1[1].6三角函数模型的简单应用
1.6 三角函数模型的简单应用
1 A (30 10) 10 2
1 b (30 10) 20 2 1 2 14 6, 2 8
8 3 代入(*)式，解得 4
综上，所求解析式为：
3 y 10sin( x ) 20, x [6,14] 8 4
注：
一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的 温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围。
例2：画出函数 y | sin x | 的图象并观察其周期。
解：函数图象如图所示：
从图中可以看出，函数y | sin x |是以 为周期的波浪形曲线。
我们也可以这样验证： 由于 | sin( x ) || sin x || sin x | 所以，函数 y | sin x | 是以 为周期的函数。 注： 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的 认识，这是研究数学问题的常用方法。
例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进 航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在 某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 水深/米 5.0 7.5 时刻 9：00 12：00 水深/米 2.5 5.0 时刻 18：00 21：00 水深/米 5.0 2.5
一、三角函数模型的应用：
例1：如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y A sin( x ) b
(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式。 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是 20 C 。 (2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数 y A sin( x ) b (*) 的半个周期的图象 将 A 10, b 20, , x 6, y 10
1-6 三角函数模型的简单应用
基 础 巩 固一、选择题1．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200s 时，电流强度I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A[答案] B[解析] 将t ＝1200代入I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3 得I ＝2.5 A.2．(安徽高考)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12] [答案] D[解析] 由已知可得该函数的周期为T ＝12， ω＝2πT ＝π6，又当t ＝0时，A (12，32)，∴y ＝sin(π6t ＋π3)，t ∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．3．(新课标全国卷)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )[答案] C[解析] P 从P 0出发，逆时针运动，t ＝0时，d ＝2，t 与d 满足关系式d ＝2sin(t －π4)(t ≥0)．所以选择C.4．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 [答案] B5．在△ABC 中，sin A ＝32，则∠A ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.π3或2π3[答案] D6．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将处于图中的( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] D 二、填空题7．振动量y ＝2sin(ωx ＋φ)(φ<0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________．[答案] 3πx －π[解析] 由题φ＝－π，f ＝1T ＝32＝ω2π ∴ω＝3π∴y ＝3sin(3πx －π)．相位是3πx －π.8．(山东临沂12－13高一)某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y ＝a ＋A cos[π6(x －6)](x ＝1,2,3，……12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.[答案] 20.5 三、解答题9．单摆从某点开始左右摆动，它离开平衡位置的位移s (厘米)和时间t (秒)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6.求：(1)单摆开始振动(t ＝0)时离开平衡位置的位移； (2)单摆离开平衡位置的最大位移． [解析] (1)当t ＝0秒时，s ＝6sin π6＝3 cm.(2)当t ＝13秒时，位移最大，s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝6 cm.10．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t 分时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m?[解析] (1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t 分时P 距地面高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.(2)令40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6， ∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3， ∴3k ＋1<t <3k ＋2.令k ＝0得1<t <2.因此，共有1 min距地面超过70 m.。
三角函数模型的简单应用（水车问题）
三⾓函数模型的简单应⽤（⽔车问题）§9 三⾓函数模型的简单应⽤第⼀课时⼀、教学⽬的1、对⼀些简单的周期现象，能够选择适当的三⾓函数模型，刻画和解决实际问题。
2、通过本节学习，培养学⽣的数学应⽤意识。
⼆、教学重点：体会三⾓函数模型在实际问题中的应⽤。
三、教学难点：⽤三⾓函数描述周期现象的实际问题。
四、教学过程：例：⽔车问题如图,⽔车的直径为3m,其中⼼(即圆⼼O)距⽔⾯1.2m,如果⽔车每4min 逆时针旋转3圈.在⽔车轮边缘上取⼀点P,点P 距⽔⾯的⾼度h(m)与时间(t)有怎样的关系?分析：设⽔车的半径为R ，R=1.5m ；⽔车中⼼到⽔⾯的距离为b ，b=1.2m ；∠QOP=α⽔车旋转⼀圈所需的时间为T ；单位时间(s)旋转的⾓度(rad)为ω过P 点向⽔⾯作垂线，交⽔⾯于M 点，PM 的长度为P 点的⾼度h ；∠QOP=φ；则：h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b根据问题的条件确定这个模型中的变量和参数: α,φ,R 和b.⽤ω表⽰单位时间(s)内⽔车转动的⾓度(rad)，这样，在时刻t ⽔车转动的⾓度为α= ωt ⽔车旋转⼀圈所需的时间T=ωπ2 ⼜由于⽔车每4min 转3圈，旋转⼀圈所需的时间T=80s所以ω=40πrad/sSin φ=5.12.1⾬季河⽔上涨时,函数解析式中的b 减⼩,旱季河⽔流量减少时,参数b 增⼤. 如果⽔车转速加快,将使周期T 减⼩,如果⽔车转速减慢,将使周期T 增⼤.五、课堂⼩结六、课后作业rad ， 295.01.53≈?≈φ所以)(2.1)295.040sin(5.1m t ，h +-=ππ所以。
高一数学必修4课件：1-6三角函数模型的简单应用
第一章
1.6
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)
－A＋b＝700， A＋b＝900，
＋b(A>0，ω>0)，则
解得A＝100，b＝800，
又周期T＝2(6－0)＝12， 2π 2π π ∴ω＝ T ＝12＝6.
