相互独立事件发生的概率
相互独立事件同时发生的概率
解 记 Ai 表示事件：电流能通过 Ti，i＝1,2,3,4. A 表示事件：T1，T2，T3 中至少有一个能通过电流． B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过． (1) A ＝ A1 · A2 · A3 ，A1、A2、A3 相互独立． 故 P( A )＝P( A1 · A2 · A3 )＝P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ＝(1－p)3， 又 P( A )＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001， 故(1－p)3＝0.001，得 p＝0.9. (2)B＝A4＋ A4 · A1· A3＋ A4 · A1 · A2· A3， P(B)＝P(A4＋ A4 · A1· A3＋ A4 · A1 · A2· A3) ＝P(A4)＋P( A4 · A1· A3)＋P( A4 · A1 · A2· A3) ＝P(A4)＋P( A4 )P(A1)P(A3)＋P( A4 )P( A1 )P(A2)P(A3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.989 1.
2．独立重复试验 (1)独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次试验结果 的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这 n 次 试验是独立的． (2)独立重复试验的概率：如果在一次试验中，某事件 发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复试验中，这个
k k n k C P (1 － P ) 事件恰好发生 k 次的概率为：Pn(k)＝ n .
2．如图所示的电路，有 a，b，c 三个开关，每个开关 1 开或关的概率都是2，且是相互独立的，则灯泡甲亮 1 的概率为________ ． 8
解析 理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件 A， “b 闭合”为事件 B，“c 闭合”为事件 C，则灯亮应为 事件 AC B ，且 A，C， B 之间彼此独立，且 P(A)＝P( B ) 1 ＝P(C)＝2. 1 所以 P(A B C)＝P(A)P( B )P(C)＝8.
说课：相互独立事件同时发生的概率
六、教学过程
8、作业布置 必做题：教材第139页 必做题：教材第139页 139 4、 5、 7、
研究性题: 研究性题: 在力量不是十分悬殊的情况下我们解 释了“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的说法。那么你 释了“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的说法。 能否用概率的知识解释我们常说的“ 能否用概率的知识解释我们常说的“真理往往掌 握在少数人手里” 握在少数人手里”？
六、教学过程
1、创设情境，让学生的思维“动”起来 ： 创设情境，让学生的思维“
诸葛亮vs臭皮匠 诸葛亮 臭皮匠
已知某问题诸葛亮解出的把握为80%， 已知某问题诸葛亮解出的把握为80%，臭皮匠 80% 老大、老二解出的把握分别为50% 45%。 50%， 老大、老二解出的把握分别为50%，45%。
趣味相投
六、教学过程
2、概念教学,让学生的思维“活”起来 概念教学,让学生的思维“ 相互独立事件的定义: 1、相互独立事件的定义: 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 A( 是否发生对事件B( 有影响，则称事件A 为相互独立事件． 有影响，则称事件A与B为相互独立事件． 2、相互独立事件的性质： 相互独立事件的性质： 若事件 A B相互独立，则事件 A与 B， 与 B A 与 相互独立， B ， 也相互独立. 与A 也相互独立. 3、相互独立事件同时发生的概率： 相互独立事件同时发生的概率： 符号表示：相互独立事件A 符号表示：相互独立事件A与B同时发生，记作 A⋅ B 同时发生，
正难则反
时间安排: 时间安排: 课题引入约5分钟，定义的理解约7分钟， 课题引入约5分钟，定义的理解约7分钟，公式 的探索约3分钟，实践练习约22分钟， 22分钟 的探索约3分钟，实践练习约22分钟，小结与作业 分钟. 一节课40分钟） 40分钟 约3分钟.（注：一节课40分钟）
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事
件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
第十一章 第三节 相互独立事件同时发生的概率
解析：前两次取出的是螺口灯泡，有
取得卡口灯泡，有
种取法，第三次
种取法，根据分步计数原理，共有
种取法，所以所求概率为＝ 答案： D
3.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率 不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中 发生的概率p的取值范围是 A.[0.4,1] B.(0,0.4] ( )
∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2).
∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的
概率为P(A1C2＋A2C1)，
一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，
∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋ P(B1B2)，由事件的独立性得 P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中
目标3次的概率；
(3)[理]假设某人连续2次未击中目标，则终止射击．问： 乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？
(1)利用对立事件求解， (2)是相互独立事件， (3)第五次乙一定未击中.
【解】
(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生 通过的概率均为 每个男生通过的概率均为 现对该
小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，求这3人
中通过测试的人数不少于2人的概率.
解：(1)设该小组中有n个女生.根据题意，得＝ 解得n＝6，n＝4(舍去). ∴该小组中有6个女生.
(2)由题意，甲、乙、丙3人中通过测试的人数不少于2 人即通过测试的人数为3人或2人. 记甲、乙、丙通过测试分别为事件A、B、C.则 P＝P( · C)＋P(A· B· · C)＋P(A· B· )＋P(A· C). B·
相互独立事件同时发生的概率.
