2013年全国大纲版高考压轴数学文试题
2013年湖南省高考压轴卷数学(文)试题
2013年湖南省高考压轴卷数学文本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。
时间120分钟，满分150分。
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置)1.复数()231i i +-的共轭复数是A ．－3－4iB ． －3+4iC ． 3－4iD ． 3+4i2．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（ ） A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤ 3.已知数列}{n a 满足: )(12,1*11N n a a a n n ∈+==+，则=12a （ ） A.210-1 B.211-1 C.212-1 D.213-14.对x ∈R ，“关于x 的不等式f(x)>0有解”等价于 ( )(A) R x ∈∃0，使得f(x 0)>0成立 （B) R x ∈∃0，使得f(x 0）≤0成立(C) R x ∈∀，f(x)>0 成立 （D) R x ∈∀，f(x)≤0 成立5．过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 且倾斜角为60o 的直l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AF BF= （ ）A ．5B ．4C ．3D ．26．给出30个数：1，2，3，5，8，13,……要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）A ．i ≤30？和p ＝p ＋i －1B ．i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1C ．i ≤31？和p ＝p ＋iD ．i ≤30？和p ＝p ＋i7．已知,A B 是单位圆上的动点，且AB 单位圆的圆心为O ，则O A A B ∙= （）A ．BC ．32-D ．328．在空间中，a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( )A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，aα，则a ∥β9．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为 ( )A ．y ＝e xB ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分）10．已知实数X,满足约束条件，则目标函数Z=X-y 的最小值等于______.11.已知,x y R +∈，且满足22x y xy +=，那么+4x y 的最小值是 12.在极坐标系中，点A 的坐标为曲线c 的方程 为，则0A (O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为____.13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ．14.已知双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线y 2=8x 有公共的焦点F ，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C 的离心率为2，则|MF|=_____. 15. 给出下列四个命题： ①命题，则,②当时,不等式的解集为非空；③当X>1时，有④设有五个函数.，其中既是偶函数又在上是增函数的有2个.其中真命题的序号是_____.三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。
2013新课标高考压轴卷(一)文科数学
绝密*启用前KS5U2013新课标高考压轴卷（一）文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题★★★答案★★★后，用铅笔把答题卡上对应题目的★★★答案★★★标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它★★★答案★★★标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时.将★★★答案★★★写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A ）B=A ．{}|1x x >-B ．{}|11x x -<≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x <<2. i 是虚数单位，复数ii+12的实部为 A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-3.已知函数f(x)=20082cos(2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f[f （2013）]= AB ．C ．1D ． -14．已知椭圆方程22143x y +=，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为B.C.2D.35.从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a 从{}2,3,4中随机选取一个数b ，则b a >的概率是A.45B.35C.25D.156.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A．2 B．3 C．4D ．57. 已知动点P(m,n)在不等式组4x yx yx+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则35nzm-=-的最小值是A.4B.3C.53D.138. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是A．π12B．π24C．π32D．π489. 设向量()()cos,1,2,sina bαα=-=，若a b⊥，则tan4πα⎛⎫-⎪⎝⎭等于A.13- B.13C.3- D.310. 若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是 （ ）A ．32B ．5C ．32或5 D ．3522或 11. 已知函数()()()1222,log ,log xf x xg x x xh x x x =+=-=-的零点分别为123,,x x x ，则123,,x x x 的大小关系是 A.123x x x >>B.213x x x >>C.132x x x >>D.321x x x >>12. 已知偶函数)(x f 在R 上的任一取值都有导数，且),2()2(,1)1('-=+=x f x f f 则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为A.2B.-2C.1D.-1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：人）篮球组 书画组 乐器组高一 45 30 a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为 . 14. 在△ABC中，角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，若2223sin A sin C sin B sin AsinC +-=，则角B 为15. 若两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a=-=+，则向量a b +与a 的夹角为16.已知函数，给出下列四个说法： ①若，则；②的最小正周期是； ③在区间上是增函数； ④的图象关于直线对称． 其中说法正确的序号为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）某普通高中共有教师360人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是0.15、0.1． （Ⅰ）求,,x y z 的值；（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按1:60的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .第一批次 第二批次 第三批次女教师 86x y 男教师94 66z（1） 求证：CE ⊥平面PAD ；（11）若PA =AB =1，AD =3，CD 2，∠CDA =45°，求四棱锥P-ABCD 的体积.20.（本小题满分12分）给定抛物线2:4C y x =，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）设l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； （Ⅱ）设2FA BF =，求直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知322()2f x x ax a x =+-+．（Ⅰ）若1a =，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若0,a ≠ 求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若不等式22ln ()1x x f x a '≤++恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE 、CFD 都是⊙O 的割线，AC =AB . （1）证明：AC 2=AD ·AE （2）证明：FG ∥AC23. (本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ，求||AB .24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()12f x x x m =++-- （I ）当5=m 时，求()0f x >的解集；（II ）若关于x 的不等式()2f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围．参考★★★答案★★★1.【★★★答案★★★】B【解析】(){1}R A x x =≤，所以(){11}R A B x x =-<≤,选B.2.【★★★答案★★★】C【解析】222(1)221+21(1)(1)2i i i i i i i i i --===++-，所以实部是1，选C. 3.【★★★答案★★★】D 【解析】201320085(2013)2232f -===，所以322[(2013)](32)2cos2cos 133f f f ππ====-，选D. 4.【★★★答案★★★】C【解析】由题意知双曲线的焦点在x 轴上.椭圆的一个焦点为(1,0)，椭圆实轴上的一个顶点为(2,0)，所以设双曲线方程为22221x y a b -=，则1,2a c ==，所以双曲线的离心率为2ce a==，选C.5.