高二数学独立事件概率例题解析 人教版
第10章概率专题3 独立事件的概率-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)常考题型专题练习
相互独立事件的概率【知识总结】1、A∩B(或AB)：即事件A与事件B的交事件(或积事件)，指A发生且B发生。
2、对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件．3、相互独立事件：如果P(A∩B)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。
4、如果事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B，事件B与事件A，事件A与事件B都是相互独立事件。
【巩固练习】1．下列事件A,B是独立事件的是()A．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”B．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D．A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”【答案】A【解析】对于A选项，,A B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，,A B是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故,A B不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.2、一道试题，A，B，C三人可解出的概率分别为，则三人独立解答，仅有1人解出的概率为（）A．B．C．D．1【答案】B【解析】根据题意，只有一人解出的试题的事件包含A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解出，三个互斥的事件，而三人解出答案是相互独立的，则P（只有一人解出试题）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，故选：B．3、某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是则在这段时间内吊灯能照明的概率是（）A ．B．C．D．【答案】C【解析】这段时间内吊灯不能照明的概率，因此这段时间内吊灯能照明的概率4、若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为【答案】0.686【解析】系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，A正常工作的概率为：0.7；B，C至少有一个正常工作的情况的概率为1减去B，C都不正常工作的情况的概率，即：B，C至少有一个正常工作的概率为：1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.9）＝0.98，所以：这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；故答案为：0.686；5、甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（）A．12B．13C．14D．15【答案】A则甲、乙将贺年卡送给同一个人的概率为111442+=.故选：C.6．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）[来源学_科_网Z_X_X_K]A．13B．29C．49D．827【答案】A【解析】若按照顺时针跳的概率为p ，则按逆时针方向跳的概率为2p ，可得6、某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ）A ．0.48B ．0.4C ．0.32D ．0.24答案：D解析： 某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为：()0.80.610.50.24p =⨯⨯=﹣．7、设某批电子手表的正品率为23，次品率为13，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为______．【解析】第3次首次测到次品，所以第1次和第2次测到的都是正品，第3次测到的是次8.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；【解析】两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，9、从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14. (1)求一辆车从甲地到乙地遇到红灯仅遇到2个红灯的概率；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【答案】【解析】(1)(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 10、现有甲、乙、丙三名学生参加某大学的自主招生考试，考试分两轮，第一轮笔试，第二轮面试，只有第一轮笔试通过才有资格进入第二轮面试，面试通过就可以在高考录取中获得该校的优惠加分，两轮考试相互独立.根据以往多次的模拟测试，甲、乙、丙三名学生能通过笔试的概率分别为0.4，0.8，0.5，能通过面试的概率分别为0.8，0.4，0.64.根据这些数据我们可以预测：甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生通过第一轮笔试的概率；【答案】0.6【解析】记事件：甲通过第一轮笔试，事件：乙通过第一轮笔试，事件：丙通过第一轮笔试，事件：至少有两名学生通过第一轮笔试，则，，.，，，所以至少有两名学生通过第一轮笔试的概率为。
高中数学第十章概率2事件的相互独立性练习含解析新人教A版必修第二册
事件的相互独立性【基础全面练】 (25分钟 50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不相互独立的事件【解析】选D.因为P(A 1)＝35 ，若A 1发生了，P(A 2)＝24 ＝12 ；若A 1不发生，P(A 2)＝34，所以A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，所以A 1与A 2不是相互独立事件．【加固训练】(多选题)下列事件中，A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”【解析】选AC.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A 中A ，B 事件是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，A 事件为出现1，3，5点，P(A)＝12 ，P(B)＝13，事件AB 为出现3点，P(AB)＝16，P(AB)＝P(A)P(B)，事件A ，B 相互独立；D 中两事件是互斥事件，不是相互独立事件． 2．某校在秋季运动会中安排了篮球投篮比赛，现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4；每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响；现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为( )A ．0.5B ．0.48C ．0.4D ．0.32 【解析】选B.设事件A ＝“第一次投进球”，B ＝“第二次投进球”，则得2分的概率P ＝P(A B )＋P(A B)＝0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4＝0.48.3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A ．34 B ．23 C ．35 D ．12【解析】选A.问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12 ；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12 ×12 ＝14 .故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 4.一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率都是12 ，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A ．164B ．5564C ．18D ．116【解析】选B.设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 中至少有一个不闭合的事件为R ，则P(T)＝P(R)＝1－12 ×12 ＝34 ，所以灯亮的概率P ＝1－P(T)P(R)P(C)P(D)＝5564. 二、填空题(每小题5分，共10分)5．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．【解析】由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512 ，712 ，34.在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512 ×712 ×34 ＝35192. 答案：351926．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是________．【解析】设“做对第一道题”为事件A ，“做对第二道题”为事件B ，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.答案：0.75三、解答题(每小题10分，共20分)7．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．【解析】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14. 这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝12 ，P(B)＝34 ，P(AB)＝12.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P(A)＝68 ＝34 ，P(B)＝48 ＝12 ，P(AB)＝38，显然有P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立． 从而事件A 与B 是相互独立的．8．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．【解析】设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3.(1)第3次才接通电话可表示为A 1A 2A 3，于是所求概率为P(A 1A 2A 3)＝910 ×89 ×18 ＝110； (2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3，由于事件A 1，A 1A 2，A 1A 2A 3两两互斥，于是所求概率为P(A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P(A 1)＋P(A 1A 2)＋P(A1A 2A 3)＝110 ＋910 ×19 ＋910 ×89 ×18 ＝310 . 