高三数学-2018届高三数学综合试卷(缺部分答案) 精品
2018届高三数学寒假作业 综合试卷(3)(含详细答案)
2018届高三数学寒假作业 综合试卷（3）数学Ⅰ满分160分，考试时间120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{1,}A a =，{1,3,4}B =，且{1,3}A B = ，则实数a 的值为 ．2．i 是虚数单位，复数z 满足3ii 4iz -=，则||z ＝ ． 3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200， 右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长 度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为 二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ．4．某学校高三有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个 教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为 ．5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是 ．6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x +10，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为 ．7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S 3－3S 2＝12，则数列{a n }的公差是 ． 8．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为 ． 9．在平面直角坐标系中，过原点O 的直线l 与曲线2ex y -=交于不同的两点A ，B ，分别过A ，B 作x 轴的垂线，与曲线y ＝ln x 分别交于点C ，D ，则直线CD 的斜率为 ． 10．若cos(π6－θ)＝33，则cos(5π6＋θ)－sin 2(θ－π6)＝ ．11．在△ABC 中，已知AC =4，C =4π，B ∈(4π，2π)，点D 在边BC 上，且AD =BD =3，则AB AD ⋅ = ．12．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，直线l ：34170x y +-=．若在直线l 上任取一点M 作圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则AB 的长度取最小值时直线AB 的方程为 ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A C =，2c =，244a b =-，则a ＝ ．14．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =- ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知向量a ＝3(sin ,)4x ，b ＝(cos x ，－1)．（1）当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；（2）设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知3()24f α=，(,)2απ∈π，求sin α的值．16．（本小题满分14分）已知△ABD 和△BCD 是两个直角三角形，2BAD BDC π∠=∠=，E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，现将△ABD 沿BD 边折起到A 1BD 的位置，如图所示，使平面A 1BD ⊥平面BCD ． （1）求证：EF ∥平面BCD ；（2）求证：平面A 1BD ⊥平面A 1CD ；（3）请你判断，A 1C 与BD 是否有可能垂直，做出判断并写明理由．E 17． (本小题满分14分) 如图，有一块矩形草坪ABCD，AB =100米，BC =三条小路OE 、EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°； （1）设∠BOE =α，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．18．（本小题满分16分）椭圆M ：22221(0)x y a b ab+=>>的焦距为(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上．（1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ．①求OC OD ⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数()1e xaf x x =-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数) ． （1）若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数f (x )的极值；（3）当a ＝1的值时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }满足a 1＝a （a ＞0，a ∈N *），a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0（p ≠0，p ≠－1，n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k ．①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）满分40分 考试时间30分钟21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．（选修4－2：矩阵与变换） 已知矩阵1235-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． （1）求逆矩阵A －1； （2）若矩阵X 满足AX ＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P 为椭圆C ：22139x y +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．23．（本小题满分10分）【16高考新课标】已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．2018届高三数学寒假作业 综合试卷（4）答案数学Ⅰ满分160分，考试时间120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{1,}A a =，{1,3,4}B =，且{1,3}A B = ，则实数a 的值为 ．3解：由{1,3}A B = 可知1∈A 且3∈A ，有a ＝3．2．i 是虚数单位，复数z 满足3ii 4iz -=，则||z ＝ ．5 解：由题意得24i 3i 43i z =+=-+，那么||5z =．3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长 度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为 二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ．50 解：三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=．4．某学校高三有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个 教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为 ．14解：22222814P ==⨯⨯=． 