江苏省2012届高考数学二轮复习：第16讲 概率与统计

专题六概率与统计、算法、复数第16讲概率与统计1. 了解抽样方法、总体分布的估计与总体特征数的估计．统计部分在高考中依然会以填空题的形式出现，主要考查数据处理意识和初步的数据处理能力，难度较小．2. 了解随机事件概率及几何概型，掌握古典概型的处理方法，了解互斥事件及其发生的概率．概率部分在高考中主要还是以填空题的形式出现．1. 某单位200名职工的年龄分布情况如右图所示，先要从中抽取40名职工样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分成40组(1～5号，6～10号……，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应该是________．若用分层抽样法，则40岁以下年龄段应取________人．2.设a∈{－1,0,1,3}，b∈{－2,4}，则以(a，b)为坐标的点落在第四象限的概率为________．3.某人在上班途中所花的时间分布为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2的值为________．4.在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，在矩形内任取一点P，∠APB>90°的概率是________．【例1】某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1) 求x的值；(2) 先用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？(3) 已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．【例2】 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，求以这三条线段为边可以构成三角形的概率．【例3】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为35，短轴的一个端点到右焦点的距离为5.(1) 求椭圆的方程；(2) 若“椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b 时，则椭圆的面积为πab ” .请针对(1)中的椭圆，求解下列问题：①若m ，n 是实数，且|m|≤5, |n|≤4.求点P(m, n)落在椭圆内的概率；②若m ，n 是整数，且|m|≤5, |n|≤4.求点P(m, n)落在椭圆外的概率及P 落在椭圆上的概率．【例4】 某学科在市模考后从全年级抽出50名学生的学科成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图如图所示．(1) 估计该次考试该学科的平均成绩；(2) 为详细了解每题的答题情况，从样本中成绩在70～90之间的试卷中任选2份进行分析，求至少有1份试卷成绩在70～80之间的概率．1. (2011·江苏)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为________．2. (2011·山东)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．3. (2011·江苏)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.4. (2011·湖南)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1) 圆C 的圆心到直线l 的距离为____________；(2) 圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．5. (2011·北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个(1) 如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2) 如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数) 6.(2011·全国)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面实验结果：(1) 分别估计用A 配方、B 配方生产的产品的优质品率；(2) 已知用B 配方生产的一种产品利润y(单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t<94，2，94≤t ＜102，4，t ≥102.估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．(2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时．(1) 分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； (2) 求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．解：(1) 分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ，则 P(A)＝1－14－12＝14，P(B)＝1－12－14＝14.(5分)答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、14.(6分)(2) 记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，(7分) 则P(C)＝⎝⎛⎭⎫14×12＋⎝⎛⎭⎫14×14＋12×12＋⎝⎛⎭⎫12×14＋14×12＋14×14＝34.(11分) 答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为34.(12分)专题六 概率与统计、算法、复数第16讲 概率与统计1. 在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.【答案】 45 462. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是____________．【答案】7123. 样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为__________，数据落在[2,10)内的概率约为____________．【答案】 64 0.44. 在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x|≤1的概率为____________． 【答案】 235. 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A ，B ，C 区中分别有18,27,18个工厂．(1) 求从A ，B ，C 区中应分别抽取的工厂个数；(2) 若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率．解：(1) 工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为763＝19，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2) 设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为事件X)有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，共有11种．