(完整版)中考新定义问题

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中考风向标：新定义类问题

（２）劳格数有如下运算性质：
若ｍ、ｎ为正数，贝Ｕｄ（ｍｎ）＝ｄ（，ｎ）＋ｄ（凡），
ｄ（６）和（８）全部正确．所以ｄ（１．５）和ｄ（１２）都错误，计算如下：
ｄ（１．５）＝ｄ（３）＋ｆｚ（５）一ｄ（１０）＝３ａ — ｂ＋ｃ一１，
道考题，讲解思路和反思回顾，帮助同学２ｄ（３）＝４ａ一２ｂ，符合；同理，ｄ（２７）也符合．如
果ｄ（３）错误，则ｄ（９）和ｄ（２７）两个也错误，例１（２０１３・江苏扬州）如果１０ｂ＝￣，那不可能，所以ｄ（３）、ｄ（９）和ｄ（２７）全部正确．
ｄ（ａ） —
—
（。为正数）．
若ｄ（２）＝Ｏ．３０１０，则ｄ（４）＝ — —
＝
— —
，
ｄ（０．０８）＝ — — ．
（３）表１中与数对应的劳格数ｄ（）进一步加以运用．
有且只有两个是错误的，请找出错误的劳
格数．说明理由并改正．
【阅读】
如图１，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已
【思路突破】如果１０ｎ，那么称６为ｎ的
８，０）（ｎ＞０）、Ｂ（２，３）、Ｃ（０，３）．过原劳格数，由题意，６就是１Ｏ的指数；然后用知点Ａ（作直线Ｚ，使它经过第一、三象限，直线Ｚ推导出来的ｄ（ｍ）＝ｎｄ（ｍ）解决随后的问题．点Ｏ解：（１）ｄ（１０）＝１，（１０）＝一２．

