三角函数模型及其应用
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
一、引言
三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介
绍三角函数模型在实际问题中的简单应用，包括振动、音乐、天文等方面。
二、振动模型
振动是物理学中常见的现象，三角函数模型可以很好地描述振动的特性。
例如，在弹簧振子中，物体在平衡位置附近偏离并摆动，可以用正弦
函数描述振动的过程。
振动的周期、频率和振幅等因素可以通过三角函数
进行计算和预测。
三、音乐模型
音乐是艺术与科学的结合，三角函数模型在音乐中也有着重要的应用。
音乐的基本要素包括音高、音长和音色等。
三角函数可以帮助我们理解和
创建不同音调的声音，例如正弦函数可以生成纯音，而复杂的乐曲可以通
过多个三角函数的叠加来表示。
四、天文模型
三角函数模型在天文学中也扮演着重要的角色。
例如，我们可以使用
正弦函数来描述地球公转和自转的运动规律。
通过对三角函数模型的运用，我们可以计算出日出、日落以及季节变化等现象，并预测天文事件的发生
时间和位置。
五、结论
三角函数模型的简单应用涵盖了振动、音乐和天文等多个领域。
通过
对三角函数的理解和运用，我们可以更好地理解和解释各种现象，并进行
相关问题的计算和预测。
在实际应用中，对三角函数模型的灵活运用将有
助于我们解决各类问题。
1.6 三角函数模型的简单应用
1 A (30 10) 10 2
1 b (30 10) 20 2 1 2 14 6, 2 8
8 3 代入(*)式，解得 4
综上，所求解析式为：
3 y 10sin( x ) 20, x [6,14] 8 4
注：
一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的 温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围。
例2：画出函数 y | sin x | 的图象并观察其周期。
解：函数图象如图所示：
从图中可以看出，函数y | sin x |是以 为周期的波浪形曲线。
我们也可以这样验证： 由于 | sin( x ) || sin x || sin x | 所以，函数 y | sin x | 是以 为周期的函数。 注： 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的 认识，这是研究数学问题的常用方法。
例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进 航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在 某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 水深/米 5.0 7.5 时刻 9：00 12：00 水深/米 2.5 5.0 时刻 18：00 21：00 水深/米 5.0 2.5
一、三角函数模型的应用：
例1：如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y A sin( x ) b
(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式。 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是 20 C 。 (2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数 y A sin( x ) b (*) 的半个周期的图象 将 A 10, b 20, , x 6, y 10
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用一周强化一、知识结构二、重难点知识概述1、用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题，将所发现的规律抽象为恰当的的三角函数模型．2、选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据．3、研究的方法是利用收集到的数据分析分析问题中的数量关系，通过作出散点图，根据散点图进行函数拟合，得到函数模型．4、三角函数模型的应用包括（1）根据图象建立解析式；（2）根据解析式作出图象；（3）根据实际问题处理数据，作出图象进行函数拟合，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．5、建立数学模型解决实际问题，所得的模型一般是近似的，并且得到的解也是近似的，所以需要根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析．三、例题讲解例1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式为：，那么单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间为（）A．2π秒B．π秒C．0.5秒D．1秒分析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式，单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期．解：∵ω=2π，∴．故选D．说明：客观世界中很多物理现象的数量之间存在着三角函数关系，熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助于解决此类问题．例2、如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h=f(t)的关系式；(2)画出函数h=f(t)的图象．解析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力．解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．设点A的坐标为(x,y)，则h=y＋0.5．设∠OO1A=θ，则又，即，所以(2)函数的图象如下例3、下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号x1 59 80 117 126 172 225 263 298 356白昼时间y（小时）5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.48.5 5.4(I)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；(Ⅱ)试选用一个形如y=Asin(ωx＋)+t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系．(注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算)(Ⅲ)用(Ⅱ)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．解：（I）画散点图见下面．