5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是 ．30解：A ＝3，N ＝1，输出3；A ＝6，N ＝2，输出6；A ＝30，N ＝3，输出30；则这列数中的第3个数是30．6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x +10，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为 ．221520x y -=解：由双曲线的渐近线方程by x a =±可知b ＝2a ；又由题意c ＝5，那么a ，双曲线方程为221520x y -=． 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S 3－3S 2＝12，则数列{a n }的公差是 ．4解：方法1：2S 3－3S 2=112(33)3(2)312a d a d d +-+==，则d ＝4．方法2：因为112n S n a d n -=+，则32232S S -=2d =，得到d ＝4．8．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为 ．解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则22,4r rl π=π=，解得r l =h =以21133V r h=π=π⨯=．9．在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线2e xy-=交于不同的两点A，B，分别过A，B作x轴的垂线，与曲线y＝ln x分别交于点C，D，则直线CD的斜率为．1解：设121(,)xA x-e，B222(,)xx-e，则由点O，A，B共线可知122212x xx x--=e e，可化为1212x xxx-=e，得到1122lnxx xx-=，故有11221212lnln lnCDxx x xkx x x x-==--1=．10．若cos(π6－θ)＝33，则cos(5π6＋θ)－sin2(θ－π6)＝．设t=π6－θ，有cos t＝33．那么cos(5π6＋θ)－sin2(θ－π6)＝cos(π t) sin2 t＝ 2+33．11．在△ABC中，已知AC=4，C=4π，B∈(4π，2π)，点D在边BC上，且AD=BD=3，则AB AD⋅=．解：如图，AD=BD，∴∠DAB=∠B；∵B∈(4π，2π)，∴0＜∠BDA＜2π．在△ACD中，AC=4，AD=3，C=4π，由正弦定理得：sin sinAD ACC ADC=∠4sin ADC=∠，∴sin∠ADC，∴cos∠BDA＝13．∴21=()()3393AB AD DB DA DA DB DA DA⋅-⋅-=-⋅+=-⨯⨯+＝6．12．已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：34170x y+-=．若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为．68190x y+-=解：当AB的长度最小时，圆心角∠ACB最小，设为2θ，则由cos ACCMθ=1CM=可知当θ最小时，cosθ最大，即CM最小，那么，CM⊥l，可知43AB lk k==-，设直线AB的方程为34x y m+=．又由CM＝2可知，点C到直线AB的距离为12，即34125m+-=，解得192m=或92；经检验192m=，则直线AB的方程为68190x y+-=．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2A C=，2c=，244a b=-，则a＝．解：在△ABC中，由余弦定理24444cos2b b b C-=+-，即24(1c o s2)80b b C-++=，故228cos 80b b C -+=2sin C=，即cos C =，所以2(1)802b b b --+=，解得4b =，所以24412a b =-=，a =14．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =- ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ．解：由题意当()()y f x g x =-[]2()10f x =-=时，即方程()1f x =有4个解． 又由函数1y a x =-+与函数2()y x a =-的大致形状可知，直线1y =与函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤的左右两支曲线都有两个交点，如下图示． 那么，有2(1)1,(1)1,(1)1a f f ->->⎧⎪⎨⎪⎩≤ ，即20,1,21,a a a a ><>-⎧⎪⎨⎪⎩或≤解得23a <≤．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a ＝3(sin ,)4x ，b ＝(cos x ，－1)．（1）当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值； （2）设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知3()24f α=，(,)2απ∈π，求sin α的值．解：（1）因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34．故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85．（2）223()2()222sin cos 2(cos 1)2f x x x x =+⋅=⋅+=-++a b b a b b 3sin 2cos22x x =++3)42x π++．因为3()24f α=，所以33())2424f ααπ++=，即sin()4απ+=又(,)2απ∈π，所以3444αππ5π<+<，故cos()4απ+=，所以sin sin[()])cos())4444ααααππππ=+-=+-+=+=．E16．（本小题满分14分）已知△ABD 和△BCD 是两个直角三角形，2BAD BDC π∠=∠=，E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，现将△ABD 沿BD 边折起到A 1BD 的位置，如图所示，使平面A 1BD ⊥平面BCD ． （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求证：平面A 1BD ⊥平面A 1CD ；（3）请你判断，A 1C 与BD 是否有可能垂直，做出判断并写明理由． 解：（1）证明：因为E 、F 分别是边AB 、AD 的中点， 所以EF ∥BD ．因为EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以EF ∥平面BCD ． （2）证明：因为平面A 1BD ⊥平面BCD ， 平面A 1BD ∩平面BCD ＝BD ， CD ⊂平面BCD ， CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面A 1BD ．因为A 1B ⊂平面A 1BD ，所以CD ⊥A 1B ．因为A 1B ⊥A 1D ，A 1D ∩CD ＝D ，所以A 1B ⊥平面A 1CD ． 因为A 1B ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面A 1CD ． （3）解：结论： A 1C 与BD 不可能垂直．理由如下：假设A 1C ⊥BD ，因为CD ⊥BD ，A 1C ∩CD ＝C ， 所以BD ⊥平面A 1CD ， 因为A 1D ⊂平面A 1CD ，所以BD ⊥A 1D 与A 1B ⊥A 1D 矛盾． 故A 1C 与BD 不可能垂直．17． (本小题满分14分) 如图，有一块矩形草坪ABCD ，AB =100米，BC =三条小路OE 、EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°； （1）设∠BOE =α，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用． 解：（1）Rt △BOE 中，OB =50， ∠B =90°，∠BOE =α，∴OE =50cos α． Rt △AOF 中，OA =50， ∠A =90°，∠AFO =α，∴OF =50sin α．