【综合突破练】 (20分钟 40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.某种开关在电路中闭合的概率为p ，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为6581，则p ＝( )A ．12B ．13C ．23D ．34【解析】选B.因为该电路为通路的概率为6581 ，所以该电路为不通路的概率为1－6581，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－6581 ＝(1－p)4，解得p ＝13 或p ＝53(舍去).2．(多选题)某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，则两次抽奖中( )A ．都抽到某一指定号码的概率为0.05B ．都没有抽到某一指定号码的概率为0.95C ．恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095D ．至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.0975【解析】选CD.记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A ，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率P(A B )＝P(A )P(B )＝0.95×0.95＝0.902 5；“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A B )U(A B)表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(A B )＋P(A B)＝P(A)P(B )＋ P(A )P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095；“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用(AB)U(A B )U(A B)表示．由于事件AB ，A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(AB)＋P(A B )＋P(A B)＝0.002 5＋0.095＝0.097 5.二、填空题(每小题5分，共10分)3．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．【解析】设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P(A 1)＝0.8，P(A 2)＝0.6，P(A 3)＝0.5，且A 1，A 2，A 3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3发生，故所求概率为P ＝P(A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3)＝P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3) ＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.答案：0.464．事件A ，B ，C 相互独立，如果P(AB)＝16 ，P(B C)＝18 ，P(AB C )＝18，则P(B)＝________，P(A B)＝________．【解析】因为P(AB C )＝P(AB)P(C )＝16 P(C )＝18 ，所以P(C )＝34 ，即P(C)＝14. 又P(B C)＝P(B )·P(C)＝18 ，所以P(B )＝12 ，P(B)＝12. 又P(AB)＝16 ，则P(A)＝13， 所以P(A B)＝P(A )·P(B)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ×12 ＝13. 答案：12 13三、解答题(每小题10分，共20分)5．A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A 有效的白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23 ，服用B 有效的概率为12. (1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．【解析】(1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0，1，2.B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0，1，2.据题意有：P(A 0)＝13 ×13 ＝19 ，P(A 1)＝2×13 ×23 ＝49 ，P(A 2)＝23 ×23 ＝49 ，P(B 0)＝12 ×12 ＝14 ，P(B 1)＝2×12 ×12 ＝12.所求概率为P ＝P(B 0A 1)＋P(B 0A 2)＋P(B 1A 2)＝14 ×49 ＋14 ×49 ＋12 ×49 ＝49. (2)所求概率P′＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－49 3＝604729 . 6．如图所示，用A ，B ，C 三类不同的元件连接成两个系统N 1，N 2，当元件A ，B ，C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B ，C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作；系统N 1，N 2正常工作的概率分别为P 1，P 2.(1)若元件A ，B ，C 正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.8，求P 1，P 2；(2)若元件A ，B ，C 正常工作的概率都是P(0<P<1)，求P 1，P 2，并比较P 1，P 2的大小关系．【解析】(1)设A ＝“元件A 正常工作”，B ＝“元件B 正常工作”，C ＝“元件C 正常工作”，则A ，B ，C 相互独立．P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8，故P 1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.5×0.6×0.8＝0.24，P 2＝P(A)[1－P(B C )]＝0.5×(1－0.4×0.2)＝0.46.(2)P(A)＝P(B)＝P(C)＝P ，P 1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝P 3，P 2＝P(A)[1－P(B C )]＝P[1－(1－P)2]，P 1－P 2＝P 3－P[1－(1－P)2]＝2P 3－2P 2＝2P 2(P －1)，又0<P<1，故P 1－P 2<0，即P 1<P 2.。
新教材高中数学第10章概率10 2事件的相互独立性学案含解析新人教A版必修第二册
10.2 事件的相互独立性学 习 任 务核 心 素 养1．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．(重点、易混点)2．结合古典概型，利用独立性计算概率．(重点、难点)1．通过学习两个随机事件独立性的含义，培养数学抽象素养．2．通过利用随机事件的独立性计算概率，培养数学运算素养．3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“第三名同学抽到中奖奖券”．问题：上述问题中事件A 的发生是否会影响B 发生的概率？事件A 和事件B 相互独立吗？ 知识点 事件的相互独立性 1．相互独立事件的定义对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立．2．相互独立事件的性质当事件A ，B 相互独立时，则事件A 与事件B －相互独立，事件A －与事件B 相互独立，事件A －与事件B －相互独立．(1)事件A 与B 相互独立可以推广到n 个事件的一般情形吗？(2)公式P (AB )＝P (A )P (B )可以推广到一般情形吗？〖提示〗 (1)对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．(2)公式P (AB )＝P (A )P (B )可以推广到一般情形：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．()(2)必然事件与任何一个事件相互独立．()(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．()〖答案〗(1)√(2)√(3)×2．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是() A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立A〖由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A．〗3．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是()A．0.64B．0.56C．0.81D．0.99C〖设A i表示“第i题做对”，i＝1,2，则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81．〗4．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．1 2〖由题意知P＝88＋4×66＋6＋48＋4×66＋6＝12．〗类型1独立性的判断〖例1〗一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．〖解〗 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω1＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共有4个样本点，由等可能性知概率均为14．这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12．由此可知P (AB )≠P (A )P (B )， 所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω2＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共有8个样本点，由等可能性知概率均为18．这时A ＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，B ＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，AB ＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38．显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立．所以事件A 与B 是相互独立的．判断两个事件是否相互独立的方法有哪些？〖提示〗 (1)定量法：利用P (AB )＝P (A )P (B )是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立．