三角形中的取值范围
解三角形中取值范围的求解策略例谈
技法点拨摘要：解三角形是高考数学考查的重点内容，从历年高考真题来看题型难度中等。
有关取值范围的问题是一个难点，涉及的问题主要有三角形边或边的比值的取值范围、角的取值范围、面积和周长等几类。
关键词：解三角形；取值范围；高考解三角形是普通高中数学重要的内容之一，主要研究三角形中边和角的关系，其中有关取值范围的考题是历年高考的重点和热点。
解三角形中的取值范围问题通常有三类，一是边或边的比值的取值范围；二是角的取值范围；三是三角形的周长或面积的取值范围。
本文结合实例，分析求解解三角形取值范围的常用策略。
一、运用函数思想方法求解取值范围函数思想方法，是破解取值范围和最值问题的强大武器。
运用函数思想方法的关键是合理选择自变量，在解三角形的取值范围中，主要以角为自变量，通过三角函数的有界性求解。
例1.（2020年浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知2b sin A -3a =0.（1）求角B 的大小；（2）求cos A +cos B +cos C 的取值范围.解：（1）B =π3（过程略）.（2）由A +B +C =π得C =2π3-A ，由△ABC 是锐角三角形，得ìíîïïïï0<A <π20<C <π2，即ìíîïïïï0<A <π20<2π2-A <π2，解得π6<A <π2.由cos C =cos(2π3-A )=-12cos A+A ，得cos A +cos B +cos C=A +12cos A +12=sin(A +π6)+12，因为π3<A +π6<2π3，sin(A +π6)≤1，<sin(A +π6)+12≤32，得cos A +cos B +cosC∈(32].故cos A +cos B +cosC ∈(3+12,32].点评：本题把求解的式子转化为关于角A 的三角函数，也可以转化为角C 的三角函数，无论转化为哪一种都有求出角的范围。
三角形中的范围问题
三角形中的范围问题
在三角形中，范围问题通常涉及到角度、边长、高、中线等元素的取值范围。
以下是一些常见的三角形中的范围问题：
1.角度范围：根据三角形的性质，一个三角形的三个内角之和为180度。
因此，
三角形的每个角都有一个范围，例如一个角最小为30度，那么其余两个角的和最大为150度。
2.
3.边长范围：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
因此，可以根据已知的两边长来计算第三边的可能范围。
4.
5.高范围：三角形的高是从顶点垂直到对应的底边的线段。
根据三角形的形状
和大小，高可以有一个范围。
例如，在直角三角形中，斜边上的高可以通过毕达哥拉斯定理计算出来，并有一个特定的范围。
6.
7.中线范围：三角形的中线是从顶点垂直到对应的底边的中点的线段。
中线的
长度也有一个范围，可以使用中线的性质来计算。
8.
解决三角形中的范围问题时，通常需要结合三角形的基本性质和几何知识，通过逻辑推理和数学计算来确定元素的取值范围。
专题三角形中的最值与取值范围问题
专题三角形中的最值与取值范围问题(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--专题 三角形中的最值与取值范围问题三角形中的边与角的最值与取值范围问题，是复习过程中的难点，在高考中考查形式灵活，常常在知识的交汇点处命题，与函数、几何、不等式等知识结合在一起。
我们知道三角形只要满足三个条件，那么这个三角形就基本唯一确定了，而少于三个条件时，有些边角周长面积就可以变化，从而就有了求这些量的取值范围问题。
这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，求解主要是充分运用三角形的内角和定理，正余弦定理，面积公式，基本不等式，三角恒等变形，三角函数的图像和性质来进行解题，非常综合，是解三角形中的难点问题。
下面对这类问题的解法做下探讨。
类型一：已知一角+对边例题1：在?ABC 中，A=60°，，求（1）ABC ∆面积的最大值；（2）b c +的取值范围；（3）2b c +的最大值；（4）BC 边上高的最大值。
类型二：已知一角+边的等量关系例题2：在?ABC 中，A=60°，1b c +=，求（1）ABC S ∆的最大值；（2）a 的取值范围；（3）周长的取值范围。
类型三：已知一角+面积例题3：在?ABC 中，A=60°，ABC S ∆=（1）b c +的最小值；（2）a 的最小值。
（3）周长的最小值。
（4）112b c +的最小值。
类型四：已知角的等量关系例题4：在?ABC 中，A=2B ，则c b的取值范围为 变式：在锐角?ABC 中，A=2B ，则c b的取值范围为 类型五：已知两边，求面积的最值例题5：在?ABC 中，已知1,2AB BC ==，求（1）ABC S ∆的最大值；（2）角C 的取值范围。
类型六：已知一边+另两边的等量关系例题6：在?ABC 中，已知6,10BC AB AC =+=，求ABC S ∆的最大值。
变式：在?ABC 中，已知6,BC AC ==，求ABC S ∆的最大值。
高中数学专题-三角形取值范围问题-题型总结(解析版)2
三角形取值范围问题--归纳总结关于解三角形问题和取值范围有很多题型，总结起来大致可以分为两类。
第一种处理方法使用基本不等式求最值(往往结合余弦定理)，第二种处理方法转化为三角函数求值域(题目强调锐角三角形时用此法)。
