江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(一)数学(理)试题 Word版含答案
江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(二)数学(理)试题 Word版含答案
南昌市教研室命制2014届高三交流卷（二）数学（理）试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（ ）A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤2．已知复数231ii--（i 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ） A ．4 B ．6 C ．2 D ．3 3．下列命题中是假．命题．．的是 （ ）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z -=的最小值为（ ）A ．5B ．2-C ．6D ．75． “1a =”是“函数a x x f -=)(在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为 （ ） A ．4B ．23x +C ．8D ．21x +7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为 （ ） A ．22 B ．2 C ．23 D ．38．F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．15C ．2D ．139．设235111111,,a dx b dx c dx x x x ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（ ）A ．235a b c <<B ．325b a c<<C ．523c a b <<D ．253a c b<<10．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的正零点，则(2)f -，()f a ，(1.5)f 的大小关系是 （ ） A ．(1.5)()(2)f f a f <<- B ．(2)(1.5)()f f f a -<< C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 11.已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：33cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为12．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____________．13．如图，已知||1,||3OA OB ==，OA 与OB 的夹角为56π，点C 是AOB ∆的外接圆上优孤AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值为 .14．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W =________.15. n ⎡⎤⎣⎦表示不超过n 的最大整数.11233S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，24567810S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，3910111213141521S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么5S = .三、解答题:本大题共6小题，共74分. 16． (本题满分12分)已知θ为向量a 与b 的夹角，||2=a ，||1=b ，关于x 的一元二次方程2x -||a x 0+⋅=a b 有实根. （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数23()sin cos 3cos 2f θθθθ=+-的最值.17．(本题满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18. (Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.18． (本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为30，且2a 为1a 和4a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足*1()n n n b S n N b n +=∈，且11b =，求数列1{}n n b +的前n 项和n T19．(本题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，已知2AB BC ==，090ABC ∠=，点1A 在底面ABC 的投影为B ，且123A B =．（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ； （2）设P 为11B C 上一点，当29PA =时，求二面角1A AB P --的正弦值．1313xyA B C A 7 20 5 B 918 6Ca4b20．(本题满分13分)如图，设F是椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，MN为椭圆的长轴，P为椭圆C上一点，且||[2,6]PF∈．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点(8,0)Q-，①求证：对于任意的割线QAB，恒有AFM BFN∠=∠；②求三角形ABF∆面积的最大值．21.（本小题满分14分） 设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈. （1）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）求函数)(x f 的极值点.（3）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)('x f 与0的大小.答案第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（ ）A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤2．已知复数231ii--（i 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ） A ．4 B ．6 C ．2 D ．3 3．下列命题中是假命题．．．的是 （ ）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z -=的最小值为（ ）A ．5B ．2-C ．6D ．75． “1a =”是“函数a x x f -=)(在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为 （ ） A ．4B ．23x +C ．8D ．21x +7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为 （ ） A ．22 B ．2 C ．23 D ．38．F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．15C ．2D ．139．设235111111,,a dx b dx c dx x x x ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（ ）A ．235a b c <<B ．325b a c<<C ．523c a b <<D ．253a c b<<10．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的正零点，则(2)f -，()f a ，(1.5)f 的大小关系是 （ ） A ．(1.5)()(2)f f a f <<- B ．(2)(1.5)()f f f a -<< C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.11. 已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：33cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为 2412．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____110________．13．如图，已知||1,||3OA OB ==，OA 与OB 的夹角为56π，点C 是AOB ∆的外接圆上优孤AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值为 . 1+7214．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W =_____22___.15. n ⎡⎤⎣⎦表示不超过n 的最大整数.11233S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，24567810S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，3910111213141521S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么5S = 55 .三、解答题:本大题共6小题，共74分. 16． (本题满分12分)已知θ为向量a 与b 的夹角，||2=a ，||1=b ，关于x 的一元二次方程2x -||a x 0+⋅=a b 有实根. （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数23()sin cos 3cos 2f θθθθ=+-的最值. ⋅CBAO解：16.（I ） 因为θ为向量a 与b 的夹角，所[0,]θπ∈，由|a |=2，|b |=1,可得2|a |=4，⋅a b =|a ||b |cos θ. ………………3分关于x 的一元二次方程20x x -+⋅=|a |a b 有实根，则有44(12cos )0θ∆=-⋅-≥2|a |a b =,得1cos 2θ≤，所以,3πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.………6分 （II ）23cos 3cos sin )(f 2-+=θθθθ =23)212cos (32sin 21-++θθ =)32sin(2cos 232sin 21πθϑθ+=+ ………………9分 因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+37,32πππθ,所以sin(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+23,1)32(πθ 所以，函数的最大值为23，最小值为-1. ………………12分17． (本题满分12分)17.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18. (Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.xyA B C A 7 20 5 B 918 6Ca4b18． (本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为30，且2a 为1a 和4a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （2）若数列{}n b 满足*1()n n n b S n N b n +=∈，且11b =，求数列1{}n nb +的前n 项和n T 解：（1） 设公差为(0)d d ≠，则1121115103022()(3)a d a d a d a a d +==⎧⎧⇒⎨⎨=+=+⎩⎩，∴ 2n a n =， (1)n S n n =+； （2）由（1）11n nn b S n b n+==+， 当2n ≥时，32411231234n nn b b b b b n b b b b b -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴ !n b n =，又 11b =适合上式∴ !nb n = *()n N ∈， ∴111=(1)!(1)!n n n b n n n +=-++！， ∴ 111111111()()()()11!2!2!3!3!4!!(1)!(1)!nT n n n =-+-+-++-=-++．19．(本题满分12分) 在三棱柱111ABC A B C -中，已知2AB BC ==，090ABC ∠=，点1A 在底面ABC 的投影为B ，且123A B =．