总体均数的估计汇总
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总体均数估计和T检验
配对t检验公式为:
例4.3 用某药治疗10例高血压病人,治疗前后各例舒张压测量结果如表4.1，问该药是否有降低舒张压的作用？ 表4.1 10例高血压患者用某药治疗前后的舒张压(mmHg) ──────────────────────────────────── 例号 治疗前 治疗后 差数d ──────────────────────────────────── 1 117 123 -6 2 127 108 19 3 141 120 21 4 107 107 0 5 110 100 10 6 114 98 16 7 115 102 13 8 138 152 -14 9 127 104 23 10 122 107 15 ────────────────────────────────────
通常用均数±标准差：表示一组数据的平均水平和离散程度。 有时用均数±标准误：表达样本均数及其离散程度，必须注明以免误解。 除了均数的标准误外，还有率的标准误，回归系数的标准误等。
二．总体均数的估计 总体均数用μ表示，总体均数的估计包括点估计和区间估计。点估计即用样本均数来估计总体均数。区间估计即按一定的概率估计总体均数在哪个范围内，这个范围称为置信区间，这个概率称为可信度或置信度，用1-α表示，常取95%或99%，按此确定的可信区间分别称之为95%或99%可信区间。 总体服从正态分布并且总体标准差σ未知，则总体均数的95%可信区间为：
两种处理的比较 对子号 A药 B药 1 0.2 -0.1 2 1.0 1.8 …… 10 0.4 0.8 两种药物治疗白细胞降低疗效的比较（表中为白细胞升高数）。
程序4.1结果输出：
Analysis Variable : X N Mean Std Dev Lower 95.0% CLM Upper 95.0% CLM ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 120 4.9590917 0.4038348 4.8860955 5.0320879 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Analysis Variable : X N Mean Std Dev Lower 99.0% CLM Upper 99.0% CLM ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 120 4.9590917 0.4038348 4.8625876 5.0555957 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
例4.3 用某药治疗10例高血压病人,治疗前后各例舒张压测量结果如表4.1，问该药是否有降低舒张压的作用？ 表4.1 10例高血压患者用某药治疗前后的舒张压(mmHg) ──────────────────────────────────── 例号 治疗前 治疗后 差数d ──────────────────────────────────── 1 117 123 -6 2 127 108 19 3 141 120 21 4 107 107 0 5 110 100 10 6 114 98 16 7 115 102 13 8 138 152 -14 9 127 104 23 10 122 107 15 ────────────────────────────────────
通常用均数±标准差：表示一组数据的平均水平和离散程度。 有时用均数±标准误：表达样本均数及其离散程度，必须注明以免误解。 除了均数的标准误外，还有率的标准误，回归系数的标准误等。
二．总体均数的估计 总体均数用μ表示，总体均数的估计包括点估计和区间估计。点估计即用样本均数来估计总体均数。区间估计即按一定的概率估计总体均数在哪个范围内，这个范围称为置信区间，这个概率称为可信度或置信度，用1-α表示，常取95%或99%，按此确定的可信区间分别称之为95%或99%可信区间。 总体服从正态分布并且总体标准差σ未知，则总体均数的95%可信区间为：
两种处理的比较 对子号 A药 B药 1 0.2 -0.1 2 1.0 1.8 …… 10 0.4 0.8 两种药物治疗白细胞降低疗效的比较（表中为白细胞升高数）。
程序4.1结果输出：
