宁夏银川二中2020届高三上学期统练三数学(文)试题 (含答案)
银川一中2020届高三第三次模拟数学(文科)试卷(附答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷( 银川一中第三次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}13|{},1|{2<=≤=xx B x x A ，则=)(B C A R YA ．}0|{<x xB ．}10|{≤≤x xC ．}01|{<≤-x xD ．}1|{-≥x x 2．若复数z 与其共轭复数z 满足i z z 312+=-，则=||z A ．2B ．3C ．2D ．53．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则其渐近线方程为A ．2x+y=0B ．20x y ±=C ．340x y ±=D ．430x y ±= 4．在区间(0,4]内随机取两个数a b 、，则使得“命题‘x R ∃∈，不等式220x ax b ++<成立’为真命题”的概率为 A ．14B ．12C ．13D ．345．若向量)2,1(+=x 与)1,1(-=平行，则|2+|=a b r rA 2B ．322C ．32D ．226．F 是抛物线22y x =的焦点，A B 、是抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB的中点到y 轴的距离为 A ．4B ．92 C ．72D ．37．已知n m ,是两条不重合的直线，βα,是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是 A ．若α⊥⊥m n m ,，则α//n B ．若αα⊄n m n m ,//,//，则α//n C ．若βα⊥⊥⊥n m n m ,,，则βα⊥ D ．若βαα//,//m ，则β//m 或β⊂m8．已知函数y =f (x )的部分图像如图，则f (x )的解析式可能是 A ．()tan f x x x =+B ．()2sin f x x x =+C ．()sin f x x x =-D ．1()cos 2f x x x =-9．已知函数41()2x xf x -=，0.30.30.3(2),(0.2),(log 2)a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<10．天文学中，为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念。
2020年宁夏银川一中高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年宁夏银川一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.若复数z与其共轭复数满足，则A. B. C. 2 D.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.4.在区间内随机取两个数a、b，则使得“命题，不等式成立为真命题”的概率为A. B. C. D.5.若向量与平行，则A. B. C. D.6.F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为A. 4B.C.D. 37.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，则或8.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是A.B.C.D.9.已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.10.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯，又名依巴谷在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是当较小时，A. B. C. D.11.已知数列的通项公式是，其中的部分图象如图所示，为数列的前n项和，则的值为A. B. C. D. 012.已知函数，若函数有4个零点，则实数m的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为______．14.已知实数x，y满足，则的最大值为______．15.等差数列的前n项和为，，，则______．16.在三棱锥中，，，，点P到底面ABC的距离是；则三棱锥的外接球的表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.年龄岁人数人221282293305314323402合计20Ⅰ求这名教师年龄的众数与极差；Ⅱ以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；Ⅲ现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．18.开放题在锐角中，，_______，求的周长l的范围．在，，且，，，注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．19.如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形，平面平面ABCD，，，．Ⅰ求证：；Ⅱ求点D到平面BCF的距离．20.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点．求椭圆的标准方程；直线l：交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21.已知函数．Ⅰ若曲线与直线相切，求实数a的值；Ⅱ若不等式在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为．写出直线l和曲线C的直角坐标方程；已知点，若直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q中点为M，求的值．23.已知函数．求不等式的解集；若，使得恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，，，．故选：D．求出集合A，B，得到，由此能求出．本题考查补集、并集的求法，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：设，由，得，即，即，．，则．故选：A．设，代入，整理后利用复数相等的条件求得a，b的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：D解析：解：双曲线的离心率为，可得，即，可得，由双曲线的渐近线方程可得，即为．故选：D．运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系式，再由双曲线的渐近线方程即可得到所求．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：两个数a、b在区间内随地机取，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中，，，O为坐标原点若命题，不等式成立为真命题，则，解之得，满足条件的点在直线的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为，正方形OABC的面积为，使得“命题，不等式成立为真命题”的概率为：，故选：A．根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，得到所有的点在如图的正方形OABC 及其内部任意取，由命题，不等式成立为真命题，知，解之得，满足条件的点在正方形内部且在直线的下方的直角三角形，因此用所得直角三角形面积除以正方形的两种，即可得到所求的概率．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：C解析：解：，，解得，，，．故选：C．根据即可求出，从而可得出向量的坐标，进而求出的值．本题考查了平行向量的坐标关系，向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线定义及性质，属于基础题．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标的和，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：是抛物线的焦点，，准线方程，设，，，，线段AB的中点横坐标为，线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．7.答案：A解析：解：若，，则或，故A错误；若，，则或，又，则，故B正确；若，，则或，又，则，故C正确；若，，则或，故D正确．故选：A．由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8.答案：C解析：解：由图可知，函数的定义域为R，为奇函数且单调递增，选项A，定义域为，排除选项A；选项B，在上并不是恒成立，排除选项B；选项D，，与既非奇也非偶关系，排除选项D．故选：C．由图可知，函数的定义域为R，为奇函数且单调递增，而选项A中函数的定义域为，选项B不是单调增函数，选项D不是奇函数．本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性、单调性和特殊点处的函数值等方面着手思考问题，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．