2024年九年级中考数学专题复习：新定义型问题与二次函数相关的问题含参考答案

2024年九年级中考数学专题复习：新定义型问题与二次函数相关的问题一、单选题1在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y )，若不等式(x -a )⊗x +a <1对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围()A.-1<a <1B.0<a <2C.-12<a <32D.-32<a <122我们定义一种新函数：形如y =ax 2+bx +c a ≠0,b 2-4ac >0 的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y =x 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.bc <0B.当x =1时，函数的最大值是4C.当直线y =x +m 与该图象恰有三个公共点时，则m =1D.关于x 的方程x 2+bx +c =3的所有实数根的和为43我们定义：若点A 在某一个函数的图象上，且点A 的横纵坐标相等，我们称点A 为这个函数的“好点”.若关于x 的二次函数y =ax 2+tx -3t 对于任意的常数t ，恒有两个“好点”，则a 的取值范围为()A.0<a <13B.0<a <12C.13<a <12D.12<a <14对于实数a ,b ，定义符号min a ,b ，其意义为：min a ,b =ba ≥baa <b ．例如：min =2,-1 =-1，若关于x 的函数y =min 2x -1,-x +3,x 2-ax 则使该函数的最大值小于0时a 的范围是()A.a >2B.-1<a <0C.1<a <2D.a >35定义：两个不相交的函数图象在平行于y 轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线y =2x 2-5x +3与直线y =-2x -1的“完美距离”为()A.238B.3C.278D.2186定义运算“※”为：a ※b =ab 2(b >0)-ab2b ≤0，如：1※-2 =-1×(-2)2=-4，则函数y =2※x 的图象大致是()A. B.C. D.7新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2-x+c(c为常数)在-2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是()A.-2<c<14B.-2<c<94C.-4<c<14D.-4<c<948对于任意实数a和b，定义新运算，a#b=a2-ab a≥bb2-ab a<b有下列四个结论，其中正确的结论个数为()①2#-1的运算结果为6；②方程3x#x-2=0的解为x1=0，x2=-1；③当x<5时，函数y=2#x-3的图像经过第一、二、四象限；④函数y=2x#x-1的图像不经过第二、四象限．A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题9定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．则抛物线y =x2-2x+3与直线y=x-2的“向心值”为．10定义一种新的运算“早”，运算规则如下：(1)当a≥b时，a♀b=a；(2)当a<b时，a♀b=b2．那么当-2≤x≤2时，1♀x♀x-2♀x的最大值是．11对于实数a，b，定义运算：“☆”为a☆b=a2-ab-2a，如：2☆3=22-2×3-2×2=-6，若m，n 是二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点的横坐标，则m☆n=．12定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b=ab-a+b，例如 2⊗=2×3-2+3=1．若y关于x的函数y=kx+1⊗x-1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．13新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2-x+c(c(c 为常数)在-2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是．14新定义：任意两数m，n，按规定y=mn-m+n得到一个新数y，称所得新数y为数m，n的“愉悦数”．则当m=2x+1，n=x-1，且m，n的“愉悦数”y为正整数时，正整数x的值是．15定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B3,0、C-1,3都是“整点”．抛物线y=ax2+2ax+a-2a>0与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N 之间的部分与线段MN所围的区域(包括边界)恰有5个整点，则a的取值范围是．16定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC+BD=12，则当AC=时，四边形ABCD的面积最大．三、解答题17新定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为实数)的“图象数”，如：y=-x2+2x+ 3的“图象数”为[-1,2,3]．(1)图像数为[1,-1,0]的二次函数表达式为．(2)求证：“图象数”为[1,m+3,m]的二次函数的图象与x轴恒有两个交点．18定义：若x，y满足x2=4y+t，y2=4x+t且x≠y(t为常数)，则称点M(x,y)为“和谐点”．(1)请直接判断点(1,-5)是否为“和谐点”；(2)P(2,m)是“和谐点”，求m值；(-3<x<-1)的图象上存在“和谐点”，求k的取值范围．(3)若双曲线y=kx19某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量3-x与促销费t之间的关系为3-x=kt+1(其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．(1)要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？(2)已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为32+3x(元)，若将商品售价为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？20我们定义一种新函数：形如y=ax2+bx+ca≠0,b2-4ac>0的函数叫作“华为”函数．如图，小丽同学画出了“华为”函数y=x2-2x-3的图像，根据该图像解答下列问题：(1)求该函数图像与x轴和y轴的交点坐标．(2)当函数值y随x值的增大而减小时，求自变量x的取值范围．2024年九年级中考数学专题复习：新定义型问题与二次函数相关的问题一、单选题1在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y )，若不等式(x -a )⊗x +a <1对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围()A.-1<a <1B.0<a <2C.-12<a <32D.-32<a <12【答案】C【分析】本题的考点是函数恒成立问题，主要考查了函数恒成立问题，关键是理解新定义的运算，掌握将不等式转化为二次不等式，解决恒成立问题转化成图象恒在x 轴上方，从而有△<0，解△<0即可.【详解】根据运算法则得x -a ⊗x +a =x -a 1-x -a <1化简得：x 2-x -a 2+a +1>0在R 上恒成立,即Δ<0，1-4-a ²+a +1 <0，即4a 2-4a -3<0,解得-12<a <32，故选:C .2我们定义一种新函数：形如y =ax 2+bx +c a ≠0,b 2-4ac >0 的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y =x 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.bc <0B.当x =1时，函数的最大值是4C.当直线y =x +m 与该图象恰有三个公共点时，则m =1D.关于x 的方程x 2+bx +c =3的所有实数根的和为4【答案】D【分析】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，由-1，0 ，3，0 是函数图象和x 轴的交点，利用待定系数法求得b 、c 的值可判断A 错误；根据图象可判断B 错误；由图象可判断C 错误；由题意可得x 2-2x -3=3或x 2-2x -3=-3，利用根与系数的关系可判断D 正确．利用数形结合的思想解答是解题的关键．【详解】解：∵-1，0 ，3，0 是函数图象和x 轴的交点，∴1-b +c =09+3b +c =0，解得：b =-2c =-3 ，∴bc =-2 ×-3 =6>0，故A 错误；由图象可得，函数没有最大值，故B 错误；如图，当直线y =x +m 与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线，故C 错误；关于x 的方程x 2+bx +c =3，即x 2-2x -3=3或x 2-2x -3=-3，当x 2-2x -3=3时，x 1+x 2=--21=2，当x 2-2x -3=-3时，x 3+x 4=--21=2，∴关于x 的方程x 2+bx +c =3的所有实数根的和为2+2=4，故D 正确，故选：D ．3我们定义：若点A 在某一个函数的图象上，且点A 的横纵坐标相等，我们称点A 为这个函数的“好点”.若关于x 的二次函数y =ax 2+tx -3t 对于任意的常数t ，恒有两个“好点”，则a 的取值范围为()A.0<a <13B.0<a <12C.13<a <12D.12<a <1【答案】A【分析】“好点”A 的横纵坐标相等，即：x =y =ax 2+tx -3t a ≠0 ，Δ=(t -1)2+12at >0，整理得：t 2-2-12a t +1=0，△1=(2-12a )2-4<0，即可求解．【详解】解：“好点”A 的横纵坐标相等，∴x =y =ax 2+tx -3t a ≠0 ，∴ax 2+t -1 x -3t =0，Δ=b 2-4ac =(t -1)2+12at >0，整理得：t 2-2-12a t +1>0，∵1>0，故当Δ<0时，抛物线开口向上，且与x 轴没有交点，故上式成立，△1=(2-12a )2-4<0，解得：0<a <13，故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．4对于实数a ,b ，定义符号min a ,b ，其意义为：min a ,b =ba ≥baa <b ．例如：min =2,-1 =-1，若关于x 的函数y =min 2x -1,-x +3,x 2-ax 则使该函数的最大值小于0时a 的范围是()A.a >2B.-1<a <0C.1<a <2D.a >3【答案】D【分析】画出y =2x -1,y =-x +3,y =x 2-ax 的函数图象，根据题意，最大值小于0时，结合函数图象，即可求解．【详解】解：如图所示，y =min 2x -1,-x +3,x 2-ax 即为函数图象的红色部分，由y=x2-ax，令y=0，则x2-ax=0解得：x1=0,x2=a∵y=x2-ax经过原点，y=-x+3与x轴的交点为3，0，∴当y=min2x-1,-x+3,x2-ax最大值小于0时，则y=x2-ax与x轴的交点在3,0的右侧，∴a>3故选：D【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式以及二次函数、一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．5定义：两个不相交的函数图象在平行于y轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-2x-1的“完美距离”为()A.238B.3 C.278D.218【答案】A【分析】先判断抛物线与直线无交点，再根据定义和二次函数的性质求解即可．【详解】解：由2x2-5x+3=-2x-1得2x2-3x+4=0，∵Δ=-32-4×2×4=-23<0，∴方程2x2-3x+4=0没有实数根，∴抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-2x-1不相交，设w=2x2-5x+3--2x-1=2x2-3x+4=2x-342+238，∵2>0，∴当x=34时，w有最小值为23 8，即抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-2x-1的“完美距离”为23 8，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，理解题中定义，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．6定义运算“※”为：a※b=ab2(b>0)-ab2b≤0，如：1※-2 =-1×(-2)2=-4，则函数y=2※x的图象大致是()A. B.C. D.【答案】D【分析】根据定义运算“※”为：a※b=ab2(b>0)-ab2b≤0，可得y=2※x的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象．【详解】解：y=2※x=2x2(x>0) -2x2x≤0，x>0时，图象是y=2x2对称轴右侧的部分；x≤0时，图象是y=-2x2对称轴左侧的部分，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象，利用定义运算“※”为：a※b=ab2(b>0)-ab2b≤0得出分段函数是解题关键．7新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2-x+c(c为常数)在-2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是()A.-2<c<14B.-2<c<94C.-4<c<14D.-4<c<94【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由-2<x<4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，将x=-2代入y=2x得y=-4，将x=4代入y=2x得y=8，设A(-2,-4)，B(4,8)，如图，联立方程x2-x+c=2x，当△>0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，即9-4c>0，解得c<9 4，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，∴6+c>-4 12+c>8 ，解得c>-4，∴-4<c<94满足题意．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．8对于任意实数a和b，定义新运算，a#b=a2-ab a≥bb2-ab a<b有下列四个结论，其中正确的结论个数为()①2#-1的运算结果为6；②方程3x#x-2=0的解为x1=0，x2=-1；③当x<5时，函数y=2#x-3的图像经过第一、二、四象限；④函数y=2x#x-1的图像不经过第二、四象限．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握解一元二次方程的方法以及二次函数的性质是解题的关键．根据新定义的运算即可判断①；分两种情况讨论得到一元二次方程，解方程即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③；利用二次函数的图像即可判断④．