Analysis Variable : X N Mean Std Dev Lower 95.0% CLM Upper 95.0% CLM ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 120 4.9590917 0.4038348 4.8860955 5.0320879 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Analysis Variable : X N Mean Std Dev Lower 99.0% CLM Upper 99.0% CLM ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 120 4.9590917 0.4038348 4.8625876 5.0555957 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
总体均数的估计和t检验
它不受样本大小和样本变异性的影响，是衡量数据分布中心位
03
置的重要参数。
总体均数的点估计
点估计（Point Estimation）：使用 样本统计量来估计总体参数的方法。
样本均数（Sample Mean）：作为总 体均数的点估计量，它是从样本数据 中计算得出的平均值。
总体均数的区间估计
要点一
区间估计（Interval Estimation）
根据t统计量的显著性，得出配对观测值之 间是否存在显著差异的结论。
配对样本t检验的应用
01
比较同一受试者在不同时间点的生理指标或心理指 标是否存在显著差异。
02
比较同一受试者在不同条件下的行为表现是否存在 显著差异。
03
比较不同治疗方法的效果是否存在显著差异。
04
CHAPTER
两独立样本t检验
两独立样本t检验的概念
它适用于在实验设计时将观测值配对的情况，例如同一受试者在不同时间 点或不同条件下获得的观测值。
配对样本t检验的目的是检验两组配对观测值的均值是否存在显著差异。
配对样本t检验的步骤
1. 数据收集
收集两组配对观测值的数据，确保数据来源可靠、准确。
2. 数据整理
将数据整理成适合进行t检验的表格形式，包括配对观测值的编 号、观测值、差值等。
两独立样本t检验是用来比较 两个独立样本的总体均数是否
有显著差异的统计方法。
它适用于两个独立样本，且 每个样本的观察值相互独立，
不受其他因素的影响。
两独立样本t检验的前提假设 是：两个样本的总体均数相等， 且每个样本的观察值服从正态
分布。
两独立样本t检验的步骤
01
02
03
总体平均数的区间估计
第二节 总体平均数的区间估计由于前提条件不同，例如，是否知道总体分布，是否知道总体方差，是大样本还是小样本，是重复抽样还是不重复抽样等，因此，对总体平均数估计的公式也是有所不同的，从而有必要对它们进行阐述。
一、样本取自总体方差已知的正态分布设总体服从正态分布，即：x ~()σ2μ,N ，那么x 的抽样分布仍是正态分布，分布的平均数μ=μx，标准差n x σ=σ。
经过变换，变量σΞ/)μ-(=x z 则服从标准正态分布。
若置信水平是1-α，由于：α-1=⎪⎭⎫⎝⎛<μ-σ2σξζξ∏因此α-1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛σ+≤μ≤σ-2α2ανξνξ∏ζζ当抽样得到某一具体样本平均数的估计值ξ时，若规定置信水平为α-1，则总体平均数µ的估计区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛σ+σ-2α2ανξνξζζ,对于上面的区间作如下解释：如从服从正态分布的总体中取出一个容量为n 的简单随机样本，并构造区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σ+σ-2α2ανξνξζζ,，那么有)%(α-1100100的把握说这个区间包含总体平均数μ，其中ζ2α值为概率度，它与给定的置信水平有关，可以通过查正态分布表得到。
注:不论μ取什么值，在ξ的全部数值中，μ落入估计区间()σσ+-ξξξξ,,()σσ2+2-ξξξξ,和()σ3σ+3-ξξξξ,的可能性分别是68.27%,95.5%和99.73%。
二、总体平均数区间估计的步骤归纳如下（1）确定置信水平。
即可靠性或把握程度，一般来说对于估计要求比较精确的话，置信程度也要求高一些；（2）根据置信度并利用标准正态分布表确定ζ2α值；（3）抽取一个容量为n 的样本；（4）计算出样本平均数ξ和标准差σξ。
在重复抽样时，样本平均数的标准差为νξσ=σ；有限总体不重复抽样时，1--σ=σννN νξ。
（5）构造置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σ+σ-2α2ανξνξζζ,例3 某单位希望估计1546包原材料的平均重量，从中抽取的100包原材料组成的随机样本所给出的平均值4567=.ξ千克，总体的标准差932=σ.千克。