（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ； （2）设P 为11B C 上一点，当29PA =时，求二面角1A AB P --的正弦值．1313（1）证明：∵ 1A B ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ∴ 1A B BC ⊥，在ABC ∆中，090ABC ∠=，∴ AB BC ⊥，∴ BC ⊥平面11AA B B ，BC ⊆平面11BB C C ， ∴ 平面11AA B B ⊥平面11BBC C ； （2）法一：传统方法 由（1）知11B C ⊥平面11AA B B ，∴ 1PB ⊥平面11AA B B ，过点1B 作棱AB 的垂线，垂足为O ，连接OP ，则1POB ∠即为二面角1A AB P --的平面角 连接1AB ，在1ABB ∆，由余弦定理可求得128AB =，∵ 29PA =，∴ 11PB =，∴ 13OP =，∴ 113sin 13POB ∠=． 法二：向量方法 如图建立空间直角坐标系B xyz -， (2,0,0)A ，(0,2,0)A ，(0,0,23)A ，由 111(2,0,23)B A BA B =⇒-，ABCA 1B 1C 1PCA 1B 1C 1Pz yxxyOBFMNQ A 由 111(2,2,23)BC BC C =⇒-，由 1112(2,,23)(1)B C B P P λλλ=⇒->，由 292AP λ=⇒=，∴ (2,1,23)P -，设(,)n x y z =，为平面PAB 的法向量，则022300x n BA x y z n BP ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⎪⋅=⎪⎩⎩，取 (0,6,3)n =-， 由（1）知 (0,2,0)m BC ==为平面11AA B B 的法向量， ∴ 126cos ,23939n m <>=-=-，13sin ,13n m <>=．20．(本题满分13分)如图，设F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，MN 为椭圆的长轴，P 为椭圆C 上一点，且||[2,6]PF ∈． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(8,0)Q -，①求证：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠； ②求三角形ABF ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）2211612x y +=； （Ⅱ）①易知直线AB 斜率存在．当AB 的斜率为0时，显然0AFM BFN ∠=∠=，满足题意，当AB 的斜率不为0时，设AB l : 8(0)x my m =-≠，11(,)A x y ，22(,)A x y ，由 22228(34)48144011612x my m y my x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩． ∴ 222222248412(34)24(4)04m m m m ∆=-⨯+=->⇒>，1224834m y y m +=+，12214434y y m =+． 则121222AF BF y y k k x x +=+++1212211212(6)(6)66(6)(6)y y y my y my my my my my -+-=+=----12121226()(6)(6)my y y y my my -+=--， 又1212221444826()2603434mmy y y y m m m -+=⋅-⋅=++，∴0A F B F k k +=，从而AFM BFN ∠=∠．综合可知：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠．②由①，22121724||||234ABF QBF QAFm S S S QF y y m ∆∆∆-=-=⋅-=+， 2222724727233163(4)162316344m m m m -==≤=-+⋅-+-，当且仅当2216344m m -=-，即2213m =±（此时适合于0>∆的条件）时取等号． ∴ 三角形ABF ∆面积的最大值是33．换元法：令24(0)m t t -=>，则 2227247272723316343162483m t m t t t-==≤=+++．21.（本小题满分14分）设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈. （1）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）求函数)(x f 的极值点.（3）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)('x f 与0的大小.解：（1）21221()2()x ax f x x a x x -+'=+-=依题意得，在区间1[, 2]2上不等式22210x ax -+≥恒成立. 又因为0x >，所以12(2)a x x≤+.所以222a ≤，2a ≤所以实数a 的取值范围是(, 2]-∞.（2）2221()x ax f x x-+'=，令2()221h x x ax =-+①显然，当0a ≤时，在(0,)+∞上()0h x >恒成立，这时()0f x '>，此时，函数()f x 没有极值点； ……………………………………6分②当0a >时，（ⅰ）当0∆≤，即02a <≤时，在(0,)+∞上()0h x ≥恒成立，这时()0f x '≥，此时，函数()f x 没有极值点；（ⅱ）当0∆>，即2a >时，易知，当222222a a a a x --+-<<时，()0h x <，这时()0f x '<； 当2202a a x --<<或222a a x +->时，()0h x >，这时()0f x '>；所以，当2a >时，222a a x --=是函数()f x 的极大值点；222a a x +-=是函数()f x 的极小值点.综上，当2a ≤时，函数()f x 没有极值点；当2a >时，222a a x --=是函数()f x 的极大值点；222a a x +-=是函数()f x 的极小值点. ………9分 （3）由已知得2211122222()ln ()02()ln ()02a f x x x a a f x x x a ⎧=+--=⎪⎪⎨⎪=+--=⎪⎩两式相减，得：()112122ln ()2x x x x x a x +-+-……① 由'1()2()f x x a x =+-，得'0001()2()f x x a x =+-…………② 得①代入②，得'001201212()2()(2)f x x a x x a x x x =+-=++-+ =221222*********(1)211ln ln ()()1x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-=-+--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦令12(0,1),x t x =∈且2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++()t ϕ∴在(0,1)上递减，()(1)0t ϕϕ∴>=120,()0x x f x '<∴<。
2014江西高考真题数学理(含解析)
的中点，则椭圆 C 的离心率为_______ 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 π π 16． （本题满分 12 分）已知函数 f ( x) sin( x ) a cos( x 2 ) ，其中 a R, ( , ) 2 2 π （1）当 a 2, 时，求 f ( x ) 在区间 [0, π ] 上的最大值与最小值； 4 π （2）若 f ( ) 0, f ( π) 1 ，求 a, 的值． 2
4.在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ，若 c 2 (a b)2 6 ， C （ ） A．3 B．
π ，则 △ABC 的面积 3
9 3 2
C．
3 3 2
D． 3 3
5.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（
）
俯视
A
B
C
D
左（侧）视
1
0
f ( x )dx, 则 f ( x )dx （
0
）
1 3
C．
1 3
D．1
9．在平面直角坐标系中， A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线
2 x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小值为（
A．
） D．
4 5
B．
3 4
C． (6 2 5)
cos _______
1 ，向量 a 3e1 2e1 与 b 3e1 e2 的夹角为 ，则 3
1 x2 y 2 15． 过点 M (1,1) 作斜率 为的直线与椭圆 C ： 2 2 1(a b 0) 相交于 A, B ， 若 M 是线段 AB 2 a b
江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(六)数学(理)Word版含答案
一、选择题（每小题5分，共50分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )． A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)2、已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、执行如图所示的算法框图，则输出的λ是 ( )．A ．－4B ．－2C ．0D ．－2或04、已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是 ( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 5、已知命题p ：“任意x ∈[1，2]都有x 2≥a ”．命题q ：“存在x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为 ( )．A ．(－∞，－2]B ．(－2，1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞) 6、如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是 ( )．A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π7、过双曲线x 2a 2－y 25－a 2＝1(a >0)的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ( )．A ．(2，5)B ．(5，10)C ．(1，2)D ． (5,52)8、如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图像大致为( )．9、在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中，使相邻两数都互质的排列方式共有( )．A ．576种B ．720种C ．864种D ．1 152种10、给出定义：若]21,21(+-∈m m x （其中m 为整数），则m 叫做实数x 的“亲密的整数”，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =在)1,0(∈x 上是增函数；②函数)(x f y =的图象关于直线)(2Z k kx ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期为1；④当]2,0(∈x 时，函数x x f x g ln )()(-=有两个零点。
2014届江西省南昌市教研室命制高三交流卷(一)理科综合物理试卷
难度：0.64 组卷：1009 题型：单选题 更新：2014/5/13
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18 . 如图所示，质量为M的平板小车静止在光滑的水平地面上，小车左端放一个质量为m的木块，小车的右端固定一个轻质弹簧．现给木 块一个水平向右的瞬时冲量I，木块便沿小车向右滑行，在与弹簧作用后又沿原路返回，并且恰好能到达小车的左端．试求：
用的总时间。（保留两位有效数字）
难度：0.64 组卷：597 题型：解答题 更新：2014/5/13
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12 . 如图所示，半径为R的半圆型光滑绝缘轨道固定在水平面上，一带电量为＋q，质量为m的小球以极微小的速度从轨道最高点A释放， 恰在B点进入有界电场和磁场的复合场（电场未画出），并能沿直线运动到地面上的C点。（重力加速度为g）求：
