2.3.4平面与平面垂直的性质(教案)
2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.4平面与平面垂直的性质教学目的：使学生掌握平面与平面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，并会用性质定理解答问题。
教学重点：平面与平面垂直的性质及其应用。
教学难点：掌握两个平面垂直的性质及应用．教学过程：一、复习引入：1、二面角的定义，两平面垂直的定义2、平面垂直的判定定理二、研探新知探究:如图，设α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α，AB⊥CD，且AB∩CD＝B，我们看直线AB与平面β的位置关系。
在β内作直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角α－CD－β的二面角，由α⊥β知，AB⊥BE，又AB⊥CD，BE与CD是β内的两条相交直线，所以AB⊥β。
归纳得到平面与平面垂直的性质定理:定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
探究：1.若两个平面垂直，过其中一个平面内一点能否作另一个平面的垂线？2.这条直线与这个平面有何关系？可作多少条这样的垂线？例1、如图，已知平面α，β满足α⊥β，直线a满足a⊥β，a⊄α，试判断直线a与平面α的位置关系。
探究：已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，试判断直线a与平面β的位置关系？例2.已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a。
求证:a⊥γ.三、归纳小结: 1.平面与平面垂直的性质定理2. 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
四、课堂小练1、练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（）A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.2、下列命题中，正确的是（）A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C、若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直D、a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直.3、二面角α－l－β是直二面角，a ∈α，b∈β，且a、b与l都是斜交，那么 ( )A. a与b可能垂直，但不可能平行．B. a与b可能垂直，也可能平行．C.a与b不可能垂直，但可能平行．D. a与b不可能平行，也不可能垂直．4、在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中,真命题是 ( )A.若l⊂β且α⊥β,则l⊥α.B. 若l⊥β且α∥β,则l⊥α.C.若l⊥β且α⊥β,则l∥α.D. 若α∩β=m且l∥m,则l∥α.5、在互相垂直的两个平面中，下列命题中①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；④过一个平面内的任意一点作垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46、三棱锥P─ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC求证AB⊥BC;PB CA。
高中数学234平面与平面垂直的性质教案新人教A版必修2教案
高中数学234平面与平面垂直的性质教案新人教A版必修2教案教学内容：高中数学《平面与平面垂直的性质》教学设计教学目标：1.理解平面与平面垂直的定义；2.掌握平面与平面垂直的判定方法；3.运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。
教学重点：1.平面与平面垂直的定义；2.平面与平面垂直的判定方法。
教学难点：1.运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。
教学准备：1.多媒体设备；2.教学课件；3.板书工具。
教学过程：Step 1：导入新知以两面相交直线的垂直为例，复习垂直线段的定义与判定方法，并引入本节课的主要内容：平面与平面垂直。
Step 2：引入新知1.解释平面与平面垂直的定义：当两个平面的交线与其中一个平面的一条直线垂直时，称这两个平面垂直。
2.图示两个平面垂直的情况，强调交线与直线垂直的关系。
Step 3：判定平面与平面垂直的方法1.利用平面与直线垂直的性质，结合两个平面所包含的直线，判定两个平面垂直。
2.指导学生通过观察图形，判定哪些平面是垂直的。
Step 4：例题讲解结合具体示例，讲解平面与平面垂直的判定方法。
例题：已知平面P与平面Q的交线与直线l垂直，l与平面Q的交线与平面R的交线垂直。
问平面P与平面R是否垂直？解题思路：由已知条件可知，平面P与平面Q的交线与直线l垂直，说明平面P与平面Q垂直；同时l与平面Q的交线与平面R的交线垂直，说明平面R与平面Q垂直。
因此，根据垂直的传递性推论，可以得出平面P与平面R垂直。
Step 5：解决实际问题给学生提供一些有关平面与平面垂直的实际问题，引导学生用所学知识解决问题。
Step 6：归纳总结总结平面与平面垂直的定义与判定方法。
Step 7：课堂练习布置一些练习题，让学生进行巩固练习。
Step 8：作业布置布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解平面与平面垂直的定义，并能够熟练运用判定方法解决问题。
同时，通过解决实际问题的训练，提高了学生的应用能力。
2.3.4平面与平面垂直的性质学案
【自主·合作·探究】 【新知探究】 观察实验 观察黑板所在的平面和地面，它们是互相垂直的，那么黑 板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直？ 师生互动 平面α与平面β互相垂直， 那么α内的任一条直线 l 与平 面β的位置关系有哪几种可能？
α l α β β α l l
β
1
肥城市第三中学数学学案
3
肥城市第三中学数学学案
使用时间 2015-12- 23
审核：高一数学组
【反思·提升】 1. 平面与平面垂直的性质定理及应用； 2. “平行”与“垂直”关系的相互转化. 【拓展·延伸】
在三棱锥 P－ABC 中，D、E、F 分别 为棱 PC、AC、AB 的中点，已知 PA⊥AC， PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求证：(1)直线 PA∥面 DEF； (2)平面 BDE⊥平面 ABC.