均数的抽样误差和总体均数估计
应用领域
在医学、生物学、经济学和社会科学 等领域中，均数的抽样误差和总体均 数估计都是重要的统计工具，用于指 导研究和决策。
02
均数的抽样误差
抽样误差的定义
抽样误差是由于从总体中随机抽取样本而产生的误差，它反映了样本均数 与总体均数之间的差异。
抽样误差是不可避免的，因为每个样本都是独特的，不可能完全复制总体。
研究结论
01
抽样误差是衡量样本均数与总体均数接近程度的重要
指标，其大小直接影响到总体均数的估计精度。
02
在大样本条件下，样本均数的抽样误差通常较小，能
够较好地反映总体均数的真实情况。
03
通过增加样本量或提高样本代表性，可以减小抽样误
差，提高总体均数估计的准确性。
对未来研究的建议
01
进一步研究不同抽样方法对均数抽样误差的影响，以便在实际 应用中选择合适的抽样方法。
市场调研
市场调研中，企业通过抽样调查了解 消费者需求、市场趋势等信息，进而 估计总体均数，制定营销策略。
医学研究中均数估计的应用
临床试验
在临床试验中，研究者通过随机抽样方 法选取一定数量的患者作为样本，根据 样本数据估计总体均数，进而评估药物 疗效。
VS
流行病学研究
流行病学研究中，研究者通过抽样调查方 法了解疾病在人群中的分布情况，估计总 体均数，为制定疾病防控策略提供依据。
均数的抽样误差和总体均 数估计
• 引言 • 均数的抽样误差 • 总体均数的估计 • 样本大小与均数估计精度 • 实际应用案例 • 结论与展望
01
引言
主题简介
均数的抽样误差
指通过样本均数来估计总体均数时所存在的误差范围。
总体均数估计
在医学、生物学、经济学和社会科学 等领域中，均数的抽样误差和总体均 数估计都是重要的统计工具，用于指 导研究和决策。
02
均数的抽样误差
抽样误差的定义
抽样误差是由于从总体中随机抽取样本而产生的误差，它反映了样本均数 与总体均数之间的差异。
抽样误差是不可避免的，因为每个样本都是独特的，不可能完全复制总体。
研究结论
01
抽样误差是衡量样本均数与总体均数接近程度的重要
指标，其大小直接影响到总体均数的估计精度。
02
在大样本条件下，样本均数的抽样误差通常较小，能
够较好地反映总体均数的真实情况。
03
通过增加样本量或提高样本代表性，可以减小抽样误
差，提高总体均数估计的准确性。
对未来研究的建议
01
进一步研究不同抽样方法对均数抽样误差的影响，以便在实际 应用中选择合适的抽样方法。
市场调研
市场调研中，企业通过抽样调查了解 消费者需求、市场趋势等信息，进而 估计总体均数，制定营销策略。
医学研究中均数估计的应用
临床试验
在临床试验中，研究者通过随机抽样方 法选取一定数量的患者作为样本，根据 样本数据估计总体均数，进而评估药物 疗效。
VS
流行病学研究
流行病学研究中，研究者通过抽样调查方 法了解疾病在人群中的分布情况，估计总 体均数，为制定疾病防控策略提供依据。
均数的抽样误差和总体均 数估计
• 引言 • 均数的抽样误差 • 总体均数的估计 • 样本大小与均数估计精度 • 实际应用案例 • 结论与展望
01
引言
主题简介
均数的抽样误差
指通过样本均数来估计总体均数时所存在的误差范围。
总体均数估计
总体均数估计
0.50
5.00
0.0920
0.0913
3个抽样实验结果图示
各样本均数未必等于总体均数； 各样本均数间存在差异； 样本均数的分布为中间多，两边少，左右基本对称。 样本均数的变异范围较之原变量的变异范围大大缩小。
本均数的抽样分布具有如下特点
从总体均数为μ，标准差为σ的正态总体中抽取例数为n的样本，样本均数的总体均数为μ，标准差为 。
例6-7 某医院用某药治疗脑动脉硬化症22例，其中显效者10例。问该药总显效率的95%置信区间为多少？
本例n=22, X=10, 查附表6（478页），得此两数相交处的数值为24～68，即该药总显效率的95%置信区间为（24%，68%）。
（三）置信区间的确切涵义
01
02
03
95%的置信区间的理解：
For example
例6-6 用某种仪器检查已确诊的乳腺癌患者120名，检出乳腺癌患者94例，检出率为78.3%。估计该仪器乳腺癌总体检出率的95%置信区间。 95%的置信区间为： 该仪器乳腺癌总体检出率的95%置信区间 （ 70.9%，85.7% ）
04
03
01
02
查表法
当样本含量较小（如n≤50），np或n(1－p)<5时，样本率的分布呈二项分布，总体率的置信区间可据二项分布的理论求得。
当n确定时，上述两者互相矛盾。 提高准确度（可信度），则精确度降低 （置信区间会变宽），势必降低置信区间的实际应用价值，故不能笼统认为99%置信区间比95%置信区间要好。 相反，在实际应用中，95%置信区间更为常用。