9.答案：A解析：解：，则在R上单调递增，，，，，，．故选：A．可得出，从而可根据指数函数的单调性判断在R上单调递增，然后可得出，从而根据的单调性即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数、对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：设“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是，“天津四”的亮度是，则，，，两颗星的星等与亮度满足，，即：，，与r最接近的是，故选：C．根据题意，结合对数的运算性质即可求出结果．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．11.答案：B解析：解：由图象可得，即，，再将代入，可得，，即有，，可令，可得，即，，为最小正周期为6的数列，由，，，，，，可得一个周期的和为0，则．故选：B．求得的周期，可得，再将代入，可得的解析式，求得的周期，计算可得所求和．本题考查三角函数的解析式的求法，注意运用数形结合，考查数列的周期性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．12.答案：B解析：【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．依题意，函数的图象与直线有4个交点，作出函数图象，通过图象分析找到临界情况，即可得解．解析：解：依题意，函数的图象与直线有4个交点，当时，，则，故此时，取得最大值时对应的点为；当时，，则，故此时，取得最大值时对应的点为；作函数图象如下：由图象可知，直线OA与函数有4个交点，且；直线OB与函数有6个交点，且；又过点作函数在上的切线切于点C，则又，同理作函数在上的切线切于点D，则．由图象可知，满足条件的实数m的取值范围为．故选：B．13.答案：700解析：解：设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为，．由题意可得，．设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得，故答案为：700．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14.答案：22解析：解：作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由可得，观察可知，当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，即，所以．故答案为：22．作出不等式组对应的平面区域，，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.答案：解析：【分析】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力，属于中档题．利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．解析：解：等差数列的前n项和为，，，由，可得，数列的公差为1，首项为1，，，则．故答案为．16.答案：解析：解：因为，，，所以可得AC的中点为底面ABC的外接圆的圆心，且外接圆的半径，，，设面ABC交于D，连接，则，可得，所以，过作垂直于底面的垂线，则，取O为外接球的球心，过O作交于H，则为矩形，可得，，设球的半径为R，连接OC，OP，则，在中，，在中，，，由可得，，所以外接球的表面积，故答案为：．由题意如图，求出底面外接球的半径，及球心O到棱锥的高线的距离OH，在两个三角形中求出球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系及外接球的表面积公式，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即．Ⅱ以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图，如下：Ⅲ设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A．年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有种，所以所选的2位教师年龄不全相同的概率．解析：Ⅰ年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，由此能求出这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差．Ⅱ以十位数为茎，个位数为叶，能作出这20名教师年龄的茎叶图．Ⅲ设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有种，由此能求出所选的2位教师年龄不全相同的概率．本题考查众数、极差的求法，考查茎叶图、概率的求法，考查频率分布表、茎叶图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：若选，则由，，且，得，，又，所以；又，的周长为，即；因为锐角中，，所以，所以，所以的周长为若选，由cos C，所以，所以；又，所以，所以；又，所以；所以，的周长为，即；因为锐角中，，所以，所以，所以的周长为若选，则x sin，又，所以，又，所以；所以，的周长为，即；因为锐角中，，所以，所以，所以的周长为解析：选时，由平面向量的数量积与三角恒等变换求出A的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出周长的取值范围；选时，由正弦定理和三角恒等变换求出A的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出周长的取值范围；选时，由三角恒等变换求得A的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出周长的取值范围．本题考查了平面向量的数量积和三角恒等变换应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．19.答案：解：Ⅰ四边形ABCD是正方形，，又平面平面ABCD，平面平面，面ABCD，平面ADE，分又平面ADE，，分．在中，，，，由余弦定理得，，，分又，平面分又平面分Ⅱ过点E做交AD于点H，连结FD．平面平面ABCD，平面平面，平面ADE，平面ABCD，在中，分又，面ABCD，面ABCD面到面ABCD的距离等于F到面ABCD的距离分，分在直角梯形EFBA中，，，，，可得，分设D点到平面BFC的距离为d，，即，点D到平面BCF的距离分解析：Ⅰ首先证明平面ADE，，又在中，由余弦定理得可得即可得平面．Ⅱ过点E做交AD于点H，连结FD，求得，易知E到面ABCD的距离等于F到面ABCD的距离，设D点到平面BFC的距离为d，得到点D到平面BCF的距离．本题考查了空间线线垂直的证明，等体积法求点到面的距离，属于中档题．20.答案：解：由题意知，，，解得，可得椭圆的标准方程为：；设，联立，消去y，得，依题意：直线l：恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以，，由式，，得，由，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即．即，整理得，解得．解析：由题意可得，，解得，进而得到椭圆方程；设，，联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ根据题意，由，得，设切点横坐标为，依题意得，解得，即实数a的值为1．Ⅱ由在定义域内恒成立，得在定义域内恒成立，令，则，再令，则，即在上递减，又，所以当时，，从而，在递增；当时，，从而，在递减，所以在处取得最大值，所以实数a的取值范围是．解析：Ⅰ根据题意，由函数的解析式求出其导数，设切点横坐标为，则有，解可得a的值，即可得答案；Ⅱ根据题意，原问题可以转化为，在定义域内恒成立，令，求出的导数，利用导数分析的最大值，据此分析即可得答案．本题考查导数的应用，涉及利用导数求函数的最值与切线的方程，注意将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题．22.答案：解：因为直线，故，即直线l的直角坐标方程为．因为曲线C：，则曲线C的直角坐标方程为，即．根据转换为直线l的参数方程为为参数，将其代入曲线C的直角坐标方程，得．设P，Q对应的参数分别为，，则，，所以M对应的参数，故．解析：直接利用转化关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：，，即为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得．综上可得不等式的解集为；，即为，由，可得，即有，可得，解得．解析：由题意可得，由绝对值的意义，对x讨论，去绝对值，解不等式，求并集即可；由题意可得，运用绝对值不等式的性质可得，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。
银川二中2019-2020学年第一学期高三年级文科数学试卷及答案详解(12页)