A．
B．
C．Biblioteka D．难度：0.64 组卷：1712 题型：单选题 更新：2014/5/13
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2 . 如图所示，有一光滑斜面倾角为θ，固定在水平面上，竖直挡板与斜面夹住一个质量为m光滑球，现使挡板以恒定的加速度a向右运 动，则小球的加速度为（ ）
A．a
B．acos θ
难度：0.64 组卷：1240 题型：单选题 更新：2014/5/13
难度：0.85 组卷：277 题型：单选题 更新：2014/5/13
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16 . 如图所示，厚度为d、折射率为n的大玻璃板的下表面，紧贴着一个半径为r的圆形发光面．为了从玻璃板的上方看不见圆形发光面， 可在玻璃板的上表面贴一块纸片，所贴纸片的最小面积应是多大？
难度：0.64 组卷：990 题型：解答题 更新：2014/5/13
2014年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)
2014年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|y=ln(1-x)}，则A∩B=()A.(0，2]B.(-∞，-1)∪(2，+∞)C.[-1，1)D.(-1，0)∪(0，2)【答案】C【解析】试题分析：解不等式x2-x-2≤0可得-1≤x≤2，根据对数函数的定义域可得函数y=ln(1-x)的解析式有意义时，1-x＞0，x＜1，代入集合交集运算公式，可得答案．解x2-x-2≤0可得-1≤x≤2，∴集合A={x|x2-x-2≤0}=[-1，2]若使函数y=ln(1-x)的解析式有意义则1-x＞0，即x＜1故B={x|y=ln(1-x)}=(-∞，1)∴A∩B=[-1，1)，故选C．2.若(sinx-acosx)dx=2，则实数a等于()A.-1B.1C.-D.【答案】A【解析】试题分析：根据定积分的定义，找出三角函数的原函数进行代入计算，根据等式(sinx-acosx)dx=2，列出关于a的方程，从而求解．∵(sinx-acosx)dx=2，∴==(-cosx)-(asinx)=0-(-1)-a=2，∴a=-1，故选A．3.设，为向量，则|•|=||||是“∥”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．∵•=，若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选C．4.下列命题：①若f(x)=2cos2-1，则f(x+π)=f(x)对x∈R恒成立；②要得到函数y=sin(-)的图象，只需将y=sin的图象向右平移个单位；③若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜．其中是真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】试题分析：通过函数函数的解析式求出函数的周期，判断①的正误；利用三角函数图象的平移判断②的正误；利用三角函数的单调性判断③的正误；对于①，函数f(x+π)=f(x)，∴函数的周期为：π，f(x)=2cos2-1=cosx，函数的周期是2π，∴①不正确；对于②，将y=sin的图象向右平移个单位，得到函数y=sin(-)的图象，∴②不正确；对于③，锐角α，β满足cosα＞sinβ，∴sin()＞sinβ，可得α+β＜，∴③正确；正确命题只有一个．故选：B．5.已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1(a＞b＞0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF2F1=2，则椭圆的离心率e=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由已知条件推导出|PF2|=，则|PF1|=，由勾股定理得到=4c2，由此能求出椭圆的离心率．∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1(a＞b＞0)上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF2F1=2，∴=2，设|PF2|=x，则|PF1|=2x，由椭圆定义知x+2x=2a，∴x=，∴|PF2|=，则|PF1|=，由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2，∴=4c2，解得c=a，∴e==．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，另一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，表示出体积，根据不等式基本定理，得到最值．由三视图知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，∴另一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，∴几何体的体积是V=∵在侧面三角形上有a2-1+b2-1=6，∴V=，当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形，故选D．7.若，则log2(a1+a3+…+a11)等于()A.27B.28C.7D.8【答案】C【解析】试题分析：根据二项展开式，进行赋值，令x=-1，-3，从而可求a1+a3+…+a11的值，进而可得结论．由题意，令x=-1，则①令x=-3，则②①-②可得2(a1+a3+…+a11)=28∴a1+a3+…+a11=27∴log2(a1+a3+…+a11)=log227=7故选C．8.(2图14•南昌一模)在三棱锥C-A她D中(如图)，△A她D与△C她D是全等d等腰直角三角形，O为斜边她D d中点，A她=4，如面角A-她D-C d大小为6图°，并给出下面结论：①AC⊥她D；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=；⑤四面体A她CD d外接球面积为32π．其中真命题是( )A.②③④B.①③④C.①④⑤D.①③⑤【答案】D【解析】试题分析：根据等腰直角三角形的性质得OA⊥BD，OC⊥BD，且OC=OA=OB=OD=BD，再由线面垂直的判定定理判断出①、②、③的正确性；由余弦定理求出cos∠ADC的值判断出④正确性；再由条件求出四面体ABCD的外接球的半径，求出它的表面积判断出⑤正确性．∵△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，∴OA⊥BD，OC⊥BD，且OC=OA=它BD，又∵0A∩OC=O，∴BD⊥平面AOC，则AC⊥BD，即①正确；由9面角A-BD-C的大小为60°得，∠AOC=60°，∵OC=OA，∴△AOC为正三角形，即③正确；假设AD⊥CO，由OC⊥BD，且AD∩BD=D得，OC⊥平面ABD，∴0A⊥OC，这与∠AOC=60°矛盾，故②不正确；由AB=4得，AD=CD=4，且AC=OC=OA=它它，∴cos∠ADC=它它它它=它它它它它它=，故④不正确；由OA=OB=OC=OD得，四面体ABCD的外接球的球心是O，且半径r=它它，∴四面体ABCD的外接球的面积为3它π，故⑤正确，故选D．9.若数列{a n}，{b n}的通项公式分别是a n=(-1)n+2013•a，b n=2+，且a n＜b n对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是( )A.(-2，1)B.[-2，1)C.(-2，1]D.[-2，1]【答案】B【解析】试题分析：讨论n取奇数和偶数时，利用不等式恒成立，即可确定a的取值范围．∵a n=(-1)n+2013•a，b n=2+，且a n＜b n对任意n∈N*恒成立，∴(-1)n+2013•a＜2+，若n为偶数，则不等式等价为-a＜2+，即-a≤2，即a≥-2．若n为奇数，则不等式等价为a＜2-，即a＜1，综上：-2≤a＜1，即常数a的取值范围是[-2，1)，故选：B．10.已知定义在区间[-3，3]上的函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0，对于函数y=f(x)的图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))都有(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]＜0．若实数a，b满足f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0，则点(a，b)所在区域的面积为( )A.8B.4C.2D.1【答案】A【解析】试题分析：根据条件确定函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，然后利用线性规划的知识作出不等式组对应的平面区域，即可得到结论．∵函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0，∴f(-x)=-f(x)，即函数f(x)是奇函数．由(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]＜0，则函数f(x)在区间[-3，3]上是减函数．则不等式f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0等价为f(a2-2a)≤-f(2b-b2)=f(-2b+b2)，即，∴，作出不等式组对应的平面区域如图：则A(3，3)，B(3，-1)，E(1，1)，则对应区域的面积为2×，故选：A．11.已知直线l的参数方程是(t是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=-6cosθ，则圆心C到直线l的距离为( )A.2B.C.2D.3【答案】B【解析】试题分析：由直线l的参数方程消去参数t可得直线l的普通方程，由圆C的极坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．由直线l的参数方程是(t是参数)，消去参数t可得直线l的普通方程：x-y+1=0．由圆C的极坐标方程ρ=-6cosθ，可得ρ2=-6ρcosθ，∴x2+y2=-6x，化为(x+3)2+y2=9，可得圆心C(-3，0)．∴圆心C到直线l的距离d==．故选：B．12.已知函数f(x)=|2x-a|+a．若不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，则实数a的值为( )A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】试题分析：由不等式f(x)≤6可得，解得a-3≤x≤3．再根据不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，可得a-3=-2，从而求得a的值．∵函数f(x)=|2x-a|+a，故有不等式f(x)≤6可得|2x-a|≤6-a，∴，解得a-3≤x≤3．再根据不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，可得a-3=-2，∴a=1，故选：A．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.复数的模为．(其中i是虚数单位)【答案】【解析】试题分析：利用两个复数代数形式的乘除法，把复数化到最简形式，依据模的定义求出z的模．∵=，∴复数的模是故答案为：14.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为．【答案】【解析】试题分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x-2的距离即为所求．点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．直线y=x-2的斜率等于1，令y=x2-lnx的导数y′=2x-=1，x=1，或x=-(舍去)，故曲线y=x2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标(1，1)，点(1，1)到直线y=x-2的距离等于，故点P到直线y=x-2的最小距离为，故答案为．15.(它514•南昌一模)在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图o图1所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i(1≤i≤4)，在o图它所示的程序框图中，是这4个数据中的平均数，则输出的v的值为．【答案】5【解析】试题分析：算法的功能是求数据78、80、82、84的方差，利用方差公式计算可得答案．