2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：4.1平面向量的概念及其线性运算
考点一
平面向量的概念
【典例1】(1)(2017·成都模拟)设a,b都是非零向量,
下列四个条件中,使 a b 成立的充分条件是
答案：2
5.(2017·石家庄模拟)设D,E分别是△ABC的边AB,BC
2 1 上的点,AD= AB,BE= BC,若 DE 1 AB 2 AC 3 2
( λ 1, λ
2
为实数),则λ 1+λ 2的值为________.
1 2 1 2 【解析】由 DE DB BE AB BC AB (AC AB) 3 2 1 . 1 则λ +λ 的值为 AB AC， 1 2 2 6 3 1 答案： 2 2 2 3
4.(2017·成都模拟)如图,在平行四边形ABCD中,对角
线AC与BD交于点O, AB AD AO 则λ =________.
【解析】在平行四边形ABCD中， AB AD AC ，而 AC
2AO, 所以 AB AD 2AO ,故λ=2.
(3)几个特殊向量: 特点
名称
零向量 单位向量 相等向量 相反向量
长度(模) 0 1 __ 相等 相等 _____
方向
任意 _____
任意 相同 _____ 相反 _____ 相同或相反 ___________
平行向量
2.向量的加法、减法与数乘 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: b+ a a+b=____ (2)结合律:(a+ a+(b+c) b)+c=________
求两个向
加法 量和的运
算
三角形 法则 _______
平行四边形 法则 ___________
定义 向量a加上向 相反 量b的_____ 向量 叫做a与 减法 _____ b的差,即a+ (-b)=a-b
法则(或几何意义)
运算律
a-b=a+(-b)
三角形 法则 _______
法则(或几何意义) (1)模:|λ a|= |λ ||a| 实数λ 与向 (2)方向: 量a的积是一 当λ >0时,λ a与a的 数乘 相同 向量 记 方向_____ 个_____, 当λ <0时,λ a与a的 作λ a 相反 方向_____ 当λ =0时,λ a=0
(
)
B.BD CF DF 0 D.BD BE FC 0
【解析】选A.因为D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的
1 中点,所以 AD AB, 2 1 1 BE BC,CF CA, 2 2 1 1 1 1 则 AD BE CF AB BC CA (AB BC CA) 0. 2 2 2 2
【特别醒】 1.三个常用的结论 (1)零向量与任何向量共线. (2)平行向量与起点无关.
(3)若存在非零实数λ ,使得 AB AC 或 AB BC 或 AC BC ,则A,B,C三点共线.
2.两个注意点 (1)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减 向量的终点. (2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则λ 可 能不存在,也可能有无数个.
定义
运算律 设λ ,μ 是实 数. λ ( μ a) (1)________= (λ μ )a (2)(λ +μ )a= λ a+ μ a ________ (3)λ (a+b)= λ a+ λ b ________
3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ , b= λ a 使______.
|=| 所以| AC DB |
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知, 四边形ABCD是矩形. 答案:矩形
感悟考题
试一试
3.(2017·龙岩模拟)如图,D,E,F分别是△ABC的边 AB,BC,CA的中点,则
A.AD BE CF 0 C.AD CE CF 0
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
【知识梳理】 1.向量的有关概念 大小 又有_____ 方向 的量叫向量,常用 (1)向量的定义:既有_____,
a或 AB 表示.
(2)向量的模:向量的大小,即表示向量的有向线段的
长度 叫做向量的模,记作|a|或| AB |. _____
【小题快练】 链接教材 练一练
1.(必修4P78T5改编)已知△ABC,设D是BC边的中点,用
AB 与 AC 表示向量 AD,则 AD =________.
【解析】如图,AD AB BD AB 1 BC
1 1 1 AB (AC AB) AB AC. 2 2 2 1 1 答案： AB AC 2 2 2
2.(必修4P92T5改编)在平行四边形ABCD中,若|AB AD| =| AB AD |则四边形ABCD的形状为
.