银川二中2019-2020学年第一学期高三年级文科数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|y＝lg（2x﹣3）}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜＜} B．{x|x＞1} C．{x|x＞2}D．{x|＜＜}2．记复数z的共轭复数为，若（1﹣i）＝2i（i为虚数单位），则复数z的模|z|＝（）A．B．1 C．2D．23．若直线a和b异面，直线b和c异面，则直线a和c（）A．异面或相交B．异面或平行C．异面或平行或相交D．相交或平行4．“a＝0”是“函数f（x）＝sin x a为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，图中的曲线为半圆弧或圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．25π6．在等差数列{a n}中，a3，a9是方程x2+24x+12＝0的两根，则数列{a n}的前11项和等于（）A．66 B．132 C．﹣66 D．﹣1327．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16 B．8 C．4 D．28．已知，则（）A．B．C．D．9．函数的图象可由y＝2cos2x的图象如何变换得到（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位10．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则（）A．B．C．D．11．如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知P A＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．已知函数，＜，，则方程f（x）＝kx+1有3个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．，C．，D．（0，+∞）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．在平面直角坐标系xOy中，点A，B均在圆心为原点额单位圆上，已知点A 在第一象限的横坐标为，点B（1，0）设∠BOA＝θ，则sin2θ＝．14．已知向量，，，，θ为两个向量的夹角，则cosθ＝．15．记数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝3a n+2n﹣3，则数列{a n}的通项公式为a n＝．16．如图边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF以及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则四面体P﹣AEF的高为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知函数f（x）sin2x﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c，f（C）＝0．若sin B＝2sin A，求a，b的值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．19．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．20．已知数列{a n}满足：a n≠1，a n+1＝2（n∈N*），数列{b n}中，b n，且b1，b2，b4成等比数列；（1）求证：{b n}是等差数列；（2）S n是数列{b n}的前n项和，求数列{}的前n项和T n．21．已知函数f（x）ax2﹣（2a+1）x+2lnx．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝0时，证明：f（x）＜2e x﹣x﹣4（其中e为自然对数的底数）．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρcos2θ＝4a sinθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数）．直线l与曲线C交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程（不要求具体过程）；（Ⅱ）设P（﹣2，﹣1），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．23．[选修4-5：不等式选讲]已经f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m、n、p为正实数，且m+n+p＝f（3），求证：mn+np+pm≤12．答案详解：一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D2．3．C4．C5．C6．D7．C8．A9．B10．D11．D12．B二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．平面直角坐标系xOy中，点A，B均在圆心为原点的单位圆上，已知点A 在第一象限的横坐标为，点B（1，0）设∠BOA＝θ，则cosθ，sinθ，则sin2θ＝2sinθcosθ，14．向量，，，，则两个向量的夹角余弦值为cosθ．15．S n＝3a n+2n﹣3，可得n＝1，a1＝S1＝3a1﹣1，即a1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝3a n+2n﹣3﹣3a n﹣1﹣2n+2+3，即有a n a n﹣1﹣1，由a n+λ（a n﹣1+λ），解得λ＝﹣2，可得{a n﹣2}为为首项，为公比的等比数列，即有a n﹣2＝﹣（）n，则a n＝2﹣（）n，16．边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF以及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则P A，PE，PF两两垂直，∴P A⊥平面PEF，∴V A﹣PEF，设P到平面AEF的距离为h，∵S△AEF，∴，∴，解得h．∴四面体P﹣AEF的高为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（1）∵f（x）sin2x﹣cos2x，x∈R．sin2x＝sin（2x）﹣1∴Tπ∴由2kπ2x2kπ，k∈Z可解得：x∈[kπ，kπ]，k∈Z∴f（x）单调递减区间是：[kπ，kπ]，k∈Z（2）f（C）＝sin（2C）﹣1＝0，则sin（2C）＝1∵0＜C＜π，∴C∵sin B＝2sin A，∴由正弦定理可得b＝2a①∵c，∴由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣ab＝3②由①②可得a＝1，b＝2．18．证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．19．（1）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，所以，即，解得a1＝1．………………所以a n＝a1+（n﹣1）d＝n．………………………………………（2），（6分）两式相减得（8分）所以（11分）所以．…………………………………20．（1）证明：a n≠1，a n+1＝2（n∈N*），可得a n+1﹣1＝1，1，即有b n+1＝1+b n，可得{b n}是公差均为1的等差数列；（2）b1，b2，b4成等比数列，可得b22＝b1b4，可得（b1+1）2＝b1（b1+3），解得b1＝1，即S n＝n n（n﹣1），可得2（），则前n项和T n＝2（1）＝2（1）．21．（1）∵f（x）x2﹣3x+2lnx，x＞0，∴f′（x）＝x﹣3，令f′（x）＝0，解得x＝1，或x＝2，当f′（x）＞0时，解得0＜x＜1或x＞2，当f′（x）＜0时，解得1＜x＜2，∴单调递增区间为（0，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）当a＝0时，由f（x）＜2e x﹣x﹣4，只需证明e x＞lnx+2，令h（x）＝e x﹣lnx﹣2（x＞0），h′（x）＝e x，故h′（x）递增，h′（1）＝e﹣1＞0，h′（）2＜0，故存在x0∈（，1），使得h′（x0）＝0，即0，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，故x＝x0时，h（x）取得唯一的极小值，也是最小值，h（x）的最小值是h（x）lnx0﹣2x0﹣2＞0，（0＜x0＜1，）．另解：构造不等式，e x﹣1＞x≥lnx+1（x＞0），即可证明．22．（Ⅰ）曲线C：ρcos2θ＝4a sinθ（a＞0），转换为直角坐标方程为：x2＝4ay（a＞0）直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线x2＝4ay．得到：，（t1和t2为M、N对应的参数）所以：，t1t2＝8（a+1），由于：|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，故：，整理得：32（a+1）2＝40（a+1），解得：a．23．（1）解：①x≥2时，f（x）＝2x﹣4+x+1＝3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）＝4﹣2x+x+1＝5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x ＞﹣1，即﹣1＜x＜2，③x≤﹣1时，f（x）＝4﹣2x﹣1﹣x＝3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x ＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|，∴f（3）＝6，∴m+n+p＝f（3）＝6，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝36，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝36≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤12．故证毕．。