由程序框图知：算法的功能是求数据手8、80、82、81的方差，∵=手=81，∴v=[(手8-81)2+(80-81)2+(82-81)2+(81-81)2]==5．故答案为：5．16.从装有n+1个球(其中n个白球，1个黑球)的口袋中取出m个球(0＜m≤n，m，n∈N)，共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m-1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：= ．(1≤k＜m≤n，k，m，m∈N)．【答案】C n+k m【解析】试题分析：从装有n+1个球(其中n个白球，1个黑球)的口袋中取出m个球(0＜m≤n，m，n∈N)，共有C n+1m种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，m-1个白球，则C n m+C n m-1=C n+1m根据上述思想，在式子：C n m+C k1•C n m-1+C k2•C n m-2+…+C k k•C n m-k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．在C n m+C k1•C n m-1+C k2•C n m-2+…+C k k•C n m-k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数C n+k m故选C n+k m三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.已知向量=(，sinx+cosx)与(1，y)共线，设函数y=f(x)．(1)求函数f(x)的周期及最大值；(2)已知△ABC中的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f(A-)=，且a=7，sin B+sin C=，求△ABC的面积．【答案】(1)∵向量=(，sinx+cosx)与(1，y)共线，∴…则y=f(x)=2sin(x+)，∴f(x)的周期T=2π，…当时，f max(x)=2…(2)∵，∴，∴…∵，∴．由正弦定理，得得，，即，∴b+c=13…由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得a2=(b+c)2-2bc-2bccos A，即49=169-3bc，∴bc=40…∴…【解析】(1)向量向量平行以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，通过三角函数的周期公式求解函数f(x)的周期及最大值；(2)通过f(A-)=，求出A，利用a=7，以及正弦定理化简sin B+sin C=，求出b+c，利用余弦定理推出bc关系，求出bc，然后求△ABC的面积．18.为了了解某校今年高三男生的身体状况，随机抽查了部分男生，将测得的他们的体重(单位：千克)数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．(1)求该校随机抽查的部分男生的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市高三男生中任选三人，设X 表示体重超过55千克的学生人数，求X的数学期望．【答案】(1)设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则，解得p1，=0.125，p2=0.25，p3=0.375…∵p2=0.25=，∴n=48…(2)由(1)可得，一个男生体重超过55公斤的概率为p=p3+(0.0375+0.0125)×5=，…∴X～(3，)，∴p(X=k)=，k=0，1，2，3…则EX=0×+1×+2×+3×=…【解析】(1)设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，根据前3个小组的频率之比为1：2：3和所求频率和为1建立方程组，解之即可求出第二组频率，然后根进行求解即可；据样本容量等于频数频率(2)由(1)可得，一个男生体重超过55公斤的概率为p=p3+(0.0375+0.0125)×5=，所以X～(3，)，从而可求X的数学期望．19.(t014•南昌一模)已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且S n=(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(t)设b n=，T n=b1+b t+…+b n，求T n．【答案】(1)S n=(n∈N*)，当n=1时，，∴a1=1，当n≥2时，由S n=，得&n上sp;①取n=n-1，得&n上sp;②①-②得：，∴(a n+a n-1)(a n-a n-1-1)=0，∵a n+a n-1＞0，∴a n-a n-1=1，n≥2，∴数列{a n}是等差数列，则a n=n；(2)由S n=，a n=n，∴，则上，∴，，两式作差得：∴=，∴．人人人【解析】(1)在递推式中取n=1求得a1，然后取n=n-1得另一递推式，作差后整理得到数列{a n}为等差数列，则数列的通项公式可求；(2)把a n代入S n=，求得S n后代入b n=，然后利用错位相减法求得T n．20.在五边形ABCDE中(图一)，BD是AC的垂直平分线，O为垂足．ED∥AC，AE∥BD，AB⊥BC，P为AB的中点．沿对角线AC将四边形ACDE折起，使平面ACDE⊥平面ABC(图右)．(1)求证：PE∥平面DBC；(2)当AB=AE时，求直线DA与平面DBC所成角的正弦值．【答案】(1)证明：设M为BC中点，连PM，DM 依题意，∵P、M分别为AB、BC的中点，∴∴，…(多分)∴四边形PMDE为平行四边形，∴EP∥DM又DM⊂平面DBC，PE⊄平面DBC，∴PE∥平面DBC…(2)以点O为原点，直线OA、OB、OD所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设|AE|=2，则A(2，十，十)、B(十，2，十)C(-2，十，十)、D(十，十，2)、E(2，十，2)、P(1，1，十)…(小分)∴十、十、十…设平面PBC的法向量为，则由十十，得十十，…令x=1，则y=z=-1，∴，∴cos＜，＞==小多，∴直线DA与平面DBC所成角的正弦值为小多．…【解析】(1)证明四边形PMDE为平行四边形，可得EP∥DM，利用线面平行的判定定理，可得PE∥平面DBC；(2)建立空间直角坐标系，设|AE|=2，则AB=2，求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线DA与平面DBC所成角的正弦值．21.已知点P(1，-)在椭圆C：+=1(a＞b＞0)上，过椭圆C的右焦点F2(1，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，W=．试判断W是否为定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由．【答案】(1)椭圆C的右焦点为(1，0)，∴c=1，椭圆C的左焦点为(-1，0)可得，解得a=2，∴b2=a2-c2=4-1=3，∴椭圆C的标准方程为…(2)①当直线斜率不存在时，|AB|2=(2b)2=4b2，，∴．…②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．直线y=k(x-1)代入椭圆方程，消去y可得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，∴，，∴|MN|=•|x1-x2|=．…由直线y=kx代入椭圆方程，消去y，并整理得：x2=，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则|AB|=•|x3-x4|=4，∴综上所述，W为定值4．…【解析】(1)利用椭圆的定义求出a=2，再求出b，由此能求出椭圆的标准方程．(2)分类讨论，当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由直线y=k(x-1)代入椭圆方程，消去y可得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，再由韦达定理，求出|MN|，同理求出|AB|，即可得出结论．22.已知函数f(x)=ax-bxlnx，其图象经过点(1，1)，且在点(e，f(e))处的切线斜率为3(e 为自然对数的底数)．(1)求实数a、b的值；(2)若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值；(3)证明：2ln2+3ln3+…+nlnn＞(n-1)2(n∈N*，n＞1)．【答案】(1)∵f(1)=1，∴a=1，∵f(x)=x-bxlnx，∴f'(x)=1-b(1+lnx)，依题意f'(e)=1-b(1+lne)=3，∴b=-1，(2)由(1)知：f(x)=x+xlnx当x＞1时，设，则′设h(x)=x-2-lnx，则′，h(x)在(1，+∞)上是增函数∵h(3)=1-ln3＜0，h(4)=2-ln4＞0，∴存在x0∈(3，4)，使h(x0)=0，当x∈(1，x0)时，h(x)＜0，g'(x)＜0，即g(x)在(1，x0)上为减函数；同理g(x)在(x0，+∞)上为增函数，从而g(x)的最小值为，∴k＜x0∈(3，4)，k的最大值为3，(3)由(2)知，当x＞1时，，∴f(x)＞3x-3，即x+xlnx＞3x-3，xlnx＞2x-3∴2ln2+3ln3+…+nlnn＞(2×2-3)+(2×3-3)+…+(2n-3)=2(2+3+…+n)-3(n-1)==n2-2n+1=(n-1)2．【解析】(1)图象经过点(1，1)，且在点(e，f(e))处的切线斜率为3，求出f(x)导函数，然后代入求值；(2)求出f(x)导函数后，构造设h(x)=x-2-lnx，判断h(x)的单调性，求出最值；(3)要证明：2ln2+3ln3+…+nlnn＞(n-1)2(n∈N*，n＞1)，只要求出x+xlnx＞3x-3，问题就能解决．。
2014年江西高考理科数学试卷(带详解)
2014·卷(理科数学)1.[2014·卷] z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算【考查方式】给出共轭复数和复数的运算，求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2a ＝2，－2b ＝2，得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1－i. 2.[2014·卷] 函数f (x )＝ln(2x －x )的定义域为( )A.(0，1]B.[0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 【测量目标】定义域【考查方式】根据对数函数的性质，求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由2x －x >0，得x >1或x <0.3.[2014·卷] 已知函数f (x )＝||5x ，g (x )＝2ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数【考查方式】给出两个函数，求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】由g (1)＝a －1，由()1f g ⎡⎤⎣⎦＝1，得|1|5a －＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.4.[2014·卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()c a b ＝－＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.2 C.2D. 【测量目标】余弦定理，面积【考查方式】先利用余弦定理求角，求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab +-＝262ab ab -＝12，所以ab ＝6，所以ABC S V ＝1sin 2ab C ＝2. 5.[2014·卷] 一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )第5题图LLJ73-77A B C D 【测量目标】三视图【考查方式】给出实物图，判断俯视图 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】易知该几何体的俯视图为选项B 中的图形.6.