感谢观看
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汇报人姓名
2．区间估计(interval estimation)：
通常有两类方法：
5.00
0.0920
0.0913
3个抽样实验结果图示
各样本均数未必等于总体均数； 各样本均数间存在差异； 样本均数的分布为中间多，两边少，左右基本对称。 样本均数的变异范围较之原变量的变异范围大大缩小。
本均数的抽样分布具有如下特点
从总体均数为μ，标准差为σ的正态总体中抽取例数为n的样本，样本均数的总体均数为μ，标准差为 。
例6-7 某医院用某药治疗脑动脉硬化症22例，其中显效者10例。问该药总显效率的95%置信区间为多少？
本例n=22, X=10, 查附表6（478页），得此两数相交处的数值为24～68，即该药总显效率的95%置信区间为（24%，68%）。
（三）置信区间的确切涵义
01
02
03
95%的置信区间的理解：
For example
例6-6 用某种仪器检查已确诊的乳腺癌患者120名，检出乳腺癌患者94例，检出率为78.3%。估计该仪器乳腺癌总体检出率的95%置信区间。 95%的置信区间为： 该仪器乳腺癌总体检出率的95%置信区间 （ 70.9%，85.7% ）
04
03
01
02
查表法
当样本含量较小（如n≤50），np或n(1－p)<5时，样本率的分布呈二项分布，总体率的置信区间可据二项分布的理论求得。
当n确定时，上述两者互相矛盾。 提高准确度（可信度），则精确度降低 （置信区间会变宽），势必降低置信区间的实际应用价值，故不能笼统认为99%置信区间比95%置信区间要好。 相反，在实际应用中，95%置信区间更为常用。
感谢观看
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2．区间估计(interval estimation)：
通常有两类方法：
第三章 总体均数的估计与假设检验
2
Sd
d
d Sd / n
2
(
d)
n
n 1
S d 0.1087 t 2.7424 0.1087/ 10 7.925
v 10 1 9
3）确定P值，作出推断结论 T0.05,9=2.262, 7.925>2.262,故P<0.05.可以认为两种 方法对脂肪含量的测定结果不同。
167.41, 2.74
165.56, 6.57
168.20, 5.36 n j=10
…. 165.69, 5.09
将上述100个样本均数看成新变量值，则这个 100个样本均数构成一新分布，绘制直方图
样本均数的抽样分布具有如下特点：
1) 各样本均数未必等于总体均数
2) 各样本均数间存在差异
3) 样本均数的分布很有规律，围绕着总体均 数，中间多，两边少，左右基本对称，也 服从正态分布
假设检验的基本步骤：
1、建立检验假设
Ｈ0: 检验假设, 无效假设，零假设 μ=μ0
H1: 备择假设,对立假设
μ≠μ0
2、确定检验水准 α=0.05 单双侧
3、选定检验方法和计算检验统计量
4、确定P值和作出推论结论。
P值是指从H0所规定的总体进行随机抽样，获 得大于（或等于及小于）现有样本获得的检验 统计量值的概率。
（1012/L)
血红蛋白 （g/L)
女
男 女
255
360 255
4.18
134.5 117.6
0.29
7.1 10.2
4.33
140.2 124.7
*标准值：使用内科学（1976年）所载均数（转位法定单位）
1）说明女性的红细胞数与血红蛋白的变异程度何者为大？ 2）抽样误差是？ 3）试估计该地健康成年女性红细胞数的均数？ 4) 该地健康成年男女血红蛋白含量是否不同？ 5）该地男性两项血压指标是否均低于上表的标准值（若测 定方法相同）？
Sd
d
d Sd / n
2
(
d)
n
n 1
S d 0.1087 t 2.7424 0.1087/ 10 7.925
v 10 1 9
3）确定P值，作出推断结论 T0.05,9=2.262, 7.925>2.262,故P<0.05.可以认为两种 方法对脂肪含量的测定结果不同。
167.41, 2.74
165.56, 6.57
168.20, 5.36 n j=10
…. 165.69, 5.09
将上述100个样本均数看成新变量值，则这个 100个样本均数构成一新分布，绘制直方图
样本均数的抽样分布具有如下特点：
1) 各样本均数未必等于总体均数
2) 各样本均数间存在差异
3) 样本均数的分布很有规律，围绕着总体均 数，中间多，两边少，左右基本对称，也 服从正态分布
假设检验的基本步骤：
1、建立检验假设