(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立事件．[跟进训练]1．判断下列各对事件是不是相互独立事件．(1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”；(3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”．〖解〗 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．(2)由于把取出的水果又放回筐内，故“从中任意取出1个，取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个，取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．(3)不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件． 类型2 相互独立事件概率的计算〖例2〗 (对接教材P 248例2)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．求：(1)3人同时被选中的概率； (2)3人中恰有1人被选中的概率．〖解〗 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A ，B ，C ， 则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13．(1)3人同时被选中的概率P 1＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110．(2)3人中恰有1人被选中的概率P 2＝P (A B C ∪A B C ∪A B C )＝25×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－25×34×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－25×⎝⎛⎭⎫1－34×13＝512．1．本例条件不变，求3人中至少有1人被选中的概率．〖解〗 法一：3人中有2人被选中的概率P 3＝P (AB C ∪A B C ∪A BC )＝25×34×⎝⎛⎭⎫1－13＋25×⎝⎛⎭⎫1－34×13＋⎝⎛⎭⎫1－25×34×13＝2360． 由本例第(1)(2)问可知，3人中至少有1个被选中的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝110＋512＋2360＝910． 法二：3人均未被选中的概率P ＝P (A B C )＝⎝⎛⎭⎫1－25×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13＝110． 因为“3人中至少有1人被选中”与“3人均未被选中”是相互对立事件，所以“3人中至少有1人被选中”的概率为1－110＝910．2．若本例条件“3人能被选中的概率分别为25，34，13”变为“甲、乙两人恰有一人被选中的概率为1120，两人都被选中的概率为310，丙被选中的概率为13”，求恰好有2人被选中的概率．〖解〗 设甲、乙两人恰有一人被选中为事件A ，甲、乙都被选中为事件B ，丙被选中为事件C ，则恰好有2人被选中的概率P ＝P (A )P (C )＋P (B )P (C )＝1120×13＋310×⎝⎛⎭⎫1－13＝2360．用相互独立事件的乘法公式解题的步骤(1)用恰当的字母表示题中有关事件． (2)根据题设条件，分析事件间的关系．(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)．(4)利用乘法公式计算概率．[跟进训练]2．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13．(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； (2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．〖解〗 (1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A ，则P (A )＝13×14×⎝⎛⎭⎫1－13＝118． (2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B 为“甲两场只胜一场”，设事件C 为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B ∪C ，则P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝13×⎝⎛⎭⎫1－14＋14×⎝⎛⎭⎫1－13＋13×14＝12． 类型3 相互独立事件的概率的综合应用〖例3〗 三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路．(1)在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？ (2)三个元件连成怎样的电路，才能使电路不发生故障的概率最大？如果事件A ，B 相互独立，事件AB 的对立事件是A B 吗？〖提示〗 如果事件A ，B 相互独立，事件AB 的对立事件是A B ∪A B ∪A B .〖解〗 (1)电路不发生故障包括三种情况， 一是三个元件都正常工作，二是T 1正常工作，T 2正常工作，T 3不能正常工作， 三是T 1正常工作，T 2不能正常工作，T 3正常工作，这三种情况是互斥的，每一种情况里三个元件是否正常工作是相互独立的， ∴电路不发生故障的概率P ＝12×34×34＋12×34×14＋12×14×34＝1532．(2)把T 2或T 3与T 1的位置互换，所得电路不发生故障的概率P ′＝34×12×34＋34×12×34＋34×12×14＝2132． ∵2132＞1532，∴把T 2或T 3与T 1的位置互换，即T 1与T 2(T 3)并联后再与T 3(T 2)串联，这样的电路能使电路不发生故障的概率最大．事件间的独立性关系已知两个事件A ，B 相互独立，它们的概率分别为P (A )，P (B )，则有事件 表示 概率 A ，B 同时发生 AB P (A )P (B ) A ，B 都不发生 A BP (A )P (B )A ，B 恰有一个发生(A B )∪(A B )P (A )P (B )＋P (A )P (B ) A ，B 中至少有一个发生 (A B )∪(A B ) ∪(AB )P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )A ，B 中至多有一个发生(A B )∪(A B ) ∪(AB )P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )[跟进训练]3．如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是P ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．(1)求P ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．〖解〗 记事件A i 表示“电流能通过T i ”，i ＝1,2,3,4， 事件A 表示“T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流”， 事件B 表示“电流能在M 与N 之间通过”． (1)A ＝A 1 A 2 A 3，A 1，A 2，A 3相互独立，所以P (A －)＝P (A 1 A 2 A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－P )3． 又P (A )＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001， 所以(1－P )3＝0.001，解得P ＝0.9． (2)因为B ＝A 4＋A 4A 1A 3＋A 4 A 1A 2A 3， 所以P (B )＝P (A 4)＋P (A 4A 1A 3)＋P (A 4 A 1A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A 4)P (A 1)P (A 3)＋P (A 4)P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.989 1．1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥A 〖对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．〗2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( )A ．524B ．512C ．124D ．38C 〖两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A ，B 分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB 为两班派出的都是三好学生，则P (AB )＝P (A )P (B )＝936×636＝124．〗3．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．0.98 〖至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)×(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98．〗 4．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34．在同一时间内，求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为________； (2)至少有一个气象台预报准确的概率为________．(1)35 (2)1920 〖记“甲气象台预报天气准确”为事件A ，“乙气象台预报天气准确”为事件B ．(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝45×34＝35．(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P ＝1－P (A － B －)＝1－P (A )P (B )＝1－15×14＝1920．〗回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)相互独立事件的定义是什么？具有哪些性质？ (2)相互独立事件与互斥事件有什么区别？。
人教版高中数学必修第二册10.2 事件的相互独立性
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第十章 概率
27
解：(1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为
1 4
，14
.
记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件 A，则 P(A)＝14 ×12 ＋12 ×14
＋14 ×14 ＝156 .所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为156 .