【★★★答案★★★】C【解析】从两个集合中各选1个数有15种，满足b a >的数有，(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4)共有6个，所以b a >的概率是62155=，选C. 6.【★★★答案★★★】C 【解析】第一次循环，63,22n i ===，第二次，3354,3n i =⨯-==，第三次循环44,22i n ===满足条件输出4i =，所以选C. 7.【★★★答案★★★】D【解析】做出不等式组对应的平面区域OAB .因为35n z m -=-，所以z 的几何意义是区域内任意一点(,)P x y 与点(5,3)M 两点直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点AM 时，斜率最小，由40x y x y +=⎧⎨-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ,此时321523AM k -==-,所以35n z m -=-的最小值是13，选D. 8.【★★★答案★★★】D【解析】由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD 是边长为4的正方形，高为44=，即球的半径为2448ππ=.选D.9.【★★★答案★★★】B【解析】因为a b ⊥，所以2cos sin 0a b αα=-=，即tan 2α=.所以tan 1211tan()41tan 123πααα---===++，选B.10.【★★★答案★★★】C【解析】因为m 是2和8的等比中项，所以216m =，所以4m =±，当4m =时，圆锥曲线为椭圆2214y x +=，离心率为2，当4m =-时，圆锥曲线为双曲线2214y x -=，离心C. 11.【★★★答案★★★】D【解析】由()()()12220log 0log 0x f x x g x x x h x x =+==-===，，得1222,log ,log x x x x x =-==在坐标系中分别作出2,,x y y x ==-12,log ,y x y x ==2log ,y x y =由图象可知110x -<<，201x <<，31x >，所以321x x x >>，选D.12.【★★★答案★★★】D【解析】由(2)(2),f x f x +=-得(4)(),f x f x +=可知函数的周期为4，又函数)(x f 为偶函数，所以(2)(2)=(2)f x f x f x +=--，即函数的对称轴为2x =，所以(5)(3)(1)f f f -==，所以函数在5-=x 处的切线的斜率'(5)'(1)1k f f =-=-=-，选D.13.【★★★答案★★★】30【解析】由题意知，12304515120a =++，解得30a =. 14.【★★★答案★★★】6π【解析】由正弦定理可得2223a c b ac +-=，所以22233cos 222a cb ac B ac ac +-===，所以6B π=.15.【★★★答案★★★】3π【解析】由a b a b +=-得，222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即0a b ⋅=.由2a b a +=，得22224a a b b a +⋅+=，即223b a =，所以3b a =，所以22()a b a a a b a+⋅=+⋅=，所以向量a b +与a 的夹角的余弦值为2()1cos 22a b a aa b aa aθ+⋅===+⋅⋅，所以3πθ=.16.【★★★答案★★★】③④ 【解析】函数1()sin cos sin 22f x x x x ==，若12()=()f x f x -，即1211sin 2=sin 222x x -，所以12sin 2=sin 2x x -，即12sin 2=sin(2)x x -，所以122=22x x k π-+或122=22,x x k k Z ππ-+∈，所以①错误；2,ω=所以周期2T ππω==，所以②错误；当44x ππ-≤≤时，222x ππ-≤≤，函数递增，所以③正确；当34x π=时，313131()sin 2)=sin =424222f πππ=⨯-（为最小值，所以④正确，所以说法正确的序号为③④. 17.【★★★答案★★★】解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则()12112210a a d a d ⎧=⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得2d =或4d =-（舍）…………………………………………………………………5分 所以2(1)22n a n n =+-⨯= ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）21cos 24sin 42xy x ππ-==⨯2cos22x π=-+其最小正周期为212ππ=，故首项为1；……………………………………………………7分 因为公比为3，从而13n n b -= ……………………………………………………………8分 所以123n n n a b n --=-故()()()011234323n n S n -=-+-++-()2213213n n n +-=--211322n n n =++-⋅………………………………………………12分 18. 【★★★答案★★★】（Ⅰ）3600.1554,3600.136x y =⨯==⨯= 360865436946624z =-----= -----------3分（Ⅱ）由题意知，三个批次的人数分别是180,120,60，所以被选取的人数分别为3,2,1.-------------5分（Ⅲ）第一批次选取的三个教师设为123,,A A A ,第二批次的教师为12,B B ,第三批次的教师设为C ，则从这6名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为{1213111212321222313231212,,,,,,,,,,,,,,}A A A A AB A B AC A A A B A B A C A B A B A C B B BC B C Ω=共15个 ------------8分“来自两个批次”的事件包括{111121212223132312,,,,,,,,,,}A B A B AC A B A B A C A B A B A C BC B C Ω=共11个，---10分 所以“来自两个批次”的概率1115p =． -----12分 19.【★★★答案★★★】(1)证明:因为PA ⊥平面ABCD,CE ⊂平面ABCD,所以PA ⊥CE, 因为AB ⊥AD,CE ∥AB,所以CE ⊥AD,又PA ⋂AD=A,所以CE ⊥平面PAD …………5分(2)解:由(1)可知CE ⊥AD,在直角三角形ECD 中,DE=CD cos 451⋅=,CE=CD sin 451⋅=. 又因为AB=CE=1,AB ∥CE,所以四边形ABCE 为矩形,所以ABCD ABCE BCD S S S ∆=+=12AB AE CE DE ⋅+⋅=15121122⨯+⨯⨯=,又PA ⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD 的体积等于115513326ABCD S PA ⋅=⨯⨯=………….12分 20. 【★★★答案★★★】（Ⅰ）解：()24,1,0,y x F =∴又直线l 的斜率为1，∴直线∴l 的方程为：1y x =-，代入24y x =，得：2610x x -+=，由根与系数的关系得：121261x x x x +=⎧⎨⋅=⎩，易得AB 中点即圆心的坐标为()3,2，又128,4AB x x p r =++=∴=， ∴所求的圆的方程为：()()223216x y -+-=.^……………………4分（Ⅱ）2,2,FA BF FA BF =∴=而()()11221,,1,FA x y BF x y =-=--，()12121212x x y y -=-⎧∴⎨=-⎩，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为： ()1y k x =-，代入24y x =，得：()2222240k x k x k -++=，由根与系数的关系得： 212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩，()12121x x -=-，∴1211x x =⎧⎨=⎩或12212x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴k =± ∴直线l的方程为：)1y x =±-.……………………12分21．【★★★答案★★★】解：（Ⅰ） ∵ 1=a ∴2)(23+-+=x x x x f ∴ 123)(2-+='x x x f ……1分∴ =k 4)1(='f ， 又3)1(=f ，所以切点坐标为)3,1( ∴ 所求切线方程为)1(43-=-x y ，即014=--y x . …………3分（Ⅱ）22()32()(3)f x x ax a x a x a '=+-=+- 由()0f x '= 得x a =- 或3a x =…………4分 (1)当0a >时，由()0f x '<， 得3a a x -<<． 由()0f x '>， 得x a <-或3a x > 此时()f x 的单调递减区间为(,)3a a -，单调递增区间为(,)a -∞-和(,)3a +∞. …………5分(2)当0a <时，由()0f x '<，得3a x a <<-． 由()0f x '>，得3a x <或x a >- 此时()f x 的单调递减区间为(,)3a a -，单调递增区间为(,)3a -∞和(,)a -+∞. 综上：当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,)3aa -， 单调递增区间为(,)a -∞-和(,)3a +∞ 当0a <时，()f x 的单调递减区间为(,)3a a - 单调递增区间为(,)3a -∞和(,)a -+∞. …………7分 （Ⅲ）依题意),0(+∞∈x ，不等式22ln ()1x x f x a '≤++恒成立, 等价于 123ln 22++≤ax x x x 在(0,)+∞上恒成立 可得x x x a 2123ln --≥在(0,)+∞上恒成立 ………………9分 设()x x x x h 2123ln --=, 则()()()22'213121231x x x x x x h +--=+-= ………………10分令0)(='x h ，得11,-3x x ==（舍）当10<<x 时，0)(>'x h ；当1>x 时，0)(<'x h 当x 变化时，)(),(x h x h '变化情况如下表：∴ 当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h m ax =-2 2-≥∴a∴ a 的取值范围是[)+∞-,2. ………12分22.【★★★答案★★★】（Ⅰ）∵AB 是⊙O 的一条切线，∴AE AD AB ⋅=2．又∵AB AC =，∴AE AD AC ⋅=2 …… 5分 （Ⅱ）∵AE AD AC ⋅=2，∴ACAE AD AC =，又∵CAE DAC ∠=∠， ∴CAD ∆∽EAC ∆ ∴AEC ACD ∠=∠. 又∵四边形DEGF 是⊙O 的内接四边形，∴AEC CFG ∠=∠ ∴CFG ACD ∠=∠∴AC FG //. …… 10分23.【★★★答案★★★】解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为01=--y x ，曲线P 的直角坐标方程为03422=+-+x y x ．……5分 （Ⅱ）曲线P 可化为1)2(22=+-y x ，表示圆心在)0,2(，半径=r 1的圆，则圆心到直线C 的距离为2221==d ，所以2222=-=d r AB ．……10分 24.【★★★答案★★★】解：（I ）由题设知：5|2||1|>-++x x ，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：⎩⎨⎧>-++≥5212x x x ，或⎩⎨⎧>+-+<≤52121x x x ，或⎩⎨⎧>+---<5211x x x ， 解得函数)(x f 的定义域为),3()2,(+∞--∞ ； …………（5分） （II ）不等式()2f x ≥即2|2||1|+>-++m x x ，∵R ∈x 时，恒有3|)2()1(||2||1|=--+≥-++x x x x ，不等式2|2||1|+≥-++m x x 解集是R ，∴32≤+m ，m 的取值范围是]1,(-∞． …………（10分）感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2013年全国统一高考数学试卷文科大纲版含解析版