需要注意的是基本不等式注意取等条件，三角函数法需要注意角的精确范围(尤其是锐角三角形时角的范围)。
题型1.三角函数和差类型方法：转换成三角函数求值域问题，注意角的范围。
【例1-1】(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A1+sin A=sin2B1+cos2B.（1）若C=2π3，求B；（2）求a2+b2c2的最小值.【解析】(1)由cosA1+sinA=sin2B1+cos2B,得cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即cosAcosB=sinB+sinBsinA,即cos(A+B)=-cosC=sinB,∵C=2π3,所以sinB=12得，B=A=π6.（2）由cos(A+B)=-cosC=sinB,得C=π2+B,A+2B=π2,由正弦定理得a2+b2 c2=sin2A+sin2Bsin2C=(2cos2B-1)2+1-cos2Bcos2B=4cos4B-5cos2B+2cos2B=4cos2B+2cos2B-5≥42-5,当且仅当cosB=(12)14时的符号成立，故最小值为42-5.【例1-2】(2022·广州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=3，且满足ab sin Ca sin A+b sin B−c sin C= 3.（1）求角C的大小；（2）求b+2a的最大值.【解析】(1)由题意得abca2+b2-c2=3,余弦定理得：a2+b2-c2=2ab∙cosC,所以cosC=a2+b2-c22ab=12,又C为△ABC内角，所以C=π3;(2)由题得asinA =bsinB=csinC=2,所以a=2sinA,b=2sinB,所以b=2sinB=2sin(A+π3),所以b+2a=2sin(A+π3)+4sinA=sinA+3cosA+4sinA=5sinA+3cosA=27sin(A+φ),且tanφ=35,又因为A∈(0,2π3),所以sin(A+φ)max=1,所以b+2a≤27,即b+2a的最大值为27.【训练1】(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.（1）求角B的大小；（2）求cos A+cos B+cos C的取值范围.【解析】(1)∵2bsinA=3a,2sinBsinA=3sinA,∵sinA≠0,∴sinB=32,∵△ABC为锐角三角形，∴B=π3,(2)∵△ABC为锐角三角形，B=π3,∴C=2π3-A,∴cosA+cosB+cosC= cosA+cos(2π3-A)+cosπ3=12cosA+32sinA+12=sin(A+π6)+12,△ABC为锐角三角形，0<A<π2,0<C<π2,解得π6<A<π2,∴π3<A+π6<2π3,∴32<sin(A+π6)≤1,∴32+12<sin(A+π6)+12≤32,∴cosA+cosB+cosC 的取值范围为(3+12,32].题型2.三角形面积最值方法一：余弦定理+基本不等式(锐角三角形不建议用).方法二：转化为三角函数求值域(任意三角形都可用).策略一：对边对角型【例2-1】(2021·衡水调研)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且a cos C+3a sin C−b−c=0.（1）求A的大小；（2）若a=3，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)由acosC+3a sinC-b-c=0,由正弦定理得：sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC,即sinAcosC+3sinAsinC=sin(A+C)+sinC,可得：3sinAsinC=cosAsinC+sinC,由于C为三角形内角,sinC≠0,所以化简得3sinA-cosA=1,所以sin(A-π6)=12因为A∈(0,π2),所以A-π6∈(-π6,π3),所以A-π6=π6,即A=π3.（2）由2R=asomA=332=2,则bc=2RsinB∙2RsinC=4sinBsin(B+π3)=2(2B-π6)+1,sin因为△ABC是锐角三角形，所以B∈(π6,π2),所以(2B-π6sin)∈(12,1],可得bc∈(2,3],所以S△ABC=12bcsinA=34bc∈(32 ,334],所以△ABC的面积的取值范围是(32,334].【训练2】在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa=3cos C c.（1）求角C的大小；（2）如果c=2，求△ABC的面积的最大值.【解析】（1）因为sinAa=3cosCc=sinCc,所以sinC=3cosC,即tanC=3,由C为三角形内角得，C=π3;（2）由余弦定理得4=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当a=b时取等号，所以ab≤4,△ABC的面积S=12absinC=34ab≤3，即面积的最大值为 3.策略二：对边异角型【例2-2】(2021·瑶海月考)若a，b，c为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sin2B+sin2C−sin2(B+C)=sin B sin C.