第22章 一元二次方程导学案
新人教版九年级数学上册第22章一元二次方程导学案
第22章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容。
概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需19课时，具体分配如下：22．1 一元二次方程2课时22．2 降次──解一元二次方程8课时22．3 实际问题与一元二次方程3课时《一元二次方程》小结与复习2课时《一元二次方程》单元测试 4课时第1课时一元二次方程（1）第2课时一元二次方程（2）第3课时解一元二次方程——配方法（1）第4课时解一元二次方程——配方法（2）第5课时解一元二次方程——配方法（3）第6课时解一元二次方程——公式法（1）第7课时解一元二次方程——公式法（2）第8课时解一元二次方程—因式分解法第9课时一元二次方程的根与系数的关系（1）第10课时一元二次方程的根与系数的关系（2））第11课时实际问题与一元二次方程（1）第12课时实际问题与一元二次方程（2）第13课时实际问题与一元二次方程（3）由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9︰7，第14--15课时《一元二次方程》小结与复习一元二次方程单元测试题（一）一、填空题（每题2分，共计12分）1.把方程（2x+6）2=-7化成一元二次方程的一般形式为_____________，其中二次项系数为_____________，一次项系数为_____________，常数项为_____________.2.已知关于x 的二次方程4x 2+4kx+k 2=0的一个根是-2，那么k=__________________.3.若分式12322-+-x x x 的值为0，则x 的值是________________.4.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为x 1=1，x 2=2，则x 2+bx+c 分解因式的结果为___________________.5.如果关于x 的一元二次方程2x 2-（4k+1）x+2k 2-1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是________________.6.已知关于x 的方程x 2-（a ＋b)x ＋ab-2=0.x 1、x 2是此方程的两个实数根,现给出三个结论：（1）x 1≠x 2;（2）x 1x 2＞ab;(3) x 12＋x 22＞a 2＋b 2.则正确结论的序号是________________.（在横线上填上所有正确结论的序号） 二、选择题（每题5分，共计20分）7.方程x 2+3x-6=0与x 2-6x+3=0所有根的乘积等于（ ）A.-18B.18C.-3D.3 8.以1，-2为根的一元二次方程是（ ） A.x 2+x-2=0 B.x 2-x+2=0 C.x 2-x-2=0 D.x 2+x+2=09.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）A.9B.11C.13D.11或1310.某钢厂今年1月份生产某种钢2 000吨，3月份生产这种钢2 420吨，设2、3月份两个月平均每月增长的百分率为x ，则可列方程为（ ）A.2 000（1+2x ）=2 420B.2 000（1+x 2）=2 420C.2 000（1+x ）2=2 420D.2 420（1-x ）2=2 000 三、解答题11.不解方程判断根的情况. （每题3分，共计9分） （1）x 2-2x-4=0; （2）2x 2+4x+2=0; （3）21x 2-x+2=0.12.解下列方程（每题5分，共计15分）（1）3x 2+x-2=0; （2）4（x-3）2=25; （3）x 2+6x-10=0(配方法).13.（10分）已知x 1，x 2是方程3x 2+5x-1=0的两个根，求下列各式的值.（1）x 12x 2+ x 22x 1; （2）21x x +12x x .14.列方程解实际问题（第一小题10分，第二小题12分，共计22分）（1）在一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路,其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53 m2，那么小路的宽为多少？（2）△ABC中，∠B=90°,AB=6 cm，BC=8 cm，点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，①如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2？②如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6 cm2？15.（12分）已知关于x的方程x2-2（a-2）x+a2=0，是否存在实数a，使方程两个实数根的平方和为56?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.一元二次方程单元测试题（二）一、选择题1、一元二次方程032=+x x 的解是（ ）A ．3-=xB ．3,021==x xC ．3,021-==x x D ．3=x ２、方程0232=+-x x 的解是（ ）A ．11=x ，22=xB ．11-=x ，22-=xC ．11=x ，22-=xD ．11-=x ，22=x ３、如果2是方程02=-c x 的一个根，那么c 的值是( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2４、已知1x =是方程220x a x ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） A ．2- B ．2 C ．3- D ．3５、某商品原价100元，连续两次涨价x %后售价为120元，下面所列方程正确的是（ ）A ．2100(1)120x -=%B ．2100(1)120x +=%;C 2100(12)120x +=%D ．22100(1)120x +=%６、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A ．238x x =-B ．2510x x +=-C ．271470x x -+=D ．2753x x x -=-+ ７、已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2+ 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ） A ．没有实数根; B ．可能有且只有一个实数根; C ．有两个相等的实数根; D ．有两个不相等的实数根８、如果关于x 的一元二次方程22(21)10kx k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A.k ＞ B.k ＞且0k ≠ C.k ＜且0k ≠ ９、若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．011、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x =C ．23000(1)5000x +=％ D ．23000(1)3000(1)5000x x +++=12、已知代数式2346x x -+ 的值为9 A ．18 B ．12 C ．9 D ．713、如果x ＝4是一元二次方程223a x x =-的一个根，那么常数a 的值是（ ）． A.2 B.－2 C.±2 D.±414、5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（ ）15、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 （ ）A.甲B.乙C.丙D. 乙或丙 二、填空题16、关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为17、若12,x x 为方程210x x +-=的两个实数根，则12x x +=___18、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 ．19、在一幅长50cm ，宽30cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为.20、三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．21、方程02=-x x 的解是 .22、若x ＝1是一元二次方程x 2＋x ＋c ＝0的一个解，则c 2＝ ．