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=（ ）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（ ）A．B．C．D．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（ ）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（ ）A．28B．56C．112D．2246．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）7．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（ ）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）8．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（ ）A．B．C．D．9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）A．5B．4C．3D．210．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（ ）A．9B．6C．﹣9D．﹣611．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）A．B．C．D．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）= ．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答）15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为 ．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c ）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F 2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=（ ）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁U A，即可选出正确选项【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2}所以∁U A={3，4，5}故选：B．【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（ ）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键． 4．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（ ）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（ ）A．28B．56C．112D．224【考点】DA：二项式定理．【专题】5I：概率与统计．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．【解答】解：（x+2）8展开式的通项为T r+1=C x 8﹣r2 r令8﹣r=6得r=2，∴展开式中x6的系数是2 2C82=112．故选：C．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．7．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（ ）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题8．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（ ）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得=1．再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a2=4，b2=3，从而得到椭圆C的方程．【解答】解：设椭圆的方程为，可得c==1，所以a2﹣b2=1…①∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|=3∴可得A（1，），B（1，﹣），代入椭圆方程得，…②联解①②，可得a2=4，b2=3∴椭圆C的方程为故选：C．【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）A．5B．4C．3D．2【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，所以T==，所以ω==4．故选：B．【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．10．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（ ）A．9B．6C．﹣9D．﹣6【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．【解答】解：∵y=x4+ax2+1，∴y′=4x3+2ax，∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）A．B．C．D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）= ﹣1 ．【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题．【分析】利用函数的周期，求出f（﹣1）=f（1），代入函数的解析式求解即可．【解答】解：因设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=f（1）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，函数的定义域是解题的关键，考查计算能力．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 60 种．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有•=60种方法．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为 0 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（0，），C（0，4）设z=F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z=﹣x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（1，1）=﹣1+1=0故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=﹣x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于 16π ．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c ）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE，证明PB⊥OE，OE∥CD，即可证明PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD 的距离，即可求得点A到平面PCD的距离．【解答】（I）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD∴OA=OB=OD，即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD，∴PB⊥OE∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD∴PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，∵，=∴△POD为等腰三角形，∴OF⊥PD∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF=∴点A到平面PCD的距离为1．【点评】本题考查线线垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”，可得A=A1•A2．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．可得B=，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”．则A=A1•A2．P（A）=P（A1•A2）=．（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B=，则P（B）=P（）=+=+=．【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（I）把a=代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=﹣，或x=﹣，判断函数在区间（﹣∞，﹣），（﹣，﹣），（﹣，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥0，可得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0成立，进而可得a 的范围．【解答】解：（I）当a=时，f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3，令f′（x）=0，可得x=﹣，或x=﹣，当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（II）由f（2）≥0，可解得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，f′（x）=3（x2+2ax+1）≥3（）=3（x﹣）（x﹣2）＞0，所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，综上可得，a的取值范围是[，+∞）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F 2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴． 。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(大纲卷)