【详解】解：①∵2>-1，∴2#-1=22-2×-1=6，故正确；②当3x≥x-2时，即x≥-1时，方程为9x2-3x x-2=0，整理得6x2+6x=0，解得x1=0，x2=-1，当3x <x -2时，即x <-1时，方程为x -2 2-3x x -2 =0，整理得x 2-x -2=0，解得x =2或x =-1(不符合题意，舍去)，∴方程3x #x -2 =0的解为x 1=0，x 2=-1，故正确；③∵当x <5时，函数y =2#x -3 =4-2x -3 =-2x +10，∴函数y =2#x -3 的图像经过第一、二象限，故错误；④当2x ≥x -1时，即x ≥-1时，函数为y =4x 2-2x x -1 =2x +12 2-12，当2x <x -1时，即x <-1时，函数为y =x -1 2-2x x -1 =-x 2+1，画出函数图像如下：由图可知函数图像不经过第二、四象限，故正确；故选：C ．二、填空题9定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．则抛物线y =x 2-2x +3与直线y =x -2的“向心值”为．【答案】114【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，解题的关键是熟练掌握正确分析“向心值”的概念．根据“向心值”的概念让两个表达式相减，然后求解得到的二次函数最小值即可．【详解】解：∵两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“向心值”，∴设“向心值”为w ，∴w =x 2-2x +3-x -2 =x 2-3x +5=x -322+114，∴w 的最小值为114．故答案为：114．10定义一种新的运算“早”，运算规则如下：(1)当a ≥b 时，a ♀b =a ；(2)当a <b 时，a ♀b =b 2．那么当-2≤x ≤2时，1♀x ♀x -2♀x 的最大值是．【答案】2【分析】本题主要考查了新运算法则、二次函数的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分-2≤x ≤1和1≤x ≤2两种情况，分别根据新运算法则求出最值，然后进行比较即可解答．【详解】解：当-2≤x ≤1时，1♀x ♀x -2♀x =1♀x -2=1-2=-1；当1≤x≤2时，1♀x=x2♀x-2=x2-2；♀x-2♀x∵a=1>0，对称轴为x=0，1≤x≤2，∴当x=2时，x2-2有最大值，22-2=2，∴1♀x的最大值是2．♀x-2♀x故答案为：2．11对于实数a，b，定义运算：“☆”为a☆b=a2-ab-2a，如：2☆3=22-2×3-2×2=-6，若m，n 是二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点的横坐标，则m☆n=．【答案】6【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，新定义下的实数运算．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意知，m，n是x2-2x-3=0的两个根，解得x=-1或x=3，分当m=-1，n=3时；当m=3，n=-1时两种情况计算求解即可．【详解】解：由题意知，m，n是x2-2x-3=0的两个根，x+1=0，x-3∴x+1=0或x-3=0，解得x=-1或x=3，当m=-1，n=3时，m☆n=m2-mn-2m=m m-n-2=-1×-1-3-2=6；当m=3，n=-1时，m☆n=m2-mn-2m=m m-n-2=6；=3×3+1-2故答案为：6．12定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊗b=ab-a+b=1．若y关，例如 2⊗=2×3-2+3于x的函数y=kx+1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．⊗x-1【答案】-1或0/0或-1【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为：y=-x2+kx+k，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一个公共点得到，求解即可．【详解】解：∵a⊗b=ab-a+b，∴y=kx+1⊗x-1=kx+1+x-1-kx+1x-1=kx2-2kx-1即y=kx2-2kx-1，∵y=kx2-2kx-1的图象与x轴仅有一个公共点，令y=0，得kx2-2kx-1=0，∴Δ=b2-4ac=4k2+4k=0，∴k2+k=0，解得：k=0或k=-1．故答案为：-1或0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与二次函数图像和x轴交点坐标的关系，解题关键是熟记：一元二次方程有两个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有两个交点；一元二次方程有一个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有一个交点；一元二次方程(在实数范围)无解，说明二次函数图像和x轴的横坐标没有交点．13新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2-x+c(c(c 为常数)在-2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是．【答案】-4<c <94【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y =2x 上，由-2<x <4可得二倍点所在线段AB 的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y =2x ，将x =-2代入y =2x 得y =-4，将x =4代入y =2x 得y =8，设A (-2,-4)，B (4,8)，如图，联立方程x 2-x +c =2x ，当∆>0时，抛物线与直线y =2x 有两个交点，即9-4c >0，解得c <94，此时，直线x =-2和直线x =4与抛物线交点在点A ，B 上方时，抛物线与线段AB 有两个交点，把x =-2代入y =x 2-x +c 得y =6+c ，把x =4代入y =x 2-x +c 得y =12+c ，∴6+c >-412+c >8 ，解得c >-4，∴-4<c <94满足题意．故答案为：-4<c <94．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．14新定义：任意两数m ，n ，按规定y =m n-m +n 得到一个新数y ，称所得新数y 为数m ，n 的“愉悦数”．则当m =2x +1，n =x -1，且m ，n 的“愉悦数”y 为正整数时，正整数x 的值是．【答案】2【分析】根据“愉悦数”的定义，将m 、n 代入y =m n -m +n 得到一个关于x 的方程，然后再求解即可．【详解】解：当m =2x +1，n =x -1，且m ，n 的“愉悦数”y =2x +1x -1-2x +1 +x -1 >0化简得：-x 2+x +3x -1>0∵x 是正整数∴x -1>0即：x -1>0-x 2+x +3>0解得：1<x <1+132∵x 是正整数∴x =2．故答案是2．【点睛】本题主要考查运用二次函数解不等式、分式的混合运算等知识点，正确运用二次函数解不等式成为解答本题的关键．15定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B 3,0 、C -1,3 都是“整点”．抛物线y =ax 2+2ax +a -2a >0 与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域(包括边界)恰有5个整点，则a 的取值范围是．【答案】1<a ≤2【分析】画出图象，找到该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域(包括边界)恰有5个整点的边界，利用与y 交点位置可得a 的取值范围．【详解】解：抛物线y =ax 2+2ax +a -2(a >0)化为顶点式为y =a (x +1)2-2，∴函数的对称轴：x =-1，顶点坐标为(-1，-2)，∴M 和N 两点关于x =-1对称，根据题意，抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域(包括边界)恰有5个整点，这些整点是(0，0)，(-1，0)，(-1，-1)，(-1，-2)，(-2，0)，如图所示：∵当x =0时，y =a -2，∴-1<a -2≤0，当x =1时，y =4a -2>0，即：-1<a -2≤04a -2>0，解得1<a ≤2，故答案为：1<a ≤2．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键．16定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD 的对角线AC 、BD 满足AC +BD =12，则当AC =时，四边形ABCD 的面积最大．【答案】6【分析】根据垂美四边形的性质列出函数解析式，进行求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴S ABCD =12AC ∙BD ，∵AC +BD =12，∴BD =12-AC ，∴S 四边形ABCD =12AC ∙BD =12AC 12-AC =-12AC 2+6AC ，∵-12<0且0<AC <12，当AC =-62×-12=6时，函数有最大值，∴AC =6时，面积有最大值；故答案是6．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确分析计算是解题的关键．三、解答题17新定义：[a ,b ,c ]为二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0，a ，b ，c 为实数)的“图象数”，如：y =-x 2+2x +3的“图象数”为[-1,2,3]．(1)图像数为[1,-1,0]的二次函数表达式为．(2)求证：“图象数”为[1,m +3,m ]的二次函数的图象与x 轴恒有两个交点．【答案】(1)y =x 2-x(2)见详解【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：(1)根据新定义得到二次函数的解析式即可；(2)根据新定义得到二次函数的解析式为y =x 2+m +3 x +m ，然后根据判别式的意义得到Δ=m +3 2-4m =m +1 2+8>0，从而求证.【详解】(1)解：图像数为[1,-1,0]的二次函数表达式为：y =x 2-x .(2)解：“图象数”为[1,m +3,m ]的二次函数表达式为：y =x 2+m +3 x +m .当y =0时，x 2+m +3 x +m =0Δ=m +3 2-4m =m +1 2+8>0∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即“图象数”为[1,m +3,m ]的二次函数的图象与x 轴恒有两个交点．18定义：若x ，y 满足x 2=4y +t ，y 2=4x +t 且x ≠y (t 为常数)，则称点M (x ,y )为“和谐点”．(1)请直接判断点(1,-5)是否为“和谐点”；(2)P (2,m )是“和谐点”，求m 值；(3)若双曲线y =k x(-3<x <-1)的图象上存在“和谐点”，求k 的取值范围．【答案】(1)点1,-5 是“和谐点”(2)m =-6(3)k 的取值范围为3<k ≤4【分析】(1)由题意得，x 2-4y =y 2-4x ，由12-4×-5 =-5 2-4×1，可得点1,-5 是“和谐点”；(2)由题意知，22-4m =m 2-8，即m 2+4m -12=0，计算求出满足要求的解即可；(3)设点a,b为双曲线y=kx(-3<x<-1)上的“和谐点”，则a2=4b+t，b2=4a+t，b=ka(-3<a<-1)，即a-ba+b+4=0，可得b=-a-4，由b=ka，可得k=ab=a-a-4=-a2-4a=-a+22+4，且-3<a<-1，然后利用二次函数的图象与性质求取值范围即可．【详解】(1)解：∵x2=4y+t，y2=4x+t，∴x2-4y=t，y2-4x=t，∴x2-4y=y2-4x，∵12-4×-5=-52-4×1，∴点1,-5是“和谐点”；(2)解：∵P2,m是“和谐点”，∴22=4m+t，m2=4×2+t，∴22-4m=t，m2-8=t，∴22-4m=m2-8，即m2+4m-12=0，解得m1=-6，m2=2(不合题意，舍去)∴m=-6；(3)解：设点a,b为双曲线y=kx(-3<x<-1)上的“和谐点”，∴a2=4b+t，b2=4a+t，b=ka(-3<a<-1)，∴a2-4b=b2-4a，即a2-b2+4a-4b=0，∴a-ba+b+4=0，∵a≠b，∴a+b+4=0，即b=-a-4，∵b=ka(-3<a<-1)，∴k=ab=a-a-4=-a2-4a=-a+22+4，且-3<a<-1，∵-1<0，∴图象开口向下，当a=-2时，k max=4，当a=-1时，k=--1+22+4=3；当a=-3时，k=--3+22+4=3；∴k的取值范围为3<k≤4．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，因式分解法解一元二次方程，二次函数的图象与性质，平方差公式，二次函数的最值，反比例函数解析式等知识．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，平方差公式，二次函数的图象与性质是解题的关键．19某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量3-x与促销费t之间的关系为3-x=kt+1(其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．(1)要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？(2)已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为32+3x(元)，若将商品售价为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？【答案】(1)至少为19万元(2)当促销费为7万元时，网店利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25万件【分析】题目主要考查不等式的应用及函数的应用，(1)根据题意得出k=2，代入原不等式求解即可；(2)设网店的利润y(万元)，根据题意得出相应的函数关系式，然后再由其性质求解即可；理解题意列出相应的函数关系式是解题关键．【详解】(1)解：∵3-x=kt+1，当t=0时，x=1，∴k=2，∴3-x=2t+1，∵2t+1≤0.1，解得：t≥19；(2)设网店的利润y(万元)，根据题意得：y=x3+32xx×1.5+t2x-3+32x+t=992-32t+1-t2=50-32t+1+t+12≤50-232t+1×t+12=42，当且仅当32t+1=t+12即t=7时，等号成立，此时3-x=0.25，当促销费为7万元时，网店利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25万件．20我们定义一种新函数：形如y=ax2+bx+ca≠0,b2-4ac>0的函数叫作“华为”函数．如图，小丽同学画出了“华为”函数y=x2-2x-3的图像，根据该图像解答下列问题：(1)求该函数图像与x轴和y轴的交点坐标．(2)当函数值y随x值的增大而减小时，求自变量x的取值范围．【答案】(1)与x轴交点坐标-1,0，3,0，与y轴交点坐标0,3(2)x≤-1或1≤x≤3【分析】(1)分别令y=0和x=0，然后求解，即可获得答案；(2)首先确定该函数图像的对称轴，然后结合图像，即可获得答案．【详解】(1)解：令y=0，即x2-2x-3=0，可得x2-2x-3=0，∴x+1x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴函数图像与x轴的交点坐标为-1,0和3,0，令x=0，则y=x2-2x-3=-3=3，∴函数图像与y轴的交点坐标为0,3；(2)该图像具有对称性，对称轴是直线x=-b=1，2a函数图像与x轴的交点坐标为-1,0，和3,0观察图像可知，当x≤-1或1≤x≤3时，函数值y随x值的增大而减小．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴交点、二次函数图像与y轴交点、解一元二方程、二次函数图像与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．。