又∠EOF =90°，∴EF==50cos sin αα， ∴505050cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++即50(sin cos 1)cos sin l αααα++=．当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时α=π6； 当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α=π3．故此函数的定义域为ππ[,]63．（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF 的周长l 的最小值即可．由（1）得，50(sin cos 1)cos sin l αααα++=，ππ[,]63α∈设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，∴250(sin cos 1)50(1)1001cos sin 12t l t t αααα+++===--． 由，5ππ7π12412α≤+≤t ≤≤11t ≤-≤，1111t ≤-，当π4α=，即BE=50时，min 1)l =，所以当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为1)元．18．（本小题满分16分）椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上． （1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ．①求OC OD ⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解：（1）因为点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点为(2,0)-， 且(2,0)-在椭圆M 上，所以2a =．又2c =c =，则222431b a c =-=-=．所以椭圆M 的方程为2214x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)C D -，所以OC OD ⋅＝－1．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，1122(,),(,)C x y D x y ． 222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，由0∆>，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++， 所以1212OC OD x x y y ⋅=+21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OC OD -<⋅< ，综上13[1,)4OC OD ⋅∈- ．②由题意得，AD ：2211y y x x -=+，BC ：1111y y x x +=-， 联立方程组，消去x 得121221233kx x x x y x x ++=-，又121243()kx x x x =-+，解得12y =-．故点Q 的纵坐标为定值12． 19．（本小题满分16分）已知函数()1e xaf x x =-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数) ． （1）若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）求函数f (x )的极值；（3）当a ＝1的值时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值． 解：（1）由()1e xa f x x =-+，得()1e x a f x '=-．又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，得f '(x )＝0，即10ea-=，解得a ＝e ． （2）()1e xaf x '=-． ①当a ≤0时，f '(x )＞0，f (x )为(－∞，+∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f '(x )＝0，得e x ＝a ，x ＝ln a ． x ∈(－∞，ln a )，f '(x )＜0；x ∈( ln a ，+∞)，f '(x )＞0．所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在( ln a ，+∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极小值；当a ＞0， f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．（3）当a ＝1时，1()1e x f x x =-+ 令()()()()111e xg x f x kx k x =--=-+， 则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点， 等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解． 假设k ＞1，此时g (0)＝1＞1，1111()101e k g k -=-+<-， 又函数g (x )的图象连续不断，由零点存在定理，可知g (x )＝0在R 上至少有一解，与“方程g (x )＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1．又k ＝1时，()1e xg x =＞0，知方程g (x )＝0在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1． 解法二： （1）（2）同解法一． （3）当a ＝1时，1()1e xf x x =-+． 直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于关于x 的方程111e xkx x -=-+在R 上没有实数解， 即关于x 的方程：()11ex k x -=（*）在R 上没有实数解． ①当k ＝1时，方程（*）可化为10e x =，在R 上没有实数解． ②当k ≠0时，方程（*）化为1e 1x x k =-．令g (x )＝x e x ，则有g '(x )＝(1+x )e x x e x ． 令g '(x )＝0，得x ＝－1， 当x 变化时，如下表：当x ＝－1时，min 1()eg x =-，同时当x 趋于+∞时，g (x )趋于+∞， 从而g (x )的取值范围为[1e -，+∞)．所以当11(,)1e k ∈-∞--时，方程（*）无实数解， 解得k 的取值范围是(1－e ，1)．综上，得k 的最大值为1．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }满足a 1＝a （a ＞0，a ∈N *），a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0（p ≠0，p ≠－1，n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k ．①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0， 两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p 的等比数列．又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap ，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1 ，a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p n －2 ，n ≥2 .