【解析】如图,因为 AB AD AC, AB AD DB,
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人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第七章 平面向量、复数 第一节 平面向量的概念及线性运算 (2)
第七章
第一节 平面向量的概念及线性运算
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实
际背景,理解平面向量和相等向量的含义,
1.平面向量
理解向量的几何表示.
的有关概念
2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解 2.平面向量
其几何意义.
+
4
2
4
4
A.
=
1
1
+ 2
2
=
1
1
+ 4
2
3
1
+
,所以
4
4
=
3
4
=
1
+
2
1
− 4 ,故选
方法总结平面向量的线性运算的求解策略
对点训练 2(2021 广东梅州二模)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, +
=2,则(
)
A. + =0
B. + =0
C. + =0
D. + + =0
答案 B
解析 + =2移项得 + -2=0, − + − = +
=0.故选 B.
考向2.向量加、减运算的几何意义
典例突破
例3.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(
满足=3 ,CD 与 AE 交于点 M.若=x +y ,则 x+y=(
5
A.2
第一节 平面向量的概念及线性运算
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实
际背景,理解平面向量和相等向量的含义,
1.平面向量
理解向量的几何表示.
的有关概念
2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解 2.平面向量
其几何意义.
+
4
2
4
4
A.
=
1
1
+ 2
2
=
1
1
+ 4
2
3
1
+
,所以
4
4
=
3
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=
1
+
2
1
− 4 ,故选
方法总结平面向量的线性运算的求解策略
对点训练 2(2021 广东梅州二模)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, +
=2,则(
)
A. + =0
B. + =0
C. + =0
D. + + =0
答案 B
解析 + =2移项得 + -2=0, − + − = +
=0.故选 B.
考向2.向量加、减运算的几何意义
典例突破
例3.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(
满足=3 ,CD 与 AE 交于点 M.若=x +y ,则 x+y=(
5
A.2
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第1节 平面向量的概念及线性运算
→
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.
(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,
解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.
(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,
解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(
高考数学(理)一轮复习课件：平面向量的概念及其线性运算(新人教A版)共31页文档
设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且 |a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
第33讲 │ 要点探究
[思路] 从相等向量与共线向量的定义出发，注意从模和方 向两方面进行考虑．
[思路] 由 a，tb，13(a＋b)三向量的终点共线，得 m＝λn 这样一种形式，由平面向量的基本定理得方程组，解方程组 得 t 的值．
第33讲 │ 要点探究
[解答] 设O→A＝a，O→B＝tb，O→C＝13(a＋b)， ∴A→C＝O→C－O→A＝－23a＋13b，A→B＝O→B－O→A＝tb－a. 要使 A、B、C 三点共线，只需A→C＝λA→B(λ∈R)， 即－23a＋13b＝λ(tb－a)． 因为 a，b 是两个不共线的非零向量，则由平面向量的基本定理，得
第33讲 │ 要点探究
[思路] 向量概念的关键词是大小和方向，正确理解向量 的有关概念是解决这类问题的关键；要注意特殊情况，否定 命题只要举出一个反例即可．
第33讲 │ 要点探究
②③ [解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定 相同．
②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C. 又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反 之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，因此A→B＝D→C. ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同； 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b， 故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.
第33讲 │ 要点探究
[思路] 从相等向量与共线向量的定义出发，注意从模和方 向两方面进行考虑．
[思路] 由 a，tb，13(a＋b)三向量的终点共线，得 m＝λn 这样一种形式，由平面向量的基本定理得方程组，解方程组 得 t 的值．
第33讲 │ 要点探究
[解答] 设O→A＝a，O→B＝tb，O→C＝13(a＋b)， ∴A→C＝O→C－O→A＝－23a＋13b，A→B＝O→B－O→A＝tb－a. 要使 A、B、C 三点共线，只需A→C＝λA→B(λ∈R)， 即－23a＋13b＝λ(tb－a)． 因为 a，b 是两个不共线的非零向量，则由平面向量的基本定理，得
第33讲 │ 要点探究
[思路] 向量概念的关键词是大小和方向，正确理解向量 的有关概念是解决这类问题的关键；要注意特殊情况，否定 命题只要举出一个反例即可．
第33讲 │ 要点探究
②③ [解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定 相同．
②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C. 又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反 之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，因此A→B＝D→C. ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同； 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b， 故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.