中考复习专题之新定义问题

练习巩固
1、[2016·芜湖繁昌县一模]定义一种新运算：观察下列式子： 1⊙3＝1×4＋3＝7； 3⊙(－1)＝3×4－1＝11； 5⊙4＝5×4＋4＝24；4⊙(－3)＝4×4－3＝13.
(1)请你想一想：a⊙b＝ 4a＋b ；
(2)若a≠b，则a⊙b ≠ b⊙a(填入“＝”或“≠”)
(3)若a⊙(－2b)＝4，请计算 (a－b)⊙(2a＋b)的
(2)除1外的正奇数一定是“智慧数”吗？说
明理由．
是,设这个奇数为2n＋1(n为正整数)，2n＋1＝(n＋1)2 －n2，所以除1外，所有正奇数一定是“智慧数”。．
课堂小结
1、这节课主要复习了新定义问题中的两种类型：
① 定义新运算 ② 定义新概念
2、新定义运算，新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题. 其解题步骤一般分为以下几步：
一、定义一种新运算 14. [2011·安徽] 定义运算：a⊕b＝a(1－
b)，下列给出了关于这种运算的几点结论： ①2⊕(－2)＝6； ②a⊕b＝b⊕a； ③若a＋b＝0，则(a⊕a)＋(b⊕b)＝2ab； ④若a⊕b＝0，则a＝0. 其中正确的结论序号是___①__③___(在横线上填上
你认为所有正确结论的序号)．
2、 [2016·安庆二模]定义：经过原点的抛物线y＝a(x＋
m)2＋n(a<0)与x轴交于点A，顶点为P，当△OAP为等腰直
角三角形时，称抛物线y＝a(x＋m)2＋n(a<0)为“正抛线
”．则下列关于正抛线的描述中，正确的是(A)
A．an＝－1
B．m＋n＝0
C．m＝n
D．mn＝a－2
3. [2016·舟山]我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做

2023中考数学真题汇编30 新定义与阅读理解创新性问题(含答案与解析)