（1）求角A；（2）若b=2，求△ABC的面积的取值范围.【解析】（1）因为sin2B+sin2C-sin2(B+C)=sinBsinC,所以sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC.由正弦定理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12,因为A为三角形内角，所以A=π3;（2）由题得bsinB=csinC,所以2sinB=csin(2π3-B),c=2sin(2π3-B)sinB=3cosB+sinBsinB=1+3tanB,因为锐角△ABC中，0<B<π20<2π3-B<π2,所以π6<B<π2,故tanB>33,0<1tanB<3,S△ABC=12bcsinA=34×2×(1+3 tanB)=32+32tanB∈(32,23).【训练3】(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin A+C2=b sin A.（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】（1）asin A+C2=bsinA,即为asinπ-B2=acosB2=bsinA，可得sinAcos B2=sinBsinA=2sin B2cos B2sinA,∵sinA>0,∴cos B2=2sin B2cos B2 ,若cos B2=0，可得B=(2k+1)π,k∈Z不成立，∴sin B2=12,由0<B<π,可得B=π3;(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,由余弦定理可得b=a2+1-2a∙1∙cosπ3 =a2-a+1,由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1>1且1+a2-a +1>a2,且1+a2>a2-a+1,解得12<a<2,可得△ABC面积S=12a∙sinπ3 =34a∈(38,32)策略三：夹边夹角型方法一：向量平方凑关系，结合基本不等式求最值.方法二：延长中线找对边，结合对边对角模型求值.【例2-3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A+12a=c.（1）求角B的大小；（2）若AC边上的中线BM的长为3，求△ABC面积的最大值.【解析】（1）因为bcosA+12a=c,由正弦定理可得sinBcosA+12sinA=sinC,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,所以12sinA=sinAcosB,又A为三角形内角，sinA>0,所以cosB=12,因为B∈(0,π),所以B=π3.(2)如图，延长线段BM至D，满足BM=MD,连接AD，在△ABC中，BD=2AM =23,AD=a,AB=c,∠BAD=π-B=2π3,由余弦定理，有232=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac,解得ac≤4,当且仅当a=c=2时取等号，所以S△ABC=12acsinB≤12×4×32=3,当且仅当a=c=2时等号成立，即面积的最大值为 3.AB C DE M【训练4】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知m=cos A 2,3sin A 2 ,n =−2sin A 2,2sin A2 ,且m ·n =0.（1）求角A 的大小；（2）点M 是BC 的中点，且AM =1，求△ABC 面积的最大值.【解析】（1）m ∙n =0,∴-2sin A 2cos A 2+23sin 2A 2=0,即-sinA +23×1-cosA2=-sinA -3cosA +3=0,即sinA +3cosA =3,即2sin (A +π3)=3，得sin (A +π3)=32,即A +π3=2π3,得A =π3.（2）∵点M 是BC 的中点，且AM=1，∴AM =12(AB +AC ),平方得AM 2=14(AB 2+AC 2+2AB ∙ AC ),即4=c 2+b 2+2bc ×12=c 2+b 2+bc ≥2bc +bc =3bc ,即bc ≤43,当且仅当b =c 时取等号，则△ABC 面积S =12bcsin π3=12×32bc ≤34×43=33,即三角形面积的最大值为33.题型3.三角形周长取值范围方法一：余弦定理+基本不等式(锐角三角形不建议用).方法二：转化为三角函数求值域(任意三角形都可用)策略一：对边对角型【例3-1】(2020·全国Ⅱ卷)在△ABC中，sin2A−sin2B−sin2C=sin B sin C.（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.=-12,【解析】（1）因为BC2-AC2-AB2=AC∙AB,所以cosA=AC2+AB2-BC22AC∙AB因为A∈(0,π),所以A=2π3.（2）由余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC∙ABcosA=AC2+AB2+AC∙AB=9,)2（当且仅当AC=AB时取等即（AC+AB）2-AC∙AB=9,AC∙AB≤(AC+AB2)2=34(AC+AB)2,解号），9=(AC+AB)2-AC∙AB≥(AC+AB)2-(AC+AB2得AC+AB≤23（当且仅当AC=AB时取等号），所以△ABC周长L=AC+ AB+BC≤3+23,周长的最大值为3+2 3.