高考数学一轮复习讲义第五章平面向量概念及线性运算
向量的线性运算
例 2 在△ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB＝2GE，设A→B＝a，A→C＝b，试用 a，b 表示 A→D，A→G.
结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向 量加减运算的关键． 解 A→D＝12(A→B＋A→C)＝12a＋12b； A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E＝A→B＋13(B→A＋B→C) ＝23A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→B＋13A→C＝13a＋13b.
定义
法则(或几 何意义)
运算律
求两个向量 加法
和的运算
三角形 平行四边形
(1)交换律： a＋b＝b＋a
(2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ．
要点梳理
忆一忆知识要点
求 a 与 b 的相
减法 反向量－b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差
三角形 法则
a－b＝a＋(－b)
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
一轮复习讲义
平面向量的概念及线性运算
要点梳理
忆一忆知识要点
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向 量的大小叫做向量的长度 平面向量是自由向量
(或称为模)
长度为 0 的向量；其方向
零向量 是任意的
记作 0
非零向量 a 的单位向量
单位向量 长度等于1个单位 的向量
为±|aa|
要点梳理
探究提高
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时， 不要把它与函数图象移动混为一谈． (5)非零向量 a 与|aa|的关系是：|aa|是 a 方向上的单位向量．
高考数学一轮总复习 第26讲 平面向量的概念及线性运算课件 理 新人教A版
(5)因为O→A＋O→B＋O→C＝0，
第二十五页，共45页。
所以O→A＝－(O→B＋O→C)，即O→B＋O→C是与O→A方向相反且 长度相等的向量．
如图所示，以 OB、OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD，
则O→D＝O→B＋O→C，所以O→D＝－O→A， 在平行四边形 BOCD 中，设 BC 与 OD 相交于 E，B→E＝E→C， 则O→E＝E→D. 所以 AE 是△ABC 的边 BC 的中线，且|O→A|＝2|O→E|. 所以 O 是△ABC 的重心，故正确．
第二十二页，共45页。
(4)O 是平面内一定点，A、B、C 是平面内不共线的三个 点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(|AA→→BB|＋|AA→→CC|)，λ∈[0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心；
(5)已知 A、B、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点， 若O→A＋O→B＋O→C＝0，则 O 是△ABC 的重心．
第三十四页，共45页。
三 平面向量 (xiàngliàng)共线问题
【例 3】设 a，b，c 为非零向量，其中任意两向量不共 线，已知 a＋b 与 c 共线，且 b＋c 与 a 共线，试问 b 与 a ＋c 是否共线？并证明你的结论．
第三十五页，共45页。
【解析】 b 与 a＋c 共线，证明如下： 因为 a＋b 与 c 共线，所以存在唯一实数 λ， 使得 a＋b＝λc，① 又因为 b＋c 与 a 共线，所以存在唯一实数 μ， 使 b＋c＝μa，② ①－②，得 a－c＝λc－μa，即(1＋μ)a＋(－1－λ)c＝0. 因为 a 与 c 不共线，由平面向量基本定理，得
素材 (sùcái )3
已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a －3b 平行，且平行时它们是同向还是反向？
第二十五页，共45页。
所以O→A＝－(O→B＋O→C)，即O→B＋O→C是与O→A方向相反且 长度相等的向量．
如图所示，以 OB、OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD，
则O→D＝O→B＋O→C，所以O→D＝－O→A， 在平行四边形 BOCD 中，设 BC 与 OD 相交于 E，B→E＝E→C， 则O→E＝E→D. 所以 AE 是△ABC 的边 BC 的中线，且|O→A|＝2|O→E|. 所以 O 是△ABC 的重心，故正确．
第二十二页，共45页。
(4)O 是平面内一定点，A、B、C 是平面内不共线的三个 点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(|AA→→BB|＋|AA→→CC|)，λ∈[0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心；