相互独立事件同时发生的概率知识要点:1．对于事件A、B，如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则称这样的两个事件为相互独立事件.2．相互独立事件的概率乘法公式:设事件A、B相互独立，把A、B同时发生的事件记为（A·B），则有P（A·B）=P（A）·P（B）.上述公式可以推广如下:如果事件A1，A2，……，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即P(A1·A2·……·A n)=P(A1)·P(A2)·……·P(A n).3．如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率:P n(k)=P k(1-P)n-k.实际上，它就是二项展开式[(1-P)+P]n的第(k+1)项.要求：1．掌握相互独立事件的概率乘法公式，会用它计算一些事件的概率.2．掌握计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.典型题目例1.加工某种零件先后需经历三道工序，已知第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假定各道工序互不影响，问加工出来的零件的次品率为多少？解:设A1、A2、A3分别表示三道工序得到次品的事件，由题设知，它们是相互独立的事件，而加工得到次品是指以上三个工序中至少有一个工序是次品，即次品事件A=.∴P(A)=0.02×0.97×0.95+0.98×0.03×0.95+0.98×0.97×0.05+0.02×0.03×0.95+0.02×0.97×0.05+0.98×0.03×0.05+0.02×0.0 3×0.05=0.09693.例2．某商人购进光盘甲、乙、丙三件，每件100盒，其中每件里面都有1盒盗版光盘.这个商人从这3件光盘里面各取出1盒光盘卖给了李四，求:（1）李四恰好买到1盒盗版光盘的概率；（2）李四至少买到1盒盗版光盘的概率.解:（1）记从甲、乙、丙三件光盘里面各取出1盒光盘，得到非盗版光盘的事件分别为A、B、C，则事件·B·C、A··C、A·B·是互斥的；事件、B、C，A 、、C，A、B、彼此之间又是相互独立的.所以P(·B·C+A··C+A·B·)=P(·B·C)+P(A··C)+P( A·B·)=P()·P(B)·P(C)+P(A)·P()·P(C)+P(A)·P(B)·P()=0.01×0.99×0.99+0.99×0.01×0.99+0.99×0.99×0.01≈0.03.（2）事件A、B、C的设法同第（1）小题.因为P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.99×0.99×0.99=0.993,所以1-P(A·B·C)=1-0.993≈0.03.例3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8. 计算:(1)两人都击中目标的概率；（2）其中恰有1人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率.分析:此题有三问，要依层次来解.解:（1）记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件:A·B，又由于事件A与B相互独立，∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.8=0.64.（2）“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中（即A·），另一种是甲未击中乙击中（即·B），根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A·与·B是互斥的，所以所求概率为:P=P( A·)+P(·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32.（3）解法1:“两条各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为:P=P(A·B)+[P(A·)+P(·B)]=0.64+0.32=0.96.解法2:“两人都未击中目标”的概率是:P(·)=P()·P()=(1-0.8)×(1-0.8)=0.2×0.2=0.04.∴至少有一人击中目标的概率为:P=1-P(·)=1-0.04=0.96.点评:由（3）可见，充分利用（1）、（2）两问的结果解题很简单.但是（3）的解法2也告诉我们，即使是不会求（1）、（2），也可独立来解（3）.在考试中要特别注意这一点.例4．某种大炮击中目标的概率是0.3，最少以多少门这样的大炮同时射击一次，就可以使击中目标的概率超过95%？解:设需要n门大炮同时射击一次，才能使击中目标的概率超过95%，n门大炮都击不中目标的概率为×0.30×0.7n=0.7n.至少有一门大炮击中目标的概率为1-0.7n.根据题意，得1-0.7n>0.95，即0.7n<0.05,nlg0.7<lg0.05，n>≈8.4.答:最少以9门这样的大炮同时射击一次，就可使击中目标的概率超过95%.例5．要制造一种机器零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求:（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中恰有一件废品的概率；（3）其中至多有一件废品的概率；（4）其中没有废品的概率；（5）其中都是废品的概率.分析:应先确定所应用的每一事件的概率，以便求解.解:依题意可知:显然，这两个机床的生产应当看作是相互独立的.设A=“从甲机床抽得的一件是废品”，B=“从乙机床抽得的一件是废品”.则P(A)=0.04, P()=0.96, P(B)=0.05, P()=0.95.由题意可知，A与B，与B，A与，与都是相互独立的.（1）“至少有一件废品”=A+B.P(A+B)=1-P()=1-P(·）=1-P()·P()=1-0.96×0.95=0.088.（2）“恰有一件废品”=·B+A·.P(·B+A·)=P(·B)+P(A·）=P()·P(B)+P(A)·P()=0.96×0.05+0.04×0.95=0.048+0.038=0.086.（3）“至多有一件废品”=A·+·B+·P(A·+·B+·)=P(A·)+P(·B)+P(·)=P(A)·P()+P()·P(B)+P()·P()=0.04×0.95+0.96×0.05+0.96×0.95=0.998.