[2014·卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )成绩 性别 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 3652视力 性别 好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 3652 表3 智商 性别 偏高 正常 总计 男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 3652阅读量 性别丰富 不丰 富 总计 男 14 6 20 女 2 30 32 总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量 【测量目标】卡方分布的应用【考查方式】直接给出表格，观察最大变量与性别的关系 【参考答案】D 【难易程度】中等()222526221410528⨯⨯-⨯⨯()()2222521651612521671636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222352248812521281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222452143026526861636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯.分析判断24χ最大，所以选择D. 7.[2014·卷] 阅读如程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )第7题图 LLJ78A.7B.9C.10D.11【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】当1i =时，10lglg33S =+=->-1,123i =+=,3lg3lg lg55S =-+=->-1, 325i =+=,5lg 5lg lg 77S =-+=->-1，527i =+=,7lg 7lg lg 99S =-+=->-1 729i =+=,9lg9lg lg1111S =-+=-<-1所以输出9i =.8.[2014·卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.13-C.13D.1 【测量目标】定积分【考查方式】给出函数的表达式，求积分 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】1 ()0f x dx ⎰＝()211200x f x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰＝130112()03x f x dx x ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰＝112()03f x dx +⎰,得1()0f x dx ⎰＝13－. 9.[2014·卷] 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4A.4π 5 B.3π4 C.(625)π- D.5π4【测量目标】直线与圆的位置关系，面积和最值 【考查方式】已知直线与圆的位置关系，求圆的面积 【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由题意知，圆C 必过点O (0，0)，故要使圆C 的面积最小，则点O 到直线l 的距离为圆C 的直径，即2=5r ,所以=5r ，所以4=π5S10.[2014·卷] 如图所示，在长方体ABCD 1111A B C D 中，AB ＝11，AD ＝7，1AA ＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为(234)i L i ＝，，，1L ＝AE ，将线段1234L L L L ，，，竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )第10题图LLJ79A B C D 第10题图 LLJ80-83【测量目标】投影，直线与面的关系【考查方式】利用光的反射原理求其长度并判断图形 【参考答案】C 【难易程度】中等【试题解析】由题意，1L ＝AE ＝13.易知点E 在底面ABCD 上的投影为F (4，3，0)，根据光的反射原理知，直线AE 和从点E 射向点1E 的直线1E E 关于EF 对称，因此1E (8，6，0)，且21L L ＝＝13.此时，直线1EE 和从点1E 射出所得的直线12E E 关于过点1E (8，6，0)和底面ABCD 垂直的直线对称，得2E ' (12，9，12).因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面11CDD C 上，设为2E ，求得31213==3L E E ，321L L L <＝最后一次，从点2E 射出，落在平面1111A B C D 上，求得4326>3L L =,故选C.【测量目标】不等式【考查方式】利用不等式的性质，求最值 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立.故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.[2014·卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.1cos sin ρθθ=+，π02θ剟 B.1cos sin ρθθ=+，π04θ剟 C.ρ=cos sin θθ+，π02θ剟 D.ρ=cos sin θθ+，π04θ剟 【测量目标】极坐标方程【考查方式】直接把直线方程转化成极坐标方程 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】依题意，方程y ＝1－x 的极坐标方程为()cos sin ρθθ+＝1，整理得1cos sin ρθθ=+.因为0≤x≤1，所以 01y剟，结合图形可知π02θ剟. 12.[2014·卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 【测量目标】超几何分布【考查方式】根据超几何分布的表达式就可以求出概率 【参考答案】12【难易程度】容易【试题解析】由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝1337410C 12C C = 13.[2014·卷] 若曲线y ＝ex－上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【测量目标】直线与曲线的位置关系【考查方式】根据直线与曲线的位置关系，求其点的坐标 【参考答案】(－ln 2，2) 【难易程度】容易【试题解析】设点P 的坐标为00()x y ，，exy '－＝－又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以0ex －－＝－2，可得0ln 2x ＝－，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2).14.[2014·卷] 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos =α，向量a ＝3122e e －与b ＝123e e －的夹角为【测量目标】平面向量的夹角【考查方式】根据平面向量求其夹角的余弦值【参考答案】3【难易程度】容易【试题解析】cos = ||||ab a b β2215.[2014·卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆22:22=1(>>0)x y C a b a b +相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________.【测量目标】直线与椭圆的位置关系，离心率【考查方式】利用交点，联立方程找出关系，求其离心率 【参考答案】=2e 【难易程度】中等【试题解析】设点A (11x y ，)，点B (22x y ，)，点M 是线段AB 的中点，所以12x x ＋＝2，12y y ＋＝2，且2211222222221,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差可得22122x x a -＝22122()y y b --，即12122()()x x x x a +-＝12122()()y y y y b +--，所以1212y y x x --=y 1－y 2x 1－x 2＝22b a -，即AB k ＝22b a -.由题意可知，直线AB 的斜率为12-，所以22b a -＝12-，即a b .又222a b c ＝＋，所以c ＝b ，2e =. 16. [2014·卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a ，π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π2f ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，(π)f ＝1，求a ，θ的值.【测量目标】三角函数最值，参数【考查方式】先转化函数解析式，在利用给定的定义域求其最值，在求参数的值 【试题解析】(1)f (x )＝sin π4x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋2cos π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(sin x ＋cos x )sin x＝2cos x－2sin x ＝sin π4x ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－ 1.(2)由()π02π1ff ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1.a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知cos 0θ≠，所以12sin 0(2sin 1)sin 1.a a a θθθ-=⎧⎨--=⎩ 解得1π6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.17.[2014·卷] 已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}n b (*0n b n ≠∈N ，)满足1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0.(1)令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b －＝，求数列{}n a 的前n 项和.n S【难易程度】容易【测量目标】等差数列，错位相减【考查方式】先求出等差数列，再利用错位相减求和【试题解析】(1)因为1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0，*0)n b n ≠∈N ，(，所以11n n a b ++－nna b ＝2，即1n n c c ＋－＝2，所以数列{}n c 是以1c ＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故21.n c n ＝－(2)由13n n b －＝，知1(21)3n n a n －＝－，于是数列{}n a 的前n 项和n S ＝0121133353(21)3n n ⨯⨯⨯⋯⨯－＋＋＋＋－，3n S ＝1211333(23)3(21)3n n n n ⨯⨯⨯⨯L －＋＋＋－＋－，将两式相减得－2n S ＝1＋1212(333)(2n n ⨯L －＋＋＋－－1)32(22)3n n n ⨯⨯＝－－－，所以(1)31.n n S n ＝－＋18. [2014·卷] 已知函数f (x )＝()2x bx b ++∈R . (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值围.【测量目标】极值，单调性、函数的导数【考查方式】先利用求导求极值，再利用单调性求参数的取值围 【试题解析】(1)当b ＝4时，f ′(x )＝12x-，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈ (－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈ (－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2) f ′(x )＝12x -，易知当x ∈10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭时，<012x -，依题意当x ∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，有5x ＋(3b －2)… 0，从而53＋(3b －2)… 0，得1.9b …所以b 的取值围为1,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19.