实用文档绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅ 2．已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则 （A ）1213-（B ）513- （C ）513 （D ）12133．已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1 4．不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,25．()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224 6．函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3实用文档8．已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y += 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）210．已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-611．已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B 3 （C 2 （D ）1312．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k =（A ）12（B ）22 （C 2 （D ）2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， .14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）实用文档15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为.16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a == （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和18．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=。
2013年全国大纲高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则 （ ） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （ ）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ， 因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是 （ ）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是 （ ）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3） 第11题图 连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2） 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”， 则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。
2013年高考试题：文科数学(大纲卷)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅（2）已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则 （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 （3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1（4）不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2（5）()862x x +的展开式中的系数是 （A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224（6）函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 （A ）()1021x x >- （B ）()1021x x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> （7）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 （A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（8）已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 （A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=（9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（10）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为， （A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6（11）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B （C ）3 （D ）13（12）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k == 两点,若则（A ）12（B ）2 （C （D ）2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， .（14）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）。
2013年全国统一高考大纲版文科数学试卷及参考答案与解析
2013年全国统一高考大纲版文科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,2},则∁UA＝( )A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅2.(5分)若α为第二象限角,sinα＝,则cosα＝( )A. B. C. D.3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( )A.－4B.－3C.－2D.－14.(5分)不等式|x2－2|＜2的解集是( )A.(－1,1)B.(－2,2)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)5.(5分)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )A.28B.56C.112D.2246.(5分)函数f(x)＝log2(1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0)7.(5分)已知数列{an }满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)8.(5分)已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|＝3,则C的方程为( )A. B. C. D.9.(5分)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图,则ω＝( )A.5B.4C.3D.210.(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,a＝( )A.9B.6C.－9D.－611.(5分)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.12.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( )A. B. C. D.2二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝.14.(5分)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有种.(用数字作答)15.(5分)若x、y满足约束条件,则z＝－x＋y的最小值为.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }中,a7＝4,a19＝2a9,(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Sn.18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC＝,求C.19.(12分)如图,四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠BAD＝90°,BC＝2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求点A到平面PCD的距离.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率；(Ⅱ)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1. (Ⅰ)求a＝时,讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[2,＋∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.22.