π 则有y＝100sin6t＋φ＋800.
kπ－φ ，0 ω
，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的
π kπ＋ －φ 2 最值，即对称轴是直线A版 · 必修4
(8)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两 个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中
第一章 1.6
)
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1 6．函数y＝ sin 2
π 2x－ 6
的振幅是________，周期是
________，初相为________，对称轴是直线________，对称 中心为________，单调增区间是________．
第一章
1.6
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[答案] C
第一章
1.6
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规律总结：由函数图象寻求函数解析式是近几年来的热 点试题，解答此类试题，一般是根据图象所反映出的函数性 质来解决，而函数的性质，如奇偶性、周期性、对称性、单 调性、值域，还有零点等等都可以作为判断的依据．
第一章
1.6
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π 3π 则sin8t＋ 4 ∈[－1,1]，可得ymin＝－10＋20＝10，
三角函数与数学模型
三角函数与数学模型三角函数是数学中的重要概念，广泛应用在物理、工程、计算机科学等各个领域的数学模型中。
本文将介绍三角函数的定义与性质，并解释三角函数在数学模型中的应用。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sine function）正弦函数是以单位圆上一点的y坐标为函数值的一种周期函数。
在单位圆上，角度为θ的点的坐标为（cosθ，sinθ）。
正弦函数可以表示为y = sin(x)的形式，其中x为角度。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是以单位圆上一点的x坐标为函数值的一种周期函数。
在单位圆上，角度为θ的点的坐标为（cosθ，sinθ）。
余弦函数可以表示为y = cos(x)的形式，其中x为角度。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是正弦函数与余弦函数的商，可以表示为y = tan(x)的形式。
正切函数在某些特定角度上可能会无定义，例如在x = (2n+1)π/2时，其中n为整数。
4. 周期性三角函数具有周期性，即在一定范围内函数值重复。
例如，正弦函数的周期为2π，余弦函数的周期也为2π。
5. 奇偶性正弦函数是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
6. 平移与缩放三角函数函数图像可以通过平移和缩放进行变换。
平移指的是将函数图像沿x轴或y轴方向移动，而缩放则是改变函数图像的振幅和周期。
二、三角函数在数学模型中的应用1. 波动模型三角函数的周期性特点使其在波动模型中经常被使用。
例如，在物理学中，正弦函数可以用来描述光、声、电磁波等的震荡特性。
2. 周期性变化三角函数的周期性特点还可以用来描述一些周期性变化的数据。
在经济学中，三角函数可以用来分析股票价格、季节性销售等数据的周期性波动。
3. 几何建模三角函数在几何建模中也有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，三角函数可以用来表示曲线、曲面的参数方程，实现三维图像的生成与变换。
三角函数的应用
解三角函数应用问题的基本步骤 (1)已知函数模型，利用题目中提供的数据和有关性质解决问题，其关键 是求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式， 然后解方程或不等式，可使问题得以解决． (2)未知函数模型，把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型， 再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
典例 1 已知简谐运动 f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简 谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( A )
A．T＝6，φ＝π6
B．T＝6，φ＝π3
C．T＝6π，φ＝π6
D．T＝6π，φ＝π3
解析：T＝2ωπ＝2ππ＝6.因为图象过点(0,1)，所以 sin φ＝12.因为－π2<φ<π2， 3
教学时，建议教师结合教材实例，利用信息技术，展现丰富多彩的物理、 生活、自然中的现象，让学生体会三角函数的广泛应用．从题意理解、 数据提取、模型建立、问题解决几个方面入手，帮助学生掌握数学建模 的基本方法，再利用所学的三角知识解决问题．
一、导入新课
同学们，钱塘江观潮，惊涛拍岸，波澜壮阔！古今很多文人骚客都留下 了精美的关于潮水涨落的诗句，其中南宋著名诗人王十朋曾在江心屿中 题了一副对联，上联是“云朝朝朝朝朝朝朝朝散”，下联是“潮长长长 长长长长长消”．在这里，诗人十分巧妙地运用了叠字诗展现了潮水涨 落的壮阔画面，当然他对潮水的描述是感性的，今天我们学习了三角函 数模型的应用后，就可以从数学的视角理性地研究有关潮水涨落的一些 实际问题了！
在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距 12 h，低潮时水的深度为 8.4 m，高潮时水的深度为 16 m，其中有一次高潮发生在 10 月 10 日 4：00. 每天涨潮落潮时，水的深度 d(m)与时间 t(h)近似满足关系式 d＝Asin(ωt ＋φ)＋h. (1)若从 10 月 10 日 0：00 开始计算时间，用三角函数来近似描述该港口 的水深 d(m)和时间 t(h)之间的函数关系； (2)10 月 10 日 17：00 时，该港口水深约为多少 m？(精确到 0.1 m)
吉林省伊通满族自治县第三中学校高中数学必修四：1-6三角函数模型的简单应用 学案 精品
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.