2020届宁夏银川市第二中学高三一模数学(文)试题
绝密★启用前2020届宁夏银川市第二中学高三一模数学（文）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}2|(1)9,M x x x R =-<∈，{}2,0,1,2,4N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1,2B ．1,0,1,2C ．{}1,0,2,3-D ．{}0,1,2,32．若复数()()1a i i ++在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =AB ．4C ．2D ．124．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为（ ） A ．14B ．13C ．4D ．35．已知函数()44cos sin x x f x =-,下列结论中错误的是( ) A ．()cos2f x x =B ．函数()f x 的图象关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．()f x 的值域为⎡⎣6．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”………外………………装…………○………………○…………线…………○…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※答※※题※※………内………………装…………○………………○…………线…………○…边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a-D ．91010a -7．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )A ．B ．C ．D ．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1.从,,,A B C D 四点中任取两个点作为向量b 的始点和终点，则a b ⋅的最大值为（ ）A ．1B C ．3D9．若,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．5-B ．1C ．1-D ．210．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =（ ）A 2BC ．6:4:πD ．3:2:π11．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C 与圆22:(3C x y +-='交于M ,N 两点,若||MN =则MNF 的面积为( )A B ．38CD ．412．已知实数a b c d ,,,满足111a e cb d e --==，则()()22a c b d -+-的最小值为（ ） A ．eB C ．221e e+D ．221e e +第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．14．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下：A 地：中位数为2，极差为5；B 地：总体平均数为2，众数为2；BAC∠的平分线支付金额支付方式……订…………_______考号：_______……订…………（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 19．如图，四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，2BCD π∠=，PA BD ⊥，2AB =，1PA PD CD BC ====.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求点C 到平面PBD 的距离.20．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点()0,1A ，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 21．设函数2()ln f x x bx a x =+-（Ⅰ）若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是()f x 的两个不同零点，且0(,1)x n n ∈+且n N ∈，求n 的值；（Ⅱ）若对任意[]2,1b ∈--, 都存在(1,)x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围.22．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲] 已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=9cos 2θ+9sin 2θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的普通方程；（2）A ,B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求1|OA|2+1|OB|2的值．23．若0,0a b >>，且(1a b +. （1）求3311a b +的最小值； （2）是否存在,a b ，使得1123a b +？并说明理由.参考答案1．A 【解析】(){}{}2|19,|24,M x x x R x x x R =-<∈=-<<∈{}{}{}|24,?2,0,1,2,40,1,2M N x x x R ∴⋂=-<<∈⋂-=选A 2．B 【解析】 【分析】由题意可知，复数()()1a i i ++是实数，可得a 值. 【详解】复数()()()111a i i a a i ++=-++在复平面上所对应的点在实轴上，10,1a a ∴+=∴=-.故选：B . 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解. 【详解】∵双曲线的离心率ce a== ，c ，∴a=，解得12a = ， 故选D. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．A 【解析】 【分析】作AD BC ⊥，垂足为D .由几何概型可知，∠AMB ≥90°的概率等于BDBC. 【详解】作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示由几何概型可知，∠AMB ≥90°的概率等于BDBC. 90,1,2,60BAC AB BC B ∠===∴∠=，11cos60122BD AB ∴==⨯=.90AMB ∴∠≥的概率为11224BD BC ==.故选：A . 【点睛】本题考查几何概型，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得()cos 2f x x =，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解． 【详解】解：由442222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos2f x x x x x x x x =-=+-=，故A 正确； 由定义可知()cos 2f x x =为偶函数，故B 正确；由周期公式可得()f x 的最小正周期为：22T ππ==，故C 正确； 由余弦函数的性质可得()cos 2f x x =的值域为[1-，1]，故D 错误； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题． 6．C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -由题意可得：1101110nn n n a a a ---=⇔= 则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列即911410591010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭则视力4.9的视标边长为4510a - 故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题. 7．A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.考点：函数的图象与性质．8．C 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义可知，向量b 在向量a 方向上的投影最大时，a b ⋅取最大值. 【详解】由题意知1a =，cos ,cos ,a b a b a b b a b ∴⋅=〈〉=〈〉，a b ∴⋅取最大值时，向量b 在向量a 方向上的投影cos ,b a b 〈〉最大.由图形可知，当b AC =时，向量b 在向量a 方向上的投影最大.cos ,cos ,103a b a b a b b a b ∴⋅=〈〉=〈〉=⨯=. 即a b ⋅的最大值为3. 故选：C . 