（2）①由（1）得a k ＋1＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k －1， a k ＋2＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3，即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13；此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k ，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1．若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3，即p ＋1p＝1，此时无解；若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2，即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23，此时a k ＋1＝－3a 2⎝⎛⎭⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝⎛⎭⎫－12k ＋1，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝⎛⎭⎫12k －1． 综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23， d k ＝9a 8·⎝⎛⎭⎫12k －1．②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k －1)．则由S k ＜30，得a ＜103 2k－1， 当k ≥3时，103 2k－1 ＜1，所以必定有a ＜1，所以不存在这样的最大正整数． 当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ， 则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎡1－⎝⎛⎭⎫12k ]，因为403⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13．数学Ⅱ（附加题）满分40分 考试时间30分钟21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．（选修4－2：矩阵与变换） 已知矩阵1235-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． （1）求逆矩阵A －1； （2）若矩阵X 满足AX ＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．解：（1）设A －1＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1235-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=325325a b a b c d a d +--⎡⎤⎢⎥+--⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ∴3125030251a b a b c d c d +=⎧⎪--=⎪⎨+=⎪⎪--=⎩解得5231a b c d =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩∴A －1＝5231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦, （2）135231331118---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A ．C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P 为椭圆C ：22139x y +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）直线l的极坐标方程sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,sin cos θρθ= 即sin cos 4ρθρθ-=,所以直线l 的直角坐标方程为40x y -+=;（2）P 为椭圆2213x y C +=:上一点,设3sin )P αα,,其中[02)α∈π,,则P 到直线l的距离d =所以当0cos(60)1α+=-时,d 的最小值为【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望． 解：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则 1455122()C ()()()333P A =+1455122131()1[C ()()()]333243P A ∴=-⋅+=- （2）参加测试次数X 的可能取值为2，3，4，5．P (X ＝2)＝211()39=， 121214(3)C 33327P X ==⋅⋅⋅=， 1231214(4)C ()33327P X ==⋅⋅⋅=， 1344122(5)C ()()333P X ==⋅⋅++1627． 故X 的分布列为：1441638()234592727279E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．答：该生考上大学的概率为131243；所求数学期望是389．23．（本小题满分10分）【16高考新课标】已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 解：由题设F (12，0)．设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A (22a ，0)，B (22b ，b )，P (－12，a )，Q (－12，b )，R (－12，2a b +)．记过A 、B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a+b )y +ab ＝0． （1）由于F 点在线段AB 上，故1+ab ＝0． 记AR 得斜率为k 1，FQ 得斜率为k 2，则k 1＝22211a b a b abb k a a ab a a---====-=+-， ∴AR ∥FQ ．（2）设与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆． 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y .。
2018届高三数学理科检测试题答案
2018届高三数学理科检测试题答案一、选择题：二、填空题 13．23 14． 98-15．n n 222+ 16． 2三、解答题：）cos b a C =∴由正弦定理得， …………………………2分 …………………………4分(0A ∈又，6分）由余弦定理得， 27b =+8分3，6bc =，10分的周长为5+12分18．（本小题满分12分）解：（1）设事件i A 为甲得分为i 分(1,2,3)i =，事件i B 为乙得分为i 分(1,2,3)i =则………………1分1122()5525P A =⨯= 2421311()555525P A =⨯+⨯= 25125354)(3=⨯=A P1111()5525P B =⨯= 214418()555525P B =⨯+⨯= 34416()5525P B =⨯=………………4分又甲、乙两人同时得3分为事件33B A ⋅故62519225162512)(33=⨯=⋅B A P ．…………………………6分 （2）甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为6,5,4,3,2 ………………7分6252251252)()2(11=⨯=⋅==B A P P ξ 625272512511258252)()()3(1221=⨯+⨯=⋅+⋅==B A P B A P P ξ625132251251225825112516252)()()()4(132231=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅==B A P B A P B A P P ξ625272258251225162511)()()5(2332=⨯+⨯=⋅+⋅==B A P B A P P ξ62519225162512)()6(33=⨯=⋅==B A P P ξ …………………………10分ξ的分布列为………11分所以ξ的数学期望为481528136011523125:5625625625625625625E ξ=++++==．