23、阅读材料：设一元二次方程2a xb xc ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如，x 1.2x =已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的的值为___ __ 24、关于x 的一元二次方程220x x m -+= 有两个实数根，则m 的取值范围是 ．25、一元二次方程(1)xx x -=的解是 ． 26、已知关于x 的一元二次方程()21210k x x ++-=有两个不相同的实数根，则k的取值范围t t Ｂ． C ． D ．是 .28、已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p30、一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是一个一次方程是 ．31、等腰ABC △两边的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个解，则这个等腰三角形的周长是 ．32、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上一个符合条件的方程即可）． 三、解答题33、（1）解方程：2620x x --=（配方法）34、解方程：（1）2410x x +-=． （2）250x x --=35在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
第二十二章 一元二次方程导学案
第二十二章 一元二次方程22.1一元二次方程 第1课时 一元二次方程的概念学习目标：1、 正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，能将一元二次方程化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
2、 经历抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效工具。
3、 培养分析问题和解决问题的能力，提高应用意识。
重点：一元二次方程的概念和一般形式难点：正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，从实际问题中抽象出一元二次方程. 课前预习1：1、你还记得什么叫方程？什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？2、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?3、一元二次方程的概念:方程的两边都是整式，只含有 未知数（一元），并且未知数的 是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
4、一元二次方程必须同时满足的三个条件: (1) (2) (3) 5、一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。
6、下列方程中是一元二次方程的有：_________(填序号)①（x-1）(2x+1)=3 ②22=+x y ③322=-x ④21=+aa7、一元二次方程5232+=x x 的一般式为_________________，其中二次项系数为_____，一次项系数为________，常数项为________。
8、若关于X 的方程0232=+-x ax是一元二次方程，则a 的取值范围___________。
此内容为课前预习导学提供学生课前展示，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。
课前预习2：一、复习导入:我们已经学习过的方程有一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程，请你分别举一个例子。
第22章一元二次方程导学案
第二十二章一元二次方程第1课时配方法（一）学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如2x=p(p≥0)或（mx+n）2=p(p≥ 0)的方程2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。
导学流程：自主探索自学P30问题1、及思考完成下列各题：解下列方程：（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.（3）（x＋1）2－4＝0；（4）12（2－x）2－9＝0.总结归纳如果方程能化成2x=p或（mx+n）2=p(p≥0)形式，那么可得巩固提高仿例完成P31页练习课堂小结你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？达标测评1、解下列方程：（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）x2-12=0 （4）x2-214=0（5）2x2-3=0 （6）3x2-163=0（7）12y2－25＝0；（8）（t－2）（t +1）=0；（9）x2+2x+1=0 （10）x2+4x+4=0（11）x2-6x+9=0 （12）x2+x+14=04、配方法（二）学习目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 难点：配方的过程。
导学流程 自主学习自学P31-32问题2，完成P33思考。
精讲点拨上面，我们把方程x 2+6x -16＝0变形为(x +3)2＝25，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 练一练 ：配方.填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； （2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋23x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； 从这些练习中你发现了什么特点?(1)________________________________________________ (2)________________________________________________合作交流用配方法解下列方程：（1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0.解（1）移项，得x 2－6x ＝____.方程左边配方，得x 2－2·x ·3＋__2＝7＋___， 即 （______）2＝____. 所以 x －3＝____. 原方程的解是 x 1＝_____，x 2＝_____. （2）移项，得x 2＋3x ＝－1.方程左边配方，得x 2＋3x ＋（ ）2＝－1＋____， 即 _____________________ 所以 ___________________ 原方程的解是： x 1＝______________x 2＝___________ 总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？ 深入探究自学P33页例1，完成练习： 用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03232=-+x x巩固提高：完成P34页练习课堂小结你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？达标测评用配方法解方程：1、x2＋8x－2＝02、x2+2x－3＝0.3、x2-x=64、x2＋5x＋4＝05、x²-2x-3=06、2x²+12x+10=07、x²-4x+3=08、9x²-6x-8=09、x²+12x-15=0 10、2x²+1=3x11、3x²+6x-4=0 12、4x²-6x-3=013. x²+4x-9=2x-1114. x(x+4)=8x+12拓展提高已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？5、公式法学习目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程； 3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
第二十二章 一元二次方程导学案修订