另外的解法是:“至多有一件废品不发生”=“两件都是废品”=A·BP(A·+·B+·)=1-P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-0.04×0.05=0.998.（4）“其中无废品”=“两件都是成品”=·. P(·)=P()·P()=0.96×0.95=0.912.（5）“其中全是废品”=A·BP(A·B)=P(A)·P(B)=0.04×0.05=0.002.点评:本例有很强的综合性，学习中要注意认真体会加以理解掌握之.例6．已知射手甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.问三人同时射击目标，目标被击中的概率是多少？解:设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生.但应注意，A、B、C这三个事件并不是互斥的，因为目标可能同时被两人或三人击中，因此，可视目标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，它可以表示为，而三人射击结果相互独立.所以P()=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=(1-)(1-)(1-)=.所以，目标被击中的概率是1-P()=1-测试选择题1．某气象预报站气象预报的准确率为80%,则它5次预报中恰有4次准确的概率约为( )A. 0.41B. 0.76C. 0.55D. 0.432．一批产品共有20个,其中有4个次品,从其中任意抽取1个来检查,记录其等级后,放回；再取,再放回.如此继续共查4次,求4次都取得合格品的概率( )A. B. C. D.3．某公司把一个技术难题交给A、B、C三人独立去解决.由以往业绩估计A、B、C三人能独立解决此问题的概率分别为0.4,0.5,0.6,问:他们三人能解决此问题的概率为（）A. 0.87B. 0.88C. 0.90D. 0.864．某气象局对其所属的某气象站“天气预报情况”进行了一次抽查,结果是:预报准确的概率是0.98,以这个结果为准,求这家气象站在100次的天气预报中至少有99次准确的概率( )。
高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲 人教版
高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲 人教版【基础知识精讲】1.相互独立事件与事件的积事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.设A 、B 是两个事件，那么A ·B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生，它可以推广到有限多个事件的积.2.相互独立事件发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. P(A ·B)＝P(A)·P(B) (1)证明：设甲试验共有N 1种等可能的不同结果，其中属于A 发生的结果有m 1种，乙试验共有N 2种等可能的不同结果，其中属于B 发生的结果有m 2种，由于事件A 与B 相互独立，N 1，m 1与N 2，m 2之间是相互没有影响的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N 1·N 2种不同的搭配，显然这些搭配都是具有等可能性的.另外，考察属于事件AB 的试验结果，显然，凡属于A 的任何一种试验的结果同属于B 的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A 与B 同时发生，即属于事件AB ，这种结果总共有m 1·m 2种.因此得：P(AB)＝2121N N m m ⋅⋅＝11N m ·22N m∴ P(AB)＝P(A)P(B)这个公式进一步推广：P(A 1A 2……A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n )即：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.值得注意的是：①事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算： P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为 P(A+B)＝P(A)+P(B)②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.3.独立重复试验.独立重复试验，又叫贝努里试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.一般地，如果在一次试验中某件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率P n (k)＝k P k (1-P)n-kP n (k)＝k P k (1-p)n-k 可以看成二项式［(1-p)+p ］n展开式中的第k+1项.【重点难点解析】本节的重点是相互独立事件的概念乘法公式，理解并掌握n 次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式.难点是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率的求法.例1甲、乙两人独立地解同一个问题，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，那么两人都没能解决这个问题的概率是( )A.2-P1-P2B.1-P1P2C.1-P1-P2+P1P2D.1-(1-P1)(1-P2)E⋃，而解法一：记甲解决成功为E，乙解决成功为F，则两个均未成功为事件FE⋃)＝1-P(E∪F)＝1-［P(E)+P(F)-P(EF)］，由于E、F独立，故P(EF)＝P(E)P(F)，P(FE⋃)＝1-P1-P2+P1P2.故选C.这样，P(F解法二：记号同解法一，所求事件为EF，由于E与F独立，故P(EF)＝P(E)·P(F)＝(1-P1)(1-P2)＝1-P1+P2+P1P2.解法三：可采用极端原则：设P1＝1，P2＝0，则所求概率为0，而四个选项中只有C此时值为0.故选C.例2甲、乙、丙各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率；(2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率.