肥城市第三中学数学学案
使用时间 2015-12- 23
审核：高一数学组
平面与平面垂直的性质
学习内容 【学习目标】 1．知识与技能：探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养 学生的空间想象能力。 2．过程与方法：面面垂直的性质定理得应用，培养学生的推理 能力。 3．情感与价值观：通过平面与平面垂直的性质定理的学习，培 养学生转化的能力。 教学重、难点 重点： 平面与平面垂直的性质定理 难点： 平面与平面垂直性质定理的应用。 【回顾·预习】 平面与平面垂直的判定定理 即时 感悟
4
使用时间 201面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面. 符号表示：
A
N
M
B
定力解剖 1）面面垂直 线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线） 2)它为判定和作出线面垂直提供依据。 关键点： ①线在平面内； ②线垂直于交线。 【典型例题】 例 1、如图３， AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点， PA 平面 ABC．若 AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是 PB 上任意一点，求证：平面 AEF⊥平面 PBC．
§2.3.3 直线与平面垂直的性质§2.3.4 平面与平面垂直的性质
§2.3.3 直线与平面垂直的性质§2.3.4 平面与平面垂直的性质一、课前准备复习1：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.复习2：两个平面垂直的判定（1）方法一：方法二：________________.复习3：①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________；②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________.二、新课导学探究一：直线与平面垂直的性质定理问题1：已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，求证：a∥b.新知1：直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.反思：这个定理揭示了什么?探究二：平面与平面垂直的性质问题2：黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？新知2：平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.反思：这个定理实现了什么关系的转化?例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.例2. 如图，在三棱锥中，PA PB⊥，若M是PC的中点，=，AB BC试确定AB上点N的位置，使得MN AB⊥.例3. 如图，平面α⊥平面γ，βγ⊥平面平面，l αβ=，求证：l γ⊥.例4. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是个矩形，2,AB BC ==PAB 是等边三角形，且侧面PAB 垂直于底面ABCD . ⑴证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；⑵求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.线线垂直面面垂直 面面平行。
平面与平面垂直的性质教案
2、3.4平面与平面垂直的性质一、教学目标1、知能目标（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能使用性质定理解决一些简单问题；（3）理解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、情感目标通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象水平以及逻辑推理水平。
二、教学重点、难点两个性质定理的证明。
三、学法与用具（1）学法：直观感知、操作确认，猜测与证明。
（2）用具：长方体模型。
四、教学设计（一）课题导入问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
（自然进入课题内容）（二）研探新知1、操作确认观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。
如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这个事实的准确性呢？图2.3-4 图2.3-52、推理证明引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，然后师生互动共同完成该推理过程，最后归纳得出：垂直于同一个平面的两条直线平行。
（三）应用巩固例子：课本P.78例4做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。
（四）类比拓展，研探新知类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。
然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
【课件】2.3.4 平面与平面垂直的性质
二、面面垂直的性质文字叙述： 求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平 面的直线，在第一个平面内. 下面给出证明. 如图,已知 α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：a α.
证明：设 α∩β=c，过点 P 在平面 α 内作直线 b⊥c， ∵α⊥β,∴b⊥β.而 a⊥β，P∈a,
(2)解:由(1)可知 EM⊥AM，PM⊥AM, ∴∠PME 是二面角 PAMD 的平面角.
∴tan∠PME= PE 3 =1.∴∠PME=45°. EM 3
∴二面角 PAMD 为 45°.
[反思小结，观点提炼] 请同学们回想一下，这节课我们学了哪些内容？ 知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问 题、平行问题、求角问题、求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化 为平面问题.
3,
2
在 Rt△ PEC 中，∠PCE=45°为所求.
（3）解：在矩形 ABCD 中，AB∥CD,
∵CD 侧面 PCD，AB 侧面 PCD，∴AB∥侧面 PCD.
取 CD 中点 F，连接 EF、PF，则 EF⊥AB. 又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面 PEF.又∵AB∥CD, ∴CD⊥平面 PEF.∴平面 PCD⊥平面 PEF. 作 EG⊥PF，垂足为 G，则 EG⊥平面 PCD.
2
OG
即二面角 C′BDA 的正切值为 2 2 .
、[变式演练，深化提高]
1．如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线 B1C 与平面 ABC 成 30° 角，求二面角 BB1CA 的正弦值.