（II）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=Asin(ωx＋)＋t，由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即y max=19.4，y min=5.4，由19.4－5.4=14，得A=7；由19.4＋5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，∴，例4、在长江汽车渡口，马力不足或装货较重的汽车上岸时，采用沿着坡面斜着成S形的方向向上升，这是为什么？解析：在汽车马力恒定的情况下，行驶单位路程内，垂直上升高度愈大，汽车愈费“力”，当“力”所不及时，就会发生危险．日常经验告诉我们，走S形可减少这种危险．从数学的角度看，如图所示，AB表示笔直向上行走的路线，(AB⊥CA)，α表示它与水平面所成的夹角，CB表示斜着向上所行走的路线，β表示它与水平面所成的夹角，它们所达到的高度都是BD．现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大．在Rt△BAD中，，①在Rt△BCD中，，②比较①与②，因为AB、CB分别是Rt△ABC的直角边和斜边，也就是说AB＜CB，所以，所以sinα＞sinβ．又因为α、β都是锐角，所以α＞β．因此，汽车沿着CB方向斜着向上开要省力．说明：山区修筑的公路，采取盘山而上的方法，也就是这个道理．另外实际问题中也要碰到利用三角函数来比较大小的问题．。
三角函数的模型及应用
三角函数的模型及应用三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的度量和关系，以及角在几何图形中的应用。
三角函数的模型是用来描述角度和边长之间的关系，而三角函数的应用则广泛涉及到几何、物理、工程等领域。
首先，我们来讨论三角函数的模型。
最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义如下：正弦函数：sin(x) = 对边/ 斜边余弦函数：cos(x) = 邻边/ 斜边正切函数：tan(x) = 对边/ 邻边其中，对边、邻边和斜边指的是一个直角三角形中与角度x相关的边长。
这些三角函数的定义基于一个特殊的直角三角形，即单位圆上的一条半径与x轴和y 轴夹角为x的射线。
三角函数的模型可以进一步扩展到一般的三角形中，通过在单位圆上做垂线，我们可以将非直角三角形的边长和角度联系起来。
例如，根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)这些模型提供了计算三角形各边长和角度的方法，非常有用。
接下来，我们来探讨三角函数的应用。
三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，在解决三角形的边长和角度问题时，可以使用三角函数求解未知量。
三角函数还可以被用来计算几何图形的面积和体积，例如圆的面积和球的体积等。
此外，三角函数在物理学中也有广泛的应用。
例如，在运动学中，三角函数可以用来描述物体在直线上的运动，如加速度、速度和位移之间的关系。
另外，在力学中，三角函数可以用来计算力的分解，例如对一个斜面上的物体施加的力的分解等。
在工程学中，三角函数也被广泛应用。
例如，在建筑设计中，可以使用三角函数计算斜塔的高度和角度。
在航海中，可以使用三角函数来计算航线和船只的位置等。
总结起来，三角函数是数学中一个重要的分支，其模型描述了角度和边长之间的关系，应用于几何学、物理学和工程学等领域。
通过使用三角函数的模型和公式，我们可以解决各种与角度和边长相关的问题，推导出相应的计算方法，丰富了数学的应用领域。
三角函数三角函数模型的简单应用
反三角函数的图象与公式
图象
反三角函数的图象是连续的，具有明显的波动形状。 它们的形状和大小取决于其参数的取值范围。
公式
反三角函数有多种计算公式，如反正弦公式、反正切 公式和反余弦公式等。这些公式可以用于求解三角函 数的反函数。
反三角函数的应用场景
01
三角函数方程的求 解
当需要求解三角函数方程时，可 以使用反三角函数来找到方程的 解。
余弦函数的应用场景
三角测量
在地理学和工程学中，余弦函数被广泛应用于三角测量。通过测量两个物体之间的角度， 可以确定它们之间的距离或位置。余弦函数在这一过程中扮演了关键角色。
振动分析
在物理学和工程学中，余弦函数也被用来描述振动。例如，弹簧振子的位移可以表示为时 间的余弦函数。通过分析位移随时间的变化，可以得出振动的频率、幅度等参数。
物理学的应用
01
正弦函数在物理学中有广泛的应用，如振动、波动、交流电等
。
工程学中的应用
02
在工程学中，正弦函数被广泛应用于信号处理、图像处理等领
域。
经济学中的应用
03
在经济学中，正弦函数被用于分析周期性现象，如商业周期、
市场波动等。
03
CATALOGUE
余弦函数及其应用
余弦函数的定义与性质
余弦函数的定义
02
CATALOGUE
正弦函数及其应用
正弦函数的定义与性质
正弦函数的定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为直角三角形中一个角的对边与斜边的比值，即 $sin(x) = \frac{y}{r}$。
正弦函数的性质
正弦函数具有周期性、单调性、有界性等性质。其最小正周期为 $2\pi$，在区间 $[0,2\pi]$ 上，$sin(x)$ 的值 域为 $[0,1]$。
三角函数12345模型
三角函数12345模型三角函数是高中数学中的一个重要概念，通过它可以描述数学中的各种周期性现象。
在三角函数中常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
接下来，我将详细介绍这些三角函数及其模型。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期为2π的函数，数学表达式为y = sin(x)。
其中，x表示自变量，y表示因变量。
正弦函数的最值在[-1, 1]之间，当自变量x自增时，正弦函数值会在[-1, 1]之间变化。
正弦函数的图像呈现一种波浪形状，可表示许多自然现象，如波浪、声音和光的传播等。
例如，在机械振动中，质点做周期性的振动，其位移与正弦函数呈正相关关系。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期为2π的函数，数学表达式为y = cos(x)。
余弦函数的图像与正弦函数非常相似，但在水平方向上平移了π/2、余弦函数的最值也在[-1, 1]之间。
余弦函数在数学和物理学中都有广泛的应用。
在三角函数的应用中，余弦函数通常用于描述旋转、波动等周期性现象，比如天体运动和电路中的交流电信号。
3. 正切函数（tan）：正切函数是一个以π为周期的函数，数学表达式为y = tan(x)。
正切函数的图像在π/2, 3π/2, 5π/2等位置上有无穷大的间断点。
正切函数的值可以取任意实数，它的变化具有较大幅度的剧烈性。
正切函数在物理学、工程学等方面的应用也很广泛。
例如，在房屋设计中，正切函数可以用来计算房顶的坡度；在电子学中，正切函数可以描述电流和电压的关系。
4. 反正弦函数（arcsin）：反正弦函数是正弦函数的反函数，数学表达式为y = arcsin(x)。