(5)已知 A、B、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点， 若O→A＋O→B＋O→C＝0，则 O 是△ABC 的重心．
第三十四页，共45页。
三 平面向量 (xiàngliàng)共线问题
【例 3】设 a，b，c 为非零向量，其中任意两向量不共 线，已知 a＋b 与 c 共线，且 b＋c 与 a 共线，试问 b 与 a ＋c 是否共线？并证明你的结论．
第三十五页，共45页。
【解析】 b 与 a＋c 共线，证明如下： 因为 a＋b 与 c 共线，所以存在唯一实数 λ， 使得 a＋b＝λc，① 又因为 b＋c 与 a 共线，所以存在唯一实数 μ， 使 b＋c＝μa，② ①－②，得 a－c＝λc－μa，即(1＋μ)a＋(－1－λ)c＝0. 因为 a 与 c 不共线，由平面向量基本定理，得
素材 (sùcái )3
已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a －3b 平行，且平行时它们是同向还是反向？
2018高考数学(全国、理科)一轮复习课件：第24讲 平面向量的概念及其线性运算
课前双基巩固
数乘
(1)|λa|＝|________ ． (1)对向量加法的分 λ||a| 实数λ 与向量 a 的积 (2)当 λ>0 时，λa 与 a 配律：λ (a＋b)＝ 相同 ； λa＋λb 是一个向量 ______，这种 的方向________ ______； 当 λ<0 时， λa 与 a 的 运算叫作向量的 (2)对实数加法的分 方向________ 相反 ； 数乘 ，记作 ______ 当 λ＝0 时，λa＝ 配律：(λ1＋λ2)a＝ λa ________ λ1a＋λ2a ________ ________ 0
5．了解向量线性运算的性质及其几何意义.
教学参考
考情分析
考点
考查方向
考例
考查热度 ★☆☆
平面向量 的概念
概念辨析、应用等
2016全国卷 平面向量 加、减、数乘运算及其 Ⅱ3， 2015全国 的线性运 应用 算 卷Ⅰ7 共线向量 根据向量共线确定参数 2015全国卷Ⅱ13 值、应用等
★☆☆
★☆☆
真题再现
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
→ －BM → )＋(BO → －CB →) 1．[教材改编] (AB → ＝________． ＋OM
→ [答案] AC
→ ＋MB → )＋ [解析] 原式＝(AB → ＋BC → )＋OM → ＝AB → ＋BO → (BO → ＋MB → ＋BC → ＝AC →. ＋OM
[解析] D 若|a|＝|b|成立，则 以 a，b 为边组成的平行四边 形为菱形，a＋b，a－b 表示 的是该菱形的对角线， 而菱形 的对角线不一定相等，所以|a ＋b|＝|a－b|不一定成立，从 而不是充分条件；反之，若|a ＋b|＝|a－b|成立，则以 a，b 为边组成的平行四边形为矩 形，矩形的邻边不一定相等， 所以|a|＝|b|不一定成立，从而 不是必要条件．故选 D.
A版2018版高考数学理一轮专题复习课件专题5 平面向量 精品
2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻求 向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量 的坐标运算求解.
第一步,观察并将待求向量表示成两个 (或多个)相关向量a,b（或a,b,c,…）的和 或差；
第二步,把向量a,b（或a,b,c,…）分别进 行分解,直到用基底表示出向量a,b（或 a,b,c,…） ； 第三步,将a,b（或a,b,c,…）代入第一步 中的式子,从而得到结果．
第一步,把待求向量看作未知量； 第二步,列出方程组； 第三步,用解方程组的方法求解待求向 量．
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
考点29 考法3 平面向量基本定理的应用
1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.
2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻求 向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量 的坐标运算求解.
3.平面向量的坐标运算
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算
考点29
✓ 考法3 平面向量基本定理的应用
✓ 考法4 平面向量的共线问题 ✓ 考法5 平面向量的坐标表示与运算
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
考点29 考法3 平面向量基本定理的应用
1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.