2023中考数学真题汇编·30新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1.（2023·重庆）在多项式x y z m n （其中)x y z m n 中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：||x y z m n x y z m n ，x y z m n x y z m n ，．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．32.（2023·福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计O 的面积，可得的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（）AB ．C ．3D ．3.（2023·湖北武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积112S N L ，其中,N L 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知 0,30A ， 20,10,0,0B O ，则ABO 内部的格点个数是（）A ．266B ．270C ．271D ．2854.（2023·湖南张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边ABC 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A ．B ．3C ．2D ．25.（2023·山东）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：(1,3),(2,6),(0,0)A B C 等都是“三倍点”，在31x 的范围内，若二次函数2y x x c 的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（）A ．114c B ．43c C ．154c D ．45c 6.（2023·湖南岳阳）若一个点的坐标满足 ,2k k ，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x 的二次函数 212y t x t x s （,s t 为常数，1t ）总有两个不同的倍值点，则s 的取值范围是（）A ．1sB ．0sC ．01sD ．10s 二、填空题7.（2023·北京）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．8.（2023·湖南常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图． AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是弦AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ．“会圆术”给出 AB 长l 的近似值s 计算公式：2CD s AB OA，当2OA ，90AOB 时，l s __________．（结果保留一位小数）9.（2023·重庆）如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab bc cd ，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵411229 ，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53322124 ，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．10.（2023·重庆）对于一个四位自然数M ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，∵716 ，312 ，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵816 ，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记 3P M a b c d ， 5Q M a ，若P M Q M 能被10整除，则满足条件的M 的最大值为________．11.（2023·浙江绍兴）在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数 2(2)03y x x 的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数 21034y x bx c x图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b ________．12.（2023·四川乐山）定义：若x ，y 满足224,4x y t y x t 且x y （t 为常数），则称点(,)M x y 为“和谐点”．（1）若(3,)P m 是“和谐点”，则m __________．（2）若双曲线(31)k y x x存在“和谐点”，则k 的取值范围为__________．三、解答题13.（2023·内蒙古通辽）阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程 200ax bx c a 的两个实数根12x x ，和系数a ，b ，c 有如下关系：12b x x a，12c x x a ．材料2：已知一元二次方程210x x 的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn 的值．解：∵m ，n 是一元二次方程210x x 的两个实数根，∴1,1m n mn ．则 22111m n mn mn m n ．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）应用：一元二次方程22310x x 的两个实数根为12x x ，，则12x x _______，12x x _______；（2）类比：已知一元二次方程22310x x 的两个实数根为m ，n ，求22m n 的值；（3）提升：已知实数s ，t 满足2223102310s s t t ，且s t ，求11s t的值．14.（2023·湖南张家界）阅读下面材料：将边长分别为a ，a ，a a 1S ，2S ，3S ，4S ．则2221(S S a a((a a a a(2a2b例如：当1a ，3b 时，213S S 根据以上材料解答下列问题：（1）当1a ，3b 时，32S S ______，43S S ______；（2）当1a ，3b 时，把边长为a 1n S ，其中n 是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出1n n S S 等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当1a ，3b 时，令121t S S ，232t S S ，343t S S ，…，1n n n t S S ，且12350T t t t t ，求T 的值．15.（2023·云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数2(42)(96)44y a x a x a （实数a 为常数）的图象为图象T ．（1）求证：无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；（2）是否存在整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．16.（2023·江苏徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．17.（2023·内蒙古赤峰）定义：在平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐标相等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．（1）如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是 1,2A ， 1,1B ， 3,1C ， 3,2D ，在点 11,1M ， 22,2M ， 33,3M 中，是矩形ABCD “梦之点”的是___________；（2）点 2,2G 是反比例函数1k y x图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H 的坐标是__________，直线GH 的解析式是2y _________．当12y y 时，x 的取值范围是___________．（3）如图②，已知点A ，B 是抛物线21922y x x 上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点，连接AC ，AB ，BC ，判断ABC 的形状，并说明理由．18.（2023·北京）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 的弦AB 和O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点 1,0A ，122B ，222B①在点 11,1C ，20()C ， 3C 中，弦1AB 的“关联点”是______．②若点C 是弦2AB 的“关联点”，直接写出OC 的长；（2）已知点 0,3M ，,05N．对于线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．19.（2023·四川凉山）阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形ABCD 是矩形，AEF △是等腰直角三角形，记BAE 为、FAD 为，若1tan 2，则1tan 3．证明：设BE k ，∵1tan 2，∴2AB k ，易证AAS AEB EFC △≌△∴2,EC k CF k ，∴,3FD k AD k∴1tan 33DF k AD k ，若45 时，当1tan 2 ，则1tan 3．同理：若45 时，当1tan 3，则1tan 2 ．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线39y x 与反比例函数(0)m y x x的图象交于点A ，与x 轴交于点B ．将直线AB 绕点A 顺时针旋转45 后的直线与y 轴交于点E ，过点A 作AM x 轴于点M ，过点A 作AN y 轴于点N ，已知5OA ．（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出tan tan BAM NAE 、的值；（3）求直线AE 的解析式．20.（2023·山西）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为ABC 和DFE △，其中90,ACB DEF A D ．将ABC 和DFE △按图2所示方式摆放，其中点B 与点F 重合（标记为点B ）．当ABE A 时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．（1）数学思考：请你解答老师提出的问题；（2）深入探究：老师将图2中的DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在ABC 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE BAC 时，过点A 作AM BE 交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当CBE BAC 时，过点A 作AH DE 于点H ，若9,12BC AC ，求AH 的长．请你思考此问题，直接写出结果．21.（2023·广西）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD 对折，使AD 与BC 重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B 落在EF 上，并使折痕经过点A ，得到折痕AM ，点B ，E 的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：（1）观察图1中1 ，2 和3 ，试猜想这三个角的大小关系．．．．；（2）证明（1）中的猜想；【类比操作】如图2，N 为矩形纸片ABCD 的边AD 上的一点，连接BN ，在AB 上取一点P ，折叠纸片，使B ，P 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B ，P 分别落在EF ，BN 上，得到折痕l ，点B ，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：（3）证明BB 是NBC 的一条三等分线．22.（2023·河南）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．（1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点 4,0M 的直线l y 轴，作ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，再分别作111A B C △关于x 轴和直线l 对称的图形222A B C △和333A B C △，则222A B C △可以看作是ABC 绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；333A B C △可以看作是ABC 向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．（2）探究迁移：如图2，ABCD Y 中， 090BAD ，P 为直线AB 下方一点，作点P 关于直线AB 的对称点1P ，再分别作点1P 关于直线AD 和直线CD 的对称点2P 和3P ，连接AP ，2AP ，请仅就图2的情形解决以下问题：①若2PAP ，请判断与的数量关系，并说明理由；②若AD m ，求P ，3P 两点间的距离．（3）拓展应用：在（2）的条件下，若60 ，AD 15PAB ，连接23P P ．当23P P 与ABCD Y 的边平行时，请直接写出AP 的长．23.（2023·浙江宁波）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．（1）如图1，在四边形ABCD 中，,90AD BC A ∥，对角线BD 平分ADC ．求证：四边形ABCD 为邻等四边形．（2）如图2，在6×5的方格纸中，A ，B ，C 三点均在格点上，若四边形ABCD 是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D ．（3）如图3，四边形ABCD 是邻等四边形，90DAB ABC ，BCD 为邻等角，连接AC ，过B 作BE AC ∥交DA 的延长线于点E ．若8,10AC DE ，求四边形EBCD 的周长．24.（2023·湖北荆州）如图1，点P 是线段AB 上与点A ，点B 不重合的任意一点，在AB 的同侧分别以A ，P ，B 为顶点作123 ，其中1 与3 的一边分别是射线AB 和射线BA ，2 的两边不在直线AB 上，我们规定这三个角互为等联角，点P 为等联点，线段AB 为等联线．（1）如图2，在53 个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；（2）如图3，在Rt APC △中，90A ，AC AP ，延长AP 至点B ，使AB AC ，作A 的等联角CPD 和PBD ．将APC △沿PC 折叠，使点A 落在点M 处，得到MPC ，再延长PM 交BD 的延长线于E ，连接CE 并延长交PD 的延长线于F ，连接BF ．①确定PCF 的形状，并说明理由；②若:1:2AP PB ，BF ，求等联线AB 和线段PE 的长（用含k 的式子表示）．25.（2023·甘肃兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点 1,2A ， 3,2B ， 2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ， 3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过 1,0G ，0,3T两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y 轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方， OC 点P 是ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ， 2,0B ， 2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b 的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．【参考答案与解析】1.【答案】C 【详解】解：x y z m n x y z m n ，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现x ，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x 的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x y z m n x y z m n ；x y z m n x y z m n ；||x y z m n x y z m n ；x y z m n x y z m n ．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x y z m n x y z m n ；x y z m n x y z m n ；x y z m n x y z m n ．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．2.【答案】C【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30 ，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB ，过点B 作BC OA 交OA 于点于点C ，∵30AOB ，∴1122BC OB ，则1111224OAB S ，故正十二边形的面积为1121234OAB S ，圆的面积为113 ，用圆内接正十二边形面积近似估计O 的面积可得3 ，故选：C ．3.【答案】C【详解】如图所示，∵ 0,30A ， 20,10,0,0B O ，∴130203002ABO S V ，∵OA 上有31个格点，OB 上的格点有 2,1， 4,2， 6,3， 8,4， 10,5， 12,6， 14,7， 16,8， 18,9， 20,10，共10个格点，AB 上的格点有 1,29，2,28， 3,27， 4,26， 5,25， 6,24， 7,23， 8,22， 9,21， 10,20， 11,19， 12,18， 13,17， 16,14， 15,15， 16,14， 17,13， 18,12， 19,11，共19个格点，∴边界上的格点个数31101960L ，∵112 S N L ，∴13006012N ，∴解得271N ．∴ABO 内部的格点个数是271．故选：C ．4.【答案】B【详解】解：∵等边三角形ABC 的边长为3，60ABC ACB BAC ，∴ 603180AB BC AC ，∴该“莱洛三角形”的周长33 ，故选：B ．5.【答案】D【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为3y x ，在31x 的范围内，二次函数2y x x c 的图象上至少存在一个“三倍点”，即在31x 的范围内，2y x x c 和3y x 至少有一个交点，令23x x x c ，整理得：240x x c ，则 22444116+40b ac c c ===，解得4c ，x ，∴12x 22x ∴321 或321当321 时，13 ，即03 ，解得45c ，当321 时，31 ，即01 ，解得43c ，综上，c 的取值范围是45c ，故选：D ．6.【答案】D【详解】解：由“倍值点”的定义可得： 2212x t x t x s ，整理得， 210t x tx s ∵关于x 的二次函数 212y t x t x s （,s t 为常数，1t ）总有两个不同的倍值点，∴ 22=41440,t t s t ts s ∵对于任意实数s 总成立，∴ 24440,s s 整理得，216160,s s ∴20,s s ∴ 10s s ，∴010s s ，或010s s ，当010s s 时，解得10s ，当010s s 时，此不等式组无解，∴10s ，故选：D ．7.【答案】53；28【详解】解：由题意得：9979710253 （分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，且工序A ，B 都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ，需要9分钟，然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ，需要9分钟，最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要991028 （分钟），故答案为：53，28；8.