反正弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
它表示对于一个给定的y值，通过反函数可以找到对应的x值。
反正弦函数在解三角形的问题中经常被使用。
例如，已知一个直角三角形的斜边和一个角度，可以使用反正弦函数来计算其他两个边的长度。
5. 反余弦函数（arccos）：反余弦函数是余弦函数的反函数，数学表达式为y = arccos(x)。
高三复习：三角函数模型及解三角形应用举例(含解析答案)
§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？题型二测量角度问题例2如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题型三利用三角函数模型求最值例3如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？变式如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 3．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．4.8三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m的水轮，水轮的圆心O距离水面2m．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin(ωx＋φ)＋2(ω>0，A>0)，则ω＝________，A＝________.2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)； (2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ (1)答案 30＋30 3解析 在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin30°＝ABsin15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB ·sin45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m.(2)解 ①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1040m.②假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤125043，62514(单位：m/min)范围内． 题型二 测量角度问题例2 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．思维点拨 设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC ，再利用正弦定理求出时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里)，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝6(海里)．又∵BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15(分钟)． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． 思维升华 测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．题型三 利用三角函数模型求最值例3 如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 思维点拨 由题图可得：x ＝cos θ，y ＝sin θ.列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意θ的范围． 解 (1)设S 为十字形的面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ (π4<θ<π2)；(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin2θ－12cos2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12，其中tan φ＝12， 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．所以，当θ＝π4＋φ2(tan φ＝12)时，S 最大，最大值为5－12.思维升华 三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值．变式 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h . (1)求h 与θ间关系的函数解析式； (2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30弧度/秒，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4米．由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30秒， ∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.答案 π2解析 ∵S ＝1－12×1×sin α－12×1×cos α－12(1－cos α)(1－sin α)＝12－12sin αcos α ＝12－14sin2α. ∴当α＝π2时，S 取到最大值．3．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 答案 3或2 3解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°， 由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.4．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．答案 2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800，所以BC ＝207. 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114.4.8 三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m 的水轮，水轮的圆心O 距离水面2m ．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(ω>0，A >0)，则ω＝________，A ＝________.答案 2π153 解析 每分钟转4圈，每圈所需时间T ＝604＝15. 又T ＝2πω＝15，∴ω＝2π15，A ＝3. 