等腰三角形中的分类讨论问题

关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨

所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。

对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形” 一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题：

、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论

例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,求周长。

（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求周长。

分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。

解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形；

当腰长为8 时，周长为8+8+10=26；

当腰长为10 时，周长为10+10+8=28；

故这个三角形的周长为26cm或28cn。

解（2）当腰长为3 时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形；

当腰长为7 时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周

长为：7+7+3=17；

故这个三角形的周长为17cm。

注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。

二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4 倍，求它的各个内角的度数；分析：题目没有指明“顶角是底角的4 倍”，还是“底角是顶角的4 倍”因此必须进行分类讨论。

解：（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x ，则底角为4x ,

• 4x+4x+x=180 0, • x=200, • 4x=80 0

, 于是三角形的各个内角的度数为：20°, 80°, 80°。

角等于 帖。0

;与顶角相邻的外角等于150°。因此需要分类讨论； 解：（1）当顶角的外角等于150°时，则顶角=180°-150°=30°,

•每个底角=（180°-顶角）-2=750;

（2）当底角的外角等于150°时，则每个底角=180°-150°=30°; •顶角=180°-底角 2=180°-30° 2=120°;

故三角形各个内角的度数为30°, 75°, 75°或120°, 30°, 30°。

三、当高的位置关系不确定时，必须分类讨论

例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25：求这个三角形的各个内角 的度数。

分析：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边” ，因此必须进行 分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外。

解：设 AB=AC BD!AC

(1) 高与底边的夹角为25°时，高一定在△ ABC 勺内部,

如图 1 ,•••/ DBC=25 •••/ 0=90°- / DBC=9025O =650

, / ABC / 0=65, / A=180-2 X 650=500

。

(2) 当高与另一腰的夹角为25°时，

① 如图2,高在△ ABC 内部时，

当/ ABD=25时，/ A=90- / ABD=65, ••• / 0=/ ABC=( 180°- / A )- 2=;

② 如图3,高在△ ABC 外部时，/ ABD=25,

（2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x ，则顶角为4x , ••

x+x+4x=180 °, •• x=30 °, •• 4x=120 °,

30°, 30°,诙。

80°, 80°或 30°, 30°, 诙。

150°,求它的各个内角。

150°,有两种情况：与一个底角相邻的外 于是三角形的各个内角的度数为： 故三角形各个内角的度数为20°, 例3、已知等腰三角形的一个外角等于 分析：已知等腰三角形的一个外角等于

•••/ BAD=900 / ABD=9&25 =65°，二 / BAC=180065 0=1150

, •••/ ABCM C= (1800-1150

)十 2=

故三角形各内角为：65°, 65°, 50°或 65°, 65°,或 115°,,。

四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 例5、在三角形ABC 中 , AB=AC AB 边上的垂直

4°° , 求底角B 的度数。

图4解：(1)

D, / ADE=4^,则/ A=9(i- / ADE=5^, v

AB=AC •••/ B= (180°-50 °)- 2=65\

(2)如图5, AB 边的垂直平分线与直线 AC 的反向

延长线交于点D,/ ADE=40,则/ DAE=50

) •••/ BACrlsb v AB=AC ；/ B= (180°-130°)十 2=25",

故/ B 的大小为65°或25°。

五、由腰上的中线引起的分类讨论

例6等腰三角形底边为5cm 一腰上的中线把其周长分为两部分的差为

3cm

求腰长。

分析：如图6,由于题目中的“一腰上的中线把其周长分为 两部分的差为3cm ,没有指明是“(AB+AD -( BC+C )

还是“(BC+CD - (AB+AD ”的“差为3cm',因此必须 分两种情况讨论。

解：如图 6, v BD 为 AC 边上的中线，••• AD=CD (1)当(AB+AD - ( BC+CD =3

时，贝U AB-BC=3 ••• BC=5 ••• AB=BC+3=； (2)当(BC+CD - (AB+AD =3 时，贝U BC-AB=3 v BC=5 二 AB=BC-3=?

但是当AB=2时，三边长为2, 2, 5;而2+2V5,不合题意，舍去；

故腰长为&六、几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题 例7、已知C D 两点在线段AB 的中垂线上，且/ ACB=5^,/ ADBigb,求/ CAD

的度数。分析：由于点 C D 可以在线段AB 的同侧也可以在

线段AB 的两侧，因此要分两种情况进行讨论。 解：（1）如图7,当C 、D 两点在线段平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为

分析：题目中AB 边上的垂直平分线与直线

AC 相交有两种情形； 如图4, AB 边的垂直平分线与AC 边交于点