高中数学第二章基本初等函数(I)2.2.2对数函数及其性质第2课时习题课——对数函数及其性质知识框架素材必
高中数学 第二章 基本初等函数 2.2.2 对数函数及其性质(第2课时)对数函数性质的应用课时作业(
第2课时 对数函数性质的应用A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·某某某某众兴中学高一期末测试)函数f (x )＝3－lg x 的定义域为( A ) A ．(0,1 000] B ．[3,1 000] C ．(0，11 000]D ．[11 000，3][解析] 由题意得3－lg x ≥0， ∴lg x ≤3，∴0<x ≤103＝1 000， 故选A ．2．(2019·某某市南开区高一期末测试)函数f (x )＝lg(1－x 2)的单调递减区间为( B )A ．(0，＋∞)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－1,0)[解析] 由题意得1－x 2>0，∴x 2<1，∴－1<x <1. 令u ＝1－x 2，函数f (x )的单调递减区间即为u ＝1－x 2在(－1,1)上单调递减区间， 又u ＝1－x 2在(0,1)上递减，故选B ．3．已知f (x )＝log 3x ，则f (14)，f (12)，f (2)的大小是( B )A ．f (14)>f (12)>f (2)B ．f (14)<f (12)<f (2)C ．f (14)>f (2)>f (12)D ．f (2)>f (14)>f (12)[解析] 由函数y ＝log 3x 的图象知，图象呈上升趋势，即随x 的增大，函数值y 在增大，故f (14)<f (12)<f (2)．4．(2019·某某文，5)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( A )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b[解析]a ＝log 27>log 24＝2，log 38<log 39＝2，log 38>log 33＝1，∴1<b <2，c ＝0.30.2<0.30＝1，∴c <b <a ，故选A ．5．(2019·全国卷Ⅱ理，6)若a >b ，则( C ) A ．ln(a －b )>0 B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b |[解析]∵函数y ＝x 3在R 上是增函数， ∴若a >b ，则a 3>b 3，∴a 3－b 3>0，故选C ．6．(2019·某某泸西一中高一期中测试)函数y ＝lg|x |x的图象大致是( D )[解析]∵函数y ＝lg|x |x是奇函数，∴其图象关于原点对称，排除A 、B ；又∵x ＝1时，y ＝0，排除C ，故选D ．二、填空题7．(2019·某某某某高一期中测试)不等式log 2x <12的解集为__(0，2)__.[解析] 由题意得log 2x <log 2212，∴0<x <212，∴0<x <2，故不等式的解集为(0，2)．8．(2019·某某云天化中学高一期末测试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1x <2log 3x 2－1x ≥2，则f [f (2)]＝__2__.[解析]∵x ≥2时，f (x )＝log 3(x 2－1)， ∴f (2)＝log 33＝1， ∴f [f (2)]＝f (1)，又∵x <2时，f (x )＝2e x －1，∴f (1)＝2e 0＝2，∴f [f (2)]＝f (1)＝2. 三、解答题9．已知f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域、值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0x ＋3＞0，∴－3<x <1∴函数f (x )的定义域为{x |－3＜x ＜1}．f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，令t ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∵x ∈(－3,1)，∴t ∈(0,4]．∴y ＝log a t ，t ∈(0,4]． 当0＜a ＜1时，y min ＝f (4)＝log a 4， ∴函数f (x )的值域为[log a 4，＋∞)．当a ＞1时，y max ＝log a 4，∴函数f (x )的值域为(－∞，log a 4]．(2)∵函数f (x )有最小值－2，由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1log a 4＝－2，得a ＝12.B 级 素养提升一、选择题1．已知函数f (x )＝log a (x 2＋2x －3)，若f (2)＞0，则此函数的单调递增区间是( D ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)∪(－∞－3) C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[解析]∵f (2)＝log a 5＞0＝log a 1，∴a ＞1.由x 2＋2x －3＞0，得函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 设u ＝x 2＋2x －3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数． 又∵y ＝log a u (a ＞1)为增函数，∴函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D ．2．(2018·某某文，5)已知a ＝log 372，b ＝(14)13 ，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( D )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b[解析]∵函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log 1315＝log 35>log 372>log 33＝1，又(14)13 <(14)0＝1，∴c >a >b ，故选D ． 3．(2019·某某理，6)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( A )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b[解析]a ＝log 52<log 55＝12，b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1,0.51<0.50.2<0.50，∴12<0.50.2<1，∴12<c <1，∴a <c <b ，故选A ． 4．已知函数f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，则a 的取值X 围为( B ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(2，＋∞)D ．(0,1)[解析] 由题意得a >0且a ≠1,2－ax >0，∴x <2a ，即函数f (x )的定义域为(－∞，2a )．∵函数在[0,1]上为减函数，∴2a>1，即a <2，∵函数y ＝log a (2－ax )在(0,1)上是减函数，又t ＝2－ax 为减函数，∴y ＝log a t 是增函数，∴a >1，∴1<a <2.二、填空题5．已知f (x )＝|log 2x |，若f (a )>f (4)，则a 的取值X 围是__(0，14)∪(4，＋∞)__.[解析]∵f (4)＝|log 24|＝2.