(12分)已知双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b；(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|＝|BF1|,证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.2013年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.A＝( )1.(5分)设集合U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,2},则∁UA.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅A,即可选出正确选项【分析】由题意,直接根据补集的定义求出∁U【解答】解：因为U＝{1,2,3,4,5,},集合A＝{1,2}A＝{3,4,5}所以∁U故选：B.【点评】本题考查补集的运算,理解补集的定义是解题的关键2.(5分)若α为第二象限角,sinα＝,则cosα＝( )A. B. C. D.【分析】由α为第二象限角,得到cosα小于0,根据sinα的值,利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值.【解答】解：∵α为第二象限角,且sinα＝,∴cosα＝－＝－.故选：A.【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( )A.－4B.－3C.－2D.－1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解：∵,.∴＝(2λ＋3,3),.∵,∴＝0,∴－(2λ＋3)－3＝0,解得λ＝－3.故选：B.【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.4.(5分)不等式|x2－2|＜2的解集是( )A.(－1,1)B.(－2,2)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)【分析】直接利用绝对值不等式的解法,去掉绝对值后,解二次不等式即可.【解答】解：不等式|x2－2|＜2的解集等价于,不等式－2＜x2－2＜2的解集,即0＜x2＜4, 解得x∈(－2,0)∪(0,2).故选：D.【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查转化思想与计算能力.5.(5分)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )A.28B.56C.112D.224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r＋1项,令x的指数为6求出x6的系数.【解答】解：(x＋2)8展开式的通项为Tr＋1＝C x 8－r2 r令8－r＝6得r＝2,∴展开式中x6的系数是2 2C82＝112.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.6.(5分)函数f(x)＝log2(1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0)【分析】把y看作常数,求出x：x＝,x,y互换,得到y＝log2(1＋)的反函数.注意反函数的定义域.【解答】解：设y＝log2(1＋),把y看作常数,求出x：1＋＝2y,x＝,其中y＞0,x,y互换,得到y＝log2(1＋)的反函数：y＝,故选：A.【点评】本题考查对数函数的反函数的求法,解题时要认真审题,注意对数式和指数式的相互转化.7.(5分)已知数列{an }满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)【分析】由已知可知,数列{an }是以－为公比的等比数列,结合已知可求a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3an＋1＋an＝0∴∴数列{an}是以－为公比的等比数列∵∴a1＝4由等比数列的求和公式可得,S10＝＝3(1－3－10)故选：C.【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题8.(5分)已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|＝3,则C的方程为( )A. B. C. D.【分析】设椭圆的方程为,根据题意可得＝1.再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|＝3算出A、B的坐标,代入椭圆方程得,两式联解即可算出a2＝4,b2＝3,从而得到椭圆C的方程.【解答】解：设椭圆的方程为,可得c＝＝1,所以a2－b2＝1…①∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴,且|AB|＝3∴可得A(1,),B(1,－),代入椭圆方程得,…②联解①②,可得a2＝4,b2＝3∴椭圆C的方程为故选：C.【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长,求椭圆的方程.着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识,属于基础题.9.(5分)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图,则ω＝( )A.5B.4C.3D.2【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值,求出函数的周期,然后求解ω.【解答】解：由函数的图象可知,(x0,y)与,纵坐标相反,而且不是相邻的对称点,所以函数的周期T＝2()＝,所以T＝＝,所以ω＝＝4.故选：B.【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法,考查学生的视图用图能力.10.(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,a＝( )A.9B.6C.－9D.－6【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得a的值.【解答】解：∵y＝x4＋ax2＋1,∴y′＝4x3＋2ax,∵曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,∴－4－2a＝8∴a＝－6故选：D.【点评】本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题.11.(5分)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.【分析】设AB＝1,则AA1＝2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设＝(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ＝||,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可.【解答】解：设AB＝1,则AA1＝2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示：则D(0,0,2),C1(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),＝(1,1,0),＝(1,0,－2),＝(1,0,0),设＝(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则,即,取＝(2,－2,1),设CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ＝||＝,故选：A.【点评】本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键.12.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( )A. B. C. D.2【分析】斜率k存在,设直线AB为y＝k(x－2),代入抛物线方程,利用＝(x1＋2,y1－2)•(x2＋2,y2－2)＝0,即可求出k的值.【解答】解：由抛物线C：y2＝8x得焦点(2,0),由题意可知：斜率k存在,设直线AB为y＝k(x－2), 代入抛物线方程,得到k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0,△＞0,设A(x1,y1),B(x2,y2).∴x1＋x2＝4＋,x1x2＝4.∴y1＋y2＝,y1y2＝－16,又＝0,∴＝(x1＋2,y1－2)•(x2＋2,y2－2)＝＝0∴k＝2.故选：D.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝－1 . 【分析】利用函数的周期,求出f(－1)＝f(1),代入函数的解析式求解即可.【解答】解：因设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.故答案为：－1.【点评】本题考查函数的周期的应用,函数值的求法,值域函数的定义域是解题的关键,考查计算能力.14.(5分)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有60 种.(用数字作答)【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法,2名二等奖,种方法,利用分步计数原理即可得答案.【解答】解：依题意,可分三步,第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法,第二步,再决出2名二等奖,有种方法,第三步,剩余三人为三等奖,根据分步乘法计数原理得：共有•＝60种方法.故答案为：60.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,掌握分步计数原理是解决问题的关键,属于中档题.15.(5分)若x、y满足约束条件,则z＝－x＋y的最小值为0 .【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z＝－x ＋y对应的直线进行平移,可得当x＝y＝1时,目标函数z取得最小值,从而得到本题答案.【解答】解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,1),B(0,),C(0,4)设z＝F(x,y)═－x＋y,将直线l：z＝－x＋y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值∴z最小值＝F(1,1)＝－1＋1＝0故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组,求目标函数z＝－x＋y的最小值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于16π.