Ｈ0: 检验假设, 无效假设，零假设 μ=μ0
H1: 备择假设,对立假设
μ≠μ0
2、确定检验水准 α=0.05 单双侧
3、选定检验方法和计算检验统计量
4、确定P值和作出推论结论。
P值是指从H0所规定的总体进行随机抽样，获 得大于（或等于及小于）现有样本获得的检验 统计量值的概率。
（1012/L)
血红蛋白 （g/L)
女
男 女
255
360 255
4.18
134.5 117.6
0.29
7.1 10.2
4.33
140.2 124.7
*标准值：使用内科学（1976年）所载均数（转位法定单位）
1）说明女性的红细胞数与血红蛋白的变异程度何者为大？ 2）抽样误差是？ 3）试估计该地健康成年女性红细胞数的均数？ 4) 该地健康成年男女血红蛋白含量是否不同？ 5）该地男性两项血压指标是否均低于上表的标准值（若测 定方法相同）？
医学统计学总体均数的估计与假设检验
均数的抽样误差： 抽样引起的样本均数与总体均数之间或样本均数 之间的差别。 标准误： 即样本均数的标准差。表示样本均数对总体均数的离散程度。
一、 均数的抽样误差与标准误（ ）
例4.1某市随机抽查12岁男孩100人，得身高均数139.6cm，标准差6.85cm，资料，求标准误？
第三章 总体均数的估计与假设检验
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汇报人姓名
均数的抽样误差与标准误
t分布
总体均数的估计
假设检验的一般步骤
ｔ检验
u 检验
两均数的等效检验
正态性检验
两样本方差齐性检验
假设检验时应注意的问题
利用总体均数的可信区间进行假设检验
课堂讨论
第三章 总体均数的估计与假设检验
一、 均数的抽样误差与标准误（ ）
等效检验的假设
七、两均数的等效检验
H0: | 1- 2| H1: | 1- 2|< 为等效界值，若两总体均数差值在范围内为等效，超过则为不等效。 是推断两种处理效果是否相近或相等的统计方法。 为什么推断两种处理效果是否相近或相等不能用前面所述的假设检验方法？
检验水准、自由度及结果判断同t检验。
＝ｎ－ 1＝25 －１＝24 查t界值表（P804），得单侧 t0.05，24 = 1.711 因: t =1.833> t0.05，24 所以：P < 0.05
结论：按照 = 0.05水准，拒绝H0 ，故可认为该山区健康成年男子脉搏高于一般人群。
1
上例如用双侧检验，查表得双侧 t0.05，24 = 2.064
样本含量一定时，增大，则减少，减少则增大，所以， 的确定并不是越小越好，一般取0.05较合理。
结论时，尽可能明确相结合。
02
一、 均数的抽样误差与标准误（ ）
例4.1某市随机抽查12岁男孩100人，得身高均数139.6cm，标准差6.85cm，资料，求标准误？
第三章 总体均数的估计与假设检验
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汇报人姓名
均数的抽样误差与标准误
t分布
总体均数的估计
假设检验的一般步骤
ｔ检验
u 检验
两均数的等效检验
正态性检验
两样本方差齐性检验
假设检验时应注意的问题
利用总体均数的可信区间进行假设检验
课堂讨论
第三章 总体均数的估计与假设检验
一、 均数的抽样误差与标准误（ ）
等效检验的假设
七、两均数的等效检验
H0: | 1- 2| H1: | 1- 2|< 为等效界值，若两总体均数差值在范围内为等效，超过则为不等效。 是推断两种处理效果是否相近或相等的统计方法。 为什么推断两种处理效果是否相近或相等不能用前面所述的假设检验方法？
检验水准、自由度及结果判断同t检验。
＝ｎ－ 1＝25 －１＝24 查t界值表（P804），得单侧 t0.05，24 = 1.711 因: t =1.833> t0.05，24 所以：P < 0.05
结论：按照 = 0.05水准，拒绝H0 ，故可认为该山区健康成年男子脉搏高于一般人群。
1
上例如用双侧检验，查表得双侧 t0.05，24 = 2.064
样本含量一定时，增大，则减少，减少则增大，所以， 的确定并不是越小越好，一般取0.05较合理。
结论时，尽可能明确相结合。
02
总体均数的估计和运算法则
与标准正态分布曲线下面积的算法一样，都 是采用微积分的方法
其含义也与标准正态分布曲线下面积接近， 表示某个样本含量（自由度）的样本均数经t 转换后t值落在某个区间的概率有多大
与标准正态分布不同，t分布曲线下面积为 95%或99%的界值不是一个常量 ，因为对于 不同的自由度取值，就有不同的t分布曲线
xi
t分布的概率密度函数*
若随机变量t满足以下概率密度函数，则称
t满足自由度为v的t分布：
f (t)
(v -1)! 2
v ( v - 2
)!