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第十章 概率
9
探究点1 相互独立事件的判断
(2021·新高考卷Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出
的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示
事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的
义．
公式判断事件的独立性，并能将古典概型
2．结合古典概型，利用独 与事件独立性相结合，计算简单问题的概
立性计算概率．
率．
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第十章 概率
3
相互独立事件
相互独立事件
相关内容
定义 性质
对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝ __P_(_A_)_P_(B__)_________成立，则称事件 A 与事件 B 相互独 立 若事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与_－B___，－A 与_B___，－A 与－B 也都相互独立
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第十章 概率
26
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某 自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小 时的部分每小时收费 2 元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人单 独来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分 别为14 ，12 ，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12 ，14 ，两人租 车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)设 ξ 为甲、乙两人所付的租车费用之和，求 P(ξ＝4)和 P(ξ＝6)的值．
高二数学(选修2-3人教B版)-事件的独立性
P4 (2 p p2 ) (2 p p2 ) p2(2 p)2
所以 P3 P4.
例题 解析
甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率
是 P1，乙解决这个问题的概率是 P2，那么其中至少有1人
解决这个问题的概率是多少？
设A:“甲解决这个问题”，B:“乙解决这个问题”，
解析 设A:“第一次取到红球”，B:“第二次取到白球”，
P(A B) = 3 2 = 6 5 5 25
P(B) = 2 5
P( A B) = P( A) P(B)
P( A) = 3 5
例题 甲坛子里有大小相同的3个白球，2个黑球；乙坛子里有 大小相同的3个白球，1个黑球. 从两个坛子里各摸出一 个球，求下列事件发生的概率： （1）摸出的两个球都是白球；
P(A B) + P(A B) + P(A B) P1(1 P2 ) (1 P1)P2 P1P2 P1 P2 P1P2
1 P( A B) 1 (1 P1)(1 P2) P1 P2 P1P2
推广 对于n个事件 A1, A2 , , An ，如果其中任一个事件发生的 概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件 A1, A2 , , An
设所用每个元件的可靠性都为 p (0 p 1) ，且各元件能否
正常工作是互相独立的. 试求下面系统的可靠性:
（2）
解析 这个系统能正常工作只需要 有一个元件能正常工作即可.
正面：P2 2 p(1 p) p2 2 p p2 反面：P2 1 (1 p) (1 p) 2 p p2
（1）
B:“从乙坛子里摸出一个球为白球”.
问题 在5个小球中，有3个红球，2个白球，
人教版高中数学选修2-3《2.2.2事件的相互独立性》
把“从乙坛子里摸出 1个 球，得到白球”叫做事件B
甲
没有影响
乙
事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则
称事件A与事件B相互独立.
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生
的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.
显然事件A“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”与
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生 的概率为：
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积.
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，
那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生
的概率的积，即
P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·… · P（An）
(1)甲同学做错、乙同学做对. (2)甲、乙两同学同时做错. (3)甲、乙两同学中至少有一人做对. (4)甲、乙两同学中至多有一人做对. (5)甲、乙两同学中恰有一人做对.
2.补全下列的表格：
概 率 意 义
相互独立事件同时发生的概率公式： 若A、B是相互独立事件，事件A,B同时发生，将
它记作AB.
(3)解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概
率是
解法2：两人都未击中的概率是
【提升总结】
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时， 要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
探究点2
求相互独立事件同时发生的概率
高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲 人教版
高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲 人教版【基础知识精讲】1.相互独立事件与事件的积事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.设A 、B 是两个事件，那么A ·B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生，它可以推广到有限多个事件的积.2.相互独立事件发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. P(A ·B)＝P(A)·P(B) (1)证明：设甲试验共有N 1种等可能的不同结果，其中属于A 发生的结果有m 1种，乙试验共有N 2种等可能的不同结果，其中属于B 发生的结果有m 2种，由于事件A 与B 相互独立，N 1，m 1与N 2，m 2之间是相互没有影响的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N 1·N 2种不同的搭配，显然这些搭配都是具有等可能性的.另外，考察属于事件AB 的试验结果，显然，凡属于A 的任何一种试验的结果同属于B 的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A 与B 同时发生，即属于事件AB ，这种结果总共有m 1·m 2种.因此得：P(AB)＝2121N N m m ⋅⋅＝11N m ·22N m∴ P(AB)＝P(A)P(B)这个公式进一步推广：P(A 1A 2……A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n )即：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.值得注意的是：①事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算： P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为 P(A+B)＝P(A)+P(B)②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.3.