【分析】正确作出图形,利用勾股定理,建立方程,即可求得结论.【解答】解：如图所示,设球O的半径为r,AB是公共弦,∠OCK是面面角根据题意得OC＝,CK＝在△OCK中,OC2＝OK2＋CK2,即∴r2＝4∴球O的表面积等于4πr2＝16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }中,a7＝4,a19＝2a9,(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】(I)由a7＝4,a19＝2a9,结合等差数列的通项公式可求a1,d,进而可求an(II)由＝＝,利用裂项求和即可求解【解答】解：(I)设等差数列{an}的公差为d∵a7＝4,a19＝2a9,∴解得,a1＝1,d＝∴＝(II)∵＝＝∴sn＝＝＝【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用,试题比较容易18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC＝,求C.【分析】(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出cosB,将关系式代入求出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；(II)由(I)得到A＋C的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A－C),变形后将cos(A ＋C)及2sinAsinC的值代入求出cos(A－C)的值,利用特殊角的三角函数值求出A－C的值,与A＋C的值联立即可求出C的度数.【解答】解：(I)∵(a＋b＋c)(a－b＋c)＝(a＋c)2－b2＝ac,∴a2＋c2－b2＝－ac,∴cosB＝＝－,又B为三角形的内角,则B＝120°；(II)由(I)得：A＋C＝60°,∵sinAsinC＝,cos(A＋C)＝,∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝,∴A－C＝30°或A－C＝－30°,则C＝15°或C＝45°.【点评】此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.19.(12分)如图,四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠BAD＝90°,BC＝2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求点A到平面PCD的距离.【分析】(I)取BC的中点E,连接DE,则ABED为正方形,过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OD,OE,证明PB⊥OE,OE∥CD,即可证明PB⊥CD；(II)取PD的中点F,连接OF,证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,即可求得点A到平面PCD的距离.【解答】(I)证明：取BC的中点E,连接DE,则ABED为正方形,过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OD,OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD∴OA＝OB＝OD,即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD,∴PB⊥OE∵O是BD的中点,E是BC的中点,∴OE∥CD∴PB⊥CD；(II)取PD的中点F,连接OF,则OF∥PB由(I)知PB⊥CD,∴OF⊥CD,∵,＝∴△POD为等腰三角形,∴OF⊥PD∵PD∩CD＝D,∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD,CD⊂平面PCD,AE⊈平面PCD,∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF＝∴点A到平面PCD的距离为1.【点评】本题考查线线垂直,考查点到面的距离的计算,考查学生转化的能力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率；(Ⅱ)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【分析】(I)设A1表示事件“第二局结果为甲胜”,A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”,A表示事件“第四局甲当裁判”,可得A＝A1•A2.利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；(II)设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”,B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”.可得B＝,利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出.【解答】解：(I)设A1表示事件“第二局结果为甲胜”,A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”,A表示事件“第四局甲当裁判”.则A＝A1•A2.P(A)＝P(A1•A2)＝.(II)设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”,B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”. 则B＝,则P(B)＝P()＝＋＝＋＝.【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键.21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(Ⅰ)求a＝时,讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[2,＋∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.【分析】(I)把a＝代入可得函数f(x)的解析式,求导数令其为0可得x＝－,或x＝－,判断函数在区间(－∞,－),(－,－),(－,＋∞)的正负可得单调性；(II)由f(2)≥0,可得a≥,当a≥,x∈(2,＋∞)时,由不等式的证明方法可得f′(x)＞0,可得单调性,进而可得当x∈[2,＋∞)时,有f(x)≥f(2)≥0成立,进而可得a的范围.【解答】解：(I)当a＝时,f(x)＝x3＋3x2＋3x＋1,f′(x)＝3x2＋6x＋3,令f′(x)＝0,可得x＝－,或x＝－,当x∈(－∞,－)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增,当x∈(－,－)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减,当x∈(－,＋∞)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增；(II)由f(2)≥0,可解得a≥,当a≥,x∈(2,＋∞)时,f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3()＝3(x－)(x－2)＞0,所以函数f(x)在(2,＋∞)单调递增,于是当x∈[2,＋∞)时,f(x)≥f(2)≥0,综上可得,a的取值范围是[,＋∞)【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,涉及函数的最值问题,属中档题.22.(12分)已知双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b；(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|＝|BF1|,证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.【分析】(I)由题设,可由离心率为3得到参数a,b的关系,将双曲线的方程用参数a表示出来,再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；(II)由(I)的方程求出两焦点坐标,设出直线l的方程设A(x1,y1),B(x2,y2),将其与双曲线C的方程联立,得出x1＋x2＝,,再利用|AF1|＝|BF1|建立关于A,B坐标的方程,得出两点横坐标的关系,由此方程求出k的值,得出直线的方程,从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|,再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论.【解答】解：(I)由题设知＝3,即＝9,故b2＝8a2所以C的方程为8x2－y2＝8a2将y＝2代入上式,并求得x＝±,由题设知,2＝,解得a 2＝1所以a ＝1,b ＝2(II)由(I)知,F 1(－3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2－y 2＝8 ① 由题意,可设l 的方程为y ＝k(x －3),|k|＜2代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≤－1,x 2≥1,x 1＋x 2＝,,于是 |AF 1|＝＝－(3x 1＋1), |BF 1|＝＝3x 2＋1, |AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1,即故＝,解得,从而＝－ 由于|AF 2|＝＝1－3x 1,|BF 2|＝＝3x 2－1,故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4,|AF 2||BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16 因而|AF 2||BF 2|＝|AB|2,所以|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系,考查了运算能力,题设条件的转化能力,方程的思想运用,此类题综合性强,但解答过程有其固有规律,一般需要把直线与曲线联立利用根系关系,解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性,给以后解答此类题提供借鉴.。
2013届全国各地高考押题数学(文科)精选试题分类汇编2函数