解 (1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A、B、C彼此独立，三人都击中目标就是事件A·B·C发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384(2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中恰有2人击中，又有3种情形，即事件A·B·C，A·B·C，A·B·C分别发生，而这3种事件又互斥，故所求的概率是P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.8×0.4+0.8×0.2×0.6+0.2×0.8×0.6+0.8×0.8×0.6＝0.832(3)恰有1人击中目标有3种情况，即事件A·B·C，A·B·C，A·B·C，且事件分别互斥，故所求的概率是P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)+P(A)·P(B)+P(C)+P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.2×0.4+0.2×0.8×0.4+0.2×0.2×0.6＝0.152.答：3人都击中目标的概率是0.384；至少2人击中目标的概率是0.832；恰有1人击中目标的概念是0.152.说明题(3)还可用逆向思考，先求出3人都未击中的概率是0.016，再用1-0.832-0.016可得.例3甲、乙两人各投篮3次，每次投中得分的概率分别为0.6和0.7，求(1)甲、乙得分相同的概率；(2)甲得分比乙多的概率.解 (1)分别令3次投篮中甲投中0次、1次、2次、3次为事件A 0，A 1，A 2，A 3；乙恰投中0次，1次，2次，3次为事件B 0，B 1，B 2，B 3，当且仅当他们投中次数相同时得分才相同，设得分相同为事件D.那么D ＝A 0B 0+A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3所以P(D)＝P(A 0B 0)+P(A 1B 1)+P(A 2B 2)+P(A 3B 3)＝(1-0.6)3(1-0.7)3+C 31×0.6×(1-0.6)2×C 31×0.7×(1-0.7)2+C 32×0.62×(1-0.6)C 32×0.72×(1-0.7)+0.63×0.73＝0.321(2)设“甲得分比乙多”为事件E ，当且仅当甲投中次数比乙多，事件E 发生，所以E ＝A 1B 0+A 2B 0+A 3B 0+A 2B 1+A 3B 1+A 3B 2利用公式可求得P(E)＝0.243例4 工人看管3台机床，在1小时内，3台机床正常工作(不需要照顾)的概率分别是0.9，0.8，0.85，求在任一小时内.(1)3台机床都不需要照顾的概率.(2)3台机床中至少有一台不需要工人照顾的概率. 解 (1)可以认为机床的工作是相互独立的.设A 1，A 2，A 3分别表示第1、2、3台机床不需要工人照顾，则P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.9×0.8×0.85＝0.612.即3台机床都不需要工人照顾的概率为0.612.(2)“3台机床中至少有一名不需要照顾”与“3台都需要工人照顾”是对立事件，即A 1+A 2+A 3与1A 、2A 、3A 是对立事件，所以P(A 1+A 2+A 3)＝1-P(321A A A ++) ＝1-P(321A A A ) ＝1-P(1A )P(2A )P(3A )＝1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85) ＝0.997即3名机床中至少有一台不需要照顾的概率为0.997.【难题巧解点拨】例1 有10台同样的机器，每台机器的故障率为0.03，各台机器独立工作，今配有2名维修工人，一般情况下，一台机器故障1个人维修即可，问机器故障无人修的概率是多少?解 A 表示机器故障无人修的事件，A 表示机器故障多不超过2，则P(A )＝C 100(0.97)10+C 101(0.97)9(0.03)+C 103(0.97)8(0.03)2＝0.9972P(A)＝1-P(A )＝0.0028.说明 出现故障的机器数大于2时即为机器故障无人修的情况，因为正向思考需考虑8种情况，所以应用逆向思考的方法.例2 设在一袋子内装有5只白球和5只黑球，从袋子内任取5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋中，求这5次取球中(结果保留两个有效数字)①取得白球3次的概率②至少有一次取得白球的概率解 本题考查事件在n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率.设取得一次白球的事件为A ，A 在一次试验中发生的概率P ＝0.5，所以取得白球3次的概率即A 在5次独立实验中恰好发生3次的概率.C 530.53(1-0.5)5.3＝0.3125≈0.31至少有一次取得的白球的概率为1-C 500.50(1-0.5)5＝0.96875≈0.97例3 每周甲去某地的概率是41，乙去某地的概率是51，假定两人的行动之间没有影响，分别求下列事件发生的概率：(1)一周内甲、乙同去某地的概率；(2)一月内(以四周计)甲去某地的概率.解 (1)P ＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝41×51＝201 (2)P ＝1-C 40(1-41)4(41)0＝1-(43)4＝256175评析：(1)为相互独立事件同时发生；(2)为n 次独立重复实验恰好发生k 次的事件，也可由P ＝C 41(41)1(43)3+C 42(41)2(43)2+C 43(41)3(43)+C 44(41)4(43)0求解.【课本难题解答】有甲、乙、丙三批罐头，每100个，共中各1个是不合格的，从三批罐头中各抽出1个，计算：(1)3个中恰有一个不合格的概率； (2)3个中至少有1个不合格的概率.解 (1)P 1＝P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C )＝P(A )·P(B)·P(C)+P(A)·P(B )·P(C)+P(A)·P(B)·P(C )＝3×(0.01×0.992)≈0.03或者P 1＝C 31×0.01×(1-0.01)2＝3×0.01×0.992≈0.03(2)1-0.993≈0.03【命题趋势分析】本节主要了解互斥事件与相互独立事件的意义：会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；了解独立重复试验，会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.