策略式博弈：混合策略

李四选左的预期赢利：2×p+3×q+1×(1-p-q)=1+p+2q 李四选中的预期赢利：2×p+1×q+0×(1-p-q)=2p+q 李四选中的预期赢利：4×p+2×q+3×(1-p-q)=p-q+3 各策略预期赢利无差异意味着有：1+p+2q=2p+q=p-q+3，可解出：p*=5/3，q*=2/3。这个 答案是显然错误的，因为作为概率p*怎么可能大于 1 呢？ 到这里，实际上我们已经不需要探讨李四的混合策略了，因为错误已经明显。问题是， 为什么会有错误呢？ 原因是：我们未能在求解混合策略均衡前剔除劣势策略。 观察表 3.4 的博弈，可发现对于张三来说，“下”是“上”的严格劣势策略，即张三是 永远不会选择“下”的——这相当于采取“下”的概率为 0，所以再求混合策略的时候我们 必须先对“下”这样的劣策略赋予 0 概率，或者剔除掉该策略。 读者可能还有一个问题：当我们赋予策略“下”一个概率 1-p-q，为什么计算出这个劣 势策略得到的概率不会为 0 呢？原因是，给定张三选下，李四选择左、中、右的赢利是不一 样的，而实际上既然张三不会选下，李四的预期赢利里实际上就不应包括(下，*)的情况， 所以，在根本上写出的李四的预期赢利都是错的，自然得到的关于策略“下”的选取概率更 是错的。 好了，现在我们来介绍正确的做法：首先应当剔除张三的“下”；而这一轮剔除之后读 者们会发现，对李四而言，“中”相对于“右”的劣势策略，应该剔除“中”。经过两轮剔除， 最后剩下的博弈转化成如下结构(表 3.5)：
会发生车毁人伤的情况吗？
既然你和司机乙都采用了(2/3,1/3)的混合策略，那就意味着各种结果都是可能出现的。 并且我们可以计算各种情况出现的概率，见表 3.2。
表 3.2
懦夫博弈各情况出现的概率
司机乙
转向(2/3)
向前(1/3)
司机甲 转向(2/3) (你) 向前(1/3)
× = 2 2 4
33 9
假如存在一个概率 q，司机乙以概率 q 选择转向，那么他选择向前的概率将是 1-q。而 你选择不同策略的预期赢利就会是：
你选择转向的预期赢利：1×q+(-2)×(1-q)=3q-2； 你选择向前的预期赢利：2×q+(-4)×(1-q)=6q-4。 如果司机乙真的以概率 q 选择转向，那么意味着他不会始终重复地选择某个策略(纯策 略)。而他不选择重复地选择某个策略的条件必须是你也不会重复地选择某个策略。因此， 他以概率 q 选择转向必然意味着在这样的情况下你不可能有合适的纯策略；换句话说，他也 必须使你在你的两个策略之间随机选择。 那么，在什么情况下你会在两个策略之间进行随机选择呢？那就只有一种情况：当你选 择任何一个策略的预期赢利都完全相同的时候——因为这样你就无法选出哪个策略更优，就 只有随机选择。也就是说，司机乙选择 q，使得 3q-2=6q-4Îq*=2/31-q*=1/3 这样，司机乙以 2/3 的概率选择转向，以 1/3 的概率选择向前，就可以使你在两个策略 之间无差异而无法采取纯策略(读者可计算，你选择转向的预期赢利将是 0，选择向前的预 期赢利也是 0)。由此，我们可以记下司机乙采取的混合策略：(2/3,1/3)①。 反过来，司机乙对你的选择也有着概率判断，而为了保持这种判断信念的后果与信念本 身一致，你也以一定概率(比如 p)随机选择你得策略，且 p 需要满足使司机乙在他的两个策 略之间没有差异。此时他各策略的预期赢利为： 司机乙选择转向的预期赢利：1×p+(-2)×(1-p)=3p-2； 司机乙选择向前的预期赢利：2×p+(-4)×(1-p)=6p-4。 而你需要选择p的值，使 3p-2=6p-4，可得到p*=2/3,1-p*=1/3。读者可计算，此时司机乙 无论选转向还是选向前，其预期赢利皆为 0。由此，我们可以记下你采取的混合策略(2/3,1/3)。 由于你以概率 2/3 选择转向，以 1/3 的概率选择向前，以及司机乙以概率 2/3 选择转向， 以 1/3 的概率选择向前，刚好可以互为对彼此的最优反应，因此它是一个纳什均衡状态，称 混合策略纳什均衡，可以记为{(2/3,1/3),(2/3,1/3)}②。
成为现实结果的概率是 2/3×2/3=4/9(因为你和司机乙各有 2/3 的概率选择转向)。其他各单 元格的数字根据同样的道理计算。
可以发现，在懦夫博弈中，真正出现车毁人伤的概率其实还是很小的，为 1/9，约 11%。 大家还可以回顾古巴导弹危机那个博弈(第 2 章表 2.13)，因为那个博弈跟懦夫博弈的结构和 赢利表是完全一样的，因此那个博弈当中，美国和苏联各自都将有混合策略(2/3，1/3)：美 国以 2/3 的概率选择封锁，以 1/3 的概率选择空袭；苏联以 2/3 的概率选择拆除导弹，以 1/3 的概率选择保留导弹。由此，“妥协”局面(即美国封锁、苏联拆除)发生概率为 4/9，约 44%； 而爆发“核战争”的局面(美国空袭、苏联保留)发生的概率为 1/9，约 11%。我们会发现， 尽管“妥协”局面不是纳什均衡，但在混合策略下却是最可能发生的现实——真实的历史也 许就是这种随机对策的结果，如果真是这样，那么历史真的是有其命运，但又很偶然。