……………12分19．（本小题满分12分）解：（1）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC …………2分在菱形ABCD 中，BD ⊥AC ……………4分 又1BD BB B⋂=∴AC ⊥平面1BB D ……………5分 ∵AC ⊂平面1AB C∴平面1AB C ⊥平面1BB D ……………6分（2）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系.1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --………………7分11111,2)22B A BA A =⇒-，同理11(,2)2C -131(,2)22BA =,(0,2,0)BD =,11(,,2)22BC =-……………9分设平面1A BD 的法向量),,(z y x =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =- ………………10分 设平面1BDC 的法向量),,(z y x =10BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则m = ………………11分 设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m nθ⋅==……………12分 20．（本小题满分12分）解：（1）设抛物线22:2(0)C y px p =≠，则有22(0)y p x x=≠，………………1分 据此验证四个点知(3,-，(4,4)-在抛物线上，……………… 2分 易得，抛物线2C 的标准方程为22:4C y x = ………………3分椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>，………………4分把点(2,0)-，代入可得：224,1a b ==………………5分所以椭圆1C 的标准方程为2214x y +=.……………6分 （2）可设2C 的焦点为F （1，0），当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =………………7分直线l 交椭圆1C 于点(1,M N0OM ON ≠，不满足题意. ……………8分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-， 并设1122(,),(,)M x y N x y由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得， 2222(1)84(1)0k x k x k +-+-=，………………10分 于是221221224(1)8,1414k k x x x x k k -+==++2122314k y y k-=+ ①，………………11分 由OM ON ⊥得12120x x y y += ②将①代入②式，得2222224(1)340141414k k k k k k ----==+++，解得2k =±所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为220x y --=或220x y +-=……………12分21.（本小题满分12分）解：（1）依题意：()f x 的定义域为(0,)+∞，2112()2axf x ax x x-'=-+=，当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，……………2分当0a >时，令()0f x '=，得x = ……………3分令()0f x '>，得x ∈；令()0f x '<，得)x ∈+∞，……………5分 ()f x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减。
2018年高考理科数学(3卷)答案详解(附试卷)
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学3卷 答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知集合，，则A ．B ．C ．D ． 【解析】∵}1|{≥=x x A ，}2,1{=B A . 【答案】C 2． A ．B ．C ．D ．【解析】i i i +=-+3)2)(1(. 【答案】D3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是【解析】看不见的线应该用虚线表示. 【答案】A 4．若，则 A ．B ．C ．D ． {}|10A x x =-≥{}012B =，，A B ={}0{}1{}12，{}012，，()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i+1sin 3α=cos2α=897979-89-【解析】227cos212sin 199αα=-=-=. 【答案】B5．252()x x+的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【解析】由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为251031552()2rr r r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，由1034r -=，得2r =，∴252()x x+的展开式中4x 的系数为225240C =.【答案】C6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则△ABP 面积的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【解析】如图所示，由题意可知)0,2(-A 、)0,2(-B ，∴22||=AB .过点P 作△ABP 的高PH ，由图可以看出，当高PH 所在的直线过圆心)0,2(时，高PH 取最小值或最大值. 此时高PH 所在的直线的方程为02=-+y x .将02=-+y x 代入，得到与圆的两个交点：)1,1(-N 、)1,3(M ，因此22|211|min =+-=|PM|，232|213|max =++=|PM|. 所以222221min =⨯⨯=S ，6232221max =⨯⨯=S . 20x y ++=x y A B P ()2222x y -+=[]26，[]48，⎡⎣22(2)2x y -+=图A6【答案】A7．函数的图像大致为【解析】设2)(24++-==x x y x f ，∵02)0(>=f ，因此排除A 、B ；)12(224)(23--=+-='x x x x x f ，由0)(>'x f 得22-<x 或220<<x ，由此可知函数)(x f 在），（220内为增函数，因此排除C.422y x x =-++【答案】D8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ，)6()4(=<=x P x P ，则p= A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，看做独立重复事件，满足),10(~p B X .∵4.2=DX ，∴4.2)1(10=-p p ，解得6.0=p 或4.0=p .∵)6()4(=<=x P x P ，∴4661064410)1()1(p p C p p C -<-，解得021<-p ，即21>p . ∴6.0=p .【答案】B9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为4222c b a -+，则C =A ．B ．C ．D ．【解析】由已知和△ABC 的面积公式有，4sin 21222c b a C ab -+=，解得C ab c b a sin 2222=-+.∴ C abCab ab c b a C sin 2sin 22cos 222==-+=，又∵1cos sin 22=+C C ，∴22sin cos ==C C ，4π=C . 