第二十二章一元二次方程22．1一元二次方程教学内容第一课时一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果AC CBAB AC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．三、巩固练习教材练习1、2四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材P28 习题22．1 1、2．教学反思22．1 一元二次方程第二课时教学内容1．一元二次方程根的概念；2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根；2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题．问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm，那么，列表：根据题意，可得方程为___________．整理，得_________．问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，•苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_______m．列表：根据题意，得________．整理，得________．老师点评（略）10 8二、探索新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解．（3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解．为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．例2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．三、巩固练习教材P28 思考题练习1、2．四、应用拓展例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，则宽为（x-5）cm列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题：（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．（2）完成下表：（3）你知道铁片的长x是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．（2）（3）铁片长x=15cm五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．六、布置作业1．教材P28 复习巩固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9．教学反思22.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2则PB=x，BQ=2x依题意，得：12x²2x=8 x2=8根据平方根的意义，得x=±即x1x2BCAQP可以验证，212x ²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以PBQ 的面积等于8cm 2．二、探索新知上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±即方程的两根为t 112，t 212例1：解方程：x 2+4x+4=1例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ， 则：10（1+x ）2=14.4（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”． 三、巩固练习 教材P 34 练习． 四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=六、布置作业1．教材P42复习巩固1、2．教学反思:22.2.2 配方法第1课时教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．、2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x 2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x 2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得x=mx+n=±p ≥0）．如：4x 2+16x+16=（2x+4）2 二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的18的平方，另一 队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？ 老师点评：问题1：设总共有x 只猴子，根据题意，得： x=（18x ）2+12 整理得：x 2-64x+768=0问题2：设道路的宽为x ，则可列方程：（20-x ）（32-2x ）=500 整理，得：x 2-36x+70=0（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有． （2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化： x 2-64x+768=0 移项→x=2-64x=-768两边加（642）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024左边写成平方形式→（x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即x-32=16或x-32=-16解一次方程→x1=48，x2=16可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．学生活动：例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．例2．解下列关于x的方程（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．三、巩固练习教材P31练习．四、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材P42复习巩固2教学反思22.2.2 配方法第2课时教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，•右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9x-4=±3即x1=7，x2=1（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22（x+2）2=3即x+2=x1，x2二、探索新知像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．解下列方程（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0三、巩固练习教材P34练习2．（3）、（4）、（5）、（6）．四、归纳小结本节课应掌握：配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．五、布置作业1.教材P45复习巩固3．教学反思22.2.3 公式法教学内容：1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1x 2分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+bax=-c a配方，得：x 2+b ax+（2b a ）2=-c a+（2b a）2即（x+2b a ）2=2244b aca -∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca-≥0直接开平方，得：x+2b a =即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-±就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．三、巩固练习教材P37练习1．（1）、（3）、（5）四、应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）22mx++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0mm m⎧+=⎨++-≠⎩或②21020mm⎧+=⎨-≠⎩或③1020mm+=⎧⎨-≠⎩解：（1）存在．（2）存在．五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业1．教材P42复习巩固4．教学反思22.3 实际问题与一元二次方程(1)教学内容由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．重难点关键1．