【答案】0.1【详解】∵290OA OB AOB ，，∴AB ，∵C 是弦AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ，∴延长DC 可得O 在DC 上，12OC AB∴2CD OD OC ∴ 22232CD s AB OA，9022360l ，∴30.1l s ．故答案为：0.1．9.【答案】4312；8165【详解】解：∵a312是递减数，∴1033112a ，∴4a ，∴这个数为4312；故答案为：4312∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，∴101010a b b c c d ，∵1001010010abc bcd a b c b c d ，∴110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c ，∵ 11010199112a b a b a b ，能被9整除，∴112a b 能被9整除，∵各数位上的数字互不相等且均不为0，∴12345678,,,,,,,87654321a a a a a a a a b b b b b b b b，∵最大的递减数，∴8,1a b ，∴1089110c c d ，即：1171c d ，∴c 最大取6，此时5d ，∴这个最大的递减数为8165．故答案为：8165．10.【答案】6200；9313【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；根据题意，6a d ，2b c ，69a ，29b ，则 8c d a b ，∴ 348P M a b c d a b ，∴ 485P M M a Q b a ，若M 最大，只需千位数字a 取最大，即9a ，∴498795b P Q b M M ，∵ P M Q M 能被10整除，∴3b ，∴满足条件的M 的最大值为9313，故答案为：6200，9313．11.【答案】712或2512 【详解】由 2(2)03y x x ，当0x 时，4y ，∴ 0,4C ，∵ 3,0A ，四边形ABCO 是矩形，∴ 3,4B ，①当抛物线经过O B ，时，将点 0,0， 3,4B 代入 21034y x bx c x，∴019344c b c ，解得：712b ②当抛物线经过点,A C 时，将点 3,0A , 0,4C 代入 21034y x bx c x，∴419304c b c ，解得：2512b 综上所述，712b 或2512b ，故答案为：712或2512 ．12.【答案】7 ；34k 【详解】解：（1）若(3,)P m 是“和谐点”，则224,433m t m t ，则22,3412m t m t ，∴223124m m ，即24210m m ，解得2137,m m （不合题意，舍去），∴7m ，故答案为：7（2）设点 ,a b 为双曲线(31)k y x x上的“和谐点”，∴224,4b t b a t a ，(31)k b a a，即2244a a b b ，∴ 40a b a b a b ，则 40a b a b ，∵a b ¹，∴40a b ，即4b a ，∵(31)k b a a，∴ 224424k ab a a a a a ，且31a ，对抛物线 224k a 来说，∵10 ，∴开口向下，当1a 时， 21243k ，当3a 时， 23243k ，∵对称轴为2a ，31a ，∴当2a 时，k 取最大值为4，∴k 的取值范围为34k ，故答案为：34k 13.【答案】（1）32 ，12 （2）解：∵一元二次方程22310x x 的两根分别为m 、n ，∴32b m n a，12c mn a ，∴ 2222m n m n mn 213222 914 134 ；（3）解：∵实数s 、t 满足2223102310s s t t ，，∴s 、t 可以看作方程22310x x 的两个根，∴32b s t a，12c st a ，∵ 224t s t s st 231422 17=4，∴t s或t s 当172t s时，11212t s s t st当t s1711212t s s t st综上分析可知，11s t【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；∵一元二次方程22310x x 的两个根为1x ，2x ，∴1232b x x a ，1212c x x a ．（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出32m n ，12mn ，再根据 2222m n m n mn ，最后代入求值即可；（3）由题意可将s 、t 可以看作方程22310x x 的两个根，即得出32s t，12st ，从而由224t s t s st ，求得2t s或2t s ，最后分类讨论分别代入求值即可．14.【答案】（1）9 15（2）猜想结论：163n n S S n证明：221(11(n n S S n 2(2n3(21)n 63n（3）12350T t t t t 2132435150S S S S S S S S 511S S 2(11 7500 ．【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；2232((S S a a 2244(2)a b a b 22442a b a b 23b当1a ，3b 时，原式9 ；2243((S S a a 2269(44)a b a b 226944a b a b 25b当1a ，3b 时，原式15 ；（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．15.【答案】（1）解：当12a 时，420a ，函数2(42)(96)44y a x a x a 为一次函数126y x ，此时，令0y ，则1260x ，解得12x ，∴一次函数126y x 与x 轴的交点为102；当12a 时，420a ，函数2(42)(96)44y a x a x a 为二次函数，∵2(42)(96)44y a x a x a ，∴ 2(96)(42)444a a a 228110836643232a a a a 214049100a a 20107a ，∴当12a 时，2(42)(96)44y a x a x a 与x 轴总有交点，∴无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；（2）解：当12a 时，不符合题意，当12a 时，对于函数2(42)(96)44y a x a x a ，令0y ，则2(42)(96)440a x a x a ，∴ 2144210a x a x ，∴ 21440a x a 或210x ，∴4421a x a 或12x ，∵6221x a，整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点，即x 为整数，∴211a 或211a 或212a 或212a 或213a 或213a 或216a 或216a ，解得0a 或1a 或12a（舍去）或32a （舍去）或1a 或2a 或52a （舍去）或72a （舍去），∴0a 或1a 或1a 或2a ．【分析】（1）分12a 与12a 两种情况讨论论证即可；（2）当12a 时，不符合题意，当12a 时，对于函数2(42)(96)44y a x a x a ，令0y ，得2(42)(96)440a x a x a ，从而有4421a x a或12x ，根据整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点，即x 为整数，从而有211a 或211a 或212a 或212a 或213a 或213a 或216a 或216a ，解之即可．16.【答案】（1）32:27（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A 、B 、C ，则分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC 的垂直平分线，线段,AB AC 的垂直平分线的交点即为圆心O ，过圆心O 画一条直径，以O 为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O ，过圆心画一条直径AB ，过点A 作一条射线，然后以A 为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C 、D 、E ，连接BE ，然后分别过点C 、D 作BE 的平行线，交AB 于点F 、G ，进而以FG 为直径画圆，则问题得解；如图所示：【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；由图1可知：璧的“肉”的面积为 22318 ；环的“肉”的面积为223 1.5 6.75 ，∴它们的面积之比为8:6.7532:27 ；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．17.【答案】（1）1M ，2M （2） 2,2H ，2y x ，<2x 或02x （3）ABC 是直角三角形，理由见解析【详解】（3）ABC 是直角三角形，理由如下：∵点A ，B 是抛物线21922y x x上的“梦之点”，∴联立21922y x x y x，解得33x y 或33x y ，∴ 3,3A ， 3,3B ，∵ 2219115222y x x x ，∴顶点 1,5C ，∴ 22231358AC ， 222333372AB ， 222313580BC ，∴222BC AC AB ，∴ABC 是直角三角形．【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；∵矩形ABCD 的顶点坐标分别是 1,2A ， 1,1B ， 3,1C ， 3,2D ，∴矩形ABCD “梦之点” ,x y 满足13x ，12y ，∴点 11,1M ， 22,2M 是矩形ABCD “梦之点”，点 33,3M 不是矩形ABCD “梦之点”，（2）把 2,2G 代入1ky x求出解析式，再求与y x 的交点即为H ，最后根据函数图象判断当12y y 时，x 的取值范围；∵点 2,2G 是反比例函数1k y x图象上的一个“梦之点”，∴把 2,2G 代入1k y x 得4k ，∴14y x，∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，∴“梦之点”都在直线y x 上，联立14y x y x，解得22x y 或22x y ，∴ 2,2H ，∴直线GH 的解析式是2y x ，函数图象如图：由图可得，当12y y 时，x 的取值范围是<2x 或02x ；故答案为： 2,2H ，2y x ，<2x 或02x ；（3）根据“梦之点”的定义求出点A ，B 的坐标，再求出顶点C 的坐标，最后求出AC ，AB ，BC ，即可判断ABC 的形状．18.【答案】（1）1C ，2C；OC （2）2313t或263t 【详解】（1）解：①由关联点的定义可知，若直线CA CB ，中一经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”，∵点 1,0A，1B， 11,1C，20()C， 3C ，∴直线2AC 经过点O ，且2BC 与O 相切，∴2C 是弦1AB 的“关联点”，又∵ 11,1C 和 1,0A横坐标相等，与122B都位于直线y x 上，∴1AC 与O 相切，11B C 经过点O ，∴1C 是弦1AB 的“关联点”．②∵ 1,0A ，222,22B，设 C a b ，，如下图所示，共有两种情况，a 、若12C B 与O 相切，AC 经过点O ，则12C B 、1AC 所在直线为：0y x y，解得：1C ，∴1OC b 、若2AC 与O 相切，22C B 经过点O ，则22C B 、2AC 所在直线为：1x y x，解得： 211C ，，∴2OC ，综上，OC （2）解：∵线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，又∵弦PQ 随着S 的变动在一定范围内变动，且 0,3M ，N，OM ON ，∴S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，如图所示，①当S 位于点 0,3M 时，MP 为O 的切线，作PJ OM ，∵ 0,3M ，O 的半径为1，且MP 为O 的切线，∴OP MP ，∵PJ OM ，∴MPO POJ ∽ ，∴OP OMOJ OP ，即13OJ ，解得13OJ ，∴根据勾股定理得，PJ 123Q J根据勾股定理，1PQ2PQ ，∴当S 位于点 0,3M 时，1PQ ．②当S 位于经过点O 的MN 的垂直平分线上即点K 时，∵点 0,3M ，655N，∴5MN ，∴2OK OM ON MN ，又∵O 的半径为1，∴30OKZ ，∴三角形OPQ 为等边三角形，∴在此情况下，1PQ ，PQ ∴当S 位于经过点O 的MN 的垂直平分线上即点K 时，1PQ 的临界值为1∴在两种情况下，PQ 的最小值在13t 内，最大值在3t综上所述，t 的取值范围为1tt 19.【答案】（1）将0y 代入39y x 得，3x ，∴ 3,0B ，∵直线39y x 与反比例函数(0)my x x的图象交于点A ，∴设 ,39A a a ，∵AM x ，5OA ，∴在Rt AOM △中，222OM AM AO ，∴ 222395a a ，∴解得14a ，275a，∵点A 的横坐标要大于点B 的横坐标，∴275a 应舍去，∴4a ，∴ 4,3A ，∴将 4,3A 代入(0)my x x，解得12m ；∴反比例函数的解析式为12(0)y x x；（2）1tan 3BAM ，1tan 2NAE（3）112y x【分析】（1）首先求出点 3,0B ，然后设 ,39A a a ，在Rt AOM △中，利用勾股定理求出4a ，得到 4,3A ，然后代入(0)my x x求解即可；（2）∵ 4,3A ， 3,0B ，∴4MO ，3BO ，∴1MB ，3AM ，∵AM x ，∴1tan 3BM BAM AM，∵AN y ，90NOM ，∴四边形NOMA 是矩形，∴90NAM ，∵将直线AB 绕点A 顺时针旋转45 后的直线与y 轴交于点E ，∴45BAE ，∴45BAM NAE ，∵1tan 3BAM ，∴1tan 2NAE ；（3）∵四边形NOMA 是矩形，∴4AN OM ，3NO AM ，∵AN y ，1tan 2NAE，∴12NE AN ，即142NE ，∴解得2NE ，∴1OE ON NE ，∴ 0,1E ，∴设直线AE 的解析式为y kx b ，∴将 0,1E 和 4,3A 代入得，143b k b ，∴解得112b k，∴直线AE 的解析式为112y x ．20.【答案】（1）解：四边形BCGE 为正方形．理由如下：∵90BED ，∴18090BEG BED ．∵ABE A ，∴AC BE ∥．∴90CGE BED ．∵90C ，∴四边形BCGE 为矩形．∵ACB DEB ，∴BC BE ．∴矩形BCGE 为正方形．（2）：①AM BE ．证明：∵ABE BAC ，∴AN BN ．∵90C ，∴BC AN ．∵AM BE ，即AM BN ，∴1122ABN S AN BC BN AM △．∵AN BN ，∴BC AM ．由（1）得BE BC ，∴AM BE ．②275【分析】（1）先证明四边形BCGE 是矩形，再由ACB DEB 可得BC BE ，从而得四边形BCGE 是正方形；（2）①由已知ABE BAC 可得AN BN ，再由等积方法1122ABN S AN BC BN AM △，再结合已知即可证明结论；②解：如图：设,AB DE 的交点为M ，过M 作MG BD 于G ，∵ACB DEB ，∴9,12BE BC DE AC ，A D ABC DBE ，，∴CBE DBM ；∵CBE BAC ，∴D BAC ，∴MD MB ，∵MG BD ，∴点G 是BD 的中点；由勾股定理得15AB ，∴11522DG BD；∵cos DG DE D DM BD，∴1515752128DG BD DM DE ，即758BM DM ；∴75451588AM AB BM；∵,AH DE BE DE ，AMH BME ，∴AMH BME ，∴35AH AM BE BM ，∴33279555AH BE，即AH 的长为275．21.【答案】（1）解：由题意可知123 ；（2）证明：由折叠的性质可得：AB BB ，AB AB ，AE AE ，AE BE ，∴AB BB AB ，AE B E ，∴ABB 是等边三角形，∵AE B E ，60ABB ，∴1302ABE B BE ABB，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ，∴330 ，∴123 ；（3）证明：连接PB，如图所示：由折叠的性质可知：BB PB ，PB P B ，PBB P B B ∠∠，∵折痕B E AB ，BB PB ，∴12PB E BB E BB P ∠∠∠，∵四边形ABCD 为矩形，∴90EBC ，∴CB AB ，∵B E AB ，∴B E BC ∥，∴12BB E CBB BB P∠∠，∵在PBB △和P B B 中，PB P B PBB P B B BB B B，∴ SAS PBB P B B ≌，∴P BB PB B ∠∠，∴12CBB NBB ∠∠，∴13CBB CBN ∠∠，∴BB 是NBC 的一条三等分线．【分析】（1）根据题意可进行求解；（2）由折叠的性质可知AB BB ，AB AB ，然后可得AB BB AB ，则有ABB 是等边三角形，进而问题可求证；（3）连接PB ，根据等腰三角形性质证明12PB E BB E BB P ∠∠∠，根据平行线的性质证明12BB E CBB BB P∠∠∠，证明 SAS PBB P B B ≌，得出P BB PB B ∠∠，即可证明13CBB CBN ∠∠．22.【答案】（1）180 ，8（2）①2 ，理由如下，连接1AP，由对称性可得，112PAB P AB P AD P AD ，，2112PAP PAB P AB P AD P AD 1122P AB P AD 112P AB P AD 2BAD∴2 ，②连接113,PP P P 分别交,AB CD 于,E F 两点，过点D 作DG AB ，交AB 于点G ，由对称性可知：113PE PE PF P F ，且113PP AB P P CD ，，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD∥∴13P P P ，，三点共线，∴311311222PP PE PE PF P F PE PF EF ，∵113,,PP AB PP CD DG AB ，∴1190P FD P EG DGE ，∴四边形EFDG 是矩形，∴DG EF ，在Rt DAG △中，DAG ，AD m ∵sin DGDAG DA，∴sin sin DG AD DAG m ,∴3222sin PP EF DG m（3）【详解】（1）∵ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，111A B C △与222A B C △关于x 轴对称，∴222A B C △与ABC 关于O 点中心对称，则222A B C △可以看作是ABC 绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为180 ∵ 1,1A ，∴12AA ，∵ 4,0M ,13,A A 关于直线4x 对称，∴131248A A AA ，即38AA ，333A B C △可以看作是ABC 向右平移得到的，平移距离为8个单位长度．故答案为：180 ，8．（2）①连接1AP ，由对称性可得，112PAB P AB P AD P AD ，，进而可得22PAP BAD ，即可得出结论；②连接113,PP P P 分别交,AB CD 于,E F 两点，过点D 作DG AB ，交AB 于点G ，由对称性可知：113PE PE PF P F ，且113PP AB P P CD ，，得出32PP EF ，证明四边形EFDG 是矩形，则DG EF ，在Rt DAG △中，根据sin DG DAG DA，即可求解；（3）解：设AP x ，则12AP AP x ，依题意，12PP AD ，当23P P AD ∥时，如图所示，过点P 作1PQ AP 于点Q ，∴12390PP P∵15PAB ，60 ，∴1320P PAP AB ，1245DAP DAP∴2190P AP ，则12PP ，在1APP 中， 111180752AP P PAP ，∴213180457560P PP ，则13230PP P ，∴13212PP P P在Rt APQ △中，30PAQ ，则1122PQ AP x，2AQ ，在1Rt PQP 中，11PQ AP AQ x x ，1PP ，∴311322PP PP PP x x x 由（2）②可得32sin PP AD ，∵AD ∴326PP ，6 ，解得：x 如图所示，若23P P DC ∥，则13290PP P ，∵21360P PP ，则32130P P P ，则13121222PP PP x ，∵1622PP ，36226222PP x ，∵36PP ，∴62x ，解得：x ，综上所述，AP 的长为．23.【答案】（1）解：∵,90AD BC A ∥，∴18090ABC A ，ADB CBD ，∵对角线BD 平分ADC ，∴ADB CDB ，∴CBD CDB ，∴CD CB ，∴四边形ABCD 为邻等四边形．（2）解：1D ，2D ，3D 即为所求；（3）如图，过C 作CQ AD 于Q ，∵90DAB ABC ，∴四边形ABCQ 是矩形，∴,AQ BC AB CQ ，AD BC ∥，∵BE AC ∥，∴四边形ACBE 为平行四边形，∴8BE AC ，AE BC ，设BC AE x ，而10DE ，∴10AD x ， 10210DQ x x x ，由新定义可得CD CB x ，由勾股定理可得： 22222108x x x ，整理得：220820x x ，解得：110x 210x （不符合题意舍去），∴10CB CD ∴四边形EBCD 的周长为 10821038 【分析】（1）先证明18090ABC A ，ADB CBD ，再证明CD CB ，即可得到结论；。