【典型热点考题】例1 将一枚硬币连掷4次，出现“2个正面，2个反面”的概率是( )A.21 B.83 C.52D.1解 掷一枚硬币一次看作一次试验，出现上面事件为A ，则P(A)＝21，而连掷4次可看作4次独立重复实验，所求问题即为4次独立重复试验中事件A 恰好发生2次的概率是多少，根据n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率公式P n (k)＝k P k (1-P)n-k得到：P 4(2)＝C 42·(21)2·(21)2＝83∴应选B.例2 生产某种产品出现次品的概率为2%，生产这种产品4件，至多一件次品的概率为( )A.1-(98%)4B.(98%)4+(98%)3·2%C.(98%)4D.(98%)4+C 41(98%)3·2%解 生产一件产品看作一次试验，产品为次品，记作事件A ，则所求问题就是4次独立重复试验中事件A 发生一次或不发生的概率.由公式 P n (k)＝k P k (1-p)n-k.得：P ＝C 40(2%)·(1-2%)4+C 41(2%)(1-2%)3＝(98%)4+C 41(98%)3·2% ∴应选D.本周强化练习： 【同步达纲练习】一、选择题1.若事件P 与Q 独立，则P 与Q ；P 与Q ；P 与Q 相互独立的对数是( ) A.0 B.1 C.2 D.32.下列正确的说法是( ) A.互斥事件是独立事件 B.独立事件是互斥事件C.两个非不可能事件不能同时互斥与独立D.若事件A 与事件B 互斥，则A 与B 独立.3.一个均匀的正四体，第一面是红色，第二面是白色，第三面是黑色，而第四面同时有红、白、黑三种颜色，P 、Q 、R 表示投掷一次四面体接触桌面为红、白、黑颜色事件.则下列结论正确的是( )A.P 、Q 、R 不相互独立B.P 、Q 、R 两两独立C.P 、Q 、R 不会同时发生D.P 、Q 、R 的概率是314.一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是( ) A.第一次摸出是白球与第一次摸出是黑球B.摸出后不放回.第一次摸的是白球，第二次摸的是黑球C.摸出后放回，第一次摸的是白球，第二次摸的是黑球D.一次摸两个球，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球5.某产品合格率为0.9，下列事件可看作独立重复试验( ) A.一次抽3件，都是合格品 B.一次抽3件，只有2件合格品 C.抽后放回，连续抽三次都是次品D.抽出后，合格品就不放回，是次品就放回，连续抽三次，三次都是合格品6.一批产品100件，其中5件是次品，从中任取三件，恰有一件是次品的概率是( ) A.C 31·0.05·(1-0.05)2B.51C.1005×3D.310025.915C C C7.推毁敌人一个工事，要命中三发炮弹才行，我炮兵射击的命中率是0.8.为了95%的把握摧毁工事，需要发射炮弹的个数是( )A.6B.5C.4D.38.甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为P ，乙不能解出的概率为q ，那么两人都能解出此题的概率是( )A.pqB.p(1-q)C.(1-p)(1-q)D.1-(1-p)(1-q)9.一批产品共有100个，次品率3%，从中任取3个恰有1个次品的概率是( )A.C 310.03(1-0.03)2B.C 31(0.03)2(1-0.03)C.C 31(0.03)3D.310019713C C C10.10颗骰子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点的概率是( )A.［1-(65)10］5B.［1-(65)5］10C.1-［1-(61)10］5D.1-［1-(65)5］10二、填空题1.两雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，则有且仅有1名雷达发现飞行物的概率为.2.一个工人看管10部机器，在某段时间里一部机器需要人照看的概率为31，则在这段时间内，有四部机器需要照看的概率是.3.100个大小一样的球，其中红球90个，白球10个，现从中任取10个球.(1)若取后放回去，连续10个都是红球的概率＝；(2)若取后不放回，连续取10个都是红球的概率＝.4.每次射击打中目标的概率为0.2，如果射击6次，则至少打中两次的概率＝.5.某工人出废品的概率是0.2，则4天中仅有1天出废品的概率＝.6.一批棉花中任抽一纤维，长度小于45厘米的概率是0.75，则任抽3根纤维，两根小于45厘米，一根不小于45厘米的概率是.7.盒中有7个白球和3个黑球，从中连续取两次，两次都是白球.(1)如第一个取出后不放回，再取第二个，此时概率为；(2)如第一个球取出后放回，然后再取第二个，此时概率为.8.某气象局预报天气情况的准确率为0.9，那么一周内有五天准确的概率为.三、解答题1.两位乒乓球运动员水平相当，甲四次中胜乙三次的概率与甲八次中胜乙五次的概率哪种大?2.三位同龄工人参加人寿保险，在一年中，每人的死亡率都是0.01，年初交10元保险金，如一年内死亡，则发给家属100元.(1)一年中，保险公司亏本的概率?(2)保险公司一年中要付出200元的概率是多少?3.两个抽屉，各存放五个零件，使用时从任一抽屉中取一个，问过一段时间后第一个抽屉已用完，第二个抽屉还剩2个的概率?【素质优化训练】1.某厂正常用水(一天内用水在额定量之内)的概率为43，求在六天内至少四天用水正常的概率.2.一盒中装有20个弹子球，其中10个红球，6个白球，4个黄球，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率.3.甲、乙两人进行五打三胜制的象棋赛，若甲每盘胜率为53，乙每盘胜率为52(和棋不算)，求：(1)比赛以甲比乙为3比0胜出的概率? (2)比赛以甲比乙为3比2胜出的概率?(3)比赛以乙比甲为3比1胜出的概率?4.现有一题面向全班50名同学征求解答，假定每人独立解出此题的概率为0.1，问此题能否在该班独立被解答的概率达95%?5.某人在车站上等车，可坐任何车回家，已知半小时内电车到站的概率为21，公交车到站的概率为41，计算此人十分钟内能乘回家的概率.【生活实际运用】船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费.据预测下月好天气的概率是0.6，坏天气的概率是0.4，问应如何作出决策?