垂直与平行2
平行与垂直 (2)
作业 设计
板书 设计 及 教学 反思
书中的相关练习
垂直与平行 平行线、互相垂直、垂足的概念 反思： 在教学中，我紧紧抓住“以分类为主线”展开探究活动，提出“在无限大
的平面上同学们想象的两条直线的样子画下来？”“能不能把这几种情况 进行分分类？”这样有思考价值的问题，学生通过想一想、画一画、分一 分、说一说等多种活动进行观察、思考，逐步认识到：在同一平面内两条 直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，相交中有成直角和不成直角 两种情况。这样的教学不仅符合学生的认知规律，而且通过分类，分层理 解，既符合学生的认知规律，又有利于提高学生生活实际，让学生从自己 的身边发现数学知识，进一步培养学生观察的能力，发现垂直与平行现象。 在本节课的教学中，也有不少不足之处，如 1、重难点处理速度较快，后 进生没有理解到位，以后的教学中应因材施教，照顾后进生。2、有一名学 生的发言不够准确，我没有及时指正出来。3、时间把握不够好，后面还有 一个小环节没有完成，学生们也失去了一个自我小结、交流的机会
F
四、 巩固 训练
互相垂直的有：
互相平行的有：
设计意图：举出生活中见到过的垂线和平行线的例子，让
学生学会应用数学知识的水平,知道所学知识能够解决一
些问题,从而增强应用数学的意识,而且坚定他们学好数学
的信心。
1．明辨是非。(对的打“√”，错的打“×”) (1) 两 条 直 线 不 相 交 ， 这 两 条 直 线 就 是 互 相 平 行 。
平行线段有 ( )组， 垂直线段有
平行线段有 ( )组，
垂直线段有
( )组。
( )组。
平行线段有
平行线段有
( )组，
( )组，
垂直线段有
垂直线段有
了解平行与垂直形的平行和垂直关系
了解平行与垂直形的平行和垂直关系平行和垂直关系是几何学中的重要概念，用以描述两条直线或两个平面之间的相对位置关系。
了解平行和垂直形的平行和垂直关系对于几何学的学习和应用具有重要意义。
一、平行关系平行关系是指两条直线或两个平面之间没有交点，并且始终保持相同的距离。
在平面几何中，平行关系由平行线来描述。
如果两条直线的任意两个点相互连接的线段始终平行，则这两条直线被称为平行线，记作$l_1 \parallel l_2$。
平行线之间的距离始终保持相等，这个距离被称为平行线间的距离。
在立体几何中，两个平面如果没有交点，并且保持相同的距离，则被称为平行平面。
平行关系在几何学中有广泛的应用。
在平面几何中，平行线之间的性质包括：平行线上的任意一对内角相等、平行线之间的外角相等、平行线与横截线所夹的内角相等等。
平行关系也被应用于解决实际问题，如建筑设计中的平行墙面或公路设计中的平行车道等。
二、垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面之间的交角为90度（直角）。
在平面几何中，垂直关系由垂直线来描述。
如果两条直线的交角为90度，则这两条直线被称为垂直线，记作$l_1 \perp l_2$。
在立体几何中，两个平面如果通过一条直线交于直角，则被称为垂直平面。
垂直关系在几何学中也有广泛的应用。
垂直关系可以用于求解直角三角形的边长和角度。
在建筑设计中，垂直关系用于垂直墙面的设计以及地面与墙面之间的垂直关系。
在物理学中，垂直关系用于描述物体受力情况中的垂直方向分量。
三、平行和垂直关系的判断如何判断两条直线或两个平面之间的平行和垂直关系呢？在平面几何中，常用的方法包括：1. 通过线段的斜率来判断。
如果两条直线的斜率相同，则它们是平行线；如果两条直线的斜率互为倒数，则它们是垂直线。
2. 通过线段的方程来判断。
如果两条直线的方程中的系数满足一定的条件，则可以判断它们是平行线或垂直线。
在立体几何中，判断平行和垂直关系的方法也是基于对交线的角度关系的判断。
什么是平行和垂直
什么是平行和垂直？平行和垂直是几何学中用来描述线段、直线和平面之间相对关系的重要概念。
它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
1. 平行：平行是指两个或多个线段、直线或平面在同一平面内且永远不相交。
平行的特点是它们的距离始终相等，无论它们在平面上的位置如何改变，它们之间的距离始终保持不变。