× = 1 2 2
33 9
× = 2 1 2
33 9
× = 1 1 1
33 9
注意，表 3.2 不是博弈的赢利表，而是各种情况出现的概率表。策略组合(转向，转向)
① (2/3,1/3)是混合策略的表示方法，括号中第一个数字表示选择第一个策略的概率，第二个数字表示选择 第二个策略的概率，以此类推。在这里，(2/3,1/3)具体表示司机乙以 2/3 的概率选择转向(策略一)，以 1/3 的概率选择向前(策略二)。 ② {(2/3,1/3),(2/3,1/3)}是混合策略组合的表示方法，第一个小括号内表示第一个参与人的混合策略，第二 个小括号内表示第二个人的混合策略。在这个博弈中，可以证明这是唯一的混合策略纳什均衡。
懦夫博弈中的策略混合动机
考虑第 2 章表 2.11 的懦夫博弈。当时我们得到了两个纯策略纳什均衡：(向前，转向) 和(转向，向前)。为方便，我们将这个博弈的赢利在这里再画一遍(表 3.1)。
表 3.1
司机甲 (你)
懦夫博弈
司机乙
转向
向前Leabharlann 转向 1，1-2，2
向前 2，-2
-4，-4
但问题可以想得更复杂些。假如你是司机甲，你究竟会转向还是继续向前？这很可能取 决于你对司机乙的判断：司机乙选择转向还是选择向前决定着你的选择。但是你无法肯定司 机乙是否会确定地转向，因为他的行为取决于他对你的揣摩。所以，最终你也许只能认为司 机乙有多少可能转向、有多少可能向前。
表 3.3
麦琪的礼物
妻子
剪发 不剪
卖表 丈夫
0，0
2，1
p
不卖 1，2 0，0 1-p
q
1-q
各参与人在各策略下的预期赢利为： 丈夫：买表的预期赢利：0×q+2×(1-q)=2-2q（1）
不卖的预期赢利：1×q+0×(1-q)=q（2） 妻子：剪发的预期赢利：0×p+2×(1-p)=2-2p(3)
不卖的预期赢利：1×p+0×(1-p)=p(4) 读者有必要注意，丈夫的某个策略的赢利是该策略对应的行中丈夫的赢利与妻子的概率 积之和；而妻子的某个策略的赢利是该策略对应的列中妻子的赢利与丈夫的概率积之和。 纳什均衡应满足，①妻子选择p使丈夫在各策略之间的预期赢利没有差异，即使式子(1) 等于式子(2)：2-2q=q，可解出q*=2/3；②丈夫选择q使妻子在各策略之间的预期赢利没有差 异，即使式子(3)等于式子(4)：2-2p=p，可解出p*=2/3。 由此，纳什均衡状态下丈夫的混合策略是(2/3,1/3)，妻子的混合策略也是(2/3,1/3)。混合 纳什均衡为{(2/3,1/3),(2/3,1/3)}。
表 3.5 混合策略求解须剔除劣策略(剔除后)
李四
左
右
上 张三
中
2，0 3，4
4，2 2，3
对于表 3.5 的博弈，混合策略的求解是容易的：假设张三选上的概率为 p，选中的概率
① “几乎所有”(almost all)是测度论术语，指的是除掉一个测度为零的集合外，其他情形定理结论都成立。
假如，你认为司机乙转向的可能性为 50%，向前的可能性也为 50%，那么你应该选择 转向还是向前？这取决于你采取不同策略的预期赢利，它们可以计算如下：
你选择转向的预期赢利：1×50%+(-2)×50%=-0.5； 你选择向前的预期赢利：2×50%+(-4)×50%=-1。 你将发现，当司机乙转向、向前的可能性各为 50%的时候，你选择转向是最合适，因 为转向的预期赢利(-0.5)比向前的预期赢利(-1)要大一些。 但是，司机乙当然知道你在猜测他选择各策略的概率，他会不会真如你所想那样以各自 50%的概率来选择转向或向前呢？如果他确实以各 50%的概率在两个策略间选择，那么他知 道你就会一定选择转向(这是对你最适合的策略)；但是既然你选择转向，那么他又何必以各 自 50%的概率来选择其两个策略呢，他完全可以选择向前。 假如，你认为司机乙转向的可能性为 80%，向前的可能性仅为 20%，那么你又应该选 择什么策略？这仍然取决于你采取不同策略的预期赢利，如下： 你选择转向的预期赢利：1×80%+(-2)×20%=0.4； 你选择向前的预期赢利：2×80%+(-4)×20%=0.8。 显然，此情之下你选择向前(得 0.8)比选择转向(的 0.4)更合适。但是，给定你选择向前， 司机乙将会必定选择转向，即他选择转向的概率将为 1，而不是你事先认为的 0.8。也就是 说，从你的先念估计出发的结果会推翻你的先验估计。 同样地，司机乙对你也在进行一系列的估计。问题是，在什么状态，可以刚好使你们的 估计能够和从该估计出发的行为选择趋于一致呢？如果能够趋于一致，那就是达到了纳什均 衡状态。