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可． 【详解】由2z x y =-得122z y x =-， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）:平移直线122z y x =-， 由图象可知当直线122z y x =-，过点C 时，直线122zy x =-的截距最小，此时z 最大，由11x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得(1,0)C ，代入目标函数2z x y =-， 得1201z =-⨯=∴目标函数2z x y =-的最大值是1．故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 10．C 【解析】 【分析】设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，正方体的棱长为a ，由它们的表面积相等，令表面积为S ，可得222,,466S S S R r a ππ===.再由球、圆柱、正方体的体积公式求解即得. 【详解】设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，正方体的棱长为a ， 由它们的表面积相等可得222466R r a ππ==，令表面积为S ， 则222,,466S S SR r a ππ===. ()()()()()22223332223232222123416:::2::4:39V V V R r r a R r a ππππ⎛⎫∴=⨯=⎪⎝⎭3332216:4:6:4:9466S S S πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C .【点睛】本题考查球、圆柱、正方体的表面积公式和体积公式，属于基础题. 11．B 【解析】 【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由C M C N ''==MN =C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图，由于C M C N ''==MN =C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为，代入抛物线方程得22p =，2p =，∴F ，113228FMN N S MF y ∆=⨯==． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解． 12．D 【解析】 【分析】设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点，()()22a c b d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，通过求函数ln y x =到直线1:1l y x e=⋅+的最小距离，即可得到本题答案. 【详解】由题，得1ln ,1a b c d e==⋅+， 设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点， ()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，对ln y x =求导得1y x '=，令1y e'=，得x e =， 所以曲线C 上的点(,1)e 到直线l 的距离最小，该点到直线l==， 因此22()()a c b d -+-的最小值为2221e e⎛⎫=+. 故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用. 13．如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】 【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 14．AD 【解析】 【分析】对选项逐个分析，即得答案. 【详解】对于A 地，因为中位数为2，极差为5，所以最大值为257+=，满足每天新增疑似病例不超过7人，故A 地符合；对于B 地，若过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B 地不符合；对于C 地，若过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C 地不符合； 对于D 地，假设至少有一天疑似病例超过7人，设为8人，则方差为()()()10222111128282 3.63101010i i x =⎡⎤-=-+>⨯-=>⎣⎦∑，与题中条件总体方差为3矛盾，故假设不成立.故满足每天新增疑似病例不超过7人，故D 地符合. 故答案为：AD . 【点睛】本题考查利用中位数、极差、平均数、众数、方差等数据，对总体数据进行估算，属于中档题. 15．15- 【解析】 【分析】先利用题中条件推导出函数()y f x =是以2为周期的周期函数，然后利用题中定义结合周期性和奇偶性可分别求出185f ⎛⎫⎪⎝⎭和()lg30f 的值，相加即可. 【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，()()()22f x f x f x ∴=--=-，所以，函数()y f x =是以2为周期的周期函数，则181822214=555555f f f f R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()lg30lg3lg10lg31lg311lg31lg30f f f f f R =+=+=-=--=--=，因此，()181lg 3055f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 故答案为：15-. 【点睛】本题考查新定义函数值的计算，推导出函数的周期是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 16．8 12n - 【解析】 【分析】（1）根据11320n n n a a a +--+=，求出3a ，再求出4a ；（2）由11320n n n a a a +--+=，得()112n n n n a a a a +--=-，则数列{}()1*n n a a n N +-∈是首项为1,公比为2的等比数列，求出1n n a a +-，累加法求n a . 【详解】 （1）12111,2,320(2,)n n n a a a a a n n N *+-==-+=≥∈，3213232214a a a ∴=-=⨯-⨯=， 4323234228a a a ∴=-=⨯-⨯=.（2）11320(2,)n n n a a a n n N *+--+=≥∈，()112n n n n a a a a +-=-∴-，又211a a -=，∴数列{}()1*n n a a n N +-∈是首项为1,公比为2的等比数列，111122n n n n a a -+-∴=⨯=-.2221324311,2,2,,2n n n a a a a a a a a --∴-=-=-=-=，以上各式两端分别相加，得()1221111212222112n n n n a a ---⨯--=++++==--，又()111,22,*n n a a n n N -=∴=≥∈.当1n =时，11a =符合上式，()12*n n a n N -∴=∈.故答案为：8；12n -. 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，属于中档题. 17．(I )23B π= (II【解析】 【分析】()I 由已知及余弦定理可求得1cosB 2=-，结合范围()B 0,π∈，可求B 的值．()II 由正弦定理可得sin BAD ∠，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos BAD ∠，根据二倍角的正弦函数公式即可求解sin BAC ∠的值． 【详解】 解：()I 在ABC 中，222a c b ac +=-．∴由余弦定理可得：2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，()0,B π∈，23B π∴=()II 由正弦定理可得：sin sin AD BDB BAD =∠，1sin 1sin 4BD B BAD AD ⋅∴∠===， ()0,BAD π∠∈，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，cos BAD ∴∠==()sin sin 22sin cos 8BAC BAD BAD BAD ∴∠=∠=∠⋅∠=【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．（Ⅰ）400人； （Ⅱ）125； （Ⅲ）见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；(Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率； (Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可. 