解 因为天气好坏是不确定因素，因此作决策时存在一定的风险，我们不能保证所作的决策一定会取得最好的效益，但必须使效益的期望值是最高的.要作出是否出海的决策，其主要依据是效益的高低，根据题意，不出海的效益是-1000元，而出海的效益要视天气而定，有60%的概率获5000元的收益，有40%的概率获-2000元的收益，故可求得出海效益的期望值.E ＝5000×60%+(-2000)×40% ＝2200(元).显然高于不出海的收益-1000元.故选择出海.【知识验证实验】证明“五局三胜”制(即比赛五局，先胜三局者为优胜者)是公平的比赛制度，即如果比赛双方赢得每局是等可能的，各局比赛是独立进行的，则双方获胜的概率相同.证 将每一局比赛看作一次试验，考察一方，如甲方胜或负(即乙方负或胜)，问题归结为n ＝5的贝努里试验.设A 表示一局比赛中“甲获胜”事件，由题意，P(A)＝21，记B k 为“五局比赛中甲胜k 局”事件，k ＝0、1、2、3、4、5.则P(“甲获胜”)＝P(B 3∪B 4∪B 5).则利用概率的加法公式，注意到C 5k ＝C 55-k即得 P(“甲获胜”)＝P(B 3)+P(B 4)+P(B 5)＝C 53(21)5+C 54(21)5+C 55(21)5＝21. 而P(“乙获胜”)＝P(“甲获胜”)＝1-21＝21.【知识探究学习】从某鱼池中捕得1200条鱼，做了红色记号之后再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕1000条鱼，计算其中有红色记号的鱼的数目，共有100条，试估计鱼池中共有多少条鱼.解 依次捕鱼的情况有r 个结果，因是有放回地捕鱼，所以每次捕得都有n 种可能，共有n r 个结果，其中有记号的鱼出现k 次的基本事件数目为C r k n 1r (n-n 1)r-k，那么概率为P k (n)＝r(n n 1)k (1-nn 1)r-k. 为了求P k (n)的最大值时的n ，我们设x ＝nn 1，考察函数f(x)＝x k (1-x)r-k,x ∈(0,1). 而f(x)＝kk r k r k )(1--［(r-k)x ］k ［k(1-x)］r-k≤kk r k r k )(1--｛［∑=-k i k r 1)(x+∑-=-kr i x k 1)1(］/k+(r-k)｝k+(r-k)＝k k-r(r-k)-k［rx k k r x k r k )1()()(--+-］k+r-k＝rk r k rk r k --)(. 当且仅当(r-k)x ＝k(1-x)，即x ＝r k 时，上式等号成立，即rk＝x 时，f(x)达到最大.于是^n ＝［k r n 1］时，P k (n)达到最大值，这样我们把［k rn 1］作为鱼池中鱼数n 的估计量.在题中^n ＝10010001200⨯＝12000(条).[参考答案]【同步达纲练习】一、1.D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.B 9.D 10.C二、1.P(A ·B)+P(A ·B )＝0.26 2.0.227 3.0.349，0.330 4.0.34 5.0.410 6.0.422 7.(1)157 (2)0.49 8.C 75·0.95·0.12三、1.C 43·(21)3·21＝41.C 85(21)5(21)3＝327，前者概率大于后者2.(1)1-(1-0.01)3＝0.0297 (2)C 32·(0.01)2·0.99＝0.0002973.C 85·0.55(1-0.5)3＝327 【素质优化训练】 1.C 64(43)4(41)2+C 65(43)5·(41)+C 66(43)6＝0.83 2.P ＝420410110310C C C C ＝32322 3.(1)P ＝(53)3＝12527 (2)P ＝C 53(53)3(52)2＝625216 (3)P ＝C 43(52)3(53)1＝62596 4.P ＝1-0.950＝0.995＞0.95. 故能够. 5.P ＝21×41+21×(1-41)+(1-21)×41＝85或者P ＝21+41-21×41＝85.。
独立事件概率公式大全
独立事件概率公式大全在概率论中，独立事件指的是两个或多个事件之间没有相互影响的事件。
换句话说，一些事件的发生与其它事件的发生没有关联，它们之间不会相互影响。
因此，我们可以通过简单的概率公式来计算独立事件的概率。
下面是一些常用的独立事件概率公式：1.单一事件的概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A中有利结果的个数，n(S)表示样本空间中可能的结果总数。
2.互斥事件的概率公式：P(A or B) = P(A) + P(B)其中，P(A or B) 表示事件 A 或事件 B 发生的概率，P(A) 和 P(B) 分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。
这个公式适用于事件 A 和事件B 是互斥的情况，即两个事件不能同时发生。
3.独立事件的概率公式：P(A and B) = P(A) * P(B)其中，P(A and B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 和P(B) 分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。
这个公式适用于事件 A 和事件 B 是独立的情况。
4.复合事件的概率公式：P(A and B) = P(A) * P(B，A)其中，P(A and B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B，A) 表示在已知事件 A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
5.事件的补事件概率公式：P(A')=1-P(A)其中，P(A')表示事件A的补事件发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
以上是一些常用的独立事件概率公式，可以用来计算独立事件的概率。
在实际应用中，还可以根据具体情况和问题来选择和运用适当的概率公式。
陈洁老师说课材料《相互独立事件同时发生的概率》
略解: 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
1 − P ( A ⋅ B ⋅ C ) = 1 − 0.5 × 0.55 × 0.6 = 0.835 > 0.8 = P ( D )
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过 诸葛亮.