[2014·卷]如图，四棱锥P ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)求证：AB ⊥PD .(2)若∠BPC ＝90︒，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值.第19题图LLJ84【难易程度】中等【测量目标】线面、面面、线线位置关系，夹角的余弦值，法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系，在建立直角坐标系利用向量求夹角的余弦值【试题解析】(1)证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PD .(2)过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG .故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG .在Rt △BPC 中，PG ＝23，GC 26，BG ＝6.设AB ＝m ，则OP ＝22PG OG -＝243m -，故四棱锥P -ABCD 的体积为2214=686333mV m m m -=-.因为2248686m m m m -=-2228633m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭m ＝63AB ＝63P -ABCD 的体积最大.此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O (0，0，0)，B 66⎫⎪⎪⎝⎭， C 626⎫⎪⎪⎝⎭，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，263，0，P 6⎛ ⎝⎭，故BP u u u r ＝6266⎝⎭，BC uuu r ＝(0，6，0)， 6CD ⎛⎫=u u u r .设平面BPC 的法向量(,,1),n x y =u u r 则由n PC ⊥u u r u u u r ,n BC ⊥u u r u u u r 得62660y ⎧+-=⎪，解得1,0,x y ==1(1,0,1),n =u u r 同理可求出平面DPC 的法向量21(0,,1),2n =u ur ，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为1212110cos .5||||1214n n n n θ⋅===⋅⋅+u u r u u r u u r u u r第19题图LLJ84b20. [2014·卷] 如图，已知双曲线()22:210x C y a a-=>的右焦点F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF OB ⊥，BF OA P (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线0:021x y l y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值第20题图 LLJ85【难易程度】较难【测量目标】双曲线方程和离心率、焦点，直线与曲线的位置关系【考查方式】先求出双曲线方程，再利用直线与曲线的位置关系求第二问【试题解析】(1)设(,0)F c ，因为1b =，所以21c a =+直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c c B a -,又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由(1)知3a =则直线l 的方程为0001(0)3x x y y y -=≠，即0033x x y y -=,因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y -,直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y -,则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-,因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得2220022224(23)4(23)4x x MF --===，所求定值为23MF =21.[2014·卷] 随机将()1,2,,2,2n n n *⋅⋅⋅∈N …这2n 个连续正整数分成A ,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2112,a a b b ξη=-=-(1)当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()P C ；(3)对(2)中的事件CC 的对立事件，判断()P C 和. 【难易程度】难【测量目标】分布列和数学期望，概率，数学归纳法【考查方式】先求出分布列和数学期望，在求出其概率，最后在利用数学归纳法【试题解析】(1)当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ,B 两组，不同的分组方法共有3620C =种，所以ξ的分布列为:133172345.5101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(2)ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n -+-L 又ξ和η恰好相等且等于1n -时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相42()63P C ==;当3n …时,()(),P C P C <理由如下：时，①式左边124(2C )16,=+=①式右.那么，当1n m =+时，(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯-+--=+=--++.即当1n m =+时①式也成立,综合1o 2o 得，对于3n …的所有正整数，都有()()P C P C <成立.。
江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(二)数学(理)试题
江西省南昌市教研室命制 2014届高三交流卷（二）数学（理）试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（ ）A ．{}0x x >B ．{}10x x x <->或C ．{}4x x >D ．{}14x x -≤≤2．已知复数231ii--（i 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ） A ．4 B ．6 C ．2 D ．3 3．下列命题中是假命题．．．的是（ ）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z-=的最小值为（ ）A ．5B ．2-C ．6D ．7 5． “1a =”是“函数a x x f -=)(在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为 （ ） A ．4B ．23x +C ．8D ．21x +7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为 （ ）A ．BC ．D 8．F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ）AB C ．2D9．设235111111,,a dx b dx c dx x x x ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（ ）A ．235a b c <<B ．325b a c<<C ．523c a b <<D ．253a c b<<10．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的正零点，则(2)f -，()f a ，(1.5)f 的大小关系是 （ ）A ．(1.5)()(2)f f a f <<-B ．(2)(1.5)()f f f a -<<C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-< 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.11.已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为12．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____________．13．如图，已知||1,||3OA OB ==，OA 与OB 的夹角为56π，点C 是AOB ∆的外接圆上优孤AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值为 .14．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W =________.15. .13S =++=，210S =++++=，321S =++++++=，那么5S = .三、解答题:本大题共6小题，共74分. 16． (本题满分12分)已知θ为向量a 与b 的夹角，||2=a ，||1=b ，关于x 的一元二次方程2x -||a x 0+⋅=a b 有实根. （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数2()sin cos f θθθθ=的最值.17．(本题满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18. (Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.18． (本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为30，且2a 为1a 和4a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （2）若数列{}n b 满足*1()n n n b S n N b n +=∈，且11b =，求数列1{}n nb +的前n 项和n T19．(本题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，已知2AB BC ==，090ABC ∠=，点1A 在底面ABC 的投影为B ，且1A B =（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ；（2）设P 为11B C 上一点，当PA =1A AB P --20．(本题满分13分)如图，设F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，MN 为椭圆的长轴，P 为椭圆C上一点，且||[2,6]PF ∈． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(8,0)Q -，①求证：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠； ②求三角形ABF ∆面积的最大值．21.（本小题满分14分）设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈. （1）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）求函数)(x f 的极值点.（3）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)('x f 与0的大小.参考答案第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（ ）A ．{}0x x >B ．{}10x x x <->或C ．{}4x x >D ．{}14x x -≤≤2．已知复数231ii--（i 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ） A ．4 B ．6 C ．2 D ．3 3．下列命题中是假命题．．．的是（ ）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z -=的最小值为（ ）A ．5B ．2-C ．6D ．7 5． “1a =”是“函数a x x f -=)(在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为 （ ） A ．4B ．23x +C．8D ．21x +7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为 （ ） A． BC． D8．F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ）AB C ．2D9．