率,等于每个事件发生的概率的积
⑶C的发生与否对D事件发生的概率有影响吗? 无 A与B互为独立事
由此得件出下列结论 :
3.相互独立事件的性质
若事件A、B是相互独立事件,则 ① A与B ② A与B ③ A与B 均是相互独立事件.
4.加强理解
1.互斥事件与相互独立事件有何区别？
两事件互斥是指两个事件不可能同时发生;
两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率 没有影响.
答：……
(3)至少有1人击中目标的概率．
解法1：P? P（A? B）? P（A? B? A ? B）? 0.36? 0.48? 0.84
解法2:两人都未击中目标的概率是 P（A ? B）? P（A）? P（B）?（1? 0.6)? (1? 0.6)? 0.4? 0.4? 0.16, 因此,至少有1人击中目标的概率
答：3…6…
（2）“两人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种情况： 一种是甲击中、乙未击 中（事件A ? B发生），另一种是甲 未击中、乙击中（事件 A ? B发生）
由题意，这两种情况在 各射击一次时不可能 同时发生，即事件A ? B与A ? B互斥.
故所求概率为P（（A ? B）? P（A）? P（B）? P（A）? P（B） ? 0.6? (1? 0.6)? (1? 0.6)? 0.6? 0.24? 0.24? 0.48.
2.结合引例回答下列问题
由相互独立事件的定义 ,很显然事件 A、B是相互独立的 记 A ?=C{从甲坛子里摸出 1个球,得到黑球}
B ? =D{从乙坛子里摸出 1个球,得到黑球}
⑴A的发生与否对D事件发生的概率有影响吗? 无 A与B互为独立事件
⑵C的发生与否对B事件发生的概率有影响吗? 无 A与B互为独立事件
P(A·B)是多少?
从甲坛子里摸出1个球,有 种5 等可能的结果;从乙坛子里摸出1个 球,有 种等可4能的结果.于是从两个坛子里各摸出1个球,共有 种等可能5的×结4 果.
(白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑)
解:(1)记“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目 标”为事件B.由于甲(或乙)是否击中,对乙(或甲)击中的概率是没
有影响的,因此A与B是相互独立事件．
又“两人各射击1次,都击中目标”就是事件A·B发生,根据相互 独立事件的概率乘法公式,得到:
P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.
即 如果那AP么、(A1B-1是P·A(两A2?)个P··(·相B··)表互A示n独)什=立P么的．(？A事1件)·,P(A2)·····想P(一A想n) ？
表示相互独立事件A、B中 至少有一个不发生的概率
即 1? P(A) ? P(B) ? P(A? B)
6.变式
如果A、B是两个相互独立的事件,
P ? 1? P(A ? B) ? 1? 0.16? 0.84.
答：……
例2、制造一种零件,甲机床的正品率是0.9,乙机床的正品率是 0.95,从它们制造的产品中各任抽一件,计算: (1)两件都是正品的概率是多少? (2)恰有一件是正品的概率是多少?
互斥事件
互相独立事件
(4)在一个口袋内装有 3个白球和2个黑球,则“从中任意 取出1个球,得到白球”与“在剩下的 4个球中,任意取出 1个球,得到黑球” .
不是互斥事件 不是互相独立事件
5.独立事件同时发生的概率
“从两个坛子里分别摸出1个球,都是白球” 是一个事件,它的发生,就是事件A，B同 时发生,我们将它记作A·B.想一想,上面 两个相互独立事件A、B同时发生的概率
那1么? P(A)P(表B)示什么？
想一想？
表示相互独立事件A、B中 至少有一个发生的概率
即
1 ? P(A)P(B) ? P(A ? B)
四.例题分析
例1、甲、乙 2人各进行 1次射击 ,如果 2人击中目标的概 率都是 0.6, 且相互之间没有影响，计算 (1)2人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率 ．
2.下列各对事件中 ,哪些是互斥事件 ,哪些是相互独立事 件?为什么?
(1)“掷一枚硬币,得到正面向上”与“掷一枚骰子,向上的面是2
点”;
不是互斥事件
互相独立事件
(2)“在一次考试中,张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的 成绩不及格”;
不是互斥事件 互相独立事件
(3)在一个口袋内装有 3个白球和2个黑球,则“从中任意 取出1个球,得到白球”与“从中任意取出 1个球,得到黑 球”;
把“从甲坛子里摸出1个
球,得到白球”叫做事件
A
P ( A) ?
3
5
把“从乙坛子里摸出 1个 球,得到白球”叫做事件B
没有影响
P(B) ? 2 4
甲
乙
三.新课
1.独立事件的定义 事件A(或B)是否发生对事件 B(或A)发生的概率没
有影响,这样的两个事件叫做 相互独立事件．
想一想：如果事件Α 与Β相互独立，那么Α与Β， Α与Β，Α与Β是否也相互独立？
乘法公式
一、课前准备
1.互斥事件
我们把不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件
2.和(并)事件
由事件A和B至少有一个发生所构成的事件C称为事件A与B的和(并)事件
3.对立事件
其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件
4.交(积)事件
事件A和B同时发生所构成的事件D称为事件A与B的交(积)事件
5.互斥事件的概率加法公式
P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P(A1) ? P(A2 ) ? ? ? P( An )
6.反概率公式 P(A)=1－P(A)
二.新课引入
引例、甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛子里有2个白球,2个黑球, 从这两个坛子里分别摸出1个球,它们都是白球的概率是多少？
甲
乙
同时摸出白球的 结果有3× 2种．
?