解决问题
总结反思：
（1）列表对比 定义 概率公式 （2）解决概率问题的关键： ① 分清事件类型 ② 分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件. 互斥事件 相互独立事件
教学方法
--问题教学法 --问题教学法
总结反思， 总结反思， 深化拓展 实践应用， 实践应用， 解决问题 类比联想， 类比联想， 探索问题 合作交流， 合作交流， 感知问题 创设情境， 创设情境， 提出问题
歪 歪
当然啦！ 当然啦！ 设事件A 老大解出问题； 设事件A：老大解出问题； 事件B：老二解出问题； 事件B 老二解出问题； 事件C 老三解出问题； 事件C：老三解出问题； 事件D 诸葛亮解出问题. 事件D：诸葛亮解出问题. 那么三人中有一人解出的可能性即 P(A+ B + C) = P(A)+ P(B)+ P(C) =0.5+0.45+0.4=1.35>0.8=P(D) 所以，合三个臭皮匠之力， 所以，合三个臭皮匠之力， 把握就大过诸葛亮了. 把握就大过诸葛亮了. 乖 乖 好象挺有道 理的哦？ 理的哦？
高实践应用能力. 高实践应用能力.
教学的重点和难点
重点:相互独立事件的意义和相互独立事件同时发生 重点:
的概率公式. 的概率公式.
难点: ① 对事件独立性的判定. 难点: 对事件独立性的判定.
② 能正确地将复杂的概率问题分解转化为几 类基本的概率模型 .
学情分析
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一、教材分析 本节内容在全书及章节的地位：《相互独立时间发生的概率》是人
教版高中数学第二册（上）第十章第七节的内容。本节课是在同学们学 习了随机事件发生的概率和互斥事件发生的概率之后，进一步学习事件 的发生相互之间没有影响的情况，相互独立事件和互斥事件是随机事件 的两种特殊情况，是整个概率一章节的核心内容。概率在我们的现实生 活中应用比较广泛，如扔骰子、抽签等，因此学好概率对于我们更好的 理解生活中的公平问题变得尤其重要。 二、教学目标
．这样我们需要研究，上面两个相互独立事件
，
同时发生的概率
是多少？ 从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结 果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结 果，于是从两个坛子里各摸出1个球，共有
种等可能的结果，表示如下： （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） 在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结 果有3×2种．因此，从两个坛子里分别摸出1 个球，都是白球的概率．
2）
例6： 某城市的发电厂有5台发电机组，每台 机组在一个季度里停机维修率为
．已知两台以上机组停机维修，将造成城市缺 电．计算： （l）该城市在一个季度里停电的概率； （2）该城市在一个季度里缺电的概率． 解：（l）该城市停电必须5台机组都停电 维修，所以停电的概率是
（2）当3台或4台机组停电维修时，该城 市将缺电，所以缺电的概率是
，事件
表示事件
，
，…，
至少有一个发生，
表示事件
，
，…，
都发生，即
，
，…，
都不发生．显然
与
是两个对立事件，由两个对立事件的概率和等 于1，可得
这个公式叫做概率的和与积的互补公式， 它在概率的计算中常用来简化计算． 例5：某气象站天气预报的准确率为80％．计 算（结果保留两个有效数字）： （l）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4次准确的概率． 解：5次预报相当于5次独立重复试验． （1）
．试问
仅在于怎样 解，更在于
与
为什么这样
解，而及时
是不是相互独立事件？
对解题方法
因为事件
和规律进行
发生时（即第一个取到的是白球），事件 发生的概率
由学生 概括，有利 自答 于发展学生 后，教 的思维能 师说明 力。
； 而当事件
理由
不发生时（即第一个取到的是黑球），事 件
发生的概率
．也就是说，事件 的发生与否影响到事件 发生的概率，所以 与 不是相互独立事件。
，“从乙机床制造的产品中任意抽出一件是正 品”为事件
，由于甲（或乙）机床制造正品与否，对乙 （或甲）机床生产正品的概率没有影响，因此
与
是相互独立事件． （1）“两件都是正品”就是事件
发生，因此所求概率为
（2）“恰有一件是正品”包括两种情 况：甲是正品，乙是次品（事件
发生）；甲是次品，乙是正品（事件
另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到 白球的概率
从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率
由
，我们看到
这就是说，两个相互独立事件同时发生的 概率，等于每个事件发生的概率的积．
一般地，如果事件
，
，…，
相互独立，那么这
个事件同时发生的概率等于每个事件发生 的概率的积，即：
思考以下两个问题： 1．互斥事件与相互独立事件有何区别？ 两事件互斥是指两个事件不可能同时发 生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否 对另一事件发生的概率没有影响。
发生），因此所求的概率是
或另解为：所求的概率为：
例4甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击 中目标的概率都是
． 计算：（1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰有一人击中目标的概 率； （3）至少有一人击中目标的概 率． 解：记“甲射击一次，击中目标”为事件
件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验 答，同
中发生的概率都是一样的．比如上面问题中射 时总结