【训练5】(2021·江西模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a cos B=(2c−b)cos A.（1）求A；（2）若△ABC为锐角三角形，且a=1，求△ABC周长的取值范围.【解析】（1）法一：由题意得a cosB+b cosA=2c cosA;由正弦定理得sinAcosB +sinBcosA=2sinCcosA,即sin(A+B)=2sinCcosA;又sin(A+B)=sinC,所以sinC=2sinC cosA.又sinC≠0,所以cosA=12;又0<A<π,所以A=π3.解法二：结合余弦定理a×a2+c2-b22ac =(2c-b)×b2+c2-a22bc,化简得b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=12;又0<A<π,所以A=π3.(2)由正弦定理得asinA =bsinB=csinC,且a=1,A=π3,所以b=233sinB,c=233sinC;所以a+b+c=1+233(sinB+sinC)=1+233[sinB+sin(2π3-B)]=1+2sin(B+π6).因为△ABC为锐角三角形，所以得0<B<π20<2π3-B<π2 ,解得π6<B<π2.所以1+2sin(B+π6)∈(1+3,3];即△ABC周长的取值范围是(1+3,3].策略二：对边异角型【例3-2】(2021·衡水模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，sin A+a sin B=2 3.（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的取值范围【解析】（1）因为asinA =bsinB=csinC,所以asinB=bsinA,所以sinA+asinB=sinA+bsinA=4sinA=23,所以sinA=32,△ABC为锐角三角形，所以A=π3.（2）由题可得：asinA =bsinB=csinC,a=332sinB,c=3sinCsinB,a+c+3=332+3sinCsinB+3=332+3sin(2π3-B)sinB+3,所以周长=332+3(32cosB+12sinB)sinB+3=332∙1+cosBsinB+9 2=332∙1+2cos2B2-12sin B2cos B2+92=332∙1tan B2+92.又因为△ABC为锐角三角形，所以B 2∈(π12,π4)所以tan B2∈(2-3,1),所以1tan B2∈(1,2+3),所以(9+332,9+33).【训练6】(2021·江苏模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，2b sin A sin(A+C)=3a sin B.（1）求角B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC面积的取值范围.【解析】（1）∵2bsinAsin(A+C)=3asin2B,∴由正弦定理得：2sinBsinAsin(A +C)=23sinAsinBcosB,∵A+C=π-B,且sinA≠0,sinB≠0,∴sinB= 3cosB,∴tanB=3,∵B∈(0,π),∴B=π3.(2)由题意B=π3,c=2,可得S△ABC =12acsinB=3a2,由正弦定理得：a=csinAsinC=2sin(120°-C)sinC =3tanC+1,又△ABC为锐角三角形，可得0<A<90°,0<C<90°,故30°<C<90°,所以1<a<4,从而32<S△ABC<23,即△ABC面积的取值范围是(32,23).策略三：夹边夹角型方法一：向量平方凑关系，结合基本不等式求最值.方法二：延长中线找对边，结合对边对角模型求值.【例3-3】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c cos B+b cos C= 2a cos A,M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是.【解析】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c cosB+b cosC= 2acosA,利用正弦定理：sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,所以：sin(B+C) =sinA=2sinAcosA,由于：sinA≠0,所以cosA=12,0<A<π,故A=π3,因为M为BC的中点，且AM=1，所以可设BC=2x，则(2x)2=b2+c2-2bccosA,故2x2=b2+c2-bc2,利用余弦定理得c2=12+x2-2xcos∠BMA①，同理：b2=12+x2-2x∠CMAcos②由①②得：b2+c2=2+2x2,所以：b2+c2=c2+b2-bc2+2,故：(b+c)2=4+bc,整理得：(b+c)2≤4+(b+c2)2,解得0<b+c≤433,故答案为433.【训练7】(2022·石家庄模拟)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若c cos B +b cos C =2a cos A ,AM =23AB +13AC，且AM =1，则b +2c 的最大值是.