2013届全国各地高考押题数学（文科）精选试题分类汇编2：函数一、选择题1 ．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）已知函数31,0()3,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩,则方程2(2)f x x a +=(2a >)的根的个数不可能为)(A 6 )(B 5 )(C 4 )(D 3【答案】A ．2 ．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）已知函数3|log |(03)()12(3)3x x f x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩,又三个互不相等的αβγ、、满足()()()f f f αβγ==,则αβγ的范围是（ ）A ．(06)，B ．(36)，C ．[]36，D ．(03)，【答案】B 【解析】数形结合,作出()f x 的图像,如图所示,若有()()()f f f αβγ==,不妨设αβγ<<,则有1αβ=,36γ<<,所以(36)αβγ∈，.3 ．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）函数y =esin x(-π≤x ≤π)的大致图象为【答案】D【解析】取x =-π,0,π这三个值,可得y 总是1,故排除（ ） A ．C;当0<x <π2时,sin x 是增函数,e x 也是增函数,故y =e sin x也是增函数,故选D ．4 ．（2013届广东省高考压轴卷数学文试题）已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且0x ≥时()f x 的图像如图2所示,则()2f -=（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．2【答案】B()()222f f -=-=-.5 ．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）函数1()lg f x x x=-的零点所在的区间是 （ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,10)【答案】C6 ．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）函数13y x x =-的图象大致为【答案】A7 ．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）已知函数()f x 是R 上的奇函数,若对于0x ≥,都有()2()f x f x +=,[)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时,()()20132012f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】由()2()f x f x +=知,函数()f x 的周期为2,所以()()20132012f f -+.1)0()1()0()121006()21006()2013(-=+-=++⨯-=⨯+-=f f f f f f8 ．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））若函数()()()()⎩⎨⎧≥<+=6log 632x x x x f x f ,则()1-f 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．2-【答案】C9 ．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）函数f(x)=2xex +-的零点所在的一个区间是 （ ）A ．(-2,-1)B ．(-1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 【答案】C【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题. 因为f(0)=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选C10．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）已知函数4log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩（ ）A ．19B ．9C ．D ．9-【答案】A11．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）函数121xf (x )ln x x =+-的定义域为（ ）A ．(0,+∞)B ．(1,+∞)C ．(0,1)D ．(0,1)(1,+∞)【答案】B【解析】要使函数有意义,则有001x x x ≥⎧⎪⎨>⎪-⎩,即0(1)0x x x ≥⎧⎨->⎩,所以解得1x >,即定义域为(1,+∞),故应选B ．12．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22x f x x b =++(b 为常数),则(1)f -= （ ）A ．3B ．1C ．-1D ．3-【答案】D【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知0(0)210,1f b b b =+=+==-, 于是(1)(1)(221)3f f -=-=-+-=-,故选D ．13．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）设函数2()2()g x x x R =-∈,()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （ ）A ．9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦B ．[0,)+∞C ．9[,)4-+∞D ．9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法,属于难题.依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩,222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或14．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（文）试题）已知函数()ln 1xf x ex x =--(其中e 为自然对数的底数),则函数()1y f x =+的大致图象为【答案】A 【解析】据已知关系式可得()()()ln ln 101,111,x x e x x x x f x e x x x x -⎧⎛⎫+-=<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--=> ⎪⎪⎝⎭⎩作出其图象,再将所得图象向左平移1个单位即得函数()1g f x =+的图象.故选A .15．（2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）已知函数f(x)=20082cos(2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩,则f[f(2013)]= （ ）AB ．C ．1D ．-1【答案】D 【解析】201320085(2013)2232f -===,所以322[(2013)](32)2cos2cos 133f f f ππ====-,选 D ．16．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）已知函数()f x 是R 上的奇函数,对于(0)x ∀∈+∞，，都有(2)()f x f x +=-，且(]01x ∈，时,()21x f x =+，则(2012)(2013)f f -+的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】由(2)()f x f x +=-得,[](4)(2)()()f x f x f x f x +=-+=--=，即函数()f x 的周期是4,因为函数()f x 是R 上的奇函数,所以(2012)(2012)f f -=-(50340)(0)0f f =-⨯+=-=，(2013)(50341)f f =⨯+1(1)213f ==+=,选C ． 17．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）下列命题中,真命题是（ ）A ．m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数 B ．m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数C ．m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数D ．m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数【答案】A【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念,与存在量词、全称量词的含义,属于容易题.当m=0时,函数f(x)=x 2是偶函数,所以选 （ ） A ．18．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））函数2log (2),(1,6]yx x =+∈-的反函数的定义域为（ ）A ．(1,4]B ．(0,4]C ．(0,3]D ．(1,3]【答案】C19．（2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）已知函数()()()1222,log ,log x f x x g x x x h x x =+=-=-的零点分别为123,,x x x ,则123,,x x x 的大小关系是 （ ）A ．123x x x >>B ．213x x x >>C ．132x x x >>D ．321x x x >>【答案】D【解析】由()()()12220log 0log 0x f x x g x x x h x x =+==-===，，得1222,log ,log x x x x x =-==在坐标系中分别作出2,,x y y x ==-12,log ,y x y x ==2log ,y x y ==,由图象可知110x -<<,201x <<,31x >,所以321x x x >>,选D ．20．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）函数21()x xe f x e +=的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于直线y=x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】D【解析】)(11)(22x f e e e e x f xxx x =+=+=--- )(x f ∴是偶函数,图像关于y 轴对称.21．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等,且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是 （ ）A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【答案】解析:作出函数()f x 的图象如右图,不妨设a b c <<,则1lg lg 10(0,1)2a b c -==-+∈ 则(10,12)abc c =∈.