-平行线段：两个线段的长度可能不同，但它们的方向相同，从一个线段上的任意点到另一个线段上的垂直线段的长度相等。
-平行直线：两条直线在同一平面内，且它们的方向相同，永远不会相交。
平行直线具有相同的斜率，但有不同的y 轴截距。
-平行平面：两个平面在空间中没有交点，且它们的法线方向相同。
2. 垂直：垂直是指两个线段、直线或平面之间的关系，其中一个线段、直线或平面与另一个线段、直线或平面的交角为90 度（直角）。
垂直关系是平行关系的一种特殊情况。
-垂直线段：两个线段在同一平面内，且它们的交角为90 度。
垂直线段的特点是它们之间的距离是最短的。
-垂直直线：两条直线在同一平面内，且它们的交角为90 度。
垂直直线的特点是它们的斜率相乘为-1。
-垂直平面：两个平面相交于一条直线，并且与这条直线相交的两个直线互相垂直。
3. 平行和垂直的应用：-几何学：平行和垂直关系是几何学中的基本概念，用于研究和分析线段、直线和平面之间的关系和性质。
-建筑学：平行和垂直关系在建筑设计和施工中起着重要作用，如平行的墙面、垂直的柱子等。
-地理学：平行和垂直关系用于描述地球表面的经度线和纬度线，帮助确定地理位置和导航方向。
-数学建模：平行和垂直关系在数学建模中用于描述和解决实际问题，如平行线的交点问题、垂直平面的投影问题等。
通过学习平行和垂直的概念和特性，我们可以更好地理解和应用数学中的几何知识。
平行和垂直关系帮助我们描述和分析现实世界中的各种线段、直线和平面之间的关系，为解决实际问题提供了重要的工具和方法。
【步步高】高中数学 第二章 2.1.3两条直线的平行与垂直(二)配套课件 苏教版必修2
又 kOP· kOR＝－1，∴OP⊥OR，
故四边形 OPQR 为矩形．
研一研· 问题探究、课堂更高效
例 3 在路边安装路灯，路宽 23 m，灯杆长 2.5 m，且与灯 柱成 120° 角， 路灯采用锥形灯罩， 灯罩轴线与灯杆垂直． 当 灯柱高 h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中 线？(精确到 0.01 m) 解 记灯柱顶端为 B，灯罩顶为 A，灯杆为
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 2 若 l1⊥l2 且直线 l1，l2 有一条与 x 轴垂直，那么两条 直线的斜率如何？
答 有一条直线与 x 轴垂直，则另一条与 x 轴平行，所以 两条直线中有一条直线斜率不存在， 另一条直线的斜率为 0.
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 3 吗？
对任意两条直线，如果 l1⊥l2，一定有 k1· k2 ＝－1
研一研· 问题探究、课堂更高效
跟踪训练 1
已知 A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断
△ABC 是否为直角三角形．
1－－1 1 解 AB 边所在直线的斜率 kAB＝ ＝－ ， 2 1－5 3－1 BC 边所在直线的斜率 kBC＝ ＝2. 2－1 由 kAB· kBC＝－1，得 AB⊥BC， 即∠ABC＝90° .所以△ABC 是直角三角形．
研一研· 问题探究、课堂更高效
探究点二 例1
两条直线垂直关系的应用
(1)已知四点 A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6,11)，
求证：AB⊥CD. 3 (2)已知直线 l1 的斜率 k1＝ ，直线 l2 经过点 A(3a，－2)， 4 B(0，a2＋1)且 l1⊥l2，求实数 a 的值．
互相垂直与互相平行的概念及表示方法
互相垂直与互相平行的概念及表示方法
互相垂直和互相平行是几何学中常用的概念，用于描述两个或多个对象之间的关系。
1. 互相垂直：当两个对象的方向成直角时，它们被称为互相垂直。
在三维空间中，如果两个直线、平面或者向量的方向互相垂直，它们相互垂直。
在二维平面中，两条直线的斜率乘积为-1时，它们互相垂直。
2. 互相平行：当两个对象的方向完全相同或者不存在交点时，它们被称为互相平行。
在三维空间中，如果两个平面或者直线的方向相同或者平行，它们互相平行。