【解析】由ccosB +bcosC =2acosA ，得sinCcosB +sinBcosC =sin (B +C )=sinA =2sinAcosA ,可得cosA =12,A =π3,因为AM 2=(23AB +13AC )2=49c 2+19b 2+49bccosA =3,所以b 2+4c 2+2bc =27⇒(b +2c )2-2bc =27⇒(b +2c )2=27+2bc ≤27+(b +2c 2)2,当且仅当b =2c 取等号，得34(b +2c )2≤27⇒b +2c ≤6．b +2c 的最大值为6. 故答案为：6.【训练8】(2022·江苏模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =3b =4c ，若sin2A ≤λ(sin B +sin C )恒成立，则λ的最小值为()A .−1114B .127C .−1124D .−712【解析】设2a =3b =4c =12t (t >0),则a =6t ,b =4t ,c =3t ,sin 2A ≤λ(sinB +sinC )恒成立，即λ≥sin 2A sinB +sinC 恒成立，sin 2A sinB +sinC =2sinAcosA sinB +sinC =2a b +c ∙b 2+c 2-a 22bc =6t7t ∙16t 2+9t 2-36t 212t 2=-1114,以λ≥-1114,所以λ的最小值为-1114.故选：A.【训练9】(2022·甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=.【解析】设BD=x,CD=2x,在三角形ACD中，b2=4x2+4-2∙2x∙2∙cos60°,可得：b2=4x2-4x+4,在三角形ABD中,c2=x2+4-2∙x∙2∙cos120°,可得：c2=x2+2x+4,要使得AC AB 最小，即b2c2最小，b2c2=4x2-4x+4x2+2x+4=4(x2+2x+4)-4x-12x2+2x+4=4-12(x+1)(x+1)2+3=4-12(x+1)(x+1)2+3=4-12x+1+3x+1≥4-1223,当且仅当x+1=3x+1,即x=3-1时，取等号，故答案为：3-1.【训练10】(2022·深圳模拟)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9b2+6bc cos A=11c2,则角B的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.3π4【解析】由余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，代入9b2+6bc cosA=11c2,得9b2+3(b2+ c2-a2)=11c2,整理得b2=112(3a2+8c2),cosB=a2+c2-b22bc =a2+c2-112(3a2+8c2)2ac=34a2+13c22ac≥234×13ac2ac=12,当且仅当9a2=4c2时取“=”，又因为B∈(0,π),所以B≤π3,故选：C.【训练11】(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°.BC =2，则AB的取值范围是.【解析】方法一：如图所示，延长BA,CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=12x，AE=22x，DE=6+24x,CD=m,∵BC=2,∴(6+24x+m)sin15°=1,∴6+24x+m=6+2,∴0<x<4,而AB=6+24x+m-22x=6+2-22x，∴AB的取值范围是(6-2,6 +2).故答案为：（6-2,6+2）.方法二：如下图，做出底边BC=2的等腰三角形EBC ，B =C =75°,倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB 、EC 与A 、D ，则四边形ABCD 即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C 时，AB 趋近最小，为6-2;②直线接近点E 时，AB 趋近最大值，为6+2;故答案为：(6-2,6+2).m12x 6+24x 22x。
谈谈解答三角形取值范围问题的思路
解题宝典三角形取值范围问题比较常见，这类问题常与函数、三角函数、平面几何、解析几何、向量相结合.常见的命题形式：（1）求三角形中某条边、某个角的取值范围问题；（2）求三角形的周长、面积的取值范围.下面结合实例，谈一谈解答三角形取值范围问题的思路.一、利用函数的性质解答三角形取值范围问题，需首先灵活运用正弦定理a sin A =b sin B =csin C 以及余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc ∙cos A 进行边角互化，使得角统一，以将目标式化为只含有角的式子.这样便可以将问题转化为三角函数最值问题，利用三角函数的性质、二次函数的性质求得最值.例1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a >b >c ，a 2<b 2+c 2，求角A 的取值范围.