应注意的是,基底的选择并不唯一，只 要两个向量不共线，都可作为一组基底. 2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴 正方向相同的两个单位向量i, j作为基底,对 平面内任一向量a,有且仅有一对实数x,y,使得 a＝xi＋yj,则实数对(x,y)叫做向量a的直角坐 标,记作a＝(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴，y 轴上的坐标,相等向量的坐标相同,坐标相同 的向量是相等向量．
第一步,观察并将待求向量表示成两个 (或多个)相关向量a,b（或a,b,c,…）的和 或差；
第二步,把向量a,b（或a,b,c,…）分别进 行分解,直到用基底表示出向量a,b（或 a,b,c,…） ； 第三步,将a,b（或a,b,c,…）代入第一步 中的式子,从而得到结果．
第一步,把待求向量看作未知量； 第二步,列出方程组； 第三步,用解方程组的方法求解待求向 量．
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
考点29 考法3 平面向量基本定理的应用
1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.
2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻求 向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量 的坐标运算求解.
3.平面向量的坐标运算
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算
考点29
✓ 考法3 平面向量基本定理的应用
✓ 考法4 平面向量的共线问题 ✓ 考法5 平面向量的坐标表示与运算
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
考点29 考法3 平面向量基本定理的应用
1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.
应注意的是,基底的选择并不唯一，只 要两个向量不共线，都可作为一组基底. 2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴 正方向相同的两个单位向量i, j作为基底,对 平面内任一向量a,有且仅有一对实数x,y,使得 a＝xi＋yj,则实数对(x,y)叫做向量a的直角坐 标,记作a＝(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴，y 轴上的坐标,相等向量的坐标相同,坐标相同 的向量是相等向量．
高考一轮第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算ppt
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1．下列给出的命题正确的是
A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量有且仅有一个
(
)
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向 相同的向量
D．相等的向量必是共线向量
答案： D
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2．如右图所示，向量a－b等于 A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
(
)
C．e1－3e2
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 盘锦模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 M、N、P 三点共线，O 为坐标原点，且 ON ＝ a15 OM ＋a6 OP (直线 MP 不过点 O)，则 S20 等于 ( A．10 C．20 B．15 D．40 )
求两个
加法 向量和 的运算
(1)交换律：a＋b＝
三角形 法则
b＋a .
(2)结合律：(a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) .
平行四边形 法则
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向量
运算
定义 求a与b的相反
法则(或几何意义)
运算律
减法
向量－b的和的
运算叫做a与b 的差 三角形 法则
返回
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“a＋2b＝0”⇒“a∥b”，但“a∥b” ¿ “a＋2b＝0”， 所以“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
答案： A 返回
5．(2012· 南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB ＝ 2e1－8e2， CB ＝e1＋3e2， CD ＝2e1－e2.
高考理科第一轮课件(4.1平面向量的概念及线性运算)
（2）选D.向量的共线与向量的平行是同义的，故A正确；根据 相反向量的概念可得B正确；由向量相等的概念可知C正确；当 两向量的模相等时，方向不一定相同.故D不正确. （3）①不正确，虽然终点相同，但两个向量也可 能不共线，如图，a,b不共线；②不正确，向量不 能比较大小；③不正确，当λ=μ=0时，a与b可为 任意向量，不一定共线.综上①②③都不正确. 答案：①②③
【规范解答】（1）选A.∵ AB BC CA＝0， ＋ ＋ ∴ 2AD 2BE＋2CF 0， ＋ ＝
即 AD BE CF 0. ＋ ＋ ＝ （2）选D.由题意得 PA PB PC PC PA， ＋ ＋ ＝ －
即 PB ＝－2PA 2AP. ＝
)
4.如图，正六边形ABCDEF中， ＋CD EF ＝( BA ＋
(A)0 (B) BE (C) AD (D) CF
)
【解析】选D.BA CD EF CD DE EF CE EF CF. ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
【解析】①正确；②数与向量的积为向量，而不是数，故不正
确；③当a=b时|a|=|b|且a∥b，反之不成立，故错误；④当 a,b不同向时不成立，故错误． 答案：①
考向 2 平面向量的线性运算
【典例2】（1）如图，
D，E，F分别是△ABC的边AB，
BC，CA的中点，则(
A AD＋BE＋CF＝0 B BD－CF＋DF＝0 C AD＋CE－CF＝0 D BD－BE－FC＝0
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.