在二维平面中，两条直线的斜率相等且不相交时，它们互相平行。
表示方法：
- 互相垂直可以用符号⊥来表示。
例如，如果直线AB 垂直于直线CD，可以表示为AB ⊥CD。
- 互相平行可以用符号|| 来表示。
例如，如果直线EF平行于直线GH，可以表示为EF || GH。
需要注意的是，互相垂直和互相平行是相对的概念，需要参照特定的对象或者参考系来判断它们之间的关系。
同
时，这些概念在不同的几何学分支中可能会有稍微不同的定义和表示方法。
什么是平行与垂直课件(2)
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
相交： （ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）（ 6 ） 归类： 不相交： （5）
a b
在 同一平面 内 不相交 的两条直线叫做 平行线，也可以说这两条直线互相平行。 直线a和直线b互相平行 直线a是直线b的平行线 直线b是直线a的平行线
在同一平面内,不相交的两条直
判断
下面图形中的两条直线垂直吗？
垂直
生活中我们常常遇到垂直与平行 的现象，你能举几个例子吗？
请找出图中哪两条线段互相平行？ 哪两条线段互相垂直？
Ａ Ｂ Ａ Ｅ
Ｃ 图一
Ｄ
Ｂ
Ｆ 图二
Ｃ
摆一摆 1、把两根小棒都摆成和第三根小 棒平行。看一看，这两根小棒有什么 关系？
在同一平面内，如果两条直线都与第 三条直线平行。那么这两条直线也互 相平行。
判断
下面图形中的两条直线垂直吗？
不垂直
在同一平面内，如果两条直线相 交成直角，就说这两条直线互相垂直, 其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 这两条直线的交点叫做垂足.
判断
下面图形中的两条直线垂直吗？
垂直
在同一平面内，如果两条直线相 交成直角，就说这两条直线互相垂直, 其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 这两条直线的交点叫做垂足.
摆一摆 2、把两根小棒都摆成和第三根 小棒垂直。看一看，这两根小棒有什 么关系？
摆一摆 2、在同一平面内，如果两条直 线都与第三条直线垂直。那么这两条 直线互相平行。
1、把一张长方形纸对折两次，使三 条折痕互相平行。
2、把一张长方形纸对折两次，使两 条折痕互相垂直。
下课了!
下面各组直线，互相平行的是（
垂直与平行线的性质
垂直与平行线的性质垂直与平行线是几何学中的基本概念，它们之间有着一系列独特的性质和关系。
本文将详细介绍垂直与平行线的性质，包括定义、判定方法、性质特点以及在几何证明中的应用。
一、垂直线的性质垂直线是指在同一平面上，两条线段相交时，相交角度为90度（也称为直角）。
根据垂直线的定义，我们可以得出以下两个性质：1. 垂直线的判定方法判定两条线段是否垂直的方法有多种，其中最常用的方法是判断两条线段的斜率是否相乘为-1。
若两条线段的斜率（垂直或倾斜）之积等于-1，则可以确定它们是相互垂直的。
2. 垂直线的性质垂直线的性质有许多，以下是其中几个重要的性质：(1) 相交直线的垂直角度为90度；(2) 一个点到一条直线的垂直距离为两线段间的最短距离；(3) 垂直线与水平线之间无斜率关系，即水平线的斜率为0，垂直线的斜率不存在。
二、平行线的性质平行线是指在同一平面上，永不相交且始终保持等间距的两条直线。
平行线也有一系列与之相关的性质和定理。
1. 平行线的判定方法判定两条直线是否平行也有多种方法，其中常用的有以下几种：(1) 借助对应角、内错角或同位角等角度关系判断是否平行；(2) 判断两条直线的斜率是否相等或互为倒数关系；(3) 求取两条直线上两个点的坐标，并验证斜率是否相等。
2. 平行线的性质平行线的性质有：(1) 平行线之间的夹角为0度，即平行线之间没有交叉点；(2) 平行线具有等间距性，两条平行线上任意一点到另一条线的距离保持不变。
三、垂直线与平行线的关系垂直线与平行线之间存在一系列重要的关系，我们来看一下：1. 垂直线与平行线的关系(1) 垂直线与平行线不可能同时存在于同一平面上；(2) 两条平行线分别与第三条垂直线相交，则它们与垂直线的交点之间的角度相等。