∴不等式化为f (a )>2，即|log 2a |>2，∴log 2a >2或log 2a <－2，∴a >4或0<a <14.6．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__1__. [解析]∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)，∴－ln(－1＋a ＋1)＝ln(1＋a ＋1)， ∴ln(1＋a ＋1)＋ln(－1＋a ＋1)＝0， ∴ln[(a ＋1)2－1]＝0， ∴ln a ＝0，∴a ＝1. 三、解答题7．设f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )≤2.[解析] (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )，又f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12 (－x )．故当x <0时，f (x )＝－log 12(－x )．(2)由题意及(1)知，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 12x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－log 12－x ≤2，解得x ≥14或－4≤x <0.∴不等式的解集{x |x ≥14或－4≤x <0}．8．已知函数f (x )＝log a (3＋2x )，g (x )＝log a (3－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )－g (x )的定义域；(2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明； (3)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值X 围．[解析] (1)使函数f (x )－g (x )有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞03－2x ＞0，解得－32＜x ＜32.所以函数f (x )－g (x )的定义域是{x |－32＜x ＜32}．(2)f (x )－g (x )为奇函数．证明：由(1)知函数f (x )－g (x )的定义域关于原点对称．f (－x )－g (－x )＝log a (3－2x )－log a (3＋2x )＝－[log a (3＋2x )－log a (3－2x )]＝－[f (x )－g (x )]，∴函数f (x )－g (x )是奇函数．(3)f (x )－g (x )＞0，即log a (3＋2x )＞log a (3－2x )． 当a ＞1时，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞3－2x 3－2x ＞03＋2x ＞0，解得x 的取值X 围是(0，32)．当0＜a ＜1时，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＜3－2x 3－2x ＞03＋2x ＞0，解得x 的取值X 围是(－32，0)．综上所述，当a ＞1时，x 的取值X 围是(0，32)；当0＜a ＜1时，x 的取值X 围是(－32，0)．9．(2019·某某宿迁市高一期末测试)已知函数f (x )＝ln(1＋x )＋ln(a －x )为偶函数． (1)某某数a 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性． [解析] (1)∵f (x )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴ln(1－x )＋ln(a ＋x )＝ln(1＋x )＋ln(a －x )， ∴ln(1－x )－ln(1＋x )＝ln(a －x )－ln(a ＋x )， ∴ln 1－x 1＋x ＝ln a －x a ＋x ，∴1－x 1＋x ＝a －x a ＋x， 整理得2x (a －1)＝0，∵x 不恒为0，∴a －1＝0，∴a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )，要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >01－x >0，∴－1<x <1.∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．设任意x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，∴f(x2)－f(x1)＝ln(1＋x2)＋ln(1－x2)－ln(1＋x1)－ln(1－x1) ＝ln(1－x22)－ln(1－x21)当－1<x1<x2<0时，x21>x22，1－x21<1－x22，∴ln(1－x22)>ln(1－x21)，∴ln(1－x22)－ln(1－x21)>0，∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(－1,0)上是增函数，当0≤x1<x2<1时，x21<x22，∴1－x21>1－x22，∴ln(1－x21)>ln(1－x22)，∴ln(1－x22)－ln(1－x21)<0，∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)<f(x1)，∴f(x)在[0,1)上是减函数．综上可知，函数f(x)在(－1,0)上是增函数，在[0,1)上是减函数．。
高中数学精讲优练课型第二章基本初等函数(I)2.2.2对数函数及其性质第2课时习题课对数函数及其性质
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(4)(分类讨论(tǎolùn)法)当a>1时,函数y=logax在定义域上是增函数, 则有logaπ>loga3.14; 当0<a<1时,函数y=logax在定义域上是减函数, 则有logaπ<loga3.14. 综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.14; 当0<a<1时,logaπ<loga3.14.
1 当f(x)=2log x=12 4时，解得x= ，2
故该函数的定义1 域为
1
2
4
[1 , 1]. 42
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2.(变换条件(tiáojiàn))若将本题中的函数“f(x)=2log x”改为 1
“f(x)=
+3log2x-1”,其他条件(tiáojià2n)不变,又如何求其值
域呢?
角度2：与对数函数有关的奇偶性问题
【典例】讨论(tǎolùn)函数f(x)=log3(
+x)的奇偶性.
【解题探究】本例函数f(x)=log3( x2 +1x)的定义域是什么？
提示：因为 域为R.
>x≥-x，所以
x2 1
+xx>2 0对1 任意实数都成立，故函数的定义 x2 1
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【解析( jiě xī)】因为 >|x|≥-x，
2log
2 2
x
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【解析】令t=log2x,则f(t)=2t2+3t-1, 因为2≤x≤4,所以(suǒyǐ)t=log2x在[2,4]上为增函数. 当x=2时,t取得最小值1,当x=4时,t取得最大值2, 故1≤t≤2. 又f(t)=2t2+3t-1在[1,2]上为增函数, 故当t=1时,f(t)取得最小值4, 当t=2时,f(t)取得最大值13, 所以(suǒyǐ)函数f(x)的值域为[4,13].
