A等腰三角形中的分类讨论问题
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，也就是说，等腰三角形的两条边边长相等，而另一条边则较短。
等腰三角形可以有不同的形状和性质，下面将对等腰三角形进行分类讨论。
二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的一个内角为直角（即90度）。
在等腰直角三角形中，另外两个内角相等，均为45度。
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为：斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。
2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。
在等腰锐角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则小于90度。
等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。
在等腰钝角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则大于90度。
等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的三个边全都相等。
等腰等边三角形的三个内角均为60度。
等腰等边三角形具有许多特殊性质，例如：它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点；它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。
三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，根据顶点角的大小和不同属性，可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。
每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系，值得我们深入学习和研究。
注意：此文档仅为示例文档，实际写作时请根据需求进行修改和扩展，结合数学知识以及示例文档提供的内容，形成一篇丰富详尽的文档。
2020年中考数学专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想
专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想类型一腰与底不明或顶角与底角不明时需分类讨论解题策略:先分不同情况画出图形,再进行计算.当不明确腰和底时,还要利用三角形三边关系进行检验.1.(1)等腰三角形的两边长分别为2和5,则其周长为.(2)等腰三角形的两边长分别为2,3,则其周长为;(3)等腰三角形的两边长分别为2,4,则其周长为.2.若等腰三角形的一个角为80°,则顶角为.3.若等腰三角形的一个角为110°,则顶角为.4.若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍,则其底角为.类型二锐角与钝角不明时需分类讨论解题策略:此类题目一般与三角形的高相联系,主要的讨论点在于三角形的形状不同,高的位置不同.5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,求这个三角形的底角的度数.6.已知△ABC中,CA=CB,AD⊥BC于点D,∠CAD=50°,求∠B的度数.7.已知△ABC的高AD,BE所在的直线交于点F,若BF=AC,求∠ABC的度数.类型三画等腰三角形时的分类讨论解题策略:在平面直角坐标系中找一个点,使它与另两个定点构成一个等腰三角形的基本方法有两种:(1)以两定点中的一个为圆心,以两点之间的距离为半径作圆;(2)连接两定点,作线段的垂直平分线.8.在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C(原点除外),使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C有个.9.在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个.10.已知点A和B,以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形,一共可以作出个.教师详解详析例112[解析] 本题在解答过程中,要分两种情况:①当2为腰长时,三角形的三边长为2,2,5,显然不能构成三角形;②当5为腰长时,三角形的三边长为5,5,2,能构成三角形,所以其周长为12.1.(1)7或8(2)102.20°或80°3.110°4.45°或72°例2(1)如图①,当△ABC是锐角三角形时,作BD⊥AC于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=45°.由三角形的内角和定理可得∠C=67.5°.(2)如图②,当△ABC是钝角三角形时,作BD⊥AC交CA的延长线于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=135°.由三角形的内角和定理可得∠C=22.5°.综上,这个三角形的底角的度数为67.5°或22.5°.5.解:当∠C为锐角时,∠B=70°;当∠C为钝角时,∠B=20°.6.解:先证△BDF≌△ADC,①当∠ABC为锐角时,∠ABC=45°;②当∠ABC为钝角时,∠ABC=135°.故∠ABC的度数为45°或135°.例34[解析] 如图,共4个点.7.88.6。
等腰三角形的分类讨论问题教学设计
与价值观
使学生感受数学解题的严谨性、条理性，使学生形成独立思考、合作学习的习惯，让其克服困难，从而获得成就感，并树立信心。
教学重点
利用分类讨论的思想方法解决等腰三角形的相关问题。
教学难点
依据题意正确画出图形，正确求解。
学 法
独立思考 主动探究 合作交流
教 学 过 程
师 生 互 动
设 计 意 图
跟踪练习：
若在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与
AC所在的直线相交的锐角为50°，求∠B的度
数。
四、【知识升华，巩固提高】（8分钟）
下面是数学课堂的一个片段，阅读后请回答下面的问题：
学习了等腰三角形内容后，老师请给同学们交流讨论这样一个问题：“已知C、D两点在线段AB的垂直平分线l上，且∠ACB=40°，
一、情境导入（2分钟）
多媒体出示“如何寻宝”
板书课题：等腰三角形的分类讨论
吸引学生的注意力，增强学生的好奇心和求知欲。
通过“寻宝”，引出本节内容。
二、定向学习】（2分钟）
出示分类讨论的定义、实质、原则。
让学生了解本节课的分类讨论，掌握分类的实质和原则。
三、【自主学习 探究分类】
分类（一）：（3分钟）
∠ADB=100°，求（1）∠CAD的度数。（2）若AC=√6,则CD=___________”
同学们经过片刻的思考和交流后，张明同学举手讲：“C、D在AB的同侧。所以∠CAD=30°” 李华同学说：“C、D在AB的异侧。所以∠CAD = 110°”还有一些同学有不同的看法……
假如你也在这堂课中，你的意见如何？为什么？
