高考一轮复习学案 第一讲 集合(解析版)

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合（解析版）考点内容解读要求常考题型1.集合的含义与表示了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。

Ⅰ选择题2.集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义。

Ⅱ选择题3.集合间的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。

Ⅱ选择题1．元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉．（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．（4）常见数集的记法：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N+Z Q R2．集合间的基本关系（1）子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A．（2）真子集：若A⊆B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A⊂≠B或B⊃≠A．（3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．（4）空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示 A ∪BA ∩B∁U A意义{x |x ∈A 或x ∈B } {x |x ∈A 且x ∈B } {x |x ∈U 且x ∉A }4．集合关系与运算的常用结论（1）并集的性质：A ∪A=A ； A ∪∅=A ； A ∪B=B ∪A ；若A ∪B=B ，则A ⊆B ；若A ∪B=A ，则B ⊆A.（2）交集的性质：A ∩A=A ；A ∩Φ=Φ；A ∩B=B ∩A ；若B ⊆A ，则A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ； （A ∩B ）∩C=A ∩(B ∩C)=A ∩B ∩C（3）补集的性质：A ∪（∁U A ）=U ； A∩（∁U A ）=Φ； ∁u （∁U A ）=A ；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B ).（4）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个． (5)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ．考点一、集合的基本概念【例1】(1)已知集合M ＝{1,2}，N ＝{3,4,5}，P ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 (2)若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92 B ．98 C ．0 D ．0或98【答案】(1) B (2) D【解析】(1)因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5．当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6．同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个．(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98． 【类题通法】与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【变式训练】1．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B【解析】因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2．2．已知集合A ＝{x ∈R|ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－98 【解析】∵A ＝∅，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意；当a ≠0时，Δ＝9＋8a ＜0，∴a ＜－98，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－98． 考点二、集合间的基本关系【例2】(1) 已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( )A ．B ⊆A B ．A ＝BC ．A ⊂≠BD ．B ⊂≠A(2) 已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． 【答案】 (1) C (2) (－∞，1]【解析】 (1) 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A ⊂≠B ，故选C ．(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ．当m >0时，∵A ＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .，∴0<m ≤1．综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．【类题通法】1．判断集合间关系的3种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．数轴在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合法 与集合之间的关系．2．利用集合间关系求解参数问题的策略化简要分类若参数在元素的性质特征之中，多以一次不等式或二次不等式的形式出现，此时要对其进行合理分类，分类的主要依据就是参数对该不等式的对应方程的解的影响．分类的主要层次为：①最高次幂系数是否为0；②方程是否有解；③解之间的大小关系．关系要分类已知两个集合之间的关系求参数的取值，要注意对集合是否为空集进行分类讨论，因为∅是任意一个集合的子集．“端点”要取舍利用集合之间的子集关系确定参数所满足的条件，实际上就是比较两个区间端点值的大小关系，所以集合对应区间的端点的取舍对两个集合之间的关系有制约作用，这也是区分子集与真子集的关键．如已知A ＝(1,3]，B ＝[a ，b ](a <b )，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，b ≤3；若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，b ≥3【变式训练】1．设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与B 的关系是( ) A ．B ⊆A B ．B ⊇A C ．B ∈A D ．A ∈B 【答案】A【解析】因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >52．在数轴上标出集合A 与集合B ，如图所示，可知，B ⊆A ．2．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(－∞，4]【解析】当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2．当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4．综上，m 的取值范围为(－∞，4]．考点三、集合的基本运算【例3】(1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}(3)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}(4)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}【答案】(1) B (2) C (3) D (4) D【解析】(1)A，B两集合中有两个公共元素2,4，故选B．(2)因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A ∪B＝{0,1,2,3}，故选C．(3) ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图．∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，故选D．(4)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁R A＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}，故选D．【类题通法】1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．2．集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．【变式训练】1．(1) 设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝()A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}(2) 设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A．(－1，1) B．(0，1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)(3) 设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝()A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}(4) 集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2} C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1} 【答案】(1) B (2) C (3) A (4) B【解析】(1)因为A＝{1，3，5，7}，而3，5∈A且3，5∈B，所以A∩B＝{3，5}．(2) 由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞)．又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1)．因此A ∪B＝(－1，＋∞)．(3) ∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U(A∪B)＝{2，6}．(4) 易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴∁U B＝[1，＋∞)，A∩(∁U B)＝[1，2)．因此阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．1.（2018•卷Ⅰ）已知集合，则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】A= ，∴，故答案为B.⋂=（）2.已知集合，，则错误！未找到引用源。