2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米 解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan60°＝203(米)，又CM＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 3.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin30°sin135°＝15 2 (m)． 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为156m.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile 的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h 的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t .在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos120°.整理得：2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)． 所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝AB sin120°， 所以sin ∠CAB ＝BC ·sin120°AB ＝10×32103＝12. 所以∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？解 (1)在△BCD 中，∵∠BCD ＝θ，∠B ＝π3，BD ＝l ， ∴BC ＝l sin (2π3－θ)sin θ，CD ＝3l 2sin θ， ∴AC ＝AB －BC ＝l －l sin (2π3－θ)sin θ， 则t ＝AC 3v ＋CD v ＝l 3v －l sin (2π3－θ)3v sin θ＋3l 2v sin θ(π3<θ<2π3)． (2)t ＝l 6v (1－3cos θsin θ)＋3l 2v sin θ＝l 6v ＋3l 6v ·3－cos θsin θ. 令m (θ)＝3－cos θsin θ，θ∈(π3，2π3)，则m ′(θ)＝1－3cos θsin 2θ. 令m ′(θ)＝0，得cos θ＝13，设cos θ0＝13，θ0∈(π3，2π3)， 则θ∈(π3，θ0)时，m ′(θ)<0；当θ∈(θ0，2π3)时，m ′(θ)>0，∴当cos θ＝13时，m (θ)取得最小值22，此时BC ＝6＋48l . 故当BC ＝6＋48l 时货物运行时间最短. 6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．规范解答解 (1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里， 则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900(t －13)2＋300.[4分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.[6分] 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小．[7分](2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.[9分] ∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.[10分] 又t ＝23时，v ＝30， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.[12分] 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[14分]。
例谈初中数学有关三角函数应用题的四个模型
例谈初中数学有关三角函数应用题的四个模型
1.求正弦定理：利用正弦定理可以解决三角形对边求角的问题，同
时也常用来求三角形内角与外角之和的问题，如：已知ABC三角形，
A = 105°，
B = 30°，求C角的度数。
解：由正弦定理：
A:B:C=sinA:sinB:sinC,可得：C = 45°。
2.求余弦定理：余弦定理可以用来求三角形的面积，如果知道三条边的长度，则可以求出三角形的面积。
如：已知ABC三角形的两条边的长
度分别为a = 8cm、b = 9cm，夹角C的度数为30°，求ABC三角形的
面积。
解：利用余弦定理，即a² = b² + c²– 2bc⁺cosC,得出：c = 8.11cm，三角形ABC的面积S = ab/2 sinC = 63.07cm²。
3.求正切定理：正切定理常用于求夹角的正切值。
如：已知ABC三角形，A = 30°，∠B = 60°，求tanB的值，解：由正切定理：
tanA:tanB:tanC = a:b:c,可以得出tanB = 1/√3∶1.
4.求正割定理应用：正割定理常用于夹角的正割值的求解，如：已知ABC三角形，A = 45°，B = 60°，求cosA的值，解：由正割定理：cosA:cosB:cosC = a:b:c,可以得出cosA = √3∶2.。
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考试要求 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解 决一些简单实际问题(B级要求)；2.掌握三角函数模型的应用(B级要求).
诊断自测 1.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是________(填序号).
①该质点的振动周期为0.7 s； ②该质点的振幅为－5 cm； ③该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大； ④该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零.
解 (1)利用“五点法”可作出其图象(列表略).
(2)因为当 t＝0 时，s＝6sin
π 6
＝3，所以此时离开平衡位置
3
cm.
(3)离开平衡位置6 cm.
(4)因为 T＝22ππ ＝1，
所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
规律方法 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子 和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物 理概念的意义和表示方法.
解析 依题意是求函数 s＝6sin2πt＋π6 的周期，T＝22π π＝1 s. 答案 1
4.某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中，f(t)为血压，t为时间，则 此人每分钟心跳的次数是________. 解析 ∵T＝1260ππ＝810，∴f＝T1＝80.