【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A 的人数有30人，仅使用B 的人数有25人， 由题意知A ,B 两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有1003025540---=， 所以全校学生中两种支付方式都使用的有401000400100⨯=（人）. （Ⅱ）因为样本中仅使用B 的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为125. （Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为125，因为从仅使用B 的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19．（1）见证明（2）12【解析】 【分析】（1）根据题中所给的条件，利用勾股定理，得到AD BD ⊥，利用已知条件PA BD ⊥，结合线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面PAD ，进而证得平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）利用三棱锥体积转换，求得点C 到平面PBD 的距离. 【详解】（1）∵AB CD ，2BCD π∠=，1PA PD CD BC ====，∴BD =，2ABC π∠=，4DBC π∠=，∴4ABD π∠=，∵2AB =，∴AD =222AB AD BD =+，∴AD BD ⊥，∵PA BD ⊥，PA AD A ⋂=，∴BD ⊥平面PAD ， ∵BC ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD .（2）取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，且2PO =， 由平面PAD ⊥平面ABCD 知PO ⊥平面ABCD ， 由BD ⊥平面PAD 得BD PD ⊥，又1PD =,BD =,∴PBD ∆ 又BCD ∆的面积为12，P BCD C PBD V V --=，设点C 到平面PBD 的距离为d ，则111332=⨯12d =，即点C 到平面PBD 的距离为12.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，点到平面的距离，属于简单题目.20．（1）2212x y +=；（2）详见解析.【解析】 【分析】（1）由题意1c =，根据过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，求出b ，求出2a ，即得椭圆C 的方程；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y .把直线l 的方程代入椭圆C 的方程，韦达定理.写出直线AP 和直线AQ 的方程，求出,OM ON .根据2OM ON =，求出t 的值，即可证明直线l 经过定点. 【详解】（1）由题意，得椭圆C 的半焦距1c =，右焦点()1,0F ，上顶点()0,M b ，所以直线MF 的斜率03tan 1014b k π-===--，解得1b =，由222a b c =+，得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y .联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k-∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =，所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得只有0t =满足题意，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】本题考查椭圆的标准方程和直线过定点问题，属于较难的题目. 21．（1）3， （2）详见解析 【解析】试题分析：求导后利用2x =为极值点，满足(2)0f '=，在根据1是()f x 的零点，满足(1)0f =，列方程组解出,a b ，把,a b 的值代入求导，研究函数()f x 的另一个零点所在的区间，求出n ；由于()g b 在[2,1]--上为增函数，只需()()2max 1ln 0g b g x x a x =-=--<在()1,x e ∈有解，令()2ln h x x x a x =--，只需存在()01,x e ∈使得()00h x <即可，对()h x 求导，再进行分类讨论.试题解析：（Ⅰ）()2,2a f x x b x x =+-'=是函数()f x 的极值点，∴()242af b =+-'. ∵1是函数()f x 的零点，得()110f b =+=，由40210a b b ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩，解得6,1a b ==-， ∴()26ln f x x x x =--,()621f x x x-'=-， 令()2626210x x f x x x x--=--=>'， 0,2x x >∴>，令()0f x '<得02x <<，所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,x ∈∈+∞，因为()()210f f <<，()()361ln30f =-<,()()2462ln46ln 04e f =-=>， 所以()03,4x ∈，故3n =．（Ⅱ）令()2ln g b xb x a x =+-，[]2,1b ∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈，使得()0f x <成立，则 ()()2max 1ln 0g b g x x a x =-=--<在()1,x e ∈有解，令()2ln h x x x a x =--，只需存在()01,x e ∈使得()00h x <即可， 由于()2221a x x a h x x x x='--=--， 令()()22,1,x x x a x e ϕ=--∈，()410x x ϕ'=->， ∴()x ϕ在(1，e )上单调递增，()()11x a ϕϕ>=-，①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 在(1，e )上单调递增，∴()()10h x h >=，不符合题意.② 当10a -<，即1a >时，()110.a ϕ=-< ()22e e e a ϕ=-- 若221a e e ≥->，则()0e ϕ<，所以在(1，e )上()0e ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在(1，e )上单调递减,∴存在()01,x e ∈，使得()()010h x h <=，符合题意.若221e e a ->>，则()0e ϕ>，∴在(1， e )上一定存在实数m ，使得()0m ϕ=， ∴在(1，m )上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，()h x 在(1，m )上单调递减, ∴存在()01,x m ∈，使得()()010h x h <=，符合题意.综上，当1a >时，对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈，使得()0f x <成立22．（1）x 29+y 2=1；（2）109． 【解析】试题分析：（1）将x =ρcosθ,y =ρsinθ,x 2+y 2=ρ2代入曲线的方程，即可求得曲线的普通方程；（2）因为题意得1ρ2=cos 2θ9+sin 2θ，由OA ⊥OB ，设A(ρ1,α)可得B(ρ2,α±π2)， 即可求解。
2020届宁夏银川市第二中学高三一模数学(文)试题(解析版)
2020届宁夏银川市第二中学高三一模数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|(1)9,M x x x R =-<∈，{}2,0,1,2,4N =-，则M N =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2,3-D ．{}0,1,2,3【答案】A【解析】(){}{}2|19,|24,M x x x R x x x R =-<∈=-<<∈Q{}{}{}|24,?2,0,1,2,40,1,2M N x x x R ∴⋂=-<<∈⋂-=选A2．若复数()()1a i i ++在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】由题意可知，复数()()1a i i ++是实数，可得a 值. 【详解】Q 复数()()()111a i i a a i ++=-++在复平面上所对应的点在实轴上，10,1a a ∴+=∴=-.故选：B . 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.3．已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A B ．4 C ．2 D ．12【答案】D【解析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解. 【详解】∵双曲线的离心率ce a== ，c ，∴a=，解得12a = ， 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为（ ） A ．14B ．13C ．2 D ．2 【答案】A【解析】作AD BC ⊥，垂足为D .由几何概型可知，∠AMB ≥90°的概率等于BDBC. 【详解】作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示由几何概型可知，∠AMB ≥90°的概率等于BDBC. 90,1,2,60BAC AB BC B ∠===∴∠=o o Q ，11cos60122BD AB ∴==⨯=o .90AMB ∴∠≥o 的概率为11224BD BC ==.