设235111111,,a dx b dx c dx x x x ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（ ）A ．235a b c <<B ．325b a c<<C ．523c a b <<D ．253a c b<<10．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的正零点，则(2)f -，()f a ，(1.5)f 的大小关系是 （ ）A ．(1.5)()(2)f f a f <<-B ．(2)(1.5)()f f f a -<<C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-< 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.11. 已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为12．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____110________．13．如图，已知||1,||3OA OB ==，OA 与OB 的夹角为56π，点C 是AOB ∆的外接圆上优孤AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值为. 1214．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W =_____22___.15..13S =++=，210S =++++=，321S =++++++=，那么5S = 55 .三、解答题:本大题共6小题，共74分. 16． (本题满分12分)已知θ为向量a 与b 的夹角，||2=a ，||1=b ，关于x 的一元二次方程2x -||a x 0+⋅=a b 有实根. （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数2()sin cos f θθθθ=的最值. 解：16.（I ） 因为θ为向量a 与b 的夹角，所[0,]θπ∈，由|a |=2，|b |=1,可得2|a |=4，⋅a b =|a ||b |cos θ. ………………3分关于x 的一元二次方程20x x -+⋅=|a |a b 有实根，则有44(12cos )0θ∆=-⋅-≥2|a |a b =,得1cos 2θ≤，所以,3πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.………6分 （II ）23cos 3cos sin )(f 2-+=θθθθ ⋅CBAO=23)212cos (32sin 21-++θθ =)32sin(2cos 232sin 21πθϑθ+=+ ………………9分 因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+37,32πππθ,所以sin(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+23,1)32(πθ 所以，函数的最大值为23，最小值为-1. ………………12分17． (本题满分12分)17.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18.(Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.18． (本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为30，且2a 为1a 和4a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （2）若数列{}n b 满足*1()n n n b S n N b n +=∈，且11b =，求数列1{}n nb +的前n 项和n T 解：（1） 设公差为(0)d d ≠，则1121115103022()(3)a d a d a d a a d +==⎧⎧⇒⎨⎨=+=+⎩⎩，∴ 2n a n =， (1)n S n n =+；（2）由（1）11n nn b S n b n+==+， 当2n ≥时，32411231234n nn b b b b b n b b b b b -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴ !n b n =，又 11b =适合上式∴!n b n = *()n N ∈， ∴111=(1)!(1)!n n n b n n n +=-++！， ∴ 111111111()()()()11!2!2!3!3!4!!(1)!(1)!n T n n n =-+-+-++-=-++．19．(本题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，已知2AB BC ==，090ABC ∠=，点1A 在底面ABC 的投影为B ，且1A B =（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ； （2）设P 为11B C 上一点，当PA =1A AB P --的正弦值．13（1）证明：∵1A B ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC∴ 1A B BC ⊥，在ABC ∆中，090ABC ∠=，∴ AB BC ⊥，∴ BC ⊥平面11AA B B ，BC ⊆平面11BB C C ， ∴ 平面11AA B B ⊥平面11BBC C ； （2）法一：传统方法 由（1）知11B C ⊥平面11AA B B ，∴ 1PB ⊥平面11AA B B ，过点1B 作棱AB 的垂线，垂足为O ，连接OP ，则1P O B ∠即为二面角1A AB P--的平面角连接1AB ，在1ABB ∆，由余弦定理可求得1AB∵ PA =，∴ 11PB =，∴ OP = 1sin 13POB ∠=法二：向量方法 如图建立空间直角坐标系B xyz -，(2,0,0)A ，(0,2,0)A ，(0,0,A ，由 111(2,0,B A BA B =⇒-， 由111(2,2,BC BC C =⇒-，ABCA 1B 1C 1P C由1112(2,,1)B C B P P λλλ=⇒->，由2AP λ=⇒=，∴(2,1,P -，设(,)n x y z =，为平面PAB 的法向量，则0200x n B A x y z n B P ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⎪⋅=⎪⎩⎩，取(0,6n =-，由（1）知 (0,2,0)m BC ==为平面11AA B B 的法向量，∴c o s,9n m <>==，13sin ,13n m <>=．20．(本题满分13分)如图，设F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，MN 为椭圆的长轴，P 为椭圆C 上一点，且||[2,6]PF ∈． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(8,0)Q -，①求证：对于任意的割线QAB ，恒有AFM ∠=②求三角形ABF ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）2211612x y +=； （Ⅱ）①易知直线AB 斜率存在．当AB 的斜率为0时，显然0AFM BFN ∠=∠=，满足题意，当AB 的斜率不为0时，设AB l : 8(0)x my m =-≠，11(,)A x y ，22(,)A x y ，由 22228(34)48144011612x my m y my x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩． ∴222222248412(34)24(4)04m m m m ∆=-⨯+=->⇒>，1224834m y y m +=+，12214434y y m =+． 则121222AF BF y yk k x x +=+++1212211212(6)(6)66(6)(6)y y y my y my my my my my -+-=+=----12121226()(6)(6)my y y y my my -+=--，又 1212221444826()2603434mmy y y y m m m -+=⋅-⋅=++，∴0AF BF k k +=，从而A F MB F N ∠=∠．综合可知：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠．②由①，2121||||234ABF QBF QAFS S S QF y y m ∆∆∆=-=⋅-=+，72==≤=当且仅当=，即3m =±（此时适合于0>∆的条件）时取等号．∴ 三角形ABF ∆面积的最大值是33．(0)t t =>，则27272163163t t t t==≤=++ 21.（本小题满分14分）设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈. （1）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）求函数)(x f 的极值点.（3）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)('x f 与0的大小.解：（1）21221()2()x ax f x x a x x -+'=+-=依题意得，在区间1[, 2]2上不等式22210x ax -+≥恒成立. 又因为0x >，所以12(2)a x x≤+.所以2a ≤a ≤所以实数a的取值范围是(,-∞.（2）2221()x ax f x x-+'=，令2()221h x x ax =-+①显然，当0a ≤时，在(0,)+∞上()0h x >恒成立，这时()0f x '>，此时，函数()f x 没有极值点； ……………………………………6分②当0a >时，（ⅰ）当0∆≤，即0a <时，在(0,)+∞上()0h x ≥恒成立，这时()0f x '≥，此时，函数()f x 没有极值点；（ⅱ）当0∆>，即a >x <<()0h x <，这时()0f x '<；当0x <<x >时，()0h x >，这时()0f x '>；所以，当a >x ()f x的极大值点；x =()f x 的极小值点.综上，当a ()f x 没有极值点；当a >2a x =是函数()f x 的极大值点；2a x =是函数()f x 的极小值点. ………9分 （3）由已知得2211122222()ln ()02()ln ()02a f x x x a a f x x x a ⎧=+--=⎪⎪⎨⎪=+--=⎪⎩两式相减，得：()112122ln()2x x x x x a x +-+-……①由'1()2()f x x a x =+-，得'0001()2()f x x a x =+-…………② 得①代入②，得 '001201212()2()(2)f x x a x x a x x x =+-=++-+ =221222*********(1)211ln ln ()()1x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-=-+--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦令12(0,1),x t x =∈且2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++()t ϕ∴在(0,1)上递减，()(1)0t ϕϕ∴>=120,()0x x f x '<∴<。
江西省南昌市教研室命制2014届高三数学交流卷试题(一)文