重点：用“倍数关系”建立数学模型2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型教学过程一、复习引入（学生活动）问题1：列方程解应用题下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，•星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．则0.5(0.2)2000.40.61300x yx y+-=⎧⎨+=⎩解得1000(1500(xy=⎧⎨=⎩股)股)答：（略）二、探索新知上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．（学生活动）问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2•=3.31的类型．例1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．解：设平均增长率为x则200+200（1+x）+200（1+x）2=950四、应用拓展例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x²80%；第二次存，本金就变为1000+2000x²80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x²80%+（1000+2000x²8%）x²80%=1320整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0解得：x1=-2（不符，舍去），x2=18=0.125=12.5 答：所求的年利率是12．5%．五、归纳小结本节课应掌握：利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．六、布置作业1．教材P48 复习巩固1 综合运用1．教学反思22.3 实际问题与一元二次方程(2)教学内容建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．教学目标掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．重难点关键1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：总利润=每件平均利润³总件数．设每张贺年卡应降价x元，•则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+0.1x ³100）解：设每张贺年卡应降价x元则（0.3-x）（500+1000.1x）=120解得：x=0.1答：每张贺年卡应降价0.1元．二、探索新知刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.751000.10.2534=≈，从这些数目看，•好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元． （2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y 元， 则：（0.75-y ）（200+0.25y³34）=120 即（34-y ）（200+136y ）=120整理：得68y 2+49y-15=0∴y ≈-0.98（不符题意，应舍去） y ≈0.23元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．（学生活动）例2．两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t •乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t •乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 老师点评：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，•乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，•乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品成本为5000（1-x ）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x ）元． 依题意，得5000（1-x ）2=3000。
九年级数学上册第22章《一元二次方程》(第11课时)一元二次方程导学案新华东师大版
一元二次方程一、学习目标1．了解一元二次方程的有关概念。
2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
4．掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
5．通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。
二、学习重点重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
难点：1.会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
三、自主预习1.方程中只含有未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________ ()其中二次项系数是，一次项系数是，常数项。
2.解一元二次方程的一般解法有：（1）__________ （2）（3）（4）求根公式法，求根公式是 ___________________。
3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是，当时，它有两个不相等的实数根；当时，它有两个相等的实数根；当时，它没有实数根。
4.设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2则x1 +x2=；x1·x2=。
四、合作探究1.已知关于x的一元二次方程（m—1）x2 —（2m+1）x+m=0,当m取何值时：（1）它没有实数根。
（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。
（3）它有两个不相等的实数根。
五、巩固反馈1.关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是2.已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.(请用两种方法来解)3.解下列方程：（1） x2＋(＋1)x＝0；（2）（x＋2）（x－5）＝1 ；（3）3（x－5）2＝2（5－x）4.说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根。
【推荐必做】九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.1 一元二次方程导学案 (新版)华东师大版
22.1 一元二次方程【学习目标】1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
【学习重难点】理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
【学习过程】一、课前准备1、 叫方程。
叫一元一次方程 叫二元一次方程 分式方程2、下列方程是一元一次方程的有 ，是分式方程的有 ，二元一次方程的有 。
①3x-2=0 ②x 1+2=x ③x+2y=3 ④13221+=-++y y y ⑤s+t=8 ⑥2x +2x-4=0⑦2x -x=56二、学习新知自主学习：问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析：现设长方形绿地的宽为x 米，则长为 米，可列方程 ，整理得 ①.问题2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.分析：设这两年的年平均增长率为x ，则今年的图书为为 万册，明年的图书为万册，可列方程，整理得②方程①、②是一元一次方程吗？；方程①、②是一元一次方程的相同点：；。
方程①、②是一元一次方程的不同点：3.像方程①、②这样的方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.4.一元二次方程的一般形式为（a,b,c为常数, ≠0）其中a叫做、b叫做、c为。
实例分析：例1、请分别指出问题1和问题2中两个方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