1
t2 v
- v1 2
2
t分布曲线是单峰的，且关于t = 0对称，这一特 征与标准正态分布很相似
0.4
(标准正态分布)
3
从标准误的计算公式中看出它与原先个体观察 值的总体标准差有关，同时也和样本含量n有 关
通过扩大样本含量减少标准误；从而减少抽样 误差
样本均数标准误的估计值
由于在实际研究中，我们往往只抽一次样，得
到一个样本均数，而且大多数情况下 是未知
的，此时常用样本标准差S估计总体标准差，
这样我们就得到样本均数标准误的估计值 S
统计推断(statistical inference)
统计推断包括两个重要的方面： 一是利用样本统计量的信息对相应总体参数
值做出估计，如用样本均数估计总体均数， 用样本标准差估计总体标准差等，称之为参 数估计 另一个是利用样本统计量来推断我们是否接 受一个事先的假设，称之为假设检验
统计推断过程中的一些问题
差；但是在实际的情况下，并没有对总体中所有
的个体进行观察，所以无法得知 ；而且通常我
们也只作一次抽样研究，只能得到s ，只能用样本
其含义也与标准正态分布曲线下面积接近， 表示某个样本含量（自由度）的样本均数经t 转换后t值落在某个区间的概率有多大
与标准正态分布不同，t分布曲线下面积为 95%或99%的界值不是一个常量 ，因为对于 不同的自由度取值，就有不同的t分布曲线
xi
t分布的概率密度函数*
若随机变量t满足以下概率密度函数，则称
t满足自由度为v的t分布：
f (t)
(v -1)! 2
v ( v - 2
)!
1
t2 v
- v1 2
2
t分布曲线是单峰的，且关于t = 0对称，这一特 征与标准正态分布很相似
0.4
(标准正态分布)
3
从标准误的计算公式中看出它与原先个体观察 值的总体标准差有关，同时也和样本含量n有 关
通过扩大样本含量减少标准误；从而减少抽样 误差
样本均数标准误的估计值
由于在实际研究中，我们往往只抽一次样，得
到一个样本均数，而且大多数情况下 是未知
的，此时常用样本标准差S估计总体标准差，
这样我们就得到样本均数标准误的估计值 S
统计推断(statistical inference)
统计推断包括两个重要的方面： 一是利用样本统计量的信息对相应总体参数
值做出估计，如用样本均数估计总体均数， 用样本标准差估计总体标准差等，称之为参 数估计 另一个是利用样本统计量来推断我们是否接 受一个事先的假设，称之为假设检验
统计推断过程中的一些问题
差；但是在实际的情况下，并没有对总体中所有
的个体进行观察，所以无法得知 ；而且通常我
们也只作一次抽样研究，只能得到s ，只能用样本
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11
正态分布的标准化变换
X ~ N(, 2 ) u变换 u X ~ N(0,1)
X ~ N(, 2 ) u变换 u X ~ N(0,1)
X
X
12
t分布的概念
实际工作中，总体方差一般未知，用样 本方差代替，此时：
X X ?