通过跟踪练习进一步体验与角有关的分类；顶角或底角不确定。
学生思考，尝试用分类
八年级等腰三角形的分类讨论专题
专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。
2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。
3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。
8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。
与等腰三角形有关的分类讨论问题
与等腰三角形有关的分类讨论是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论.一：与角有关的分类讨论例1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________分析：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.二：与边有关的分类讨论例2、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.分析：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.三：与高有关的分类讨论例3、一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度.分析：因不知此等腰三角形的顶角是钝角、直角、锐角，应分情况讨论.解：（1）当顶角为锐角时，（如图1）则顶角为90°－35°＝55°.（2）当顶角为直角时，不符合题意（如图2），应舍去.（3）当顶角为钝角时（如图3），顶角为180°－（90°－35°）＝125°故此等腰三角形的顶角为55°或125°.小结：此题涉及了顶角有“钝角、直角、锐角”之分的分类讨论，特别是当顶角为钝角时的情况容易漏解，请同学们注意体会.30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，例4、美化环境，计划在某小区内用2请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.分析：例5、在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （－2，2）， 试在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形， 求符合条件的点P 的坐标 练习：1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角的度数_____度. 归纳：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外.2、如图，在平面直角坐标系xoy 中，分别平行x 、y 轴的两直 线a 、b 相交于点A (3，4)．连接OA ，若在直线a 上存在点P ， 使△AOP 是等腰三角形．那么所有满足条件的点P 的坐标 是3、练习如图，在网格图中找格点M ，使△MPQ 为等腰三角形.并画出相应的△MPQ 的对称轴.baxAOA （－2，2）yxoPQPQPOCBA4、变式这样的点M 共有_________个5、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，点D 是边BC 上一点，△EAD 是等腰直角三角形，∠EAD =90°，ED 与AC 相交于点F ， 联结CE . （1）说明∠B ＝∠ACE 的理由；（2）若△CFE 是等腰三角形，请求出∠BAD 的度数.6、已知如图点O 是等边三角形ABC 内一点，∠AOB =110°， 将点O 绕点A 按顺时针方向旋转60°到点P ，联结OP 、CP （1）求证：△AOP 是等边三角形（2）若△COP 是等腰三角形，求 ∠BOC 的度数。
等腰三角形中的分类讨论思想
等腰三角形中的分类讨论思想烟台牟平实验中学赵希格一、已知等腰三角形的两边，在未指明底边和腰时，求其周长须分两种情况进行讨论；最后务必检验每种情况是否满足三角形的三边关系。
例1：等腰三角形的两边为2和4，求它的周长。
错误答案：（１）、当腰长为 2，底长为 4 时；有 2+2+4=8；其周长为 8；（2）、当腰长为 4，底长为 2 时，有 4+4+2=10；其周长为 10。
∴该等腰三形的周长为 8 或 10正确答案为：（１）、当腰长为 2，底长为 4 时；有 2+2=4；显然不符合三角形的三边关系，（2）、当腰长为 4，底长为 2 时，有 4+4+2=10；其周长为 10。
∴该等腰三形的周长为 10二、已知三角形的一个内角，要讨论所给角分别为等腰三角形的顶角，底角两种情况，而学生往往只考虑到一种情况。
例2、已知等腰三角形的一内角为 50°；求其余两个内角。
错误答案：当顶角为 50°时；其余两底角为 65°，65°；正确答案：（１）、当顶角为 50°时；其余两底角为 65°，65°；（２）、当底角角为 50°时；其余两底角为 50°，80°；∴该等腰三角形其余两角为65°，65°或50°，80°。
而当这一内角为110°时，答案为：35°，35°三、已知等腰三角形的两角关系内，要讨论所给角分别为等腰三角形的顶角，底角的大小关系两种情况，而学生往往只考虑到一种情况。
例4、已知一个等腰三角形的两角之差为60°，求这个等腰三角形的三个内角。
正确答案：（１）、当顶角大于底角时；顶角—底角=60°，顶角+2底角=1800∴该等腰三角形三个内角为100°，40°，40°。
（１）、当底角大于顶角时；底角—顶角=60°，顶角+2底角=1800∴该等腰三角形三个内角为20°，80°，80°例5、等腰三角形上的中线把周长分为15和12两部分，则它的底边长是多少？解:设底边长为x,腰长为y（１）、x+y=12,y+y/2=15 .x=7,y=10（2）、x+y=15,y+y/2=152.x=11,y=8∴该等腰三角形底边长为7或11学生往往根据自己画的图形得出一种情况。
等腰三角形中的分类讨论好题强烈推荐
等腰三角形中的分类讨论
分类一、当腰长或底边长不能确定时
【例1】已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长.
【例2】等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长.
【拓展】已知一等腰三角形的三边分别是3x-1,x+1,5,试求x的值.
分类二、当顶角或底角不能确定时
【例3】等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数. 【例4】已知等腰三角形的一个外角等于150°，求它的各个内角.
分类三、当高的位置关系不确定时
【例5】等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数.
分类四、腰的垂直平分线不确定时
【例6】在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角B的度数.
分类五、腰上中线引起的分类讨论
【例7】等腰三角形ABC底边BC为5，腰AC边上的中线BD把其周长分为差为3的两部分，求腰长.