解：【随堂练习】1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5=0xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围________．3.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________4.关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？5．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．6．一元二次方程的一般形式是__________．【中考连线】关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一根为0，求a的值【参考答案】随堂练习1、A2、1≠a3、13-=m4、是5、3，-2、-46、 ax 2+bx+c=0（a ≠0）．中考连线a=－1。
人教版九年级上数学第22章一元二次方程全章导学案
第2章 一元二次方程2.1一元二次方程（1）学习目标：1． 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义； 2． 一元二次方程的一般形式及其有关概念；3． 使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式； 4． 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。
学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题 学习难点：建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
一． 学前准备：1．____________________________________________叫方程；_____________________________________________叫一元一次方程。
2．我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，利用一元一次方程解决实际问题的步骤是：二． 探究活动（一） 独立思考·解决问题1． 剪一块面积为1502cm 的长方形铁片，师它的长比宽多5cm ，这块铁皮该怎么剪呢？如果铁皮的宽为x （cm ），那么铁皮的长为_________cm. 根据题意，可得方程是：______________________2．6，求这两个数。
设其中较小的一个数位x ，请列出满足题意的方程__________________. 3．正方形的面积是22cm ，求它的边长？_______________________________________________.3． 矩形花圃一面靠墙，另外三面所围得栅栏的总长度是19m ，如果花圃的面积是242m ，求花圃的长和宽。
__________________________________________________________. （二） 师生探究·合作交流议一议：1.上面的方程有哪些共同的特点呢？你知道什么是一元二次方程了吗？2．结合上面的方程的特点你能够用一个式子表示一元二次方程的一般形式吗？3．20(0)ax bx c a ++=≠其中______叫做二次项，a 叫做______,bx 叫做_______,b 叫做_______.c 是常数项。
数学：第22章一元二次方程全章导学案
22.1 一元二次方程导学案学习目标：1. 能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）；在这个过程中，体会到方程是刻画现实世界数量关系的工具2. 知道一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，能说出二次项系数、一次项系数及常数项学习过程：一、复习：列方程解应用题有哪些步骤？问题1 绿苑小区在规划设计时，准备在两棟楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？（设宽为x米，列方程）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。
（设平均增长率为x，列方程不用求解）问题3 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作无盖方盒底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形呢？根据题意，列出方程（不必求解）二、探索新知：将上述三个方程展开并按x的降幂排列，观察是一元一次方程吗？它们有何共同点？①_________________ ②______________________ ③______________________满足上述3个条件的方程，就是一元二次方程一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程都能够化为一般形式：_______________________（a、b、c是已知数，a≠0）注意：①ax2叫做_______________，其中a叫做_______________bx叫做_______________，其中b叫做_______________c叫做_______________②为什么要a≠0？若a﹦0且b≠0，则它是__________________说明：一元二次方程的一般形式ax2＋b x＋c≒0（a≠0）具有两个特征：② 方程的右边为0；②左边的二次项系数、一次项系数和常数项都要包括它前面的符号。
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第二十二章一元二次方程22.1 一元二次方程学习目标：1、进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；2、正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。
准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
学习过程：（一）学生预习教师导学根据题意列方程：（1）有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?（2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 .（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？（二）学生探究教师引领（１）、问题：上述3个方程是不是一元一次方程？有何共同点？①_______________________；②____________________；③________________________。
（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是________,只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程叫做一元二次方程。
（3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 _______________(a,b,c为常数）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。
a为 _______，b为 ____，c为 ____ 。
（三）学生展示 教师激励1、下列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？（1）250x -= （22x -= （3）x 2+xy −3=0（4）330x x -= (5)1x 2+1−1x =0 (6)3x (x −1)=5(x +2)2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1) 2351x x =- (2) (2)(1)6x x +-= (3) 2470x -=3、完成课本27页练习1、2题（四）学生归纳 教师提炼(1)一元二次方程必须满足三个条件：1、 ______ ；2、 _____ ； 3、 ______ 。