中考新定义问题资料

中考新定义问题新定义问题考点一：学习探究类问题根据探索对象不同，探索性题型一般可分为条件探索型和结论探索型两类。

1.条件探索型条件探索型的基本特征是给出命题的结论，要求我们探索结论成立的条件，其一般的解法是从所给的结论出发，执果索因，寻求结论成立时应具备的条件，进而给予解答，思维方式是变换思维方向，逆向思维。

2.结论探索型结论探索型一般可分为猜想型，判断型和是否存在型。

（1）猜想型猜想型需探索的结论要依据题设条件从简单情况或特殊情况入手进行归纳，大胆猜想得出，然后再进行论证。

（2）判断型判断型是指在某些题设条件下，判断数学对象是否具有某种性质，解题时通常先假设被探索的数学性质存在，并将其构造出来，再利用题设条件和数学结论将其肯定或否定。

（3）是否存在型这类问题的特征是在题设条件下判断数学对象是否存在或成立，即在是与否之间做出选择，解法步骤是先假设数学对象成立，以此为前提进行运算或推理。

若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明。

考点二：新定义问题1．新定义①函数类新定义②距离类新定义③几何类新定义④与圆有关的新定义2．考察的数学思想解答题一般考查学生综合运用初中三年级所学知识点的能力，常寓数形结合思想、类比思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等于题型当中。

3．常考题型①高中或大学数学知识的下放②初中数学知识的改编③完全新定义考点一：学习探究类问题1.已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN 分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．2.【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45º，求BD的长．（3）如图3，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．3.（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD·BC=AP·BP．探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t （秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===2﹣．思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===2﹣．思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线y=x﹣1与双曲线y=交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．5.已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PAPB=kAB．考点二：新定义问题1．阅读下面的材料：如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）= （x＞0）是减函数．证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = =∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2）∴函数f（x）= （x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：（1）函数f（x）= （x＞0），f（1）==1，f（2）= = ．计算：f（3）=，f（4）=，猜想f（x）=（x＞0）是函数（填“增”或“减”）（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．2.如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=．我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为．综合应用：如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA ，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．①证明AB是⊙P的切点；②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由．3.小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A 、B、C关于原点的对称点分布是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”4.阅读材料我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；请解决以下问题：如图，我们把满足AB＝CD、CB＝CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明；精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（点Q 的坐标为（），且，某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q 的“相关矩形”。

