§1.3.6函数极限的性质.ppt4

1 n 1 x 1 n+1 (1+ ) < (1+ ) < (1+ ) ， n +1 x n 1 n 1 n+1 1 −1 ∵ lim (1+ ) = lim (1+ ) ⋅(1+ ) =e ， n +1 n +1 n +1 n→+∞ n→+∞
1 n+1 1 n 1 lim (1+ ) = lim (1+ ) ⋅(1+ ) = e ， n n n n→+∞ n→+∞
tan x − sin x
x→0 x 3 ( 1+ tan x + 1+ sin x )
= lim
tan x (1− cos x) 1+ tan x + 1+ sin x )
x→0 x 3 (
tan x 1− cos x 1 = lim [ ⋅ ⋅ ] x→0 x 1+ tan x + 1+ sin x x2
x→0
1 − cos 3 x 1 − cos x = 9 − 1 = 4. = lim [ ⋅ 9] − lim 2 2 2 x →0 (3 x ) x →0 x2
（2） lim
1+ tan x − 1+ sin x x
3
x→0
解： lim
1+ tan x − 1+ sin x x
3
x→0
= lim
π sin x 即当 0 < x < 时， cos x < <1 。 x 2
sin x ∵ cos x 和 均为偶函数 x
sin x π ∴当 0 < x < 时，有 cos x < <1 。 x 2
∵ lim cos x =1 ， lim 1 =1 ，
x→0 x→0
sin x ∴ lim =1 。 x→0 x
x 2 x 2 2 2 2 （2） lim (1+ ) = lim [(1+ ) ] = e . x x x→∞ x→∞
1 x 1 − x −1 −1 （3） lim (1− ) = lim [(1+ ) ] = e . x −x x→∞ x→∞
1 x 1 lim (1− ) = x e x→∞
−x 2 3x 2 2 −6 −6 （4） lim (1− ) = lim [(1+ ) ] = e 。 x −x x→∞ x→∞
sin 5 x 例 2．求极限（1） lim ； x →0 3 x
arcsin x （2） lim 。 x x →0
sin 5 x sin 5 x 5 解： （1） lim = lim ⋅ x →0 3 x x →0 5 x 3
令 t = 5x 5
sin t 5 lim = . 3 t →0 t 3
（2） lim
x→∞ 3 2 x −1 x + 2 ( )
2 x +1
2 = lim (1− ) 2 x +1 x→∞
3 x+ 2
2 = lim(1 − ) x→∞ 2x +1
2 x +1 2
2 (1 − ) = (e −1 )1 = e−1. 2x +1
2 ) 又解： = lim[(1 − x→∞ 2x + 1
1 x ∴由夹逼定理得 lim (1+ ) = e 。 x x→+∞
再证 x → −∞ 的情形，令 x = −t ， 则当 x → −∞ 时， t → +∞ ，
1 x 1 −t t t 1 t 1 t −1 1 (1+ ) = (1− ) = ( ) = (1+ ) = (1+ ) ⋅(1+ ) ， t −1 t −1 x t t −1 t −1
1 1 t −1 1 从而 lim (1+ ) x = lim (1+ ) ⋅(1+ ) = e⋅1 = e ， x t −1 t −1 x→−∞ t →+∞
1 x 综上可得 lim (1+ ) = e 。 x x→∞
lim (1 +
→∞
1
) =e
1 x ③ 极限 lim(1 + ) = e 的另一种形式是 x →∞ x
1 lim (1+ x) x x →0
1 证明：令 u = ，则当 x → 0 时， u → ∞ ， 证明 x
1 x = lim (1+ 1 )u = e. lim (1+ x) u x→0 u→∞
例 4．求极限
（1） lim
x 1 x （3） lim (1− ) ； （4） lim (1− ) x x x→∞ x→∞
以上为求极限而进行的各种变形都是很基本的， 以上为求极限而进行的各种变形都是很基本的， 也很重要，应熟练掌握。 也很重要，应熟练掌握。
x x 例 5．求极限： （1） lim ( ) ； （2） lim x→∞ 1+ x x→∞ 2 x +1
3 2 x −1 x + 2 ( ) .
