2017-2018学年高中数学人教A版必修1课件：1.1.1 集合的含义与表示

或写出“„的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形
式．
[通一类]
3．有下面六种表示方法 ①{x＝－1，y＝2} ③{－1，2} 或 y＝2}．
2x＋y＝0， 其中，能正确表示方程组 的解集的是 x－y＋3＝0 x＝－1， ②（x，y） y＝2.
总体 叫做集合(简称为集)． (2)集合中元素的性质： ①确定性：即给定的集合，它的元素是 确定 的． ②互异性：即给定集合的元素是 互不相同 的．
③无序性．
(3)集合相等：
只要构成两个集合的元素是 一样的 ，就称这两个集合 是相等的． (4)元素与集合的关系： a是集合A的元素，记作 a∈A ，a不是集合A的元素，
[悟一法] 判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找 到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不 是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、
无序性．
[通一类] 1．下列能构成集合的是 ( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．2011年深圳大学生运动会比赛的所有项目 C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆 D．世界上的高楼 答案：B
解：∵A＝{a－3，2a－1}，
∴由集合中元素的互异性可得a－3≠2a－1. ∴a≠－2. ∴a的取值范围为a≠－2.
[研一题]
[例 3] 用适当的方法表示下列集合：
x＋y＝3 (1)方程组 的解集； x－y＝5
(2)不等式 2x－3>5 的解集．
[自主解答]
x＋y＝3 (1)集合用描述法表示为{(x， y)| }． 解 x－y＝5
[例2]
[研一题] 已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}， 若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1，
若1∈A，求实数a的值． [自主解答] 0，1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；
若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，
当a＝0时，A＝{2，1，3}，满足题意． 当a＝－2时，A＝{0，1，1}，与集合中元素的互异 性矛盾，舍去； 若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)． 综上可知，a＝0.
提示：不是同一集合．集合{－5，－8}中元素有2个， 为数．而集合{(－5，－8)}中有一个元素,为坐标(－5， －8)．
[研一题]
[例 1] 下列每组对象能否构成一个集合： (1)某校 2011 年在校的所有高个子同学； (2)不超过 20 的非负数； (3)帅哥； (4)直角坐标系平面内第一象限的一些点； (5) 3的近似值的全体．
第 一 章
读教材·填要点
1.1.1
课前预习·巧设计
集 合 与 函 数 概 念
1.1
集 合
集 合 的 含 义 与 表 示
小问题·大思维
考点一
名师课堂·一点通
考点二
考点三 解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关
No.2课下检测
[读教材·填要点] 1．元素与集合 (1)元素与集合的定义：
一般地，把 研究对象 统称为元素，把一些元素组成的
[悟一法] 1．这类问题既要用元素的确定性，又要利用互异性检 验解的正确与否．初学者解题时易忽略元素的互异性，学 习中要高度重视．另外，本类问题往往涉及分类讨论的数 学思想．
2．一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两
个集合的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合．
[通一类] 2．含有两个实数的集合A可以表示为{a－3，2a－1}，求实 数a的取值范围．
N
[小问题·大思维]
1．著名数学家能否构成一个集合？
提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是 不确定的对象，所以不能构成集合． 2．一个集合能表示成{s，k，t，k}吗？ 提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个 相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一 个元素．
3．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}是同一集合吗？
②
能
③
否
集是点集，且只有一个元素.
序号 判断 ④ 否
原因分析
④没有用花括号“{
集合.
}”括起来，不表示
⑤
能
⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组 解对应相等. ⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，
⑥
否
须加小括号(
)，条件中“或”也要改为“且.答案：②⑤已知集合A中含有三个元素:1，0，x，若x3∈A，求
实数x的值．
[错解] ∵x3∈A，故x3＝0或x3＝1
或x3＝x.若x3＝0，则x＝0； 若x3＝1，则x＝1;若x3＝x, 则x＝1或x＝0.
综上所述：所求x的值为0或1.
[错因]
本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元
素的互异性，解出来的结果没有代入检验，得出了错误结 果；二是解x2＝x时漏掉了x＝－1这个答案，也导致了错误 的结果． [正解] ∵x3∈A，
∴x3是集合A中的元素．
又∵集合A中含有3个元素， ∴需分情况讨论： ①若x3＝0，则x＝0，此时集合A中有两个元素0，不符 合集合中元素的互异性，舍去；
②若x3＝1，则x＝1，此时集合A中有两个元素1，不符
合集合中元素的互异性，舍去；
③若x3＝x，则x＝0、x＝－1或x＝1，当x＝0、x＝1时 不符合集合中元素的互异性，都舍去．当x＝－1时，此时 集合A中有三个元素1，0，－1，符合集合中元素的互异性； 综上可知，x＝－1.
④(－1，2)
⑤{(－1，2)}
⑥{x，y|x＝－1，
________(把所有正确答案的序号填在空格上)．
解析： 序号 判断 原因分析 ①中含两个元素，且都是式子，而方程组 的解集中只有一个元素，是一个点. ②代表元素是点的形式，且对应值与方程 组解相同. ③中含两个元素，是数集,而方程组的解
①
否
[自主解答] “高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构 成集合．(2)任给一个实数 x，可以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20 或 x<0”，两者必 居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合； (3)“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合； (4)“一些 点 ” 无明确的标准，对于某个点是否在 “ 一些点 ” 中无法确 定，因此 “ 直角坐标平面内第一象限的一些点 ” 不能构成集 合；(6)“ 3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判 断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合．
例2中1∈A改为4∈A，则结果如何？
解：若 a＋2＝4，则 a＝2. ∴A＝{4，9，13}满足题意． 若(a＋1)2＝4，则 a＝1 或 a＝－3. 当 a＝1 时，A＝{3，4，7}，满足题意． 当 a＝－3 时，A＝{－1，3，4，}满足题意． 若 a2＋3a＋3＝4， －3± 13 则 a＝ ，代入后都满足题意，故 a 的值为 a＝1，a 2 －3± 13 ＝2，或 a＝－3 或 a＝ . 2
记作 a∉A ．
2．集合的表示方法
除了用自然语言表示集合外，还可以用 列举法 和 描述法 表示集合．
(1)列举法：把集合中的元素 一一列举出来 ，并用 花括号“{}”括起来表示集合的方法． (2)描述法：用集合所含元素的 共同特征 表示集合
的方法．
3．常用数集及其记法 集合 记法 自然 数集 正整数集 N*或N＋ 整数集 Z 有理 数集 Q 实数集 R
x＝4， 方程组，得 故集合用列举法表示为{(4，－1)}． y＝－1
(2)由 2x－3>5 可得 x>4，所以不等式 2x－3>5 的解集为 {x|x>4，x∈R}．
[悟一法]
1．一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择
适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围． 2．方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程 组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集 一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“„的解集”