故选：A . 【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.5．已知函数()44cos sin x x f x =-,下列结论中错误的是( )A ．()cos2f x x =B ．函数()f x 的图象关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．()f x 的值域为2,2⎡-⎣【答案】D【解析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得()cos 2f x x =，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解． 【详解】解：由442222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos2f x x x x x x x x =-=+-=，故A 正确； 由定义可知()cos 2f x x =为偶函数，故B 正确； 由周期公式可得()f x 的最小正周期为：22T ππ==，故C 正确； 由余弦函数的性质可得()cos 2f x x =的值域为[1-，1]，故D 错误； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．6．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．4510a B ．91010aC ．4510a -D ．91010a -【答案】C【解析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -由题意可得：10110111100nn n n a a a a ---=⇔= 则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列即911410591010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭则视力4.9的视标边长为4510a - 故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题. 7．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令cos t x =，则1t ≤在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，从而ln 0y t =≤在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，即得答案. 【详解】令cos t x =，则1t ≤在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，ln 0y t ∴=≤在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，结合图象，可知答案为A .故选：A . 【点睛】本题考查对数函数和三角函数，属于基础题.8．如图，网格纸上小正方形的边长为1.从,,,A B C D 四点中任取两个点作为向量b r的始点和终点，则a b ⋅r r的最大值为（ ）A ．1B 5C ．3D 10【答案】C【解析】根据向量数量积的几何意义可知，向量b r 在向量a r 方向上的投影最大时，a b ⋅r r取最大值. 【详解】由题意知1a =r，cos ,cos ,a b a b a b b a b ∴⋅=〈〉=〈〉r r r r r r r r r ，a b ∴⋅r r取最大值时，向量b r 在向量a r 方向上的投影cos ,b a b 〈〉r r r 最大.由图形可知，当b AC =r u u u r 时，向量b r 在向量a r方向上的投影最大.cos ,cos ,10310a b a b a b b a b ∴⋅=〈〉=〈〉==r r r r r r r r r .即a b ⋅r r的最大值为3.故选：C . 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属于基础题.9．若,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．5-B ．1C ．1-D ．2【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可． 【详解】由2z x y =-得122z y x =-， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）:平移直线122z y x =-， 由图象可知当直线122z y x =-，过点C 时，直线122zy x =-的截距最小，此时z 最大，由11x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得(1,0)C ，代入目标函数2z x y =-， 得1201z =-⨯=∴目标函数2z x y =-的最大值是1．故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．10．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =（ ）A 62πB 32πC ．6:4:πD ．3:2:π【答案】C【解析】设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，正方体的棱长为a ，由它们的表面积相等，令表面积为S ，可得222,,466S S S R r a ππ===.再由球、圆柱、正方体的体积公式求解即得. 【详解】设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，正方体的棱长为a ， 由它们的表面积相等可得222466R r a ππ==，令表面积为S ，则222,,466S S S R r a ππ===. ()()()()()22223332223232222123416:::2::4:39V V V R r r a R r a ππππ⎛⎫∴=⨯=⎪⎝⎭3332216:4:6:4:9466S S S πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C . 【点睛】本题考查球、圆柱、正方体的表面积公式和体积公式，属于基础题.11．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C 与圆22:(3C x y +-='交于M ,N 两点,若||MN =则MNF V 的面积为( )A B ．38C ．8D ．4【答案】B【解析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由C M C N ''==MN =C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积．【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图，由于C M C N ''==，MN =∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为，代入抛物线方程得22p =p =，∴F ，113228FMN N S MF y ∆=⨯==． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．12．已知实数a b c d ,,,满足111a e cb d e--==，则()()22a c b d -+-的最小值为（ ）A ．21e e +B 21e +C ．221e e+D ．221e e + 【答案】D【解析】设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点，()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，通过求函数ln y x =到直线1:1l y x e=⋅+的最小距离，即可得到本题答案.【详解】由题，得1ln ,1a b c d e==⋅+， 设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点， ()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，对ln y x =求导得1y x '=，令1y e'=，得x e =， 所以曲线C 上的点(,1)e 到直线l 的距离最小，该点到直线l==， 因此22()()a c b d -+-的最小值为2221e e⎛⎫=+. 故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用.二、双空题13．已知数列{}n a 满足11a =，22a =，11320(2,)n n n a a a n n N *+--+=≥∈.（1）4a =_______；（2）数列{}n a 的通项公式n a =________. 【答案】8 12n -【解析】（1）根据11320n n n a a a +--+=，求出3a ，再求出4a ；（2）由11320n n n a a a +--+=，得()112n n n n a a a a +--=-，则数列{}()1*n n a a n N+-∈是首项为1,公比为2的等比数列，求出1n n a a +-，累加法求n a . 