三角函数模型的简单应用 (共21张)
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Βιβλιοθήκη Baidu题探究
【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象 叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶 进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在 某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 0 3
6
9 12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
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问题 2 构建函数模型 【例 3】 如图为一个缆车示意图， 该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点 与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈， 图中 OA 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动 θ 角到 OB，设 点 B 与地面距离为 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式； (2)设从 OA 开始转动，经过 t 秒后到达 OB，求 h 与 t 之间的函数
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思考7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该 船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少， 那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
货船最好在6.5时
y
之前停止卸货，将
8
y=2.5sinpx+5 船驶向较深的水域.
6
6
4
y=-0.3x+6.1
.
思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底 与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆 多久？
y
8
6
B
A
4
2
CD
0
5
. 10 15
x
y 8
6
B
4A
CD
2
o
5
10 15
x
货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港； 或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港.每 次可以在港口停留5小时左右.
(12 分)
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【变式 1】 如图，点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位 置 P0 开始，按逆时针方向以角速度 ω rad/s 做圆周运动，求点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系，并求 点的运动周期和频率． 解 当质点 P 从点 P0 转到点 P 位置时，点 P 转过的角度为 ωt， 则∠POx＝ωt＋φ. 由任意角的三角函数得点 P 的纵坐标为 y＝rsin(ωt＋φ)，即为所求的函数关系式． 点 P 的运动周期为 T＝2ωπ，频率 f＝T1＝2ωπ.
描述，并利用三角函数的图象和性质解决相
应的实际问题.
.
问题探究
【背景材料】如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
yA si n x ()b T/℃
思考1：这一天6～14
30
时的最大温差是多少？
20
10
思考2：函数式中A、b的值分别 是多少？
o 6 10 14 t/h
.
yA si n x ()b T/℃ 30
解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？
审题指导 分析题目 → 列出函数解析式 → 应用求解
.
[规范解答] (1)以圆心 O 为原点，建立
如图所示的坐标系，则以 Ox 为始边，OB
为终边的角为 θ－2π，故 B 点坐标为
4.8cosθ－2π，4.8sinθ－π2.
∴h＝5.6＋4.8sinθ－π2.
6
根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精 确到0.001）
.
时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深
0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
.
(4 分) (6 分)
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0，故 t 秒转过的弧度数为3π0t，
∴h＝5.6＋4.8sin3π0t－2π，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时 h＝10.4 m.
(10 分)
由 sin3π0t－2π＝1 得3π0t－2π＝π2.∴t＝30. ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
思考3：如何确定函数式中和 20
的值? 10 o 6 10 14 t/h
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？
.
【例 2】 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图 象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能 取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？
第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用
.
温故知新
1.函数 yAsi nx ()中的参数 A,, 对图
象有什么影响？三角函数的性质包括哪些基 本内容？
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与
性质，其中周期性是三角函数的一个显著性
质.在现实生活中，如果某种变化着的现象
具有周期性，那么它就可以借助三角函数来
y 8 6 4 2
o
6 12 18 24 x
yA si n x. ()h
y 8 6 4 2
o
6 12 18 24 x
思考4：用函数 yAsi n x ()h 来刻画水深和
时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？
A2.5,h5,T1, 2 . 0, 6
思考5：这个港口的水深与时间的关系可
用函数 y2.5sinx5 近似描述，你能
.
思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规 律性？
呈周期性变化规律.
.
思考2：设想水深y是时间x的函数，作出表中的数据对 应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些 数据？
y 8 6 4 2
o
6 12 18 24 x
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思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象， 该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？
Βιβλιοθήκη Baidu题探究
【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象 叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶 进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在 某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 0 3
6
9 12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
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问题 2 构建函数模型 【例 3】 如图为一个缆车示意图， 该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点 与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈， 图中 OA 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动 θ 角到 OB，设 点 B 与地面距离为 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式； (2)设从 OA 开始转动，经过 t 秒后到达 OB，求 h 与 t 之间的函数
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思考7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该 船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少， 那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
货船最好在6.5时
y
之前停止卸货，将
8
y=2.5sinpx+5 船驶向较深的水域.
6
6
4
y=-0.3x+6.1
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思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底 与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆 多久？
y
8
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B
A
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CD
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o
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货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港； 或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港.每 次可以在港口停留5小时左右.
(12 分)
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【变式 1】 如图，点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位 置 P0 开始，按逆时针方向以角速度 ω rad/s 做圆周运动，求点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系，并求 点的运动周期和频率． 解 当质点 P 从点 P0 转到点 P 位置时，点 P 转过的角度为 ωt， 则∠POx＝ωt＋φ. 由任意角的三角函数得点 P 的纵坐标为 y＝rsin(ωt＋φ)，即为所求的函数关系式． 点 P 的运动周期为 T＝2ωπ，频率 f＝T1＝2ωπ.
描述，并利用三角函数的图象和性质解决相
应的实际问题.
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问题探究
【背景材料】如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
yA si n x ()b T/℃
思考1：这一天6～14
30
时的最大温差是多少？
20
10
思考2：函数式中A、b的值分别 是多少？
o 6 10 14 t/h
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yA si n x ()b T/℃ 30
解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？
审题指导 分析题目 → 列出函数解析式 → 应用求解
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[规范解答] (1)以圆心 O 为原点，建立
如图所示的坐标系，则以 Ox 为始边，OB
为终边的角为 θ－2π，故 B 点坐标为
4.8cosθ－2π，4.8sinθ－π2.
∴h＝5.6＋4.8sinθ－π2.
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根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精 确到0.001）
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时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深
0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
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(4 分) (6 分)
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0，故 t 秒转过的弧度数为3π0t，
∴h＝5.6＋4.8sin3π0t－2π，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时 h＝10.4 m.
(10 分)
由 sin3π0t－2π＝1 得3π0t－2π＝π2.∴t＝30. ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
思考3：如何确定函数式中和 20
的值? 10 o 6 10 14 t/h
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？
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【例 2】 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图 象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能 取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？
第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用
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温故知新
1.函数 yAsi nx ()中的参数 A,, 对图
象有什么影响？三角函数的性质包括哪些基 本内容？
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与
性质，其中周期性是三角函数的一个显著性
质.在现实生活中，如果某种变化着的现象
具有周期性，那么它就可以借助三角函数来
y 8 6 4 2
o
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yA si n x. ()h
y 8 6 4 2
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思考4：用函数 yAsi n x ()h 来刻画水深和
时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？
A2.5,h5,T1, 2 . 0, 6
思考5：这个港口的水深与时间的关系可
用函数 y2.5sinx5 近似描述，你能
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思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规 律性？
呈周期性变化规律.
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思考2：设想水深y是时间x的函数，作出表中的数据对 应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些 数据？
y 8 6 4 2
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思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象， 该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？