P(A? B) ?
3? 2 5? 4
又?
P(A)
?
3， 5
P(B)
?
2. 4
P(A? B) ? P(A) ? P(B)
这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发 生的概率的积．
一般地,如果事件A1，A2，…，An相互独立,那么这n个事件同时 发生的概率,等于每个事件发生的概率的积
⑶C的发生与否对D事件发生的概率有影响吗? 无 A与B互为独立事
由此得件出下列结论 :
3.相互独立事件的性质
若事件A、B是相互独立事件,则 ① A与B ② A与B ③ A与B 均是相互独立事件.
4.加强理解
1.互斥事件与相互独立事件有何区别？
两事件互斥是指两个事件不可能同时发生;
两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率 没有影响.
答：……
(3)至少有1人击中目标的概率．
解法1：P? P（A? B）? P（A? B? A ? B）? 0.36? 0.48? 0.84
解法2:两人都未击中目标的概率是 P（A ? B）? P（A）? P（B）?（1? 0.6)? (1? 0.6)? 0.4? 0.4? 0.16, 因此,至少有1人击中目标的概率
答：3…6…
（2）“两人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种情况： 一种是甲击中、乙未击 中（事件A ? B发生），另一种是甲 未击中、乙击中（事件 A ? B发生）
由题意，这两种情况在 各射击一次时不可能 同时发生，即事件A ? B与A ? B互斥.
故所求概率为P（（A ? B）? P（A）? P（B）? P（A）? P（B） ? 0.6? (1? 0.6)? (1? 0.6)? 0.6? 0.24? 0.24? 0.48.
2.结合引例回答下列问题
由相互独立事件的定义 ,很显然事件 A、B是相互独立的 记 A ?=C{从甲坛子里摸出 1个球,得到黑球}
B ? =D{从乙坛子里摸出 1个球,得到黑球}
⑴A的发生与否对D事件发生的概率有影响吗? 无 A与B互为独立事件
⑵C的发生与否对B事件发生的概率有影响吗? 无 A与B互为独立事件
P(A·B)是多少?
从甲坛子里摸出1个球,有 种5 等可能的结果;从乙坛子里摸出1个 球,有 种等可4能的结果.于是从两个坛子里各摸出1个球,共有 种等可能5的×结4 果.
(白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑)
解:(1)记“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目 标”为事件B.由于甲(或乙)是否击中,对乙(或甲)击中的概率是没
有影响的,因此A与B是相互独立事件．
又“两人各射击1次,都击中目标”就是事件A·B发生,根据相互 独立事件的概率乘法公式,得到:
P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.
即 如果那AP么、(A1B-1是P·A(两A2?)个P··(·相B··)表互A示n独)什=立P么的．(？A事1件)·,P(A2)·····想P(一A想n) ？
表示相互独立事件A、B中 至少有一个不发生的概率
即 1? P(A) ? P(B) ? P(A? B)
6.变式
如果A、B是两个相互独立的事件,
P ? 1? P(A ? B) ? 1? 0.16? 0.84.
答：……
例2、制造一种零件,甲机床的正品率是0.9,乙机床的正品率是 0.95,从它们制造的产品中各任抽一件,计算: (1)两件都是正品的概率是多少? (2)恰有一件是正品的概率是多少?
互斥事件
互相独立事件
(4)在一个口袋内装有 3个白球和2个黑球,则“从中任意 取出1个球,得到白球”与“在剩下的 4个球中,任意取出 1个球,得到黑球” .
不是互斥事件 不是互相独立事件
5.独立事件同时发生的概率
“从两个坛子里分别摸出1个球,都是白球” 是一个事件,它的发生,就是事件A，B同 时发生,我们将它记作A·B.想一想,上面 两个相互独立事件A、B同时发生的概率
那1么? P(A)P(表B)示什么？
想一想？
表示相互独立事件A、B中 至少有一个发生的概率
即
1 ? P(A)P(B) ? P(A ? B)
四.例题分析
例1、甲、乙 2人各进行 1次射击 ,如果 2人击中目标的概 率都是 0.6, 且相互之间没有影响，计算 (1)2人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率 ．
2.下列各对事件中 ,哪些是互斥事件 ,哪些是相互独立事 件?为什么?
(1)“掷一枚硬币,得到正面向上”与“掷一枚骰子,向上的面是2
点”;
不是互斥事件
互相独立事件
(2)“在一次考试中,张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的 成绩不及格”;
不是互斥事件 互相独立事件
(3)在一个口袋内装有 3个白球和2个黑球,则“从中任意 取出1个球,得到白球”与“从中任意取出 1个球,得到黑 球”;
把“从甲坛子里摸出1个
球,得到白球”叫做事件
A
P ( A) ?
3
5
把“从乙坛子里摸出 1个 球,得到白球”叫做事件B
没有影响
P(B) ? 2 4
甲
乙
三.新课
1.独立事件的定义 事件A(或B)是否发生对事件 B(或A)发生的概率没
有影响,这样的两个事件叫做 相互独立事件．
想一想：如果事件Α 与Β相互独立，那么Α与Β， Α与Β，Α与Β是否也相互独立？