独立重复试验.独立重复试验，又叫贝努里试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.一般地，如果在一次试验中某件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率P n (k)＝k P k (1-P)n-kP n (k)＝k P k (1-p)n-k 可以看成二项式［(1-p)+p ］n展开式中的第k+1项.【重点难点解析】本节的重点是相互独立事件的概念乘法公式，理解并掌握n 次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式.难点是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率的求法.例1甲、乙两人独立地解同一个问题，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，那么两人都没能解决这个问题的概率是( )A.2-P1-P2B.1-P1P2C.1-P1-P2+P1P2D.1-(1-P1)(1-P2)E⋃，而解法一：记甲解决成功为E，乙解决成功为F，则两个均未成功为事件FE⋃)＝1-P(E∪F)＝1-［P(E)+P(F)-P(EF)］，由于E、F独立，故P(EF)＝P(E)P(F)，P(FE⋃)＝1-P1-P2+P1P2.故选C.这样，P(F解法二：记号同解法一，所求事件为EF，由于E与F独立，故P(EF)＝P(E)·P(F)＝(1-P1)(1-P2)＝1-P1+P2+P1P2.解法三：可采用极端原则：设P1＝1，P2＝0，则所求概率为0，而四个选项中只有C此时值为0.故选C.例2甲、乙、丙各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率；(2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率.解 (1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A、B、C彼此独立，三人都击中目标就是事件A·B·C发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384(2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中恰有2人击中，又有3种情形，即事件A·B·C，A·B·C，A·B·C分别发生，而这3种事件又互斥，故所求的概率是P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.8×0.4+0.8×0.2×0.6+0.2×0.8×0.6+0.8×0.8×0.6＝0.832(3)恰有1人击中目标有3种情况，即事件A·B·C，A·B·C，A·B·C，且事件分别互斥，故所求的概率是P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)+P(A)·P(B)+P(C)+P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.2×0.4+0.2×0.8×0.4+0.2×0.2×0.6＝0.152.答：3人都击中目标的概率是0.384；至少2人击中目标的概率是0.832；恰有1人击中目标的概念是0.152.说明题(3)还可用逆向思考，先求出3人都未击中的概率是0.016，再用1-0.832-0.016可得.例3甲、乙两人各投篮3次，每次投中得分的概率分别为0.6和0.7，求(1)甲、乙得分相同的概率；(2)甲得分比乙多的概率.解 (1)分别令3次投篮中甲投中0次、1次、2次、3次为事件A 0，A 1，A 2，A 3；乙恰投中0次，1次，2次，3次为事件B 0，B 1，B 2，B 3，当且仅当他们投中次数相同时得分才相同，设得分相同为事件D.那么D ＝A 0B 0+A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3所以P(D)＝P(A 0B 0)+P(A 1B 1)+P(A 2B 2)+P(A 3B 3)＝(1-0.6)3(1-0.7)3+C 31×0.6×(1-0.6)2×C 31×0.7×(1-0.7)2+C 32×0.62×(1-0.6)C 32×0.72×(1-0.7)+0.63×0.73＝0.321(2)设“甲得分比乙多”为事件E ，当且仅当甲投中次数比乙多，事件E 发生，所以E ＝A 1B 0+A 2B 0+A 3B 0+A 2B 1+A 3B 1+A 3B 2利用公式可求得P(E)＝0.243例4 工人看管3台机床，在1小时内，3台机床正常工作(不需要照顾)的概率分别是0.9，0.8，0.85，求在任一小时内.(1)3台机床都不需要照顾的概率.(2)3台机床中至少有一台不需要工人照顾的概率. 解 (1)可以认为机床的工作是相互独立的.设A 1，A 2，A 3分别表示第1、2、3台机床不需要工人照顾，则P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.9×0.8×0.85＝0.612.即3台机床都不需要工人照顾的概率为0.612.(2)“3台机床中至少有一名不需要照顾”与“3台都需要工人照顾”是对立事件，即A 1+A 2+A 3与1A 、2A 、3A 是对立事件，所以P(A 1+A 2+A 3)＝1-P(321A A A ++) ＝1-P(321A A A ) ＝1-P(1A )P(2A )P(3A )＝1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85) ＝0.997即3名机床中至少有一台不需要照顾的概率为0.997.【难题巧解点拨】例1 有10台同样的机器，每台机器的故障率为0.03，各台机器独立工作，今配有2名维修工人，一般情况下，一台机器故障1个人维修即可，问机器故障无人修的概率是多少?解 A 表示机器故障无人修的事件，A 表示机器故障多不超过2，则P(A )＝C 100(0.97)10+C 101(0.97)9(0.03)+C 103(0.97)8(0.03)2＝0.9972P(A)＝1-P(A )＝0.0028.说明 出现故障的机器数大于2时即为机器故障无人修的情况，因为正向思考需考虑8种情况，所以应用逆向思考的方法.例2 设在一袋子内装有5只白球和5只黑球，从袋子内任取5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋中，求这5次取球中(结果保留两个有效数字)①取得白球3次的概率②至少有一次取得白球的概率解 本题考查事件在n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率.设取得一次白球的事件为A ，A 在一次试验中发生的概率P ＝0.5，所以取得白球3次的概率即A 在5次独立实验中恰好发生3次的概率.C 530.53(1-0.5)5.3＝0.3125≈0.31至少有一次取得的白球的概率为1-C 500.50(1-0.5)5＝0.96875≈0.97例3 每周甲去某地的概率是41，乙去某地的概率是51，假定两人的行动之间没有影响，分别求下列事件发生的概率：(1)一周内甲、乙同去某地的概率；(2)一月内(以四周计)甲去某地的概率.解 (1)P ＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝41×51＝201 (2)P ＝1-C 40(1-41)4(41)0＝1-(43)4＝256175评析：(1)为相互独立事件同时发生；(2)为n 次独立重复实验恰好发生k 次的事件，也可由P ＝C 41(41)1(43)3+C 42(41)2(43)2+C 43(41)3(43)+C 44(41)4(43)0求解.【课本难题解答】有甲、乙、丙三批罐头，每100个，共中各1个是不合格的，从三批罐头中各抽出1个，计算：(1)3个中恰有一个不合格的概率； (2)3个中至少有1个不合格的概率.解 (1)P 1＝P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C )＝P(A )·P(B)·P(C)+P(A)·P(B )·P(C)+P(A)·P(B)·P(C )＝3×(0.01×0.992)≈0.03或者P 1＝C 31×0.01×(1-0.01)2＝3×0.01×0.992≈0.03(2)1-0.993≈0.03【命题趋势分析】本节主要了解互斥事件与相互独立事件的意义：会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；了解独立重复试验，会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.