应选C ．命题意图:本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.22．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））若方程0422=+-mx x 的两根满足一根大于1,一根小于1,则m 的取值范围是 （ ）A ．(25,+∞) B ．(-∞,-25) C ．(-∞,-2)∪(2,+∞) D ．[25,+∞) 【答案】A 二、填空题23．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）函数2log (1)yx =-的定义域为_______________.【答案】}1|{>x x .【解析】由10x ->得1x >.24．（2013届广东省高考压轴卷数学文试题）函数()lg(1)f x x =+-的定义域是________.【答案】∵1010x x +>⎧⎨->⎩,∴11x -<<.∴函数的定义域是()1,1-.25．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）若函数f (x )=(2x 2-a 2x-a )lg x 的值域为[)0,+∞,则a =_________【答案】1【解析】显然h(x)= 2x 2-a 2x-a,g(x)= lgx 正负号一致,且h(1)=g(1)=0,∴a=-2或1经检验得a= 126．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）给出定义:若1122m x m -<≤+ (其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{}x ,即{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题:①()y f x =的定义域是R ,值域是11(,]22-;②点(,0)k 是()y f x =的图像的对称中心,其中k Z ∈;③函数()y f x =的最小正周期为1;④ 函数()y f x =在13(,]22-上是增函数.则上述命题中真命题的序号是_____________. 【答案】①③【解析】①中,令11,(,]22x m a a =+∈-,所以11()={}(,]22f x x x a -=∈-.所以正确.②(2)=2{2}(){}()()f k x k x k x x x f x f x ----=---=-≠--,所以点(,0)k 不是函数()f x 的图象的对称中心,所以②错误.③(1)=1{1}{}()f x x x x x f x ++-+=-=,所以周期为1,正确.④令1,12x m =-=-,则11()22f -=,令1,02x m ==,则11()22f =,所以11()()22f f -=,所以函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数错误.,所以正确的为①③27．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（文）试题）已知函数()()()1,0,x f x x C ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩R Q Q 则(1)()()ff x =______________;(2)下列三个命题中,所有真命题的序号是__________. ①函数()f x 是偶函数;②任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立;③存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ,使得ABC ∆为等边三角形.【答案】(1)1(2)①②③【解析】:(1)依题意可知,当x Q ∈时,()()()11f f x f ==;当x C Q ∈R时,()()()01f f x f ==.因此()()1ff x =.(2)对于①,当x Q ∈时,x Q -∈,此时()()1f x f x -==;当x C Q ∈R 时,x C Q -∈R ,此时()()0f x f x -==,因此对任意的x ∈R ,都有()()f x f x -=,所以函数()f x 是偶函数,①正确.对于②,任取一个不为零的有理数T ,当x Q ∈时,x T Q +∈,()()1f x T f x +==;当x C Q∈R时,()(),0x T C Q f x T f x +∈+==R ,因此对任意的x ∈R ,都有()()f x T f x +=,②正确.对于③,取点()0,1,,A B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,易知点,,A B C 均在函数()f x 的图象上,且ABC ∆是等边三角形,③正确.综上所述,所有真命题的序号是①②③.28．（2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）定义域R 的奇函数()f x ,当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立,若3(3)a f =,(log 3)(log 3)b f ππ=⋅,()22c f =--,则,,a b c 的大小关系为___.【答案】a cb >>【解析】设()()g x xf x =,依题意得()g x 是偶函数,当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<,即'()0g x <恒成立,故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减,则()g x 在(0,)+∞上递增,3(3)(3)a f g ==,(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅,2(2)(2)(2)c f g g =--=-=.又log 3123π<<<,故a c b >>.29．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),22f x f x f x f x -=--=+,且()2,0x ∈- 时,()122x f x =+,则()2013f =__________________【答案】1-【解析】因为()()f x f x -=-,所以函数()f x 为奇函数.因为()()22f x f x -=+,所以()()4f x f x +=,即函数的周期为 4.所以()2013(1)f f =,因为11(1)212f --=+=,所以(1)(1)1f f -=-=,即(1)1f =-,所以()2013(1)1f f ==-.30．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）下列命题:①若函数)lg()(2a x x x f ++=为奇函数,则a =1;②函数|sin |)(x x f =的周期；π=T ③方程x x sin lg =有且只有三个实数根; ④对于函数x x f =)(,若210x x <<,则2)()()2(2121x f x f x x f +<+. 以上命题为真命题的是 ______________.(写出所有真命题的序号)【答案】①②③【解析】由函数为奇函数知0)0(=f 即10lg =∴=a a .故①正确,易知②也正确,由图象可知③正确,④错误.31．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）若函数2log ,0()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数,则(8)g -=_______________.【答案】3-【解析】因为函数()f x 为奇函数,所以2(8)(8)(8)log 83f g f -=-=-=-=-,即(8)3g -=-.32．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）已知函数2cos,11()21,||1x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩,则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是______________ 【答案】5【.解析】由2()3()20f x f x -+=得()1f x =或()2f x =.当11x -≤≤时,222xπππ-≤≤,此时0()1f x ≤≤,由()1f x =,得0x =.当1x >时,若()1f x =,得211x -=,即22x =,此时x =若()2f x =,得212x -=,即23x =,此时x =所以关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数共有5个.33．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））已知22()1x f x x =+,则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++=________.【答案】132三、解答题34．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）本题共2小题,第(Ⅰ)小题6分,第(Ⅱ)小题8分.某药厂在动物体内进行新药试验.已知每投放剂量为m 的药剂后,经过x 小时该药剂在动物体内释放的浓度y (毫克/升) 满足函数()y mf x =,其中2125,(04)()2lg 10,(4)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=⎨⎪--+>⎩.当药剂在动物体内中释放的浓度不低于4(毫克/升)时,称为该药剂达到有效.(Ⅰ)若2m =,试问该药达到有效时,一共可持续多少小时(取整数小时)?(Ⅱ)为了使在8小时之内(从投放药剂算起包括8小时)达到有效,求应该投放的药剂量m 的最小值(m 取整数).【答案】解:(Ⅰ)2m =时,()()24100422lg 204x x x y x x x ⎧-++<≤⎪=⎨--+>⎪⎩ 当40≤<x 时,21041014x x ≤-++≤,显然符合题意当4>x 时,通过计算器由22lg 204x x --+≥解得:47x <≤综上07x <≤,所以该药剂达到有效时,一共可持续7小时.(Ⅱ)由()x f m y ⋅==()()2(2)7042lg 104m x m x mx m x m x ⎧--+<≤⎪⎨⎪--+>⎩可知在区间(]4,0上有,即57m y m ≤≤,在区间(]4,8上单调递减,即8lg8104lg 410m m m y m m m --+≤<--+, 为使4y ≥恒成立,只要54m ≥且8lg8104m m m --+≥ 即45m ≥且423lg 2m ≥-,求得:4m ≥. 答:为了使在8小时之内达到有效,投放的药剂剂量m 的最小值为4.。