sX
sn
13
t分布
设从正态分布N(,2)中随机抽取含量为n的样本，样本
样本统计量的标准差称为标准误。 样本均数的标准差称为均数的标准误，反映样本 均数的变异程度，反映样本均数抽样误差大小。
10
2000年某研究者随机调查某地健康成年 男子27人，得到血红蛋白量的均数为 125 g /L，标准差为15 g /L。试估计该 样本均数的抽样误差。
sX = s / n = 15 / 27 = 12.24 89g /L
18
总体均数的估计
点估计（Point Estimation) 区间估计 (Interval Estimation)
15
t分布的特征
单峰分布，曲线以0为中心，左右对称类似于标准正 态分布。
t分布的形状与自由度有关
自由度越小，则sX 越大，曲线越“扁平” ； 自由度越大，则sX 越小，曲线越“瘦高” ；
当自由度为无穷大时，t分布曲线与标准正态分布 曲线完全吻合，故标准正态分布是t分布的特例。
16
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13
0.694 0.870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221
14
0.692 0.868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140
15
0.691 0.866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 41.0773
127.321 14.089 7.453 5.598 4.773
0.001 0.002
318.309 22.327 10.215 7.173 5.893
0.0005 0.001
636.619 31.599 12.924 8.610 6.869
6
0.718 0.906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959
10
0.700 0.879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587
11
0.697 0.876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437
12
0.695 0.873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318
7
0.711 0.896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408
8
0.706 0.889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041
9
0.703 0.883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781
抽样误差是不可避免的！ 抽样误差是有规律的！
7
均数的抽样误差
中心极限定理（1）
从正态分布总体N(μ,σ) 中随机抽样(每个样
本的含量为n)，可得无限多个样本，每个样
本计算样本均数，则样本均数也服从正态
分布。
样本均数
样本均数的均数为 μ;
样本均数的标准差为 x
或
n
的标准误
sx
s n
8
均数的抽样误差
自由度
单侧 双侧
1
0.25 0.50
1.000
2
0.816
3
0.765
4
0.741
5
0.727
0.20 0.40
1.376 1.061 0.978 0.941 0.920
0.10 0.20
3.078 1.886 1.638 1.533 1.476
附表2 t 界值表 概 率，P
0.05
0.025
0.01
中心极限定理（2）
从非正态分布总体(均数为μ，标准差为σ) 中随机抽样(每个样本的含量为n)，可得 无限多个样本，每个样本计算样本均数， 则只要样本含量足够大(n>50),样本均数近 似正态分布。
样本均数的均数为 μ;
样本均数的标准差为 x
或
n
sx
s n
均数标准误(standard error)
均数和标准差分别为 x和s，设：
t变换
X X
t s
X
s
~ t分布， = n 1
n
则t值服从自由度为n-1的t分布(t-distribution)。
14
f(t)
=∞（标准正态曲线）
=5
=1 0.3
0.2
0.1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
图3.2 自由度分别为1、5、∞时的t分布
σ= 4.38cm
X 120.18cm s=4.90cm
X 120.81cm s=4.33cm
4
抽样误差的概念
由于个体变异的存在，在抽样过程中产生的样本统 计量与总体参数间的差异。
两种表现形式：
样本统计量与总体参数间的差异 样本统计量间的差异
5
抽样误差产生的基本条件
个体变异 抽样研究
6
抽样误差的特点
t界值释义
双侧t0.05/2, 9＝2.262 表明：从正态分布总体中抽取样本 含量n=10的样本，则由该样本计算的t值大于等于2.262 的概率为0.025，小于等于-2.262的概率亦为0.025。
P(t≤-2.262)+P(t≥2.262)＝0.05 或：P(-2.262<t<2.262)=1-0.05=0.95。
Health statistics
医学统计学
---总体均数的估计
叶小华
1
统计推断
由样本信息对相应总体的特征进行推断 统计推断包括：参数估计
假设检验
2
计量资料的参数估计基础
样本均数的抽样误差 t分布 总体均数的估计
3
估计全国七岁男童的平均身高
总体参数
样本统计量
μ＝119.41cm
X 118.21cm s=4.45cm
0.10
0.05
0.02
6.314 12.706 31.821
2.920 4.303 6.965
2.353 3.182 4.541
2.132 2.776 3.747
2.015 2.571 3.365
0.005 0.01
63.657 9.925 5.80025 0.005
正态分布的标准化变换
X ~ N(, 2 ) u变换 u X ~ N(0,1)
X ~ N(, 2 ) u变换 u X ~ N(0,1)
X
X
12
t分布的概念
实际工作中，总体方差一般未知，用样 本方差代替，此时：
X X ?