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其
2.2.2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、对数函数及其性质 1.对数函数 一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞），指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的. 只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0）的函数才叫对数函数.像y=log a （x+1），y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数.对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践. 2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象描点即可完成y=log 2x ，y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x -1-2 y=log 1/2x -3s由表及图可以发现：我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0.5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0.5x=-log 2x ，点(x,y)与点(x,-y)关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x,y)关于x 轴对称点(x,-y)在y=log 0.5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象，其关键是作出三个特殊点（a1，-1），（1，0），（a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法.”②函数y=log a x 与y=x a1log 的图象关于x 轴对称.要点提示 （1）对数函数的图象恒在y 轴右方.（2）对数函数的单调性取决于它的底数.（3）log a b>0⇔(a-1)(b-1)>0；log a b<0⇔(a-1)(b-1)<0．（4）指数函数由唯一的常量a 确定．两个同底数的对数比较大小的一般步骤: （1）确定所要考查的对数函数; （2）根据对数的底数来判断对数函数的增减性,若底数与1的大小关系不确定应对a 进行分类讨论;（3）比较真数的大小,然后利用对数函数的增减性来判断两个对数值的大小. 3.反函数在指数函数y=2x中，x 为自变量（x ∈R ），y 是x 的函数(y ∈(0,+∞))，而且它是R 上的单调递增函数．可以发现，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点；另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式y=2x可得到对数式y=log 2x ．这样，对于任意一个y ∈(0,+∞)，通过式子x =log 2y ，x 在R 中都有唯一确定的值和对应．也就是说，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时我们就说x =log 2y(y ∈(0,+∞))是函数y=2x（x ∈R ）的反函数（inverse function ）.在函数x =log 2y 中，y 是自变量，x 是函数，但习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数．为此，我们常常对调函数x =log 2y 中的字母x,y ，把它写成y =log 2x ．这样，对数函数y =log 2x(x ∈(0,+∞))是指数函数y=2x（x ∈R ）的反函数．由上述讨论可知，对数函数y =log 2x （x ∈(0,+∞)）是指数函数y=2x（x ∈R ）的反函数；同时指数函数y=2x（x ∈R ）也是对数函数y =log 2x （x ∈(0,+∞)）的反函数．因此，指数函数y=2x（x ∈R ）与对数函数y =log 2x （x ∈(0,+∞)）互为反函数． 当一个函数是单调函数时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数.由于指数函数y=ax（a>0，且a ≠1）在R 上是单调函数，它的反函数是对数函数y=log a x （a>0，且a ≠1），反之对数函数的反函数是指数函数.课本上只要求知道指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1）和对数函数y=log a x （a ＞0且a ≠1）互为反函数，不要求会求函数y=f （x ）的反函数.联想发散 注意此处空半格(1)反函数也是函数，它具有函数的一切特性；反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数.(2)若是已知f （x ）的解析式，求f -1（x 0）的值，不必去求f -1（x ），只需列方程f （x ）=x 0，得出x 的值即为所求.(3)指数函数与对数函数互为反函数.它们的定义域与值域相互对称，单调性相同，图象关于直线y=x 对称,由于对数函数是由指数函数关于直线y=x 变化而得到的，也可以在用描点法作对数函数的图象时，对调同底数的指数函数的对应值里的x 、y 即可.所以在研究对数函数的图象和性质时，要紧扣指数函数的图象和性质. 问题·思路·探究问题1 在同一坐标系中，画出函数y=log 3x ，y=x 31log ，y=log 2x ，y=x 21log 的图象，比一比，看它们之间有何区别与联系.思路：利用对数函数的图象与性质可比较底数相同，真数不同的对数值的大小；可比较底数不同，真数相同的对数值的大小；也可比较底数与真数都不同的对数值的大小.一般地，如果两对数的底数不同而真数相同，如y=1log a x 与y=2log a x 的比较（a 1＞0，a 1≠1，a 2＞0，a 2≠1）.①当a 1＞a 2＞1时，曲线y 1比y 2的图象（在第一象限）上升得慢，即当x ＞1时，y 1＜y 2； 当0＜x ＜1时，y 1＞y 2.而在第一象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越大. ②当0＜a 2＜a 1＜1时，曲线y 1比y 2的图象（在第四象限内）下降得快，即当x ＞1时，y 1＜y 2；当0＜x ＜1时，y 1＞y 2，即在第四象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小. ③当0＜a 2＜1＜a 1时，曲线y 1和y 2的图象分布在不同象限. 