相互独立事件与概率的乘法公式
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 2025年高考数学基础专项复习
1
6×6
1
1
1
= 36，（甲丁）= （甲）（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为6×6 = 36，（乙丙）≠
（乙）（丙），故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
本质
一个事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响.
独立
事件
(1)必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立;(2)当事件A与B相互独立时,事件A与B,A与
性质
B,A与B也相互独立;(3)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个
事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
1
3
2.［多选］［人A必修二P253习题10.3第2题变式］设，为两个随机事件，若 = 2， = 4，则下列结论中
正确的是(
ABD )
3
3
B.若 ∩ = 8，则，相互独立
A.若,相互独立，则 ∩ = 8
3
7
C.若与相互独立，则 ∩ = 8
D.若与相互独立，则 ∪ = 8
1
三好学生的概率为__.
8
【解析】 根据题意可得，该班男生有40名，三好学生有10名，三好学生中男生有5名.设“从该班任选一名学生，
没有选上女生”为事件，“从该班任选一名学生，选
上的是三好学生”为事件，则“没有选上女生且选上的是三好学生”为事件 ， = 40 ， = 5.
40
2
2
3
+ 1−
1
事件的独立性与概率乘法原理
事件的独立性与概率乘法原理事件的独立性和概率乘法原理是概率论中的两个重要概念，它们在计算和预测事件发生概率时起着关键作用。
本文将详细阐述这两个概念，并介绍它们在实际问题中的应用。
一、事件的独立性事件的独立性指的是事件之间的关系，如果事件A的发生与事件B 的发生没有任何关联，那么我们就可以称这两个事件是独立事件。
换句话说，事件A的发生与否并不会影响到事件B的发生概率，反之亦然。
在概率计算中，我们常常用乘法原理来计算多个独立事件同时发生的概率。
假设有n个独立事件A1, A2, ..., An，它们分别有概率p1,p2, ..., pn发生，那么同时发生的概率可以通过将各个事件的概率相乘来计算，即P(A1∩A2∩...∩An) = p1 * p2 * ... * pn。
这是因为每个事件发生的概率是相互独立的，没有相互影响。
二、概率乘法原理概率乘法原理是在独立事件的基础上进一步推导得出的。
当事件A 和事件B不是独立事件时，我们可以通过概率乘法原理计算它们同时发生的概率。
假设事件A发生的概率是p(A)，在事件A发生的条件下，事件B 发生的概率是p(B|A)，则事件A和事件B同时发生的概率为P(A∩B) = p(A) * p(B|A)。
这里的p(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，也可以理解为在已知事件A发生的情况下，事件B的发生概率。
概率乘法原理的应用非常广泛。
例如，在生活中，我们经常遇到天气预报问题。
假设今天的天气状况有A、B、C三种可能，它们发生的概率分别为p(A)，p(B)，p(C)。
另外，我们还知道如果今天是晴天A，明天也有30%的概率是晴天；如果今天是多云B，明天有50%的概率是晴天；如果今天是阴天C，明天只有20%的概率是晴天。
那么我们可以根据概率乘法原理来计算明天是晴天的概率。
根据已知条件，我们可以得到明天是晴天的条件概率p(A|A) = 0.3，明天是晴天的条件概率p(A|B) = 0.5，明天是晴天的条件概率p(A|C) = 0.2。
相互独立事件与概率的乘法公式
的把握有80%!
我只有45%,看来这大奖
与咱是无缘啦!
别急,常言道:三个臭 皮匠臭死诸葛亮,咱
VS 去把老三叫来,我就
不信合咱三人之力, 赢不了诸葛亮!
老大 老二 老三
诸葛亮
臭皮匠联队
比规赛 则假4亮：0%如吗团,臭？各那队位皮么中选匠臭只手老皮要独三匠有立解联一解出人队题的解能，出把不胜即握得过为商只诸获量有葛胜
A B
P(A B)=P(A)·P(B)
三、教学过程分析 （六）作业布置
P189 第1、3题
思考题
在什么条件下“三个臭 皮匠顶不上诸葛亮”?
三、教学过程分析 （七）板书设计
投影屏幕
5.3 相互独立事件与概率乘法公式
定义
变式2
概率公式 例1
变式3
变式1
引例解答
四、教学反思
1、以问题作为教学的主线，在趣味性情境中发现 问题，在猜想、对比性问题中展开探索，在实践应 用性问题中感悟数学的思维方法。在本课教学中， 由于学生基础薄弱对乘法公式的本质理解不够深刻。 2、以课堂作为教学的辐射源，通过教师、学生、 多媒体多点辐射、带动和提高所有学生的学习积极 性与主动性。师生、生生合作交流较充分，有利于 面向全体整体提高，但还有少数学生对事件分析不 清，应用知识不灵活。
下列事件哪些是相互独立的?
①篮球比赛的“1+1罚球” 中:
事件A:第一次罚球,球进了; 事件B:第二次罚球,球进了. ②袋中有三个红球,两个白球,采取不放回的取球:
事件A:从中任取一个球是白球; 事件B:第二次从中任取一个球是白球.