2. 平行线之间的垂直线关系(1) 两条平行线与一条垂直线相交，则垂直线与平行线上的各个角度之和为180度。
(2) 平行线之间的垂直线等于从平行线上的任意一点到垂直线的距离。
平行与垂直知识点总结
平行与垂直知识点总结平行与垂直是几何学中的重要概念，涉及到直线在空间中的位置关系。
在几何学中，我们经常需要理解和利用平行与垂直的概念，这些概念对于解决几何问题、建筑设计、地图绘制等方面都具有重要的作用。
因此，了解平行与垂直的知识点对于我们的数学学习和日常生活都具有重要的意义。
本文将从平行和垂直的定义、性质、判定以及相关定理等方面对平行与垂直进行总结，希望能够对读者有所帮助。
一、平行线的定义在平面几何中，两条直线称为平行线，如果它们在同一平面上，且不相交。
这意味着，平行线在同一平面上不会相交，其间的距离始终保持相等。
1.1 平行线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“ ||”来表示两条线段是平行的。
1.2 平行线的特征：1）平行线永远不会相交。
2）平行线的斜率相同。
3）平行线之间的夹角相等。
二、垂直线的定义与平行线相对应的概念是垂直线。
两条直线称为垂直线，如果它们在同一平面上，并且它们的交角为 90 度。
2.1 垂直线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“⊥”来表示两条线段是垂直的。
2.2 垂直线的特征：1）垂直线可以相交，但相交的角度为 90 度。
2）垂直线的斜率相乘等于 -1。
3）垂直线之间的夹角为 90 度。
三、平行和垂直线的判定在几何学中，我们常常需要判定两条直线是否平行或垂直，下面来总结一些判定准则。
3.1 判定两条直线是否平行的几种方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
b）观察判定法：在图形上观察两条线段的倾斜情况，如果它们很明显地呈现出平行的形态，则可以判断它们是平行线。
c）角度判定法：两条平行线之间的夹角相等，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否平行。
3.2 判定两条直线是否垂直的方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相乘等于 -1 时，它们是垂直线。
b）观察判定法：在图形上观察两条直线的交角，如果它们的交角为 90 度，则可以判断它们是垂直线。
c）角度判定法：两条垂直线之间的夹角为 90 度，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否垂直。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
⑵把两根小棒都摆成和第一根 小棒垂直，猜一猜，这两根小 棒有什么关系？
在同一平面内， 1.不相交的两条直线互相 平行。（X ） 2.两条直线相交，那么这 √ （ 两条直线互相垂直。 ）
A叫B的垂线 B 3.如图 ，直线A叫垂 B叫A的垂线 线。（ X） 2.两条直线相交，那么这 成直角 （ 两条直线互相垂直。X ）
a是b的垂线，
b是a的垂线。 a b 垂足
生活中还有哪些平 行和垂直的例子。
课间10分钟……
⑴下面的各组直线，哪组互相平 行？哪组互相垂直？
互相平行
(2)
X
(1)
⑵ 找出下面图形中互相垂直和平 行的线段？
(1) (2) (3)
X 互相垂直
(3) (4)
⑴把两根小棒都摆成和第一根 小棒平行，看一看，这两根小 棒有什么关系？
A
⑴把一张正方形的纸折一折， 使折痕互相平行
⑵把另一张正方形的纸折一折， 使折痕互相垂直
好了，休息一下吧！
下课
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
相交
不相交
用什么方法检测这两 条直线互相平行
a b 1.延长两条直线。 2.量它们两端上下的 距离是否相等。
在同一个平面内 不相交的两条直线叫 做平行线，也可以说 这两条直线互相平行。
(1)
(2)
(3)
(4)
垂足
如果两条直线相交成 直角，就说这两条直线互 其中一条直线叫做 相垂直， 另一条直线的垂线， 这两条 直线的交点叫做垂足。