中考数学新定义问题.doc

中考数学新定义问题例3、图1，已知四边形ABCD，点P为平面内一动点. 如果∠PAD=∠PBC，那么我们称点P为四边形ABCD关于A、B 的等角点. 如图2，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点C的横坐标为6.（1）若A、D两点的坐标分别为A（0，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，则点P 的坐标为＿＿＿＿＿＿；（2）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，求点P 的坐标；（3）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（10，4），点P（x，y）为四边形ABCD关于A、B的等角点，其中x＞2，y＞0，求y与x之间的关系式.练习3：定义：平面内的直线l与2l相较于点O，对于该平面内1任意一点M，点M到直线l，2l的距离分别为a、b，1则称有序非负实数对（a,b）是点M的“距离坐标”。

根据上述定义，距离坐标为（2,3）的点的个数是_______。

操作新定义例4.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；，求证：△（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=32ABC是“好玩三角形”；（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC 和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．的值；①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求as②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．练习4：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数BAP练习5：阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC ＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c. （3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE.①求证：△ACE是奇异三角形.②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数.课堂练习1.若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°2.对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如x ]=5，则x的取值可以是（）[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[410A．40 B．45 C．51 D．563.对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，-b）．如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g （f（5，-9））=（）A．（5，-9）B．（-9，-5） C．（5，9）D．（9，5）4.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．6.我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：AB BE；DC EC（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）。

中考真题分类整理：新定义型(附答案)

一、选择题1.（2020·岳阳）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（） A ．c ＜－3 B ．c ＜－2 C ．14c <D ．c ＜1 【答案】B【解析】当y =x 时，x =x 2+2x +c ，即为x 2+x +c =0，由题意可知：x 1，x 2是该方程的两个实数根，所以12121x x x x c+=-⎧⎨⋅=⎩∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0，即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0， ∴c －(－1)＋1＜0， ∴c ＜－2.又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0，即12－4c ＞0，解得：c ＜14.∴c 的取值范围为c ＜－2 .2.（2020·济宁）−1，－1的差类推，那么a 1＋a 2＋…＋a 100的值是（） A ．－7.5 B ．7.5 C ．5.5 D ．－5.5 【答案】A【解析】二、填空题18．（2020·娄底）已知点P()00,x y 到直线y kx b =+的距离可表示为d =0，1）到直线y ＝2x+6的距离d ==y x =与4y x =-之间的距离为___________．【答案】．【解析】在直线y x =上任取点，不妨取（0，0），根据两条平行线之间距离的定义可知，（0，0）到直线4y x =-的距离就是两平行直线y x =与4y x =-之间的距离．d ===． 16．（2020·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数y ＝x 2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y ＝－1于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是．（填序号）【答案】①④【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ 满足MN ∥PQ ，设P (m ，0)（m ＞0），∵PM＝＋1，PQ ＝－(－1)＝＋1，∴PM ＝PQ ，故四边形PMNQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④．17．（2020·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝．【答案】85或14．【解析】当∠A 是顶角时，底角是50°，则k=808505=；当∠A 是底角时，则底角是20°，k=201804=，故答案为：85或14．三、解答题1.（2020·重庆A 卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数．解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位，∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；14214m 214m 214m②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”．综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．2.（2020·重庆B 卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.定义：对于自然数，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数为“纯数”.例如：是“纯数”，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象；不是“纯数”，因为在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴请直接写出1949到2019之间的“纯数”；⑵求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由.解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100若n 为一位数，则有n +（n +1）+（n +2）＜10，解得：n ＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个.3.（2020·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满是x =3a c +，y =3b d +，那么称点T 是点A ，B 的融合点。

中考数学复习《新定义型问题》

新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：…对应训练1．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：23AOAD=；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足23AOAD=，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究BCHGAGHSSV四边形的最大值．考点二：运算题型中的新定义例2 定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1 =-5。

（1）求（-2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．对应训练2．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．（1）如果[a]=-2，那么a的取值范围是．x ]=3，求满足条件的所有正整数x．（2）如果[12考点三：探索题型中的新定义例3定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5对应训练3.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；，求证：△ABC是“好玩三角形”；（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=32（3））如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求a的值；s②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）．考点四：开放题型中的新定义例4若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD 的度数．．．对应训练4．用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S=12a+b-1（史称“皮克公式”）．小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形1 8 1多边形2 7 3…………一般格点多边形 a b S则S与a、b之间的关系为S= （用含a、b的代数式表示）．4．解：填表如下：格点多边形各边格点边多边形内格点多边形的面则S与a、b之间的关系为S=a+2（b-1）（用含a、b的代数式表示）．考点五：阅读材料题型中的新定义例 5 对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（-5，4），B（2，-3），A⊕B=（-5+2）+（4-3）=-2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（）A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点对应训练5．一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．（3）归纳与拓展：已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）．7．解：（1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：（2）裁剪线的示意图如下：（3）b：c的值为14234535，,,,,,,,55777788四、中考真题演练一、选择题1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）A．y=-x+3 B．y= 5C．y=2x D．y=-2x2+x-7x2．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°A．40 B．45 C．51 D．564．对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，-b）．如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，-9））=（）A．（5，-9）B．（-9，-5）C．（5，9）D．（9，5）5．连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．二、填空题6．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．7．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条．9．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n-1≤x＜2，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．n+12给出下列关于（x）的结论：①（1.493）=1；②（2x）=2（x）；③若（1x-1）=4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；2④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；⑤（x+y）=（x）+（y）；其中，正确的结论有（填写所有正确的序号）．三、解答题10．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．11．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．12．我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：AB BE；DC EC（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）13．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（12，12），E（0，-2），F（23，0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D、E、F中，⊙O的关联点是．②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O 的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．。

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新定义问题考点一：学习探究类问题根据探索对象不同，探索性题型一般可分为条件探索型和结论探索型两类。1.条件探索型条件探索型的基本特征是给出命题的结论，要求我们探索结论成立的条件，其一般的解法是从所给的结论出发，执果索因，寻求结论成立时应具备的条件，进而给予解答，思维方式是变换思维方向，逆向思维。2.结论探索型结论探索型一般可分为猜想型，判断型和是否存在型。（1）猜想型猜想型需探索的结论要依据题设条件从简单情况或特殊情况入手进行归纳，大胆猜想得出，然后再进行论证。（2）判断型判断型是指在某些题设条件下，判断数学对象是否具有某种性质，解题时通常先假设被探索的数学性质存在，并将其构造出来，再利用题设条件和数学结论将其肯定或否定。（3）是否存在型这类问题的特征是在题设条件下判断数学对象是否存在或成立，即在是与否之间做出选择，解法步骤是先假设数学对象成立，以此为前提进行运算或推理。若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明。考点二：新定义问题1．新定义①函数类新定义②距离类新定义③几何类新定义④与圆有关的新定义2．考察的数学思想解答题一般考查学生综合运用初中三年级所学知识点的能力，常寓数形结合思想、类比思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等于题型当中。3．常考题型①高中或大学数学知识的下放②初中数学知识的改编③完全新定义考点一：学习探究类问题1.已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．2.【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．

【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45o，求BD的长．（3）如图3，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．3.（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD·BC=AP·BP．探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．

4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接

AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°＝==2﹣．

思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===2﹣．思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；

（3）拓展：如图3，直线y=x﹣1与双曲线y=交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．5.已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PAPB=kAB．考点二：新定义问题1．阅读下面的材料：

如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，

（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；

（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．

例题：证明函数f（x）= （x＞0）是减函数．证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0

f（x1）﹣f（x2）= ﹣= = ∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0

∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0

∴f（x1）＞f（x2）

∴函数f（x）= （x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：（1）函数f（x）= （x＞0），f（1）==1，f（2）= = ．

计算：f（3）=，f（4）=，猜想f（x）=（x＞0）是函数（填“增”或“减”）（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．

2.如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由

勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为

AB=．我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径

为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为．综合应用：

如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．①证明AB是⊙P的切点；②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由．3.小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2

，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；

（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；

（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分布是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”

4.阅读材料我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；请解决以下问题：如图，我们把满足AB＝CD、CB＝CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明；

在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（点Q的坐标为（），且，某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”。下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图。（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）的半径为，点M的坐标为（m,3）。若在上存在一点N，使得点M,N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围。