【答案】C10．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为39，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为 A ．312B ．318C ．324D ．354【解析】如图A12所示，球心为O ，△ABC 的外心为O ′，显然三棱锥D -ABC 体积最大时D 在O′O 的延长线与球的交点.△ABC 为为等边三角形且其面积为39，因此有39432=⨯AB ，解得AB =6. △3260sin 32=⋅⨯=' AB C O ，2)32(42222=-='-='O O OC O O ， 2π3π4π6π∴642=+='D O .∴ 三棱锥D -ABC 体积的最大值为31863931=⨯⨯=V .图A10【答案】B11．设F 1、F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若，则的离心率为 AB．2CD【解析】双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=. ∴ 点F 2到渐近线的距离为b ba bc d =+=22，即b ||PF =2，∴ a b c ||PF ||OF |OP|=-=-=222222，∴ a |OP|||PF 661==，在Rt △OPF 2中，cbOF ||PF O PF ==∠||cos 222，在Rt △F 1PF 2中，bca cb |F |F ||PF ||PF |F |F ||PF O PF 4642cos 22221221221222-+=⋅-+=∠，∴ bca cbc b 464222-+=，化简得222364b a c =-，将222a c b -=代入其中得223a c =，1PF =C∴3222==ac e ，3=e .图A11【答案】C12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ． 0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【解析】∵0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，∴01a <<.∵221log 0.3log 2<，∴1b <-. ∴0ab <，0a b +<. ∵0.30.30.30.311=log 2log 0.2log 0.4log 0.31a b ab a b++=+=<=，0ab <，∴ab a b <+.综上所述 0ab a b <+<.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年全国新课标数学高考试卷及超详答案
2018年普通高等学校统一考试（宁夏卷）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ） A. 1B. 2C. 1/2D. 1/32、已知复数1z i =-，则221z zz -=-（ ） A. 2i B. －2i C. 2 D. －23、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. 5/18B. 3/4C./2 D. 7/84、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A. 2 B. 4 C.152D.1725、右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A. c > xB. x > cC. c > bD. b > c6、已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ ）A.（0，11a ）B. （0，12a ）C. （0，31a ） D. （0，32a ） 7、0203sin 702cos 10--=（ ）A. 12B. C. 2D. 8、平面向量a r ，b r共线的充要条件是（ ）A. a r ，b r 方向相同B. a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=r rD. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。
不同的安排方法共有（ ） A. 20种B. 30种C. 40种D. 60种10、由直线21=x ，x=2，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A. 415 B. 417C. 2ln 21D. 2ln 211、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）12、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）A. 22B. 32C. 4D. 52二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
2018全国三卷理科数学高中高考真题包括答案.doc
精品文档2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A x | x 1≥ 0 ， B 0 ，1，2 ，则 A BA ．0B．1C．1，2D．0，1，22．1i 2 iA ． 3 i B． 3 i C．3i D．3i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若 sin 1，则 cos2 3A ．8B．7C．7 D．8 9 9 9 955． x2 2 的展开式中 x 4 的系数为xA ．10 B． 20 C． 40 D． 806．直线 x y 2 0 分别与 x 轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x22 上，则△ABP面积的取值范围2y2是A ．2，6 B．4，8 C． 2 ，3 2 D． 2 2 ，3 2 7．函数y x4 x2 2 的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， DX 2.4 ， P X 4P X 6 ，则 pA ．0.7B ． 0.6C ． 0.4D ． 0.3222． △ABC 的内角 A ， B ， 的对边分别为 a ， b ， c ，若 △ ABC 的面积为 a bc，则 C9 C 4A ． πB ． πC ． πD ． π 234610．设 A ，B ，C ， D 是同一个半径为4 的球的球面上四点， △ ABC 为等边三角形且其面积为9 3 ，则三棱锥D ABC 体积的最大值为A ． 12 3B ． 18 3C ． 24 3D ． 54 311．设 F 1 ，F 2x 2 y 20，b 0 ）的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F 2 作 C 的一条渐近线的是双曲线 C ： 22 1 （ aa b垂线，垂足为 P ．若 PF 16 OP ，则 C 的离心率为A ． 5B ． 2C ． 3D ． 212．设 a log 0.2 0.3 ， b log 2 0.3 ，则A ． a b ab 0B ． ab a b 0C ． a b 0 abD ． ab 0 a b二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
(精校版)2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 2．()()1i 2i +-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若1sin 3α=，则cos 2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，7．函数422y x x =-++的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.39．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π610．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A ．123B ．183C ．243D ．54311．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为 A ．5B ．2C ．3D ．212．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学-2018届高三数学质量检测题三参考答案 精品