考点三 三角函数模型的拟合应用
【例3】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮， 晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返 回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：
时刻 0：00 3：00 6：00
水深(米) 5.0 7.5 5.0
时刻 9：00 12：00 15：00
水深(米) 2.5 5.0 7.5
时刻 18：00 21：00 24：00
水深(米) 5.0 2.5 5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深 的近似数值(精确到0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全 间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ (3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每 小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin(ωx＋φ)，②y＝Acos(ωx ＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并 求出该拟合模型的函数解析式；
(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练， 根据(1)中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能 确保集训队员的安全. 解 (1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示：
解 (1)由于 ω＝160π ，代入周期公式 T＝2|ωπ|，可得 T＝126π0π ＝810(min)，所以函数 p(t) 的周期为810 min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f＝T1＝80(次).
(3)列表：
t
0
1 320
1 1603 3201 80p(t) 115 140 115 90 115
2.解题流程：
考点一 三角函数模型在物理中的应用
【例 1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离 s (单位：cm)和时间 t (单位：s) 的函数关系式为 s＝6sin2π t＋π6 .
(1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？
解析 直接将 t＝2100代入计算即可. 当 t＝2100时，I＝5sin100π×2100＋π3 ＝5sin 5π 6 ＝52.
答案
5 2A
3.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系 式为 s＝6sin2π t＋π6 ，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________ s.
答案 80
5.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置 将移至________.
解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点. 答案 最高点
知识梳理
1.解三角函数模型应用问题的一般步骤是：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图. (2)建模：根据已知条件与求解目标，建立数学模型. (3)求解：利用三角形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
【训练3】 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海 滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小 时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
t(时) y(米)
0
3
6
9 12 15 18 21 24
1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示： (4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.
规律方法 解三角函数应用问题的基本步骤
【训练2】 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心 O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距 离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
得最大值，所以 6ω＝π ，即 ω＝π6 ，所以 y＝40.5－40cos
π 6
t(t≥0).
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，
由 60.5＝40.5－40cos
π 6
t0，得
cos
π 6
t0＝－12，
所以π6 t0＝2π3 或π6 t0＝4π3 ，
解得t0＝4或8， 所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝ 20(分钟).
依题意选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，
∴A＝2.4－2 0.6＝0.9，b＝2.4＋2 0.6＝1.5， ∵T＝2ωπ ＝12，∴ω ＝π6 ， ∴y＝0.9cosπ6 t＋φ＋1.5. 又∵函数 y＝0.9cosπ6 t＋φ＋1.5 的图象过点(3，2.4)， ∴2.4＝0.9×cosπ6 ×3＋φ＋1.5 ∴cosπ2 ＋φ＝1，
∴sin φ＝－1， 又∵－π<φ<0，∴φ＝－π2， ∴y＝0.9cosπ6 t－π2 ＋1.5＝0.9sinπ6 t＋1.5. (2)由(1)知：y＝0.9sinπ6 t＋1.5， 令 y≥1.05，即 0.9sinπ6 t＋1.5≥1.05， ∴sinπ6 t≥－12，
(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以y≥5.5时就可以进港.
令 2.5sin
π 6
x＋5＝5.5，化简得
sin
π 6
x＝0.2，
由计算器计算可得π6 x≈0.201 4，或π －π6 x≈0.201 4.
解得xA≈0.384 8，xB≈5.615 2. 因为x∈[0，24]，所以有函数周期性易得 xC≈12＋0.384 8＝12.384 8 xD≈12＋5.615 2＝17.615 2. 因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时 30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)，在同一坐标系内 作出这两个函数的图象，可以看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点.
∴2kπ －π6 ≤π6 t≤2kπ ＋76π(k∈Z)， ∴12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)， 又∵5≤t≤18， ∴5≤t≤7或11≤t≤18， ∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训 队员的安全.
通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深 约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全 水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6时30分之前停止卸货，将船舶驶向较深 的水域.
规律方法 (1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型， 利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及其变量与函 数之间的对应法则；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再 利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模. (2)三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据 拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
y＝2.5sin
π 6
x＋5，
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754