南昌市教研室命制2014届高三交流卷（一）数学（文）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.已知集合A={一1,0，1}，B={y|y=cos x,x ∈A}，则A B 为( )A ．{0，—1}B ．{0，1}C ．φD ．{1}2．已知复数2(1)(2)()z a a i a R =-+-∈，则“1a =”是“z 为纯虚数”的( ) A. 充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件 D.既非充分又非必要条件 3.平面向量a 与b 的夹角为60，(2,0)a =，1b =，则2a b+=( )AB． C ．4 D ．124. 执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是( ) A ．3 B ．4 C ． 5 D ． 65. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只需将()sin 2g x x =的图象( )A. 向右平移6π个长度单位B. 向左平移6π个长度单位 C. 向右平移3π个长度单位 D. 向左平移3π个长度单位6. 从221x y m n -=（其中{},2,5,4m n ∈--）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在y 轴上的双曲线方程的概率为（ ）A ．34B ． 12 C ．23D ．47是结束输出k 否x>23 ?k=k+1x=x+5k=0输入x 开始7. 函数13y x x =-的图象大致为8. 四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的表面积为 （ ）A.2222S a a =+ B. 2223S a a =C. 2242S a a =+ D. 2233S a a =9.已知抛物线22(0)y p xp =>的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且T F 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）A ．212- 21- Ｃ．13- Ｄ．213-10.如图，点P 从点O 出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系分别记为(),()y f x y g x ==，定义函数()()()()()()()f x f x g x h x g x f x g x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，≤，，． 对于函数()y h x =，下列结论正确的个数是（ ）① (4)10h = ； ②函数()h x 的图象关于直线6x =对称； ③函数()h x 值域为013⎡⎣， ； ④函数()h x 增区间为05（，）． 第10题图 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）OPPO11．已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12ab b +的值为 .12．某校高三第一次模考中，对总分450分（含450分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若650～700分数段的人数为90，则500～550分数段的人数为_________人.13. 若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 .14. 在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ． 15. 给出下列四个命题：①ABC ∆中，A B >是sin sin A B >成立的充要条件；②当01x x >≠且时，有1ln 2ln x x +≥；③已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >；④若函数)23(-=x f y 为R 上的奇函数，则函数)(x f y =的图象一定关于点)0,23(F 成中心对称.⑤函数)(cos sin cos )(23R x x x x x f ∈-+=有最大值为2，有最小值为0。
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南昌市教研室命制2014届高三交流卷（一）数学（理）试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1设复数11z i=-，则z 的共轭复数是（ ）A.11i +B.1i +C.11i- D.1i -2.设p ∶22,x x q --＜0∶12xx +-＜0，则p 是q 的 （ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要3.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设412(log 7),(log 3),a f b f ==2(2)c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. b a c << B ． a b c << C ． a c b << D ． c b a <<4.已知1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A.13 B. 223 C. 13- D. 223- 5.已知函数x n x m x f cos sin 2)(-=，直线3π=x 是函数)(x f 图像的一条对称轴，则=mn（ ） A.332B. 3C. 332-D. 336.等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点,则22013log a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（ ）A ．5B ．52C ．32D ．1788.已知函数2210()40x x f x x x a x ⎧+>⎪=⎨--+≤⎪⎩ 在点（1,2）处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a 的取值范围是（ ）A ．[8,425)--+B ．(425,425)---+C ．(425,8]-+D ．(425,8]--- 9.美不胜收的“双勾函数” 1y x x=+是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是y 轴和直线y x =，其离心率e= A ．2B ． 21+C ． 3D ． 224-10若函数()y f x =图像上的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件|| ||y x ≥，则称函数()f x 具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是 （ ）A ．()1x f x e =-B ．()ln(1)f x x =+C ．()sin f x x =D ．()tan f x x = 二、选做题：请在下列两题中任选一题作答若两题都做，则按第一题评阅计分本题共5分. 11．（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为4cos =θρ的直线与曲线⎩⎨⎧==32ty t x （t 为参数）相交于B A ,两点,则||AB =（ ）A.13B.14C.15D.16 11．（2）（不等式选做题）若不等式2)|2||1(|log 2≥--++m x x 恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A . ]3,(--∞B . ]1,3[--C . ]3,1[-D . ]1,(--∞三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分.12.已知向量)1,3(=a ,)1,0(-=b ,)3,(k c =,若b a 2+与c 共线,则=k _________ 13.运行如图的程序框图,输出的结果是______14.已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22221(0)x ya b a b +=>>上的任意一点，若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos α=55，sin(α+β)=35，则此椭圆的离心率为 ．15.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ．四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=x x x x x f 23sin 32sin sin 2sin )(22ππ（1）若,21tan =x 求)(x f 的值；（2）求函数)(x f 最小正周期及单调递减区间．17. （本小题满分12分）PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。
我国PM2．5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．某市环保局从360天的市区PM2．5监测数据中，随机抽取l5天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)从这l5天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；(2)以这l5天的PM2．5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．18．（本小题满分12分）如图,ABCD 是边长为3的正方形，ABCD 面⊥DE ，AF DE DE AF 3,//=,BE 与平面ABCD 所成的角为060.(1)求二面角D BE F --的的余弦值;(2)设点M 是线段BD 上一动点，试确定M 的位置，使得BEF AM 面//，并证明你的结论.19. （本小题满分12分） 设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n(n=2,3,4,,)阶“期待数列”:① 1230n a a a a ++++=;②1231n a a a a ++++=．(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;(2)若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; 20．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 在x 轴上，离心率32e =，点2(2)2Q ,在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若斜率为k (0)k ≠的直线n 交椭圆C 与A 、B 两点，且OA k 、k 、OB k 成等差数列，点M （1,1），求ABM S ∆的最大值.21. （本小题满分14分）已知函数32()f x x x bx =-++，()ln g x a x x =+（0a ≠） （Ⅰ）若函数()f x 存在极值点，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅲ）当0b =且0a >时，令(),1()(),1f x x F x g x x x <⎧=⎨-≥⎩，P (11,()x F x )，Q (22,()x F x )为曲线()y F x =上的两动点，O 为坐标原点，能否使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y 轴上？请说明理由．答案一.DABCC ABDDC 二．（1）D （2）D三.12 -3 13 510 14 5715 25+ 四．16所以)(x f 的单调递减区间为Z k k k ∈++],85,8[ππππ17解：（1）∵ 3,6,15===n M N ,ξ的可能值为0，1， 2，3其分布列为315396)(C C C k P kk -⋅==ξ )3 , 2 , 1 , 0(=k ………………… 3分 ξ0 1 2 3p4558445521645513545520………………… 6分（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为52156==p 一年中空气质量达到一级的天数为η 则η～⎪⎭⎫ ⎝⎛52,360B , 所以14452360=⨯=ηE (天) ……………………11分一年中空气质量达到一级的天数为144天 ……………………………… 12分18（1）∵AC ⊥平面BDE ，∴平面BDE 的法向量设为(3,3,0)CA =-，∴613cos ,13||||2632n CA n CA n CA ⋅===⋅⨯，故二面角F BE D --的余弦值为1313.23211,2k k k a a a ++++++=∴(1)11,22(1)k k kd d d k k -+==+即20联立kxy y x ==+⎩⎨⎧1422易得弦AB 的长为224141k k++21当1t =时，(1,0),(1,2)OP OQ ==-则0OP OQ ⋅≠； …………11分 当1t >时，()F t =ln a t ，代入方程(*)得232ln ()0t a t t t -++= 即1(1)ln t t a=+， …………………………………12分设()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则1()ln 10h x x x'=++>在[)1,+∞上恒成立． ∴()h x 在[)1,+∞上单调递增，从而()(1)0h x h ≥=，则值域为[)0,+∞． ∴当0a >时，方程1(1)ln t t a=+有解，即方程(*)有解． …………13分综上所述，对任意给定的正实数a ，曲线上总存在,P Q 两点，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y 轴上． ………………14分．。