即当x ＞1时， y 2<0<y 1；当0＜x ＜1时，y 2>0>y 1探究:从图象可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是交叉出现的，交叉点是（1，0），当a>1时，图象向下与y 轴的负半轴无限靠拢，在点（1，0）的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小，在点（1，0）的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越大；当0<a<1时，图象向上与y 轴的正半轴无限靠拢，在点（1，0）的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越大，在点（1，0）的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小；由此我们知道，对于对数函数y=log a x ，当y=1时，x=a ，而a 恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y=1，它同各个图象相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小.同时，根据不同图象间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log 23<log 1.53，log 20.5 <log 30.5，log 0.52>log 0.62等. 问题2 怎样画对数函数y=log a x(a>0, a ≠1)的图象？至少要描出哪几个关键点？思路：（1）要善于对照指数函数与对数函数的关系来画图象;（2）从联系的角度研究画对数函数图象的方法，对深化理解对数函数的图象与性质很有帮助.探究:画对数函数y=log a x(a>0, a ≠1)的图象依据它与指数函数y=a x(a>0, a ≠1)的图象关于直线y=x 对称，用找对称点作对称图形的方法来画，也可以用列表、描点、连线的方法来画．画图象时首先要分清底数a>1还是0<a<1,明确图象的走向，然后至少要画出三个关键点：（a1，-1），（1，0），（a ，1），当然画出的点越多，所画图象越准确． 学好数学是大有禆益的. 典题·热题·新题例1 比较下列各组数中两个值的大小： （1）log 67,log 76（2）log 38,log 20.7; 思路解析：由于两个对数值不同底,故不能直接比较大小,可在两个对数值中间插入一个已知数,间接比较两对数值的大小.解：(1)因为log 67> log 66=1, log 76< log 77=1,所以log 67>log 76； (2)因为log 38> log 31=0, log 20.7< log 21=0,所以log 38>log 20.7.深化升华 注意此处空半格利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入1或0等,间接比较两个对数值的大小.利用对数的单调性可解简单的对数不等式.例2 已知（1）log 2（2x-1）>1，（2）已知log 1/2（2x-1）＞0，试分别求x 的取值范围. 思路解析：利用对数的单调性可解简单的对数不等式.解：（1）∵log 2（2x-1）>1，即log 2（2x-1）>log 22，∴2x-1>2，解得x>23， 即x 的范围是x ∈（23，+∞）. （2）由已知得log 2（2x-1）＞lg1，0＜2x-1＜1，∴0＜x ＜1.误区警示 注意此处空半格解对数不等式的关键是善于把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式.但一定要注意真数大于零这一隐含条件.例3 求函数y=)3lg(562+--x x x 的定义域.思路解析：定义域是使解析式的各部分有意义的交集.解：要使函数有意义，必须且只⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥--,13,03,0562x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧-≠->≤≤-,2,3,16x x x∴-3＜x ＜-2，或-2＜x ≤1.∴函数的定义域为（-3，-2）∪（-2，1］.深化升华 注意此处空半格求函数定义域时，常见的限制条件有：分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数的真数大于零，底数大于零且不等于1等.例4 试求满足不等式2（log 0.5x ）2+9log 0.5x+9≤0的x 的范围.思路解析：把log 0.5x 看作一个变量t ，原不等式即变为关于t 的一元二次不等式，可求出t 的取值范围，进而再求出x 的取值范围.解：令t=log 0.5x ，则原不等式可化为2t 2+9t+9≤0，解得-3≤t ≤-23， 即-3≤log 0.5x ≤-23.又-3=log 0.50.5-3，-23=235.0log .∴235.0≤x ≤0.5-3，即22≤x ≤8.深化升华 注意此处空半格求复合函数的最值时，一般要注意函数有意义的条件，来决定中间变量的取值范围，并综合运用求最值的各种方法求解.例5 求函数y=log 0.3（2x+8-x 2）的单调区间和值域.思路解析：利用复合函数的单调性法则(同增异减),而求值域的关键是先求出对数的真数的取值范围,再由对数函数的单调性求得对数值的范围.解：因为2x+8-x 2>0，即x 2-2x-8<0,解得-2<x<4，所以此函数的定义域为（-2,4），又令u=2x+8-x 2,则y=log 0.3u.因为y=log 0.3u 为定义域上的减函数,所以y=log 0.3（2x+8-x 2）的单调性与u=2x+8-x 2的单调性相反.对于函数u=2x+8-x 2,x ∈（-2,4）.当x ∈（-2，1]时为增函数;当x ∈［1，4)时为减函数.所以函数y=log 0.3（2x+8-x 2）的增区间为［1，4),减区间为（-2，1]，又因为u=2x+8-x 2=-（x-1）2+9，所以当x ∈（-2,4）时, 0<u ≤q ⇒log 0.3u ≥log 0.39,即函数y=log 0.3（2x+8-x 2）的值域为 ［log 0.39,+∞)．拓展延伸 注意此处空半格考查对数函数与其他函数组成的复合函数时,要注意利用复合函数的单调性法则和函数单调性的定义;考查对数函数的值域问题时,要注意只有当对数的真数取到所有的正数时,对数值才可能取到所有的实数.例6 作出下列各函数的图象,并说明它们的图象可由y=log 3x 的图象经过怎样变换得到：(1) y=log 3|x|;（2）y=|log 3x|.思路解析：作含绝对值符号的函数图象,可先由绝对值定义去绝对值,写成分段函数的形式,也可依翻折变换的规律变换得出. 解：（1）原函数可化为y=⎩⎨⎧<->,0),(log ,0,log 33x x x x 它的图象如图(1)所示.先作出函数y=log 3x 的图象,再将所得图象沿y 轴对称到y 轴左侧,所得两部分组合在一起就是函数y=log 3|x|的图象.(2)原函数可化为y=⎩⎨⎧≤<-≥,1,log ,1,log 33x x x x x 它的图象如(2)图所示.先作出函数y=log 3x 的图象,再将所得图象再将所得图象在x 轴下方(虚线部分)的部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与原x 轴上方的部分一起,就是y=|log 3x|的图象.深化升华 注意此处空半格利用对数函数的图象的平移和对称可以认识与对数函数有关的一些函数的图象和性质,这些图象的变换规律与指数函数的有关图象变换规律是类似的.。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第二课时 对数函数的图象及性质的应
2x＞0,
所以由
log0.72x<log0.7(x-1)得
x
1＞0,
解得 x>1.
