2021年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标18任意角蝗制及任意角的三角函数

2021年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标18任意角蝗
制及任意角的三角函数
［解密考纲］本考点主要考查三角函数的概念、任意角和弧度制.通常以选择题、填空题的形式呈现.安排在比较靠前的位置.
一、选择题
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( C )
A ．π
3
B ．
π6
C ．－π
3
D ．－π6
解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角.故A 项，B 项不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的1
6
，
即为－16×2π＝－π
3
，故选C ．
2．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π
3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为
( A )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，32
B ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫－
32，－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12
，－32
D ．⎝
⎛⎭
⎪⎫－
32，12 解析 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π
3＝
3
2.
3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( A )
A ．(－2,3］
B ．(－2,3)
C ．［－2,3)
D ．［－2,3］
解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上，
所以有⎩⎨
⎧
3a －9≤0，a ＋2>0，
解得－2<a ≤3.
4．(xx·福建三明模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1
5
x ，则sin α＝( A ) A ．4
5
B ．－35
C ．3
5
D ．－45
解析 因为r ＝x 2＋42
，cos α＝15x ＝x x 2＋42
，得x ＝3或x ＝－3，又因为α是第二象限角，则x ＝－3，r ＝5，所以sin α＝4
5
，故选A ．
5．(xx·安徽合肥模拟)已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( B )
A ．－4
5
B ．－35
C ．3
5
D ．45
解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1
中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2
θ－1＝－35
，故选B ．
6．已知正角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π
3，cos 2π3，则角α的最小值为
( D )
A ．5π
6 B ．
2π3 C ．5π
3
D ．
11π
6
解析 ∵⎝
⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，－12，∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝
32，∴角α的最小值为11π
6
，故选D ． 二、填空题
7．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为 －5π6 .
解析 ∵2 010°＝676π＝12π－5π
6
，
∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π
6
.
8．设角θ为第四象限角，并且角θ的终边与单位圆交于点P (x 0，y 0).若x 0＋y 0
＝－13，则cos 2θ＝ －9
.
解析 由三角函数的定义，得x 0＝cos θ，y 0＝sin θ.∵ cos θ＋sin θ＝－13，
两边平方得sin 2θ＝－89，∴cos 2θ＝±1－sin 22θ＝±17
9.∵θ为第四象限角，
sin θ<0，cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，∴|sin θ|>|cos θ|，∴cos 2θ＝cos 2 θ
－sin 2 θ<0，∴cos 2θ＝－
179
. 9．设角α是第三象限角，且⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
sin α2＝－sin α2，则角α
2是第 四 象限角.
解析 由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋
3π2(k ∈Z )，k π＋π2<α
2
<k π＋3π4(k ∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪
sin α2＝－sin α2，知sin α2≤0，所以
α2只能是第四象限角.
三、解答题
10．已知角α终边上一点P ，点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，且sin α<0，求cos α＋2tan α的值.
解析 设P (x ，y )，则根据题意，得|y ||x |＝3
4.
∵sin α<0，∴α的终边只可能在第三、四象限. ①若点P 位于第三象限，可设P (－4k ，－3k )(k >0)，
则r ＝x 2＋y 2＝5k ，从而cos α＝x r ＝－45，tan α＝y x ＝3
4
，
∴cos α＋2tan α＝7
10
.
②若点P 位于第四象限，可设P (4k ，－3k )(k >0)， 则r ＝x 2＋y 2＝5k ，
从而cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－3
4
，
∴cos α＋2tan α＝－7
10
.
综上所述，若点P 位于第三象限，则cos α＋2tan α＝7
10；
若点P 位于第四象限，则cos α＋2tan α＝－7
10.
11．已知扇形AOB 的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB 的长. 解析 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
2r ＋l ＝8，1
2
lr ＝3，解得⎩⎨
⎧
r ＝3，
l ＝2，
或⎩⎨
⎧
r ＝1，l ＝6，
∴α＝l r ＝23或α＝l
r
＝6.
(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12
r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r
＝2，即α＝l
r
＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1． 12．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合；
(2)确定α
2
的终边所在的象限；
(3)试判断tan α2sin α2cos α
2的符号.
解析 (1)由sin α<0，知α的终边在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan
α>0，知α的终边在第一、三象限，
故α的终边在第三象限，其集合为
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α|2k ＋1π<α<2k π＋
3π2，k ∈Z . (2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋
3π
2
，k ∈Z ， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α
2
的终边在第二、四象限．
(3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α
2
<0， 所以tan α2sin α2cos α
2
取正号； 当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α
2
>0， 所以tan α2sin α2cos α
2
也取正号．
因此tan α2sin α2cos α
2
取正号．。