sX
sn
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t分布
设从正态分布N(,2)中随机抽取含量为n的样本，样本
样本统计量的标准差称为标准误。 样本均数的标准差称为均数的标准误，反映样本 均数的变异程度，反映样本均数抽样误差大小。
10
2000年某研究者随机调查某地健康成年 男子27人，得到血红蛋白量的均数为 125 g /L，标准差为15 g /L。试估计该 样本均数的抽样误差。
sX = s / n = 15 / 27 = 12.24 89g /L
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总体均数的估计
点估计（Point Estimation) 区间估计 (Interval Estimation)
15
t分布的特征
单峰分布，曲线以0为中心，左右对称类似于标准正 态分布。
t分布的形状与自由度有关
自由度越小，则sX 越大，曲线越“扁平” ； 自由度越大，则sX 越小，曲线越“瘦高” ；
当自由度为无穷大时，t分布曲线与标准正态分布 曲线完全吻合，故标准正态分布是t分布的特例。
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0.694 0.870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221
14
0.692 0.868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140
15
0.691 0.866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 41.0773
127.321 14.089 7.453 5.598 4.773
0.001 0.002
318.309 22.327 10.215 7.173 5.893
0.0005 0.001
636.619 31.599 12.924 8.610 6.869
6
0.718 0.906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959
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0.700 0.879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587
11
0.697 0.876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437
12
0.695 0.873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318
7
0.711 0.896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408
8
0.706 0.889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041
9
0.703 0.883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781
抽样误差是不可避免的！ 抽样误差是有规律的！
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均数的抽样误差
中心极限定理（1）
从正态分布总体N(μ,σ) 中随机抽样(每个样
本的含量为n)，可得无限多个样本，每个样
本计算样本均数，则样本均数也服从正态
分布。
样本均数
样本均数的均数为 μ;
样本均数的标准差为 x
或
n
的标准误
sx
s n
8
均数的抽样误差
自由度
单侧 双侧
1
0.25 0.50
1.000
2
0.816
3
0.765
4
0.741
5
0.727
0.20 0.40
1.376 1.061 0.978 0.941 0.920
0.10 0.20
3.078 1.886 1.638 1.533 1.476
附表2 t 界值表 概 率，P
0.05
0.025
0.01
中心极限定理（2）
从非正态分布总体(均数为μ，标准差为σ) 中随机抽样(每个样本的含量为n)，可得 无限多个样本，每个样本计算样本均数， 则只要样本含量足够大(n>50),样本均数近 似正态分布。
样本均数的均数为 μ;
样本均数的标准差为 x
或
n
sx
s n
均数标准误(standard error)
均数和标准差分别为 x和s，设：
t变换
X X
t s
X
s
~ t分布， = n 1
n
则t值服从自由度为n-1的t分布(t-distribution)。
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f(t)
=∞（标准正态曲线）
=5
=1 0.3
0.2
0.1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
图3.2 自由度分别为1、5、∞时的t分布
σ= 4.38cm
X 120.18cm s=4.90cm
X 120.81cm s=4.33cm
4
抽样误差的概念
由于个体变异的存在，在抽样过程中产生的样本统 计量与总体参数间的差异。
两种表现形式：
样本统计量与总体参数间的差异 样本统计量间的差异
5
抽样误差产生的基本条件
个体变异 抽样研究
6
抽样误差的特点
t界值释义
双侧t0.05/2, 9＝2.262 表明：从正态分布总体中抽取样本 含量n=10的样本，则由该样本计算的t值大于等于2.262 的概率为0.025，小于等于-2.262的概率亦为0.025。
P(t≤-2.262)+P(t≥2.262)＝0.05 或：P(-2.262<t<2.262)=1-0.05=0.95。
Health statistics
医学统计学
---总体均数的估计
叶小华
1
统计推断
由样本信息对相应总体的特征进行推断 统计推断包括：参数估计
假设检验
2
计量资料的参数估计基础
样本均数的抽样误差 t分布 总体均数的估计
3
估计全国七岁男童的平均身高
总体参数
样本统计量
μ＝119.41cm
X 118.21cm s=4.45cm
0.10
0.05
0.02
6.314 12.706 31.821
2.920 4.303 6.965
2.353 3.182 4.541
2.132 2.776 3.747
2.015 2.571 3.365
0.005 0.01
63.657 9.925 5.80025 0.005