2x＞x 1，
即 x 的取值范围是(1,+∞).
方法技巧 (1)解对数不等式(组)的方法是把对数不等式(组)转化为一般 不等式(组)求解,其依据是对数函数的单调性.若含有字母,应考虑分类讨论.
(2)求解对数不等式易忽略定义域优先的原则,导致增解.
所以 0>log0.71.1>log0.71.2.
所以 1 < 1 , log0.7 1.1 log0.7 1.2
由换底公式可得 log1.10.7<log1.20.7.
法二 作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象,如图所示,两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7<log1.20.7.
3
2< log1
5
2.
(3)取中间值1,因为log23>log22=1=log55>log54,所以log23>log54.
题后反思 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性. (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较. (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类 讨论. (3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以 画出对数函数的图象,再进行比较. (4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
(3)求函数f(x)的单调递减区间,并证明.
解:(3)由函数 f(x)的图象得函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,0),证明如下:
设 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质(2)课后训练1新人教A版必
2.2.2 对数函数及其性质课后训练1．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )．A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)2．已知集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |log 2x ＞1}，则M ∩N 等于( )．A ．B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |2＜x ＜3}3．函数y 12log (43)x -( )．A ．(0,1] B.3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.3,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦ 4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )．A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2 5．小华同学作出的a ＝2,3，12时的对数函数y ＝log a x 的图象如图所示，则对应于C 1，C 2，C 3的a 的值分别为( )．A ．2,3，12 B ．3,2，12 C.12，2,3 D.12，3,2 6．不等式13log (5＋x )＜13log (1－x )的解集为______． 7．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.8．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝0，则不等式f (log 4x )＜0的解集是______．9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (4－2x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )－g (x )的定义域；(2)求使函数f (x )－g (x )的值为正数的x 的取值范围．10．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函数关系式．(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？(3)2011年春节联欢晚会中，赵本山、王小利、小沈阳等表演小品《同桌的你》时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少？参考答案1. 答案：C ∵x ≥1，∴log 2x ≥0，∴y ≥2.2. 答案：D 由log 2x ＞1，得x ＞2，∴M N ＝{x |2＜x ＜3}．3. 答案：D 由题意列不等式组12log (43)0,(1)430.(2)x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩ 对于①有12log (4x －3)≥12log 1，解得x ≤1；对于②有4x ＞3，解得x ＞34.所以34＜x ≤1. 4. 答案：A 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2，故f (x )＝log 2x .5. 答案：C 直线y ＝1与函数y ＝log a x 的图象交点的横坐标是底数a ，则由图象得对应C 1的a 的值为12，对应C 3的a 的值为3，对应C 2的a 的值为2. 6. 答案：{x |－2＜x ＜1} 原不等式等价于50,10,51,x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得－2＜x ＜1.7. 答案：4 由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，所以A ＝(0,4]．又A B ，则a ＞4，所以c ＝4.8. 答案：122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭由题意可知，f (log 4x )＜012-＜log 4x ＜12124log 4-＜log 4x ＜1241log 42⇔＜x ＜2. 9. 答案：解：(1)由题意可知，f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (4－2x )，要使函数f (x )－g (x )有意义，自变量x 的取值需满足10,420,x x +>⎧⎨->⎩解得－1＜x ＜2. 故函数f (x )－g (x )的定义域是(－1,2)．(2)令f (x )－g (x )＞0，得f (x )＞g (x )，即log a (x ＋1)＞log a (4－2x )，当a ＞1时，可得x ＋1＞4－2x ，解得x ＞1.由(1)知－1＜x ＜2，∴1＜x ＜2；当0＜a ＜1时，可得x ＋1＜4－2x ，解得x ＜1，由(1)知－1＜x ＜2，∴－1＜x ＜1.综上所述，当a ＞1时，x 的取值范围是(1,2)；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－1,1)．10. 答案：解：(1)由已知，得y ＝20lg 0p p .又P 0＝2×10－5，则y ＝20lg 5210p -⨯. (2)当P ＝0.002时，y ＝20lg 50.002210-⨯＝20lg 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以该地区为无害区．(3)由题意，得90＝20lg0p p ，则0p p ＝104.5， 所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(第2课时)对数函数及其性质的应用(习题课)应用