【典型热点考题】例1 将一枚硬币连掷4次，出现“2个正面，2个反面”的概率是( )A.21 B.83 C.52D.1解 掷一枚硬币一次看作一次试验，出现上面事件为A ，则P(A)＝21，而连掷4次可看作4次独立重复实验，所求问题即为4次独立重复试验中事件A 恰好发生2次的概率是多少，根据n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率公式P n (k)＝k P k (1-P)n-k得到：P 4(2)＝C 42·(21)2·(21)2＝83∴应选B.例2 生产某种产品出现次品的概率为2%，生产这种产品4件，至多一件次品的概率为( )A.1-(98%)4B.(98%)4+(98%)3·2%C.(98%)4D.(98%)4+C 41(98%)3·2%解 生产一件产品看作一次试验，产品为次品，记作事件A ，则所求问题就是4次独立重复试验中事件A 发生一次或不发生的概率.由公式 P n (k)＝k P k (1-p)n-k.得：P ＝C 40(2%)·(1-2%)4+C 41(2%)(1-2%)3＝(98%)4+C 41(98%)3·2% ∴应选D.本周强化练习： 【同步达纲练习】一、选择题1.若事件P 与Q 独立，则P 与Q ；P 与Q ；P 与Q 相互独立的对数是( ) A.0 B.1 C.2 D.32.下列正确的说法是( ) A.互斥事件是独立事件 B.独立事件是互斥事件C.两个非不可能事件不能同时互斥与独立D.若事件A 与事件B 互斥，则A 与B 独立.3.一个均匀的正四体，第一面是红色，第二面是白色，第三面是黑色，而第四面同时有红、白、黑三种颜色，P 、Q 、R 表示投掷一次四面体接触桌面为红、白、黑颜色事件.则下列结论正确的是( )A.P 、Q 、R 不相互独立B.P 、Q 、R 两两独立C.P 、Q 、R 不会同时发生D.P 、Q 、R 的概率是314.一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是( ) A.第一次摸出是白球与第一次摸出是黑球B.摸出后不放回.第一次摸的是白球，第二次摸的是黑球C.摸出后放回，第一次摸的是白球，第二次摸的是黑球D.一次摸两个球，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球5.某产品合格率为0.9，下列事件可看作独立重复试验( ) A.一次抽3件，都是合格品 B.一次抽3件，只有2件合格品 C.抽后放回，连续抽三次都是次品D.抽出后，合格品就不放回，是次品就放回，连续抽三次，三次都是合格品6.一批产品100件，其中5件是次品，从中任取三件，恰有一件是次品的概率是( ) A.C 31·0.05·(1-0.05)2B.51C.1005×3D.310025.915C C C7.推毁敌人一个工事，要命中三发炮弹才行，我炮兵射击的命中率是0.8.为了95%的把握摧毁工事，需要发射炮弹的个数是( )A.6B.5C.4D.38.甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为P ，乙不能解出的概率为q ，那么两人都能解出此题的概率是( )A.pqB.p(1-q)C.(1-p)(1-q)D.1-(1-p)(1-q)9.一批产品共有100个，次品率3%，从中任取3个恰有1个次品的概率是( )A.C 310.03(1-0.03)2B.C 31(0.03)2(1-0.03)C.C 31(0.03)3D.310019713C C C10.10颗骰子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点的概率是( )A.［1-(65)10］5B.［1-(65)5］10C.1-［1-(61)10］5D.1-［1-(65)5］10二、填空题1.两雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，则有且仅有1名雷达发现飞行物的概率为.2.一个工人看管10部机器，在某段时间里一部机器需要人照看的概率为31，则在这段时间内，有四部机器需要照看的概率是.3.100个大小一样的球，其中红球90个，白球10个，现从中任取10个球.(1)若取后放回去，连续10个都是红球的概率＝；(2)若取后不放回，连续取10个都是红球的概率＝.4.每次射击打中目标的概率为0.2，如果射击6次，则至少打中两次的概率＝.5.某工人出废品的概率是0.2，则4天中仅有1天出废品的概率＝.6.一批棉花中任抽一纤维，长度小于45厘米的概率是0.75，则任抽3根纤维，两根小于45厘米，一根不小于45厘米的概率是.7.盒中有7个白球和3个黑球，从中连续取两次，两次都是白球.(1)如第一个取出后不放回，再取第二个，此时概率为；(2)如第一个球取出后放回，然后再取第二个，此时概率为.8.某气象局预报天气情况的准确率为0.9，那么一周内有五天准确的概率为.三、解答题1.两位乒乓球运动员水平相当，甲四次中胜乙三次的概率与甲八次中胜乙五次的概率哪种大?2.三位同龄工人参加人寿保险，在一年中，每人的死亡率都是0.01，年初交10元保险金，如一年内死亡，则发给家属100元.(1)一年中，保险公司亏本的概率?(2)保险公司一年中要付出200元的概率是多少?3.两个抽屉，各存放五个零件，使用时从任一抽屉中取一个，问过一段时间后第一个抽屉已用完，第二个抽屉还剩2个的概率?【素质优化训练】1.某厂正常用水(一天内用水在额定量之内)的概率为43，求在六天内至少四天用水正常的概率.2.一盒中装有20个弹子球，其中10个红球，6个白球，4个黄球，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率.3.甲、乙两人进行五打三胜制的象棋赛，若甲每盘胜率为53，乙每盘胜率为52(和棋不算)，求：(1)比赛以甲比乙为3比0胜出的概率? (2)比赛以甲比乙为3比2胜出的概率?(3)比赛以乙比甲为3比1胜出的概率?4.现有一题面向全班50名同学征求解答，假定每人独立解出此题的概率为0.1，问此题能否在该班独立被解答的概率达95%?5.某人在车站上等车，可坐任何车回家，已知半小时内电车到站的概率为21，公交车到站的概率为41，计算此人十分钟内能乘回家的概率.【生活实际运用】船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费.据预测下月好天气的概率是0.6，坏天气的概率是0.4，问应如何作出决策?解 因为天气好坏是不确定因素，因此作决策时存在一定的风险，我们不能保证所作的决策一定会取得最好的效益，但必须使效益的期望值是最高的.要作出是否出海的决策，其主要依据是效益的高低，根据题意，不出海的效益是-1000元，而出海的效益要视天气而定，有60%的概率获5000元的收益，有40%的概率获-2000元的收益，故可求得出海效益的期望值.E ＝5000×60%+(-2000)×40% ＝2200(元).显然高于不出海的收益-1000元.故选择出海.【知识验证实验】证明“五局三胜”制(即比赛五局，先胜三局者为优胜者)是公平的比赛制度，即如果比赛双方赢得每局是等可能的，各局比赛是独立进行的，则双方获胜的概率相同.证 将每一局比赛看作一次试验，考察一方，如甲方胜或负(即乙方负或胜)，问题归结为n ＝5的贝努里试验.设A 表示一局比赛中“甲获胜”事件，由题意，P(A)＝21，记B k 为“五局比赛中甲胜k 局”事件，k ＝0、1、2、3、4、5.则P(“甲获胜”)＝P(B 3∪B 4∪B 5).则利用概率的加法公式，注意到C 5k ＝C 55-k即得 P(“甲获胜”)＝P(B 3)+P(B 4)+P(B 5)＝C 53(21)5+C 54(21)5+C 55(21)5＝21. 而P(“乙获胜”)＝P(“甲获胜”)＝1-21＝21.【知识探究学习】从某鱼池中捕得1200条鱼，做了红色记号之后再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕1000条鱼，计算其中有红色记号的鱼的数目，共有100条，试估计鱼池中共有多少条鱼.解 依次捕鱼的情况有r 个结果，因是有放回地捕鱼，所以每次捕得都有n 种可能，共有n r 个结果，其中有记号的鱼出现k 次的基本事件数目为C r k n 1r (n-n 1)r-k，那么概率为P k (n)＝r(n n 1)k (1-nn 1)r-k. 为了求P k (n)的最大值时的n ，我们设x ＝nn 1，考察函数f(x)＝x k (1-x)r-k,x ∈(0,1). 