(2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：(3)二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉，为什么？（4）确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？（五）学生达标 教师测评A 组：1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）0233122=--x x （ ）（2）0522=+-y x ( ) (3) 02=++c bx ax （ ） (4)07142=+-x x ( )（53= （ ） （6）2221x x x +=- （ ）2、方程2(1)4(1)x x x -=-的一次项是（ ）A. 2xB. 4xC. 6-D. 6x -3、将方程2(21)(3)(21)6x x x -+--=化成一般形式为____________________________,它的二次项系数为_________，一次项系数为___________，常数项为__________________。
4、当a_______时，关于X 的方程（a-1）x 2+3x-5=0是一元一次方程。
当a_______时，关于X 的方程（a-1）x 2+3x-5=0是一元二次方程。
5、判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解；（1）)()(1412+=+x x x ±1；±2； （2）0822=-+x x ±2，±4B 组：1、把方程p q nx mx nx mx -=++-22()0≠+n m 化成一般形式为______________它的二次项系数是_______,一次项系数是_________,常数项是_______________2、要使02)1()1(1=+-+++x k x k k 是一元二次方程，则k=_______.3、已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值。
拓展提高：1、已知关于x 的方程1222-=--x kx x k )(。
问（1）当k 为何值时，方程为一元一次方程？（2）当k 为何值时，方程为一元二次方程？2、思考题：你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗？22.2 降次-一解一元二次方程（5课时）第1课时 直接开平方法和因式分解法学习目标：1、会用直接开平方法解形如2x =a(a ≥0)或（mx+n ）2=a(a ≥0)的方程； 会用因式分解法解特殊的一元二次方程2、理解一元二次方程解法的基本思想---降次，体会一元二次方程与一元一次方程的联系和两者之间相互转化的思想方法；重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。
导学流程：（一）学生预习 教师导学1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．（4）36的平方根是________,49的平方根是____________。
2、若24x =，则x =______________；若221x =，则x =__________。
3、请根据提示完成下面解题过程：(1) 由方程 2(21)5x -=， 得 (2) 由方程 2692x x ++=， 得21x -=_______ (_________)2=2即 ∴ ______________=_______ 21x -=____，21x -=_____ 即 ____________, ____________ ∴ 1x =_______, 2x =_____ ∴ 1x =_______, 2x =_____（二）学生探究 教师引领试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x 2＝4； （2）x 2－1＝0;解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得x =____ ______________＝0，必有 x －1＝0，或______＝0,得x 1＝___，x 2＝_____.教师点拨：方程(1)的解法叫做直接开平方法. 方程(2)的解法叫做因式分解法. 思考：1、方程x 2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？2、方程x 2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首应将它化成什么形式？练一练：1.试用两种方法解方程x 2－900＝0.(1)直接开平方法 (2) 因式分解法2.解下列方程：（1）x 2－2＝0; （2）16x 2－25＝0.解：（1）移项，得x 2＝2. 解： 移项，得___________________. 直接开平方，得2±=x . 方程两边都除以16，得____________ 所以原方程的解是 直接开平方，得x ＝______________. 21－=x ，22=x . 所以原方程的解是x 1＝___，x 2＝___. 小结：方程（1）、（2）采用的解法是____________________（3）3x 2＋2x =0； （4）x 2＝3x .解:方程左边分解因式，得 解：原方程即_____________=0.__________________ 方程左边分解因式，得__________＝0.所以_______或____________ 所以_________或____________∴原方程的解x 1＝____,x 2＝____ ∴原方程的解x 1＝___，x 2＝____小结：方程（3）、（4）采用的解法是____________________方法整理：1、形如2x p =(0)p ≥或2()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的 定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。
2、如果方程能化成2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥的形式，那么可得x =或mx n +=3、 如果一元二次方程能化成两个一次式的乘积等于0的形式，那么可得每个一次式都等于0，从而得解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
4、用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次．．，转化为两个一元一次方程（三）学生展示教师激励1、解下列方程：（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0.分析：两个方程都可以转化为（）2＝a的形式，从而用直接开平方法求解.解：（1）原方程可以变形为（2）（_____________）2＝____，两边开平方，得_______________∴__________=0或___________=0∴原方程的解是x1＝____, x2＝____2、完成课本第31页练习（四）学生归纳教师提炼你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？它们之间有何联系与区别？（五）学生达标教师测评1、解下列方程：（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）12y2－25＝0；（4）x2－2x＝0；（5）（t－2）（t +1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0. (7) x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.2、小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么会少一个解？拓展提高1、解下列方程：（1）2x+2x-3=0 (2) 2x-50x+225=02、构造一个以2为根的关于x 的一元二次方程。
第 2 课时 配方法学习目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。
导学流程（一）学生预习 教师导学1、复习引入：填上适当的数，使下列等式成立：(1) 212x x ++____ = 2(6)x + (2) 24x x -+____ = (x -___)2(3) 28x x ++____ = (x +____)2 （4）2x －45x ＋_____＝（x －____）2 由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：_____________________________________________________2、探索新知：请阅读教材第第31-33页，解方程2450x x +-=，完成下面框图：2450x x +-=教师点拨:上面，我们把方程2450x x +-=变形为_____________，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.配方是为了降次，即把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。