高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质（第2课时）对数函数及其性质的应用（习题课）应用案巩固提升新人教A 版必修1[A 基础达标]1．已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选B.a ＝log 0.60.5＞log 0.60.6＝1，b ＝ln 0.5＜0，0＜c ＝0.60.5＜0.60＝1， 故a ＞c ＞b .2．(2019·衡阳高一检测)函数y ＝log 15(1－3x)的值域为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为3x＞0，所以－3x＜0， 所以1－3x＜1.又y ＝log 15t (t ＝1－3x)是关于t 的减函数，所以y ＝log 15t ＞log 151＝0.选C.3．(2019·聊城高一检测)关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是减函数 C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上是增函数D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上是减函数 解析：选C.由1－2x >0，得x <12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.由于底数12∈(0，1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上是增函数，故选C. 4．(2019·六安高一检测)若a >1，且log 1ax 1＝log a x 2＝log a ＋1x 3<0，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 3<x 1C ．x 3<x 2<x 1D ．x 3<x 1<x 2解析：选C.因为log 1ax 1＝log a x 2＝log a ＋1x 3<0，所以lg x 1lg 1a＝lg x 2lg a ＝lg x 3lg （a ＋1）<0，因为a >1，则lg 1a<0，lg(a ＋1)>lg a >0，所以lg x 1>0，lg x 2<0，lg x 3<0，且lg x 2>lgx 3，所以x 1>1，0<x 3<x 2<1，所以x 3<x 2<x 1.5．下列函数为奇函数的是( )A ．f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12xB ．f (x )＝|lg x |C ．f (x )＝lg |x |D ．f (x )＝lg 1－x1＋x解析：选D.对于选项A 中的函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x ，函数定义域为R ，f (－x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋12－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝f (x )，故选项A 中的函数为偶函数；对于选项B 中的函数f (x )＝|lg x |，由于函数定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故选项B 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；对于选项C 中的函数f (x )＝lg|x |，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，故选项C 中的函数为偶函数；对于选项D 中的函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，由于函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称，f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，故选项D 中的函数为奇函数．故选D.6．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是________． 解析：由lg(2x －4)≤1得lg(2x －4)≤lg 10， 所以0＜2x －4≤10， 解得2＜x ≤7. 答案：(2，7]7．(2019·凉州高一检测)已知函数y ＝log 2(1－x )的值域为(－∞，0)，则其定义域是________．解析：因为函数y ＝log 2(1－x )的值域为(－∞，0)，所以0<1－x <1，即－1<x －1<0，解得0<x <1，所以该函数的定义域为(0，1)．答案：(0，1)8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________．解析：因为a ＞1，所以f (x )＝log a x 在[a ，2a ]上递增， 所以log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，所以a 12＝2，a ＝4.答案：49．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝log 2x . (1)求f (x )的解析式； (2)解关于x 的不等式f (x )≤12.解：(1)设x <0，则－x >0， 因为当x >0时，f (x )＝log 2x ， 所以f (－x )＝log 2(－x )， 又因为函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )． 当x ＝0时，f (0)＝0，综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2（－x ），x <0.(2)由(1)得不等式f (x )≤12可化为x >0时，log 2x ≤12，解得0<x ≤ 2.x ＝0时，0≤12满足条件．x <0时，－log 2(－x )≤12，解得x ≤－22. 综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≤－22或0≤x ≤2.10．已知函数f (x )＝log 2(1＋x 2)．求证：(1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．证明：(1)函数f (x )的定义域是R ，f (－x )＝log 2[1＋(－x )2]＝log 2(1＋x 2)＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(2)设x 1，x 2为(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(1＋x 21)－log 2(1＋x 22)＝log 21＋x 211＋x 22.因为0<x 1<x 2，所以0<x 21<x 22，0<1＋x 21<1＋x 22，所以0<1＋x 211＋x 22<1.又函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，所以log 21＋x 211＋x 22<0.所以f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．[B 能力提升]11．log 12(a 2＋a ＋1)与log 1234的大小关系为( )A ．log 12(a 2＋a ＋1)≥log 1234B ．log 12(a 2＋a ＋1)>log 1234C ．log 12(a 2＋a ＋1)≤log 1234D ．log 12(a 2＋a ＋1)<log 1234解析：选C.