手每次射击之间是独立地，每次射击只有两种 规律。
结果，击中和不击中，且每次击中的概率都为
． 2．独立重复试验的概率计算法则
在上面的问题中： 分别记在第l、2、3、4次射击中，这个射 手击中目标为事件 、 、 、 ，未击中目标为事件 ，、 、 、 ，那么，射击4次，去中3次共有下面四种情 况：
五、巩固练习 1、 课本P132页练习2、3、4题； 2、 课本P134练习1、2题。
六、小结和作业 小结：
1. 两个事件相互独立，是指它们其中一
使学生能巩 固羡慕自觉 运用所学知 识与解题思 想方法。
教师引 知识性内容 导师生 的小结，可
个事件的发生与否对另一个事件发生 的概率没有影响．一般地，两个事件 不可能既互斥又相互独立，因为互斥 事件是不可能同时发生的，而相互独 立事件是以它们能够同时发生为前提 的．相互独立事件同时发生的概率等 于每个事件发生的概率的积，这一点 与互斥事件的概率和也是不同的。 2. 相互独立事件的概率计算，常与互斥 事件的概率计算综合运用，同时还要 注意利用对立事件的概率关系简化计 算。 3. 独立重复试验在实际问题中是很多 的，研究独立重复试验，计算在n次独 立重复试验中某事件恰好发生k次的概 率，在理论上与实践上都是十分有用 的．在推导n次独立重复试验中某事件 恰好发生k次的概率的计算公式时，概 率的加、乘运算和组合知识都用到 了，可以说概率知识在这里得到了复 习和综合。 作业： 1.习题10.7第1、2、3、4、5、11题。
上述每一种情况，都可看成是在四个位置 上取3个写上 ，另一个写上 ，所以这些情况的种数等于从4个元素中取出3 个元素的组合数 ，即4种．
由于各次射击是否击中相互之间没有影 响．根据相互独立事件的概率乘法公式，前3 次击中，第4次未击中的概率
（3）解法1：“两人各射击一次，至少有 一人击中目标”的概率为
解法2：“两人都未击中目标”的概率是 为
因此“至少有一人击中目标”的概率为
1．概率的和与积的互补公式 一般地，对于 个随机事件
，
，…，
不但易于保
持，而且易
于迁移到陌
生的问题情
境中。
二、引入课题
1．独立事件的定义 我们把“从甲坛子里摸出1个球，得到白 球”叫做事件
根据情 通过情景引 景，计 出本节知识 算概 点。 率，在
，把“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”叫 引导学
做事件
生运用
所学知
．很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑 识解答
、
互斥，从集合的角度看，是
、
各自的结果组成的集合的交集为空集，而
、
各自结果组成的集合的交集并非一定等于空 集，因此②也不成立． 例3 制造一种零件，甲机床的正品率是
，乙机床的正品率是
，从它们制造的产品中各任抽1件． （l）两件都是正品的概率是多少？ （2）恰有1件是正品的概率是多少？ 解：记“从甲机床制造的产品中任意抽出 一件是正品”为事件
三、探求、研究
情景二：
让学生 进一步推出
某射手射击一次，击中目标的概率是
归纳这 独立重复事
0.9，他射击4次恰好击中3次的概率是多少？ 类事件 件的课题。
1．独立重复试验的定义
的特
独立重复试验是在同样的条件下，重复地 点，并
各次之间相互独立地进行的一种试验．在这样 用所学
的试验中，每一次试验只有两种结果，即某事 知识解
教学过程 教学内容
一、设置情景
教师导 拨与学 生活动
设计意图
情景一：
提出问
把教学
（1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l 题，让 内容转化为
个红球，设摸到一个球是白球的事件为A，摸 学生思 具有潜在意
到一个球是黑球的事件为B，问A与B是互斥 考后作 义的问题，
事件呢，还是对立事件？
出自己 让学生产生
同理：
因为这四种情况彼此互斥，根据互斥事件 的概率加法公式，射击4次，去中了3次的概率
上面的问题中，4次射击可以看成是进行4 次独立重复试验． 一般地，如果在一次试验中某事件发生的 概率是 ，那么在 次独立重复试来自中，这个事件恰好发生 次的概率为
由于上式右端恰好是下面二项展开 式
3.个性品质目标：通过相互独立事件及其概率的计算，进一步熟练 概率的计算方法，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
4.创新素质目标：通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性 之中的辨证唯物主义思想；理解事物之间相互联系的观点和运用对立统 一规律分析问题的辩证方法。 三、重难点分析
重点：用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率； 难点：互斥事件与相互独立事件的区别； 下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标， 我将从教法和学法上进行讲解。 四、教学程序设计
（2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙 的判 强烈的问题
坛子里有2个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸 断，教 意识，使学
出一个球，得到白球叫做事件A ，从乙坛子里 师通过 生的整个学
摸出一个球，得到白球叫做事件B。问A与B 学生的 习过程成
是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么 回答了 为“猜
关系？ （3）在问题（2）中，若记事件A与事件
，“乙射击一次，击中目标”为事件
．由于甲（或乙）是否击中，对乙（或甲）击 中的概率没有影响，因此
与
是相互独立事件． （l）“两人各射击一次，都击中目 标”就是事件
发生，因此所求概率为
（2）“两人各射击一次，恰有一人击中 目标”包括两种情况：甲击中，乙未击中（事 件
发生）；甲未击中，乙击中（事件 发生），因此所求概率为：