解：∵a 2<b 2+c 2，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc ∙cos A ，∴b 2+c 2-2bc ∙cos A <b 2+c 2，可得cos A >0，∵在△ABC 中，0<A <π，∴A ∈æèöø0，π2，∵a >b >c ，∴A >B >C ，∴π=A +B +C <3A ，∴A ∈æèöøπ3，π2，∴角A 的取值范围为æèöøπ3，π2.我们根据a 2<b 2+c 2可联想到余弦定理，于是根据余弦定理求得cos A >0，即可根据余弦函数的有界性以及三角形内角的取值范围，求得角A 的取值范围.在解答与三角形的角有关的问题时，要注意挖掘一些关于角的隐含条件：三角形的内角和为180°，锐角的范围为（0，90°），钝角的范围（90°，180°）.例2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C =2B ，求cb的取值范围.解：由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C得c b =sin Csin B ，∵C =2B ，∴c b =sin 2B sin B =2sin B ∙cos B sin B=2cos B ，在△ABC 中，A +B +C =π，∴A =π-B -C =π-3B >0，∴B <π3，∴B ∈æèöø0，π3，∴cos B ∈æèöø12，1，∴c b =2cos B ∈()1,2，即c b的取值范围为()1,2.我们先根据正弦定理将边化为角，并将目标式化为用cos B 表示；然后根据三角形内角的取值范围确定角B 的取值范围，即可根据余弦函数的有界性和单调性求得目标式的取值范围.例3.已知△ABC 为锐角三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =2，C =π3，求△ABC 周长的取值范围.解：由正弦定理得a sin A =b sin B =csin C，∴a +b sin A +sin B=c sin C =2sin π3=∴a +b =)sin A +sin B cos Böø÷sin A +sin æèöø2π3-A =4sin æèöøA +π6，∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，∴0<2π3-A <π2，∴π3<A +π6<2π3，∴sin æèöøA +π6≤1，∴23<a +b ≤4，∴C ΔABC =a +b +c ∈(2+23,6]，43即△ABC 周长的取值范围为(2+23，6].解答本题，要根据正弦定理建立三角形边角之间的关系；然后用sin A 表示三角形的周长，将问题转化为正弦函数的最值问题；再根据两角和的正弦公式和辅助角公式化简目标式；最后根据正弦函数的有界性、单调性，以及三角形内角的取值范围求得△ABC 周长的取值范围.例4.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，a sin B =b cos B ，求cos A +cos B +cos C 的取值范围.解：由正弦定理a sin A =b sin B =csin C得sin A sin B=sin B cos B ，∵△ABC 中，0<B <π，∴sin B >0，∴sin A =cos B ，∴A -π2=B ，∴C =π-A -B =π-A -æèöøA -π2=3π2-2A ，∵C ∈æèöø0，π2，∴3π2-2A ∈æèöø0，π2，∴A ∈æèöøπ2，3π4，∴cos A +cos B +cos C =cos A +sin A +cos æèöø3π2-2A =cos A +sin A -sin 2A=sin A +cos A +1-()sin A +cos A 2，设t =sin A +cos A =2sin æèöøA +π4，∵A +π4∈æèöø3π4，π，∴sin æèöøA +π4∈æèçø0，即t ∈()0，1，∴cos A +cos B +cos C =-t 2+t +1=54-æèöøt -122∈æèùû1，54，∴cos A +cos B +cos C 的取值范围为æèùû1，54.先根据正弦定理建立三边三角之间的关系；然后用角A 的正余弦表示目标式，即可将目标式统一为关于角A 的式子；再根据同角的三角函数关系式以及辅助角公式将目标式化为关于t =2sin æèöøA +π4的式子；最后根据正弦函数的有界性和二次函数的单调性求得问题的答案.利用函数的性质求解三角形的取值范围问题，首先要利用正余弦定理将边角统一，并将目标式化为关于某个角的式子；然后确定该角的取值范围，才能利用函数的单调性和有界性求得目标式的取值范围.二、利用基本不等式基本不等式：当a >0，b >0时，a +b ≥2ab .基本不等式是解答三角形取值范围问题常用的方法.先根据正余弦定理将角化为边，并将目标式用边表示出来；然后将其配凑为两式的和或积的形式，并使其中之一为定值，即可运用基本不等式求得目标式的最值.例5.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =3，C =π3，（1）求△ABC 面积的最大值；（2）求△ABC 周长的最大值.解：（1）由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，∴3=a 2+b 2-ab ，∵a 2+b 2≥2ab ，∴ab +3≥2ab ，可得ab ≤3，当且仅当a =b =3时等号成立，∴S ΔABC =12ab sin C ≤12×3×sinπ3=，∴△ABC 面积的最大值为.