因为y ＝log 12x 在(0，＋∞)上是减函数，而a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34≥34，所以log 12(a 2＋a ＋1)≤log 1234.12．(2019·大庆高一检测)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，且|log b a |＝－log b a ．则a ，b 满足的关系式是( )A ．a >1且b >1B ．a >1且0<b <1C ．b >1且0<a <1D ．0<a <1且0<b <1解析：选C.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，且|log b a |＝－log b a ，所以log a 14>0，log b a <0，即0<a <1，b >1.13．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，所以定义域为(－3，1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2＋4≤4，又0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )的最小值为log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，所以a ＝4－12＝12.14．(选做题)已知函数f (x )＝log a (3－ax )，(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由题设，3－ax >0对x ∈[0，2]恒成立，且a >0，a ≠1.设g (x )＝3－ax ， 则g (x )在[0，2]上为减函数，所以g (x )min ＝g (2)＝3－2a >0，所以a <32.所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，则由题设知f (1)＝1， 即log a (3－a )＝1，所以a ＝32.此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x . 但x ＝2时，f (x )＝log 320无意义．故这样的实数a 不存在．。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.2第2课时对数函数及其性质的应用
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1．y＝ln(x2＋1)的值域是( A．R C．(0，＋∞) 答案：B
[双基自测] ) B．[0，＋∞) D．(－∞，0)
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2．设 a＝log54，b＝log53，c＝log 1 5，则( )
3
A．a<c<b
B.c<a<b
C．b<a<c
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3．(1)若 f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则 a 的取值范围是( )
A．[1,2)
B．[1,2]
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
(2)求函数 f(x)＝log2(x2－x－2)的单调减区间．
解析：(1)令函数 g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2 的对称轴为 x＝a，要
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(2)令 f(x)－g(x)＞0，得 f(x)＞g(x)， 即 loga(x＋1)＞loga(4－2x)， 当 a＞1 时，可得 x＋1＞4－2x，解得 x＞1. 由(1)知－1＜x＜2，∴1＜x＜2； 当 0＜a＜1 时，可得 x＋1＜4－2x，解得 x＜1， 由(1)知－1＜x＜2，∴－1＜x＜1. 综上，当 a＞1 时，x 的取值范围是(1,2)；当 0＜a＜1 时，x 的取值范围是(－1,1)．
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
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解析：当 a>1 时，loga34<0<1，成立．
当 0<a<1 时，y＝logax 为减函数．
由
loga34<1＝logaa，得
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质 第2课时 对数函
第二课时对数函数的图象及性质的应用(习题课)1.已知a=log23.4,b=log43.6,c=log30.3,则( A )(A)a>b>c (B)b>a>c(C)a>c>b (D)c>a>b解析:因为a=log23.4>1,0<b=log43.6<1,c=log30.3<0,所以a>b>c,故选A.2.已知a=lg e,b=(lg e)2,c=lg,则( B )(A)a>b>c (B)a>c>b(C)c>a>b (D)c>b>a解析:因为e>,所以lg e>lg,所以a>c,因为0<lg e<lg=,所以b=(lg e)2<lg e=lg=c,所以a>c>b.故选B.3.若log a<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值X围为( C )(A)(,1) (B)(,+∞)(C)(0,)∪(1,+∞) (D)(0,)∪(,+∞)解析:当a>1时,log a<log a a,即a>,此时a>1,当0<a<1时,log a<log a a,即a<,此时0<a<.综上可知0<a<或a>1,选C.4.设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a等于( D )(A) (B)2 (C)2(D)4解析:因为a>1,所以f(x)=log a x在区间[a,2a]上单调递增,所以log a(2a)-log a a=即log a2=,所以=2,即a=4.故选D.5.已知log a>log b>0,则有( D )(A)1<b≤a (B)1<a<b(C)0<a<b<1 (D)0<b<a<1解析:由log a>0,log b>0知0<a<1,0<b<1,又因为log a>log b,由图象知a>b,所以0<b<a<1.故选D.6.函数f(x)=|lo x|的单调递增区间是( D )(A)(0,] (B)(0,1] (C)(0,+∞) (D)[1,+∞)解析:f(x)的图象如图所示,由图象可知单调递增区间为[1,+∞).故选D.7.若log a<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值X围是( B )(A)(0,) (B)(0,)∪(1,+∞)(C)(1,+∞) (D)(0,1)解析:当a>1时,log a<0<1,成立.当0<a<1时,y=log a x为减函数.由log a<1=log a a,得0<a<.综上所述,0<a<或a>1.故选B.8.若函数f(x)=log a(2x+1)(a>0,且a≠1)在区间(-,0)内恒有f(x)>0,则f(x)的单调减区间是( B )(A)(-∞,-) (B)(-,+∞)(C)(-∞,0) (D)(0,+∞)解析:当x∈(-,0)时,2x+1∈(0,1),所以0<a<1.又因为f(x)的定义域为(-,+∞),y=2x+1在(-,+∞)上为增函数,所以f(x)的单调减区间为(-,+∞).故选B.9.设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值X围是.解析:①若a>0,则-a<0,所以log2a>lo a⇒log2a>log2⇒a>⇒a>1.