下列事件哪些是相互独立的? ③篮球比赛的“罚球两次”中: 事件A:第一次罚球,球进了; 事件B:第二次罚球,球进了.
事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
思维升华
求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
跟踪训练1 (1)(多选)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全 相同的号签.其中，甲袋中有编号为 1,2,3的三个号签；乙袋有编号为
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1； 0,1,1和1,1,1这4个事件的和， 它们互斥，所求的概率为 C23β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故 C 错误； 对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)， 单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5， 因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′， 故D正确.
微拓展
D 选项，由 C 选项知 Pn＝12(1－Pn－1)， 即 Pn＝－12Pn－1＋12， 设 Pn＋λ＝－12(Pn－1＋λ)， 故 Pn＝－12Pn－1－32λ， 所以－32λ＝12，解得 λ＝－13，
微拓展
故 Pn－13＝－12Pn－1－31， 又 P1－13＝－13≠0， 所以Pn－13是首项为－13，公比为－21的等比数列，故 Pn－13＝－13－12n－1， 故 Pn＝13－13－12n－1，D 正确； B 选项，由 D 选项可知 P4＝13－13×－123＝38，B 错误.
自主诊断
2.(必修第二册 P253T4 改编)甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出
谜题的概率分别为12，23，则谜题没被破解出的概率为
√A.16
B.13
C.56
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事
件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
乘法公式与事件的独立性
解 设事件Ai表示“第，i次摸到的是黑球”(i = 1,2,3),则事件A1A2
表示“两次摸到的均为黑球”.
3
10
3 2 1
P(A1A2)=P(A1)P(A2 |A1)= × = .
10 9 15
2
9
⑴ 由题意知P(A1) = ，P(A2 |A1)= .于是,根据乘法公式，有
所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为黑
相互独立.因此
事件A与事件B相互独立⟺ P(AB)=P(A)P(B).
例2 口袋中有4个黑球和3个白球，这7个球除颜色外完全相同，连摸两
次，每次摸一 球.记事件A表示“第一次摸得黑球”，事件B表示“第
二次摸得黑球”.在放回摸球和不放回 摸球两种情况下，事件A与事件
B是否独立？
分析 放回摸球和不放回摸球这两种情况均可从以下两个方面来
3.独立事件乘法公式的应用.
1.通过随机事件的独立性的学习，具备数学抽象的
素养．
2.利用独立事件的乘法公式解题，提升数学运算素
养.
乘法公式
在必修课程中，我们已经学习过事件的独立性，下面我们进
一步来了解条件概率与独立性的关系.
()
，
()
由条件概率的定义 P(B|A)=
则有
P(AB) = P(B|A)P(A)(其中 P(A) >0).
判断事件A与事件B是否独立.
(1) P(B|A) = P(B)是否成立；(2) P(AB) = P(A)P(B)是否成立.
解 ①放回摸球:
4
7
4
7
4
7
依题意有P(A) = ,P(B) = ,P(B | A) = .因此,P(B|A)=P(B),即放回摸球时事件
相互独立事件同时发生的概率精选教学PPT课件
1 P n
例4.已知某些同一类型的高射炮在它们控制的区 域内击中具有某种速度的敌机的概率是20%. ⑴假设有 5 门这种高射炮控制这个区域，求敌机 进入这个区域后被击中的概率(结果精确到0.01). ⑵要使敌机一旦进入这个区域后，有 90% 以上的 概率被击中，须至少布置几门高射炮?
解：⑴将敌机被各炮击中的事件分别记为 A1， A2 ， A3 ， A4，A5，那么5门炮都未击中敌机的事件是C A1 A 2 A 3 A4 A5 因各炮射击的结果是相互独立的，所以 P (C) P(A1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) P(A4 ) P(A 5 ) [P(A1 )]5 ＝ [1－ P(A1)]5 ＝(1－20％) 5≈0.33 因此，敌机被击中的概率是 P(C)＝1－P( C )＝1－0.33＝0.67
（C）对立事件
（D）不相互独立事件
3.若上题中的“不放回”改为“有放回”则A与B是 事件
4 .设A为随机事件， 则 下 列 式 子 中 不 成 立是 的： （A）P （A A）＝0 （B）P A （ A）＝P （A） P （A） （C）P （A A）＝1 （D ）P A （ A）＝P （A） P （A）
9.甲、乙、丙3人向同一目标各射击一次，三人击中目标 的概率都是0.6，求（1）其中恰好有一人击中目标的概 率；（2）目标被击中的概率. 10.某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续 射击4次，且各次射击是否击中相互之间没有影响， 那么他第2次未击中，其他3次都击中的概率是多少？
11. 在一段线路中有 4 个自动控制的常开开关（如图）， 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7， 计算在这段时间内线路正常工作的概率．
⑵所求概率是第一把打不开，第二把能打开这两事件的 9 1 1 积，所以概率为P= 10 9 10 ．
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。