2018届高三数学质量检测题三参考答案一、1、B 2、正确答案仅有③可推得结论成立。
3、C 4、C 5、D （33-）6、A 7、B 8、C 9、A 10、C二、11、-2018 12、22 13、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43 14、53+。
三、 15、解：（1）由余弦定理知ab C ab ab c b a C ab b a c =∴=-+-+=cos 2,cos 2222222又------2分21cos =∴C 而0〈C 〈3ππ=∴C ------ 4分； （2）由21)24cot(=+θπ 得2)24tan(=+θπ ------ 5分344122)24(tan 1)24tan(2)2tan(2-=-⨯=+-+=+∴θπθπθπ ------ 7分 43tan =∴θ ------ 9分因为 θ为锐角54cos ,53sin ==∴θθ ------ 10分1033453215423sin 3cos cos 3sin )3sin()sin(+=⨯+⨯=+=+=+θπθπθπθC ------ 12分16、解：（1）∴+='12x y 曲线22-+=x x y 在点（1，0）处的切线的斜率为31=k因此直线1L 的方程为：)1(3-=x y ------ 3分又2L 为曲线的另一条切线，设2L 与曲线相切于点（),00y x ，2L 的斜率为2k ，则1202+=x k ，又21L L ⊥，所以1202+=x k =31-320-=∴x ------ 5分又点（00,y x ）在曲线22-+=x x y 上920232)32(20-=---=∴y则直线 2L 的方程为：)32(31920+-=+x y 即2L 的方程为：3x+9y+22=0------7分 （2）由{3302293-==++x y y x 得：⎩⎨⎧=-=6125x y 即得L 1与L 2的交点M （25,61-）-------- 9分又L 1与x 轴交于点（1，0），2L 交x 轴于点B （0,322-） 1L ∴、2L 和x 轴围成的三角形的面积为∆MAB 的面积， 而12125)3221(2521=+⨯⨯=∆MAB S ------ 13分 即1L 、2L 和x 轴围成的三角形面积为12125。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
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2018届高三数学综合试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若命题P ∶x ∈A ∪B 则?P 是A ．x ∉A∩BB ．x ∉A 或x ∉BC ．x ∉A 且x ∉BD ．x ∈A∩B2．下列各图形中，是函数图象的是3．若点A(x ，y)在第一象限，且2x+3y=6，则3322log log x y +A ．有最大值1B ．有最小值1C ．有最大值32D ．既无最大值也无最小值4．双曲线k x 2+5y 2=5的一个焦点是(0，2)，则k 等于A ．53B ．-53CD ．5．函数sin(3)cos()cos(3)cos()3633y x x x x ππππ=+--++的图象的一条对称轴的方程是 A ．π12x = B ．π6x = C ．π12x =- D ．π24x =-6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310等于A ．恰有2只是好的概率B ．恰有1只是坏的概率C ．至多2只是坏的概率D ．4只全是好的概率7．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快．若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图①~④中的某一个来表示，则甲、乙两人的图象只可能分别是A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④8．空间四点A B C D 、、、，若直线,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥同时成立，则A B C D 、、、四点的位置关系是A ．一定共面B ．一定不共面C ．不一定共面D ．这样的四点不存在9．函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1)=2x 2-8x+8,f(x+1)-f(x-1)=4(x-2),且f(x-1),-12,f(x)成等差数列，则x 的值是A ．2B ．3C ．2和3D ．2和-310．已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的范围A ．1b <-或2b >B ．1b ≤-或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤11．（理）131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围为 A ．(-2，0) B ．(-∞，-2)∪(0，+∞) C ．(-4，2)D ．(-∞，-4)∪(2，+∞)（文） 如右图△ABD CBD ，△ABD 为等腰三角形∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且面ABD ⊥面BCD ，则下列4个结论中，正确结论的序号是①AC ⊥BD②△ACD 是等腰三角形 ③AB 与面BCD 成60°角 ④AB 与CD 成60°角A ．①②③B ．C ．①③④D ．②③④12．设12)310(++n （n ∈N ）的整数部分和小数部分分别为I n 和F n ，则F n (F n +I n )的值为A ．1B ．2C ．4D ．与n 有关的数第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上．13．直线20x y m ++=按向量()1,2a =--平移后与圆22:240C x y x y ++-=相切，则实数m 的值为____________.14．设x 、y 满足约束条件310x y y x y +≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩，则z ＝x 2+y 2的最小值是.15．“渐升数”(如34689)是指每个数字比其左边的数字大的正整数已知共有126个五位“渐升数”，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为 16．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1)4+b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4定义映射f:(a 1,a 2,a 3,a 4)→(b 1,b 2,b 3,b 4),则f(4,3,2,1)等于_________三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）有一块边长为6m 的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x (m )的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池（不计损耗）．（1）求容积V 关于自变量x 的函数，并指出其定义域； （2）指出函数V （x ）的单调区间；（3）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？18．（本题满分12分）已知向量a = e 1-e 2，b = 4e 1+3e 2，其中e 1= (1，0)，e 2= (0，1)． （1）试计算a ·b ；|a +b |的值；（2）n 个向量a 1、a 2、…、a n 称为“线性相关”，如果存在n 个不全为零的实数k 1、k 2、…、k n ，使得k 1a 1+ k 2a 2+…+ k n a n =0成立，否则，则为“不线性相关”．依此定义，三个向量a 1= (-1，1)，a 2= (2，1)，a 3= (3，2) 是否为“线性相关”的？请说明你的判断根据；（只理科做）（3）平面上任意三个互不共线的向量a 1、a 2、a 3，一定是线性相关的吗？为什么？如图，ABC ∆中，⊥===PA a BC AC AB ,平面ABC ，且E N M a PA ,,,=分别为PC BC AB ,,的中点。