而f(x)＝kk r k r k )(1--［(r-k)x ］k ［k(1-x)］r-k≤kk r k r k )(1--｛［∑=-k i k r 1)(x+∑-=-kr i x k 1)1(］/k+(r-k)｝k+(r-k)＝k k-r(r-k)-k［rx k k r x k r k )1()()(--+-］k+r-k＝rk r k rk r k --)(. 当且仅当(r-k)x ＝k(1-x)，即x ＝r k 时，上式等号成立，即rk＝x 时，f(x)达到最大.于是^n ＝［k r n 1］时，P k (n)达到最大值，这样我们把［k rn 1］作为鱼池中鱼数n 的估计量.在题中^n ＝10010001200⨯＝12000(条).[参考答案]【同步达纲练习】一、1.D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.B 9.D 10.C二、1.P(A ·B)+P(A ·B )＝0.26 2.0.227 3.0.349，0.330 4.0.34 5.0.410 6.0.422 7.(1)157 (2)0.49 8.C 75·0.95·0.12三、1.C 43·(21)3·21＝41.C 85(21)5(21)3＝327，前者概率大于后者2.(1)1-(1-0.01)3＝0.0297 (2)C 32·(0.01)2·0.99＝0.0002973.C 85·0.55(1-0.5)3＝327 【素质优化训练】 1.C 64(43)4(41)2+C 65(43)5·(41)+C 66(43)6＝0.83 2.P ＝420410110310C C C C ＝32322 3.(1)P ＝(53)3＝12527 (2)P ＝C 53(53)3(52)2＝625216 (3)P ＝C 43(52)3(53)1＝62596 4.P ＝1-0.950＝0.995＞0.95. 故能够. 5.P ＝21×41+21×(1-41)+(1-21)×41＝85或者P ＝21+41-21×41＝85.。
新教材高中数学第十章概率_事件的相互独立性频率与概率练习含解析新人教A版必修第二册
事件的相互独立性 频率与概率(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．“某彩票的中奖概率为1100 ”意味着( )A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性为1100【解析】选D.概率是描述事件发生的可能性大小．2．已知A ，B 是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率( ) A ．事件A ，B 同时发生 B ．事件A ，B 至少有一个发生 C ．事件A ，B 至多有一个发生 D ．事件A ，B 都不发生【解析】选C.P(A)P(B)是指A ，B 同时发生的概率，1－P(A)·P(B)是A ，B 不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．3．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法( ) A ．公平，每个班被选到的概率都为112B ．公平，每个班被选到的概率都为16C ．不公平，6班被选到的概率最大D ．不公平，7班被选到的概率最大【解析】选D.P(1)＝0，P(2)＝P(12)＝136 ，P(3)＝P(11)＝118 ，P(4)＝P(10)＝112 ，P(5)＝P(9)＝19 ，P(6)＝P(8)＝536 ，P(7)＝16.4．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立【解析】选B.设甲、乙、丙、丁事件的发生概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D). 则P(A)＝P(B)＝16 ，P(C)＝56×6 ＝536， P(D)＝16.对于A 选项，P(AC)＝0;对于B 选项， P(AD)＝ 16×6 ＝136 ；对于C 选项， P(BC)＝ 16×6 ＝136 ；对于D 选项，P(CD)＝0.若两事件X ，Y 相互独立，则P(XY)＝P(X)P(Y)，因此B 选项正确． 二、填空题(每小题5分，共10分)5．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625 ，则该队员每次罚球的命中率为________． 【解析】设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625 ，所以p ＝35 .答案：356．A ，B 两人进行一局围棋比赛，A 获得的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计B 获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5，6，7表示A 获胜；8，9表示B 获胜，这样能体现A 获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751，据此估计B 获胜的概率为________．【解析】由30组随机数，采用三局两胜制得到B 获胜满足的基本事件有： 698，959，共2个，所以B获胜的概率为p＝230＝115.答案：115三、解答题(每小题10分，共20分)7．元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一(2)班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定．机灵的小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大．你是怎样认为的？说说看．【解析】其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的．我们取三张卡片，上面标上1，2，3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二两种情况，甲中签；第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况，丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先恐后．8．天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，请设计一个模拟试验计算下个星期恰有2天涨潮的概率．【解析】利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数：7032563 2564586 3142486 56778517782684 6122569 5241478 89715683215687 6424458 6325874 68943315789614 5689432 1547863 35698412589634 1258697 6547823 2274168相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的4 20＝15.概率近似值为。
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高二数学独立事件概率例题解析
一. 本周教学内容：
独立事件概率
互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率
二. 重点
1. 互斥事件只有一个发生的概率
如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A n 发生(即A 1，A 2，…，A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即
P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．
2. 相互独立事件同时发生的概率
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）
推广：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．
【典型例题】
例1.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：
(1)取到的2只都是次品；
(2)取到的2只中正品、次品各一只；
(3)取到的2只中至少有一只正品.