所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为P(X)＝1121.6. 育新中学的高二一班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．(1) 求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2) 经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3) 实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74，第二次做验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．解：(1) P ＝n m ＝460＝115，∴ 某同学被抽到的概率为115，设有x 名男同学，则4560＝x4，∴ x ＝3，∴ 男、女同学的人数分别为3,1.(2) 把3名男同学和1名女同学记为a 1，a 2，a 3，b ，则选取两名同学的基本事件有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b)，(a 2，a 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b)，(a 3，a 1)，(a 3，a 2)，(a 3，b)，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，a 3)共12种，其中有一名女同学的有6种，∴ 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P ＝612＝12.(3) x －1＝68＋70＋71＋72＋745＝71，x －2＝69＋70＋70＋72＋745＝71，s 21＝(68－71)2＋…＋(74－71)25＝4，s 22＝(69－71)2＋…＋(74－71)25＝3.2.∴ 第二次做实验的同学的实验更稳定． 基础训练1. 37 20 解析：系统抽样的编号构成等差数列，公差是5，故第8组抽出的号码为22＋(8－5)×5＝37；50%×40＝20.2. 14 解析：枚举所有点对有8个，落在第四象限的有2个，故所求概率P ＝28＝14. 3. 208 解析：x ＋y ＋10＋11＋9＝50,2＝15[(x －10)2＋(y －10)2＋1＋1]，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝12，所以x 2＋y 2＝208. 4.5π56 解析：这是一道几何概率，点P 在以AB 为直径的半圆内，所求概率P ＝半圆面积矩形面积＝π⎝⎛⎭⎫522×125×7＝5π56.例题选讲例1 解：(1) x ＝2 000×0.19＝380.(2) 初三年级共有学生人数2 000－(373＋377)－(380＋370)＝500人， 初三应抽取48×5002 000＝12人．(3) 记女生比男生多为事件A.∵ ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝500，y ≥245，z ≥245，∴ (y ，z)的可能取值有(245,255)，(246,254)，(247,253)，…，(254,246)，(255,245)，共有11组，其中女生比男生多，即y ＞z的有5组，则P(A)＝511.例2 点拨：本题考查古典概型，用枚举法列出所有的基本事件．解：依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故P ＝3C 34＝34＝0.75.变式训练 现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为__________．解：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3 m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8,2.6和2.9，所求概率为0.2.例3 点拨：本题考查对古典概型和几何概型的理解．解：(1) a ＝5，c ＝3，∴ b ＝4，∴ 椭圆方程是x 225＋y 216＝1.(2) 椭圆的面积是20π.① 记点P(m ，n)落在椭圆内为事件A ，则P(A)＝20π10×8＝π4，即P(m ，n)落在椭圆内的概率为π4.② 记点P(m ，n)落在椭圆外为事件B ，(m ，n)共有11×9＝99个，其中在第一象限内符合事件B 的有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,3)，(4,4)，(3,4)，(2,4)，(1,4)9个，由对称性知事件B 共包括9×4＝36个，则P(B)＝3699＝411，即P(m ，n)落在椭圆外的概率是411.同时易知落在椭圆上的概率是499.例4 解：(1) 用每组中的平均值作为每组中的样本数据，直接算得平均成绩为103.4. (2) 样本中成绩在70～80之间有2人，设其编号为①②，样本中成绩在80～90之间有4人，设其编号为③④⑤⑥，从上述6人中任取2人的所有选取可能为：①②，①③，①④，①⑤，①⑥；②③，②④，②⑤，②⑥；③④，③⑤，③⑥；④⑤，④⑥；⑤⑥.故从样本中成绩在70～90之间任选2人所有可能结果数为15，至少有1人成绩在70～80之间可能结果数为9，因此，所求概率为P 2＝0.6.高考回顾1. 13 解析：这是一道古典概型，用枚举．四个数中取两个数有6种，其中一个数是另一个数的两倍有(1,2)，(2,4)，故所求概率P ＝26＝13.2. 16 解析：400150＋150＋400＋300×40＝16.3.165 解析：平均数为7，代入方差公式s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝165.4. (1) 5 解析：利用点到直线的距离公式d ＝2532＋42＝5； (2) 16 解析：圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即l 1：4x ＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为π3，故所求概率为P ＝π32π＝16.5. 解：(1) 当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为x －＝8＋8＋9＋104＝354.方差为s 2＝14⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫8－3542＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2) 记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)，故所求概率为P(C)＝416＝14.6. 解：(1) 由实验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为22＋8100＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由实验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2) 由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t ≥94，由实验结果知，质量指标值t ≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均一件的利润为1100×[(4×(－2)＋54×2＋42×4)]＝2.68(元)．。