解：由直三棱柱性质得平面 ABC⊥平面 BCC1B1，过 A 作 AN⊥平面 BCC1B1，垂足为 N，则 AN⊥平面 BCC1B1（AN 即为我们要找的垂线）,在平面 BCB1 内过 N 作 NQ⊥棱 B1C， 垂足为 Q，连接 QA，则∠NQA 即为二面角的平面角. ∵AB1 在平面 ABC 内的射影为 AB，CA⊥AB，
数学：2.3.4《平面与平面垂直的性质》课件(新人教版A必修2).pptx
例题分析,巩固新知
例、如图，已知平面α ，β 满足α ⊥β ，直线a满 足a⊥β ，aα ，试判断直线a与平面α 的位置关 系。
解：在α 内作垂直于α 与β 交线的直线b， 因为α ⊥β ，所以b⊥β ， 因为a⊥β ，所以a∥b， 又因为aα ，所以a∥α ， 即直线a与平面α 平行。
探究：已知平面α ，β ，直线a，且α ⊥β ， α ∩β ＝AB，a∥α ，a⊥AB，试判断直线a与 平面β 的位置关系？ 巩固练习：
探究:如图，设α ⊥β ，α ∩β ＝CD，ABα ，AB⊥CD，且 AB∩CD＝B，我们看直线AB与平 面β 的位置关系。
在β 内作直线BE⊥CD，垂 足为B，则∠ABE是二面角 α －CD－β 的二面角，由 α ⊥β 知，AB⊥BE，又 AB⊥CD，BE与CD是β 内的 两条相交直线，所以
A定B⊥理β:。 两个平面垂直，则一个平面内垂直 于交线的直线与另一个平面垂直。
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
教学目的：使学生掌握平 面与平面垂直的性质：两 个平面垂直，则一个平面 内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直，并会用性 质定理解答问题。
复习引入
1.上节课，我们学习了直线和平面 垂直的性质定理，请一个同学来叙 述一下这个定理的内容．
答:如果两条直线同垂直于一个 平面，那么这两条直线平行．
思考：设平面α ⊥平面β ，点P在平面α 内，过 点P作平面β 的垂线a，直线a与平面α 具有什么 位置关系？
分析:我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂 直，因此，如果过一点有两直线与平面垂直，那么这两 条直线重合。
如图，设α ∩β ＝c，过点P在平面α 内作直线 b⊥c，根据平面平面垂直的性质定理有b⊥β 。 因为过一点有且只有一条直线与平面β 垂直，所 以直线a与直线b重合，因此，有aα 。
20-21版：2.3.3 直线与平面垂直的性质~2.3.4 平面与平面垂直的性质（创新设计）
14
课前预习
课堂互动
课堂反馈
（3）解 在等腰直角△ACB 中，AC＝BC＝ 2，
∴AB＝2，OC＝1，
∴S△VAB＝ 43AB2＝ 3. ∵OC⊥平面 VAB，
∴VC－VAB＝13OC·S△VAB＝13×1× 3＝ 33，
∴VV－ABC＝VC－VAB＝
3 3.
@《创新设计》
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练3】 (2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 为菱形，E为CD的中点. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE. (1)证明 因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD. 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
【训练2】 如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平 面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD， BD上，且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC. 证明 （1）在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD， 则AB∥EF. ∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC， ∴EF∥平面ABC.
D.②③
解析 ①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以
①④错误.
答课堂反馈
@《创新设计》
3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）
A.α∥γ
B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能
解析 两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故
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河北武邑中学课堂教学设计
备课人 滕领涛 授课时间
12.14
课题
§2、3.4平面与平面垂直的性质
教
学
目
标
知识与技能
使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；能运用性质定理解
决一些简单问题
过程与方法
启发引导，充分发挥学生的主体作用
情感态度价值观
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概
念、空间想象能力以及逻辑推理能力
重点
性质定理的证明
难点
性质定理的证明及应用
教
学
设
计
教学内容 教学环节与活动设计
（一）复习导入 问题：直线与平面垂直的性质定理，如何推导的？ （二）研探新知 类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？ 课本P71思考（1）（2） 例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？ 课本P72思考 结论：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内 （三）应用巩固 例子：课本P.74例4 做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。 课本P72探究 要注意判定定理和性质定理的交替运用，同时还要贯通三种垂直关系，即直线与直线垂直，直线与平面垂直，
教师引导学生观察教室
相邻两面墙的交线，容
易发现该交线与地面垂
直.
让学生发现只要
在黑板上画出一条与这
交线平行的直线，则所
画直线必与地面垂直。
然后师生互动，共同完
成性质定理的确认与证
明，并归纳性质定理：
两个平面垂直，则
一个平面内垂直于交线
的直线与另一个平面垂
直。
1
教 教学内容 教学环节与活动设计
学
设
计
（四）巩固深化、发展思维 课本P73练习 思考1、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？ 思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a， 则直线a与平面α具有什么位置关系？ 作业：求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
学生讨论探究得出答
案：（1）A (2) C
学生回答：
直线a必在平面α内
学生回答：
a
或//a
教
学
小
结
（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容是什么？
（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？
课
后
反
思
2