分类六、几何图形之间的位置关系不明确
【例8】已知C、D两点在线段AB的中垂线上，且∠ACB=50°，∠ADB=80°，求∠CAD 的度数.
【例9】在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形.。
八年级数学等腰三角形中的分类讨论专项练习
八年级数学等腰三角形中的分类讨论专项练习类型一：遇角需讨论1.若等腰三角形的一个外角等于110°则底角的度数为（）A．70°或40° B．40°或55° C．55°或70° D．70°2．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角的度数为（）A．15°或75° B．70° C．20° D．70°或20°3．若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为70°，则顶角的度数为___________________．4．数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题；（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．5．【定义】数学课上，陈老师对我们说：如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这条线段就称为这个三角形的“好线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】（1）如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数；（2）如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（3）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形中最大内角的所有可能值为____________________________________________；（4）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在边BC上，点E 在边AB上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．类型二：遇边需讨论6．若一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为30cm，则它的另两边长分别为（）A．6cm.，18 cm B．12 cm，12 cmC．6 cm，12 cm D．6 cm，18 cm 或12cm，12 cm a，相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b存在点B，使以点O，7．如图，直线bA，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，有一个三角形纸片ABC，∠A＝80°，D是边AC上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是_________________________．9．在等腰三角形ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝_________________________．10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：画出3种不同的示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）类型三：遇中线需讨论11．已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个等腰三角形的腰长为____________________cm．12．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边长和腰长．参考答案CD140°5、6、B7、D 8、15。
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通过今天的学习，你还想进一步探究的问题 是什么？分类讨论还可以用来解决什么养的 问题？
课外思考
（2013•新疆）如图，Rt△ABC中∠ACB=90°， ∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运 动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE， 当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ） A． 2 B． 2.5或3.5 C． 3.5或4.5 D． 2或3.5或4.5
① OD=OP ,则P(3，4)
Байду номын сангаас
② OD=PD，P(2，4）或（8，4） A
当P在BC所在直线上运动时，P（-3，4）
自主学习、合作探究
问题2：
①若等腰三角形一腰上的中线分等腰三角形的 周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形底 和腰的长. ②等腰三角形一腰上的高与另一腰所成夹角为 50°求这个等腰三角形顶角的度数.
问题1：
变式① ：已知等腰三角形ABC中∠ A=40 °， ①已知等腰三角形的一个内角是 40 °，则 则∠ 其顶角为 B的度数为 ； .
②已知等腰三角形的一边等于5，另一边等 于6，则周长为 ；
小试牛刀
如图，在平面直角坐标系中，OABC是矩形，点A、C 坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是OA的中点，P在 BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为多少？当点P在BC所在直线上运动时，点P的坐 标又是多少？
自主学习、合作探究
问题2：
①若等腰三角形一腰上的中线分等腰三角形的 周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形底 和腰的长.
解：设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm， 可得： . 即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时， 底边长是5cm。
自主学习、合作探究
小组竞赛
1.已知x，y为直角三角形两边的长，满 足 ，则第三边的长为______。
2（2013贵阳）如图M是Rt△ABC的 斜边BC上异于B,C的一定点，过点M 作直线截△ABC，使截得的三角形与 △ABC相似，这样的直线共有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
B M
A
C
全课小结 ：
本节课学习中你有哪些收获？三角形什么情 况下要用分类讨论的方法? 怎么分类？
提示:有隐性条件需挖掘！
思考:分类点是什么？
本节课你有哪些收获？
1、数学知识方面的收获… … 2、数学思想方法上的收获… … 3、课堂学习中的体会… … 4、今后遇到问题时… …
问题2：
①若等腰三角形一腰上的中线分等腰三角形为 的周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形 底和腰的长. ②等腰三角形一腰上的高与另一腰所成夹角为 50°求这个等腰三角形顶角的度数.
解分类讨论问题的步骤：
1、寻找分类的原因（为何分类）：条件不 明确 2、确定分类的标准（如何分类）：对不确定的条 件进行合理分类 3、逐类讨论：对各种情况详细讨论，逐步解决
变式（2013昆明）在平面直角坐标系
中已知点A（2,3）在坐标轴上找一点 P，使得AOP是等腰三角形，这样的点 P共有________个。
复习引入 1（2013钦州）等腰三角形的一个角 是80°，则它的顶角的度数是（ ） A.80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20°
2（2013哈尔滨）如果等腰三角形的 两边长是5和6，则这个等腰三角形的 周长是________。
4、检验总结：将各类情况总结归纳
精炼提升
在面积为 15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直 于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5， BC=6，求CE+CF的值.
典例分析
例1.如图，在直线a上 求作点P，使△OAP是 等腰三角形
O
A
a
为什么要分类? 没有指明OA是腰还是底 怎样分类?
中考专题复习
分类讨论
分类讨论的定义：当条件、结论不确定时，就要分类讨论。分类 讨论思想是将一个大问题划分成几个不同的小问题 ，将这些小 问题一一加以解决。 分类讨论解题的实质：将整体问题化为部分问题来解决. 分类讨论的原则：不重不漏。
中考专题复习
预习导航
回顾你学过哪些有关等腰三角形的知识？
自主学习、合作探究