1 x 1 1 x x 解： （1） lim ( ) = lim ( ) = lim = ； 1 1 x e x→∞ 1+ x x→∞ x→∞ 1+ (1+ ) x x
x x 2 sin sin 1 − cos x 1 2 = lim ( 2 )2 （2） lim = lim x x →0 x →0 x →0 2 x2 x2 x 2 令t = 1 2 lim( sin t ) 2 = 1 . 2 t →0 t 2
2
tan x lim =1 x→0 x
1− cos x 1 lim = 2 x→0 x 2
lim
sin
→0
=1
tan x 1− cos x 例 1．求极限： （1） lim ； （2） lim 。 x →0 x x→0 x 2
tan x sin x 1 sin x 1 解： （1） lim = lim ( ⋅ ) = lim ⋅ lim =1 ； x→0 x x→0 x cos x x→0 x x→0 cos x
1.3.6 两个重要极限
B
C
sin x 1．重要极限 lim =1 。 x→0 x
证明：作单位圆，取圆心角∠ AOB = x ， 证明
π 由于 x → 0 ，不妨先设 0 < x < ， 2
O
x A
∵ ∆AOB 的面积 < 扇形 AOB 的面积 < ∆AOC 面积，
1 1 1 x 1 sin x ∴ sin x < x < tan x ，1< ，cos x < < <1 ， sin x cos x 2 2 2 x
sin mx sin(mπ + mt ) (−1) m sin mt lim = lim = lim x→π sin nx t→0 sin( nπ + nt ) t→0 ( −1) n sin nt
= lim (−1)
t→0 m−n sin mt
sin nt
= (−1)
m−n
sin mt nt m lim[ ⋅ ⋅ ] t→0 mt sin nt n
1 1 1 = 1× × = 。 2 2 4
x x x （3） lim cos ⋅cos Lcos 2 n→∞ 22 2n x x x 解：令 y = cos ⋅cos ⋅L⋅cos ， 2 n 2 2 2
①当 x ≠ 0 时， y ⋅ 2 sin
n
1
n
， = sin x ， y = 2 n x 2 sin n 1 x 2 sin x n n 2 2 ⋅ sin x ) = sin x 。 故 lim y = lim = lim ( x x x x n→∞ n→∞ n→∞ sin sin n n 2 2 ②当 x = 0 时， y =1 ， lim y = lim 1 =1 。
；
解： lim
cos x − cos3 x x
2
x→0
= lim
2sin 2 x sin x x
2
x→0
sin 2 x sin x = lim ( ⋅ ⋅ 4) = 4. x x→0 2 x
另解： 另解 lim
cos x − cos 3 x x
2 x →0
= lim
(1 − cos 3 x) − (1 − cos x) x2
（2）令 arcsin x = t ，则 x = sin t ，当 x → 0 时， t → 0 ，
arcsin x t lim = lim =1 。 x x→0 t →0 sin t
arcsin x =1 x x→0 lim
例 3．求极限： （1） lim
cos x − cos 3 x x
2
x→0
x 1 1 1 x 1 2 1 x 2 lim (1+ ) = lim [(1+ ) ] = lim u 2 = e 2 . x x x→∞ x→∞ u→e
x 1 2 lim (1+ ) x x→∞ 1 1 x 2 = lim [(1+ ) ] x x→∞ 1 =e2.
熟练掌握后可不设新变量， 方法 2 ： 熟练掌握后可不设新变量，
x
sபைடு நூலகம்n x
sin x x x x , x ≠0 ∴ lim cos ⋅cos ⋅L cos = x 。 ⋅ 2 n 2 n→∞ 2 2 1, x =0
n→∞
n→∞
sin mx （4） lim (m, n ∈ N + ) x→π sin nx