（2）∵a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b =3时等号成立，∴()a +b 2≥4ab =43éëùû()a +b 2-3，∴()a +b 2≤12，∴0<a +b ≤23，∴C ΔABC =a +b +c ≤33，即当a =b =3时△ABC 的周长取最大值，为33.由三角形的面积公式和已知条件C =π3可知，要求△ABC 的面积的最大值，需求得ab 的最大值.于是根据余弦定理建立关于a 、b 、c 的关系式a 2+b 2=ab +3，其中a 2+b 2为两式的和，其积为a 2b 2，利用基本不等式即可建立关于ab 的不等式.我们利用基本不等式可得出a 2+b 2≥2ab ，即可将a 2+b 2=ab +3化为a+b 的平方式，通过解不等式求得a +b 以及三角形周长的取值范围.在解答三角形取值范围问题时，要注意：（1）三角形的三边均为正数，且两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（2）灵活运用正余弦定理进行边角互化，使目标式中的边角统一；（3）根据已知条件和隐含条件减少目标式中边、角的个数，使目标式简化；（4）运用转化思想，将问题转化为最值问题来求解.（作者单位：江苏省淮北中学）解题宝典44。
解三角形中相关的取值范围问题
解决与三角形相关的取值范围问题例1：在锐角ABC 中，2A B =，则c b的取值范围是例2：若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是例3：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。
（1）求B 的大小。
（2）若5b =，求ABC 周长的取值范围。
例4：在ABC 中，22223a b c ab +=+，若ABC 的外接圆半径为2，则ABC 的面积的最大值为例5：（2008，江苏）满足2,AB AC ==的ABC 的面积的最大值是例6：已知角,,A B C 是ABC 三个内角，,,a b c 是各角的对边，向量(1cos(),cos )2A B m A B -=-+，5(,cos )82A B n -=，且98m n ⋅= （1）求tan tan A B ⋅的值。
（2）求222sin ab Ca b c +-的最大值。
通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。
这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。
理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。
希望本文能对同学们复习备考有所帮助。
巩固练习1．在ABC 中，2,1a c ==，则C ∠的取值范围为2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是3．在 R t A B C 中，2C π=，且,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b xc +=，则实数x 的取值范围为4．在锐角ABC 中，2A B =，1AC =，则BC 的取值范围是 5．在锐角ABC 中，三个内角,,A B C 成等差数列，记cos cos M A C =，则M 的取值范围是6．已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ，则a 的取值范围是 7．已知ABC 外接圆的半径为6，若面积22()ABCSa b c =--且4sin sin 3B C +=，则sin A = ，ABCS的最大值为8．在ABC 中，(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==，且sin sin m n B C ⋅=+ （1）求证：ABC 为直角三角形（2）若ABC 外接圆的半径为1，求ABC 的周长的取值范围9．在ABC 中,,A B C 所对的边分别为,,a b c A =（1）若222a c b mbc -=-，求实数m 的值（2）若a =ABC 面积的最大值。
解三角形取值范围常见题型
解三角形取值范围常见题型引言解三角形取值范围是学习三角函数的重要一环，它涉及到解三角形的边长、角度以及各种三角函数的定义域和值域。
本文将介绍解三角形取值范围常见题型，通过详细的讲解和示例，帮助读者掌握解三角形取值范围的解题方法和技巧。
一、已知两边求角度1.已知两边求角度范围当已知三角形的两条边长度时，可以通过余弦定理或正弦定理来求出角度的范围。
例题1已知三角形的两边长分别为$a=5$和$b=7$，角$C$的取值范围是多少？解题思路：根据余弦定理，我们有$$c^2=a^2+b^2-2a b\co sC$$代入已知数值，得到$$c^2=5^2+7^2-2\c d ot5\cd ot7\cd ot\c os C$$化简后可得$$\c os C=\f ra c{c^2-74}{70}$$观察到余弦函数的定义域是$[-1,1]$，所以要使上式成立，必须满足$$\f ra c{c^2-74}{70}\in[-1,1]$$解以上不等式，可得$$-8.76\le qc^2\le q152.86$$由于$c$是三角形的边长，所以$c>0$，则有$$0<c\le q\sq rt{152.86}\a pp ro x12.36$$因此，角$C$的取值范围为$\c os^{-1}\l ef t(\f ra c{c^2-74}{70}\ri gh t)\ap p ro x\co s^{-1}\l ef t(\f ra c{5.14}{7}\r ig ht)\app r ox37.27°\l eq C\l eq180°$。