②若a<0,则-a>0,lo(-a)>log2(-a)⇒log2(-)>log2(-a)⇒->-a⇒a∈(-1,0). 由①②可知a∈(-1,0)∪(1,+∞).答案:(-1,0)∪(1,+∞)10.已知函数f(x)=log2为奇函数,则实数a的值为.解析:由奇函数得f(x)=-f(-x),log2=-log2,=,a2=1,因为a≠-1,所以a=1.答案:111.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=.解析:由题知f(-x)=f(x),即-xln(-x+)=xln(x+),则ln(x+)+ln(-x+)=0,所以ln(a+x2-x2)=0,即ln a=0,所以a=1.答案:112.函数y=log2(4+3x-x2)的单调递减区间是.解析:由4+3x-x2>0得-1<x<4.令t=4+3x-x2,则t在(-1,]上单调递增,在[,4)上单调递减,因此所求单调递减区间为(,4).答案:(,4)13.已知函数f(x)=(1)在直角坐标系中,画出该函数图象的草图;(2)根据函数图象的草图,求函数y=f(x)的值域、单调增区间.解:(1)当x<1时,f(x)是二次函数,主要画出顶点、对称轴和函数图象与两个坐标轴的交点. 当x≥1时,画出f(x)=lo x的图象,然后关于x轴对称变换即可.(2)根据图象可知,函数值域为R,单调增区间为(-∞,0),(1,+∞).14.已知:函数f(x)=log a(2+x)-log a(2-x)(a>0且a≠1).(1)求f(x)定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)求使f(x)>0的x的集合.解:(1)因为f(x)=log a(2+x)-log a(2-x)(a>0且a≠1),所以解得-2<x<2,故所求函数f(x)的定义域为{x|-2<x<2}.(2)f(-x)=log a(-x+2)-log a(2+x)=-[log a(x+2)-log a(2-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)原不等式可化为log a(2+x)>log a(2-x).①当a>1时,y=log a x单调递增,所以即0<x<2.②当0<a<1时,y=log a x单调递减,所以即-2<x<0,综上所述,当a>1时,不等式的解集为(0,2);当0<a<1时,不等式的解集为(-2,0).15.已知函数f(x)=lo(x2-2ax+3).(1)若f(x)定义域为R,某某数a的取值X围;(2)若f(x)值域为R,某某数a的取值X围;(3)是否存在a∈R,使f(x)在(-∞,2)上单调递增,若存在,求出a的取值X围;若不存在,请说明理由.解:令u(x)=x2-2ax+3,(1)f(x)定义域为R,则u(x)>0恒成立,⇒Δ<0⇒-<a<,即实数a的取值X围为(-,).(2)f(x)值域为R,则u(x)能取遍(0,+∞)的所有实数,⇒Δ≥0⇒a≤-或a≥,即实数a的取值X围为(-∞,-]∪[,+∞).(3)不存在.理由如下:f(x)在(-∞,2)上单调递增,则u(x)在(-∞,2)上单调递减,且u(x)min>0⇒⇒⇒a∈ ,所以不存在这样的实数a.16.若函数f(x)=log a|x+1|在(-1,0)上有f(x)>0,则f(x)( C )(A)在(-∞,0)上是增函数(B)在(-∞,0)上是减函数(C)在(-∞,-1)上是增函数(D)在(-∞,-1)上是减函数解析:当-1<x<0时0<x+1<1,因为log a|x+1|>0,所以0<a<1,因此f(x)=log a|x+1|在(-∞,-1)上递增,在(-1,+∞)上递减.故选C.17.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值X围是( D )(A)[-1,2] (B)[0,2](C)[1,+∞) (D)[0,+∞)解析:当x≤1时,由21-x≤2,即1-x≤1,解得0≤x≤1;当x>1时,由1-log2x≤2,即log2x≥-1,解得x>1.综上所述,x的取值X围是[0,+∞),故选D.18.已知y=log a(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值X围是.解析:令y=log a t(t>0),t=2-ax,若0<a<1,所以t是x的减函数,不合题意,所以a>1,又因为t>0对任意x∈[0,1]恒成立,所以2-a>0⇒a<2,所以实数a的取值X围是(1,2).答案:(1,2)19.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f=0,则不等式f(lo x)>0的解集为.解析:因为f(x)是R上的偶函数,所以它的图象关于y轴对称.因为f(x)在[0,+∞)上为增函数,所以f(x)在(-∞,0]上为减函数,作出函数大致图象如图所示.由f=0,得f-=0.所以f(lo x)>0⇒lo x<-或lo x>⇒x>2或0<x<,答案:(0,)∪(2,+∞)20.已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=x+b没有交点,求b的取值X围;(3)设h(x)=log9(a·3x-a),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求a的取值X 围.名师点拨:根据偶函数性质,利用f(-x)=f(x)及对数运算性质建立方程求k.函数y=f(x)的图象与直线y=x+b无公共点,则转化为方程f(x)=x+b无解,分离参数可求b的X围,而h(x)与f(x)的图象只有一个公共点,可转化为方程f(x)=h(x)只有一个实根.解:(1)因为y=f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即对于任意x恒成立.于是2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9-log9(9x+1)=-x恒成立,而x不恒为零,所以k=-.(2)由题意知方程log9(9x+1)-x=x+b即方程log9(9x+1)-x=b无解.令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.因为g(x)=log9=log9(1+),由1+>1,则g(x)=log9(1+)>0,所以b的取值X围是(-∞,0].(3)由题意知方程3x+=a·3x-a有且只有一个实数根.令3x=t>0,则关于t的方程(a-1)t2-at-1=0(记为(*))有且只有一个正根.若a=1,则t=-,不合题意,舍去.若a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根.由Δ=0⇒a=或-3.但a=⇒t=-2,不合题意,舍去;而a=-3⇒t=.若方程(*)的两根异号⇔(a-1)·(-1)<0⇔a>1.综上所述,实数a的取值X围是{-3}∪(1,+∞).。
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lg2>lg1=0,
∴lg2最大.
二、对数函数单调性的应用
以下四个数中的最大的是( )
A．(ln2)2
B．ln(ln2)
C．ln 2
D．ln2答案：D源自高中数学第二章基本初等函数（I）2.2.2对数函数及其性质第2课时习题课——对数函数及其性质知识框架素材必修1
素材库
1.对数函数知识体系构建
对数 对 数 函 数
对数函数
定义 运算性质
定义 性质 图象
定义域 底数a对性质的影响
2.对数函数及其性质框架图 对数函数的定义
对数函数的图象及性质
函数单调性
对数函数及其性质的应用 对数的运算性质
比较大小
解不等式
求单调区间
对数函数单调性的应用
典型例题
对数函数单调性的应用
典型例题
2. 下列四个数中最大的是( A )
A.lg2
B.lg 2
C.(lg2)2
D.lg(lg2)
【解析】由对数函数的增减性可知:lg <2 lg2<1, ∴(lg2)2<lg2,lg(lg2)<lg1=0,