（1）求二面角A MC P --的大小； （2）求三棱锥MCB E -的体积；（3）求异面直线AE 与PN 所成角的大小。
20．（本题满分12分）已知()()1,0,1,0A B -，P 是平面上一动点，且满足PA BA PB AB ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点(),2A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦,AD AE ，且,AD AE 的斜率12,k k 满足122k k ⋅=。
求证：直线DE 过定点，并求出这个定点。
21．（本小题满分12分）如图，已知斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD = 2 ，∠A 1AB =∠A 1AD =∠BAD ． （1）设∠BAD =α，A 1A 与面ABCD 所成的角为β，求证：2coscos cos ααβ=；（2）设A 1A 到面B 1D 1DB 的距离为1，求二面角A 1-AD -B 的余弦．BCA 1B 1C 1D 1设集合S ={|，||<1}x x x ∈R 且．在S 中定义运算“*”，使得*1a ba b ab+=+． （1）证明：如果a ∈S ，b ∈S ，那么a *b ∈S ；（2）证明：对于S 中的任何元素a 、b 、c ，都有(a *b )*c = a *(b *c )成立；（3）试问：是否存在单位元e ，使得a *e = e *a = a ？又是否存在不变元i ，使得a *i = i *a = i ．参考答案1－16 略17．（1）设蓄水池的底面边长为a ，则a ＝6－2x ，且蓄水池容积为2()(62)V x x x =-．由＞062＞0x x ⎧⎨-⎩，得()V x 定义域为（0，3）．（2）322()42436，'()124836V x x x x V x x x =-+=-+．令'()V x ≥0，并注意到(0,3)x ∈知：()V x 的单调递增区间为（0，1]；令'()V x ≤0，并注意到(0,3)x ∈知，()V x 的单调递减区间为[1，3]．（3）令2'()1248360V x x x =-+=，得x ＝1（3(0,3)x =∉，舍去）．此时，a = 4（m ）．由()V x 单调性知，3max [()](1)16(m )V x V ==．故当底面边长为4m 时，蓄水池容积最大，最大容积为16m 3．18．（1）a = (3，0) – (0，2) = (3，-2)，b = (4，0) +(0，1) =(4，1)．a ·b = (3，-2) ·(4，1)=10； |a +b |=|(7，1)|= 50 = 52． （2）是“线性相关”的．令k 1(-1，1)+k 2(2，1)+k 3(3，2) = (0，0)，于是k 1+2k 2+3k 3=0，且k 1+k 2+2k 3=0． 显然由以上两条件构成的方程组有不全为零的实数解（如k 1= -1，k 2= -5，k 3=3），故它们为线性相关的．（3）平面上任意三个互不共线的向量一定线性相关．由平面向量的基本定理知，平面上任意两个不共线的向量a 1、a 2均可作为向量的一组基底，并且对于平面内的任一其它向量a 3，有且仅有唯一的一对实数λ1、λ2，使a 3 = λ1a 1+λ2a 2．分别取k 1=λ1，k 2=λ2，k 3= -1，即有λ1a 1+λ2a 2- a 3 =0，也就是平面上任意三个互不共线的向量一定线性相关．19．（1）2arctg PMA =∠（2）32483218331a a a V =⋅⋅=（3）取NC 的中点K ，则AEK ∠即为异面直线AE 与PN 所成的角a AK a EK a PN a AE 413,47,27,22====， 在AEK ∆中，2814arccos=∠AEK 20．（1）设(),P x y ，则()1,PA x y =--，()1,PB x y =---，()2,0AB =-，()2,0BA =于是由PA BA PB AB ⋅=⋅()221x =+整理后得：24y x =所以点P 的轨迹C 对应的方程为24y x =（2）由（1）知()1,2M ，设221212,,,44y y D y E y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是121222122221144y y k k y y --=⋅=--即()()12228y y ++= 又记12221212444DE y y k k y y y y -===+- 于是1212484y y k y y k ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩所以DE 直线的方程为2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭即()121240x y y y y y -++=亦即()()120k x y +-+= 显然直线DE 过定点()1,2--21．（1）如图，因∠A 1AB =∠A 1AD ，A 1A =A 1A ，AB =AD ，故△A 1AB ≌△A 1AD ．于是，A 1B =A 1D ．故BD ⊥A 1O ．因AB =AD ，故四边形ABCD 为菱形，从而BD ⊥AC ．又A 1O ∩AC =O ，故BD ⊥面A 1C 1CA ．于是，面ABCD ⊥面A 1C 1CA ． （★）作HE ⊥AD 于E ，连A 1E ，由三垂线定AB C DA 1B 1C 1D 1O 1E FOH理得，A 1E ⊥AD ．故2coscos cos 11ααβ=⋅==EA AE AE AH H A AH ． （2）由（★）得，面B 1D 1DB ⊥面A 1C 1CA ．作A 1F ⊥OO 1于F ，则A 1F ⊥面B 1D 1DB ．故A 1F =1．在Rt △A 1O 1D 1中，A 1O 1=A 1D 1•2cos α=2cos2α．于是O 1F =αcos 21211=-F A O A ．故2cos2cos cos cos 2coscos 11ααβαα=∠==F O A ，从而ααcos cos 22=．又αcos ≠0，于是αcos = 12 ，α=60º．由（1）知，∠A 1EH是二面角A 1-AD -B的平面角，于是3160tan 30tan cos 11=⋅⋅==∠AE AE E A EH EH A ． 22．（1）∵a ∈S ，b ∈S ，∴|a |＜1，|b |＜1．∴22(1)()(1)(1) ab a b ab a b ab a b +-+=++++--22(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a b a b =++--=--＞0．∴2()1a b ab ++＜1，即|1a b ab ++|＜1，也就是1a bab++∈S ，从而a *b ∈S ． （2）(a *b )*c =1*1111a bca b a b c abc ab c a b ab ab ac bc c ab+++++++==+++++++，a *(b *c ) =1*1111b ca b c a b c abc bc a b c bc ab ac bca bc+++++++==+++++++， 故(a *b )*c = a *(b *c )． （3）若a *e = e *a = a ，则11a e e aa ae ea++==++，变形得(1)e a a ea +=+，从而，2a ea =，该式不能对一切满足|a |＜1的实数a 恒成立，故不存在满足条件的单位元e ．若a *i = i *a = i ，则11a i i ai ai ia++==++，变形得 (1)i a i ia +=+，从而，2a i a =，当1i =±时，等式对一切满足|a |＜1的实数a 恒成立，故存在满足条件的不变元1i =±．。