2.已知两边求角度解的数量当已知三角形的两条边长度后，求解角度的数量有一定的限制。
-如果两边之和小于第三边的长度，那么无解。
-如果两边之和等于第三边的长度，那么只有一个解，此时两边和第三边构成一条直线。
-如果两边之和大于第三边的长度，那么会有两个解。
例题2已知三角形的两边长分别为$a=4$和$b=5$，$\si nC=\fr ac{5}{6}$。
解三角形中的最值及取值范围问题
1
D
C
谢谢！
3
b c 2R(sin B sin C)
4 3[sin B sin（2 - B)]
3
4 3(sin B 3 sin B 1 cos sin B 3 cos B)
2
2
4 3 3( 3 sin B 1 cos B)
2
2
12sin(B )
6
A , B C 2
例1.(2016年北京卷） ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知a2 c2 b2 2ac, (1)求B的大小. (2)求 2 cos A cos C的最大值.
解： a2 c2 b2 2ac
a2 c2 - b2 2ac
2ac cos B 2ac
cos B 2 2
解三角形中取值范围（最值）问题
学习目标
1.能利用正弦、余弦定理来解三角形； 2.掌握解决解三角形问题中的取值范围问题 的常规解法：函数法，不等式法等.
知识要点归纳
（1）正弦定理： （2）余弦定理：
a b c 2R sinA sinB sinC
c2=a2+b2-2abcosC
（3）三角形面积公式：
4
4
2
2
2 cos A cos A sin A
B , A C 3
4
4
2
2
A(0, 3 ) A ( , )
2 cos A 2 sin A
4
44
2
2
当A ，即A 时，取得最大值为1.
42
4
sin(A )
4
例2：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
4 (b c)2
3 (b c)2
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三角形中的范围与最值
1，在△ABC 中，c a b 、、分别是角A 、角B 、角C 所对的三边，若c a b 、、成等比数列，求B 的范围。
0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦
2，在锐角△ABC 中，A=2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，求a b
的取值范围。
(
1
3，如果060,12,ABC AC BC k ∠===的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是 012k <≤
或k =
4，在不等边三角形中，a 是最大边，若222a b c <+，求A 的取值范围。
,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
5，若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，求m 的取值范围。
()2+∞，
6，在等腰△ABC 中，底边BC=1，底角B 的平分线BD 交AC 于D ，求BD 的取值范围。
23
⎛ ⎝ 1，在三角形ABC 中，3
A π
∠=，求sin sin B C +的最大值。
2，在三角形ABC 中，,43
A a π
∠==，求b c +的最大值。
3，在三角形ABC 中，,43
A a π
∠=
=，求A B C S 的最大值。
4
，已知向量(
)
1sin ,,3,sin 2m A n A A ⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭
共线，其中A 是△ABC 的内角，
（1）求角A 的大小。
（2）若BC=2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状。
3
π
5，如图所示，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ，设2M G A=.3
3ππαα⎛⎫
∠≤≤
⎪⎝⎭
（1）试将△AGM ，△AGN 的面积（分别记为1S 与1S ）表示为α的函数； （2）求221
2
11y S
S
=
+
的最大值与最小值。
12sin sin ,;12sin 12sin 66S S α
α
ππαα=
=
⎛
⎫⎛
⎫+- ⎪
⎪
⎝
⎭⎝
⎭max min 240,216.y y ==
6，如图，A 、B 、P 、Q 为平面上四点，其中A 、B
为定点，且||A B =动点P 、Q 满足
|AP|=|PQ|=|QB|=1，设△APB 和△PQB 的面积分别为S 、T 。
试求： （1）22S +T 的最大值；
（2）当22S +T 取最大值时，△APB 的形状如何？
78
；以AP 为底边的等腰三角形。