(2)三角函数模型的建立程序
如图所示：
类型一 三角函数模型在物理中的应用
例1已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|< )在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
类型二 三角函数模型在生活中的应用
例2某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：
(1)当此人第四次距离地面 米时用了多少分钟？
(2)如果t在任意一段 的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
跟踪训练1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin(2πt＋ ).
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin( t＋ )，t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
四、小结
五、反思质疑
学习完本节课，我的收获（或反思静悟、体验成功）
六、布置作业
(2)当此人距离地面不低于(59＋ )米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？
三角函数模型的简单应用(第1课时)
下面是瓯江在某季节每天的时间与水深 关系表：
时刻
0.00 1.00 3.00 6.00 8.00 9.00 12.00 15.00 18.00 水深 5.0 （米）
6.25 7.5
24.00
5.0 2.84
2.5
5.0
ห้องสมุดไป่ตู้
7.5
5.0
时刻
21.00
水深 2.5 （米）
5.0
问1：上述的变化过程中，哪些量在发生变化？ 哪个是自变量？哪个是因变量？
2.建立三角函数模型的一般步聚:
利用计算机 作出相应的 散点图 进行函 数拟合 得出函 数模型 利用函 数模型 解决实 际问题
搜集数据
作业: P73 P74 3 B组
1、2
感谢大家!
问7：若某船的吃水深度为4m，安全间隙为 1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以 每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么 时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
问8：若某船的吃水深度为4m，安全间隙为 1.5m，该船在2:00开始卸货，货物卸空后吃 水深度为2m，为了保证进入瓯江后一次性卸 空货物，又能安全驶离瓯江，那么每小时吃 水深度至少以多少速度减少？
5.0
问3：在什么时间范围内，瓯江的水深增长？ 在什么时间范围内，瓯江的水深减少？ 问4：试着用图形描述瓯江从0时到24时水深 的变化情况。
问5：选用一个适当的函数来近似描述这个瓯江的 水深与时间的函数关系，给出整点时间的水深近 似值。
问6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距 离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安 全间隙（船底与江底的距离），该船何时能 进入瓯江？在瓯江能呆多久？
问2：大约什么时间瓯江的水最深？深度约是多少？ 大约什么时间瓯江的水最浅？深度约是多少？
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1 2π = 14 6, 2 ω
ω =
π
8
.
将x=6，y=10代入上式，解的 综上，所求解析式为
π
3π = 4
3π y = 10 sin( x + ) + 20, x ∈ [6,14]. 8 4
例2 画出函数 y = sin x 的图象并观察其 周期。
y
-3π
-2π
-π
0
π
2π
3π
x
解：函数图象如图所示。 从图中可以看出，函数 y = sin x 是以π为 周期的波浪形曲线。 我们也可以这样进行验证： 由于
1.6 三角函数模型的简单应用
例1 如图1.6-1,某地一天从6~14时的温 度变化曲线近似满足函数 y )+b. y=Asin(ωx+ (1)求这一天的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
10 0 6 10 14 x
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是函数y= Asin(vωx+ )+b的半个周期的1 (30+10)=20， 2 ∵
0 0 0
26 ) = 26 34 ,
' 0 '
所以
MC =
h
0
tan C
=
h ≈ 2.000 h tan 26 34
0 0 '
0
即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要 留出相当于楼高两倍的间距。
五、总结提炼 （1） 三角应用题的一般步骤是： ①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图． ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求 解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的 数学模型． ③求解：利用三角形，求得数学模型的解． ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从 而得出实际问题的解．即解三角应用题的基本思路
Φ-δ θ
φ
δ
太阳光
解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归 线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影 点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面 的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况 考虑，此时的太阳直射纬度为-23026’.依题意 两楼的间距应不小于MC. 根据太阳高度角的定义，有
∠C = 90 40 ( 23
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推 理 算 演
实际问题
数学模型
sin( x + π ) = sin x = sin x ,
所以，函数 y = sin x 是以π为周期的函数。
例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度 角为θ，δ为此时太阳直射纬度， 为该地 的纬度值，那么这三个量之间的关系是 0 θ = 90 δ . 当地夏半年δ取正值， 冬半年δ取负值。 如果在北京地区（纬度数约为北纬400） 的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新 楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡， 两楼的距离不应小于多少？