解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.
(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为9
1364=. (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为
P =9
436423624=⨯+⨯ (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为
P =1-9
891=
例2.从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于2
1，求男女生相差几名? 解：设男生有x 名，则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为
3536)1(C C 236
2⨯-=x x x 选得2名委员都是女性的概率为
3536)35)(36(C C 236
236⨯--=-x x x 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于2
1，得 2
13536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x 解得x =15或x =21
即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名.
总之，男女生相差6名.
例3.某种零件经过三道工序加工才是成品，第一道工序的合格率是95%，第二道工序的合格率是98%，第三道工序的合格率是99%，假定这三道工序互不影响，那么成品的合格率是多少？（结果精确到0.01）
解：记第一道工序合格为事件A ，第二道工序合格为事件B ，第三道工序合格为事件C ，则P
（A ）=95%，P （B ）=98%，P （C ）=99%，且事件A 、B 、C 相互独立。
因此，P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）≈92%
答：成品的合格率为92%。
例4.某人参加一次考试,若五道题中解对四题为及格，已知他解题的正确率为3/5，试求他能及格的概率？（结果保留四个有效数字）
解：做对第一道题记为事件A 1，做对第二道题记为事件A 2，做对第三道题记为事件A 3，做对第四道题记为事件A 4，做对第五道题记为事件A 5。
这五个事件是相互独立的。
且P （A 1）=P （A 2）=P （A 3）=P （A 4）=P （A 5）=3/5
记做对四道题为事件C ，则
P （C ）=P （5432_1A A A A A ）+ P （5431_2A A A A A ）+ P （5412_3A A A A A ）+ P （5132_4A A A A A ）+ P （1432_5A A A A A ）+P （54321A A A A A ）=5
4)53()52()53(5+⨯⨯=0.3370=33.70%
答：他及格的概率是33.70%。
例5.设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，试求：
（１） 同时射击一发炮弹而命中飞机的概率；
（２） 若又一架敌机侵犯，要以99%的概率击中它，问需多少门高炮？
解：（1）P=0.6×0.6+0.6×0.4+0.6×0.4=0.84。
（2）不妨设至少需要x 门高炮才能完成任务，则：
1－x 4.0=0.99，即x 4.0=0.01，所以x>5，所以x=6
例6.甲、乙2人各进行一次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，且相互之间没有影响，计算：
（1）2人都击中目标的概率；
（2）2人都没有击中目标的概率；
解：（1）P=0.6⨯0.6=0.36；
（2）P=（1-0.6）⨯（1-0.6）=0.16；
【疑难解析】
1. 事件的互斥与相互独立是两个不同的概念，两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。
2. 求复杂事件的概率一般思路：正向思考和反向思考。
正向思考的一般步骤：通过分类或分步将复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件
1.若A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件，B 表示废品不少于两件的事件，试问对立事件A 、B 各表示什么?
2.一个射手进行一次射击，试判断下面四个事件A 、B 、C 、D 中有哪些是互斥事件?
事件A ：命中的环数大于8； 事件B ：命中的环数大于5；
事件C ：命中的环数小于4； 事件D ：命中的环数小于6.
3.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲乙两队夺取冠军的概率分别是
73和41.试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率.
4.如果事件A 、B 互斥，那么 （ ）
A. A +B 是必然事件
B. A +B 是必然事件
C. A 与B 一定互斥
D. A 与B 一定不互斥
5.下列说法中正确的是（ ）
A.事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大
B.事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小
C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
6.回答下列问题：
(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25，为什么?
(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50.那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25＋0.50＝0.75，为什么?
(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为
221.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1-
221=4
3.这样做对吗?说明道理. 7.战士甲射击一次，问：
(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，A 的概率为多少?
(2)若事件B (中靶环数大于等于6)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数小于6)的概率为多少?
事件D (中靶环数大于0且小于6)的概率是多少?
8.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3%和1%.求抽验一只是正品(甲级)的概率.
9.在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.
10.某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人.现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率.
11.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求：
(1)取得两个红球的概率；
(2)取得两个绿球的概率；
(3)取得两个同颜色的球的概率；
(4)至少取得一个红球的概率.
12.在房间里有4个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?
13.一个通讯小组有两套相同的通讯设备，每套设备都由A 、B 、C 三个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作（即不以进行通讯）假定三个部件不出故障的概率分别是：P(A)=0.95 P(B)=0.90 P(C)=0.99求：
（1）打开一套设备能进行通讯的概率；
（2）同时打开两套设备能进行通讯的概率。
[参考答案] 1. A 表示四件产品中没有废品的事件；B 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件.
2. 事件A 与C 、事件A 与D 、事件B 与C 分别为互斥事件
3. 28
19 4. B 5.D 6.解: (1)不能。
因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥。
(2)能。
因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件。
(3)不对。
因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1.
7. (1)0.05 (2)P (C )=0.3 P (D )=0.25
8. 0.96
9. 全是同色球的概率为
443，全是异色球的概率为11
3 10.453
4 11. (1) 157 （2）151 (3) 158 (4) 15
14 12. 9641 13(1) 0.84645 (2) 0.9764。