【详解】（1）12111,2,320(2,)n n n a a a a a n n N *+-==-+=≥∈Q ，3213232214a a a ∴=-=⨯-⨯=， 4323234228a a a ∴=-=⨯-⨯=.（2）11320(2,)n n n a a a n n N *+--+=≥∈Q ，()112n n n n a a a a +-=-∴-，又211a a -=，∴数列{}()1*n n a a n N +-∈是首项为1,公比为2的等比数列，111122n n n n a a -+-∴=⨯=-.2221324311,2,2,,2n n n a a a a a a a a --∴-=-=-=-=L ，以上各式两端分别相加，得()1221111212222112n n n n a a ---⨯--=++++==--L ，又()111,22,*n n a a n n N -=∴=≥∈Q .当1n =时，11a =符合上式，()12*n n a n N -∴=∈.故答案为：8；12n -. 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，属于中档题.三、填空题14．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.15．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下：A 地：中位数为2，极差为5；B 地：总体平均数为2，众数为2；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；D 地：总体平均数为2，总体方差为3. 则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是_______(填A 、B 、C 、D ) 【答案】AD【解析】对选项逐个分析，即得答案. 【详解】对于A 地，因为中位数为2，极差为5，所以最大值为257+=，满足每天新增疑似病例不超过7人，故A 地符合；对于B 地，若过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B 地不符合；对于C 地，若过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C 地不符合； 对于D 地，假设至少有一天疑似病例超过7人，设为8人，则方差为()()()10222111128282 3.63101010ii x =⎡⎤-=-+>⨯-=>⎣⎦∑L ，与题中条件总体方差为3矛盾，故假设不成立.故满足每天新增疑似病例不超过7人，故D 地符合. 故答案为：AD . 【点睛】本题考查利用中位数、极差、平均数、众数、方差等数据，对总体数据进行估算，属于中档题.16．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 【答案】15-【解析】先利用题中条件推导出函数()y f x =是以2为周期的周期函数，然后利用题中定义结合周期性和奇偶性可分别求出185f ⎛⎫⎪⎝⎭和()lg30f 的值，相加即可. 【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，()()()22f x f x f x ∴=--=-，所以，函数()y f x =是以2为周期的周期函数，则181822214=555555f f f f R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()lg30lg3lg10lg31lg311lg31lg30f f f f f R =+=+=-=--=--=， 因此，()181lg 3055f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 故答案为：15-. 【点睛】本题考查新定义函数值的计算，推导出函数的周期是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.四、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．【答案】(I )23B π=(II 【解析】()I 由已知及余弦定理可求得1cosB 2=-，结合范围()B 0,π∈，可求B 的值．()II 由正弦定理可得sin BAD ∠，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos BAD ∠，根据二倍角的正弦函数公式即可求解sin BAC ∠的值． 【详解】解：()I Q 在ABC V 中，222a c b ac +=-．∴由余弦定理可得：2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，()0,B π∈Q ，23B π∴=()II Q 由正弦定理可得：sin sin AD BDB BAD=∠，31sin 12sin 423BD B BAD AD ⨯⋅∴∠===， ()0,BAD π∠∈Q ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，215cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=, ()15sin sin 22sin cos BAC BAD BAD BAD ∴∠=∠=∠⋅∠=【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额 支付方式 不大于2000元大于2000元仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【答案】（Ⅰ）400人； （Ⅱ）125；（Ⅲ）见解析.【解析】(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数； (Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率； (Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可. 【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A 的人数有30人，仅使用B 的人数有25人， 由题意知A ,B 两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有1003025540---=， 所以全校学生中两种支付方式都使用的有401000400100⨯=（人）. （Ⅱ）因为样本中仅使用B 的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为125. （Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为125，因为从仅使用B 的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元， 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，2BCD π∠=，PA BD ⊥，2AB =，1PA PD CD BC ====.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求点C 到平面PBD 的距离. 【答案】（1）见证明（2）12【解析】（1）根据题中所给的条件，利用勾股定理，得到AD BD ⊥，利用已知条件PA BD ⊥，结合线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面PAD ，进而证得平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）利用三棱锥体积转换，求得点C 到平面PBD 的距离. 【详解】（1）∵AB CD P ，2BCD π∠=，1PA PD CD BC ====，∴2BD =，2ABC π∠=，4DBC π∠=，∴4ABD π∠=，∵2AB =，∴2AD =，∴222AB AD BD =+，∴AD BD ⊥，∵PA BD ⊥，PA AD A ⋂=，∴BD ⊥平面PAD ， ∵BC ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD . （2）取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，且22PO =， 由平面PAD ⊥平面ABCD 知PO ⊥平面ABCD ， 由BD ⊥平面PAD 得BD PD ⊥， 又1PD =,2BD =,∴PBD ∆的面积为22， 又BCD ∆的面积为12，P BCD C PBD V V --=，设点C 到平面PBD 的距离为d ，则 1211232322d ⨯=⨯⨯，∴12d =，即点C 到平面PBD 的距离为12.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，点到平面的距离，属于简单题目.20．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点()0,1A ，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）详见解析.【解析】（1）由题意1c =，根据过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，求出b ，求出2a ，即得椭圆C 的方程；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y .把直线l 的方程代入椭圆C 的方程，韦达定理.写出直线AP 和直线AQ 的方程，求出,OM ON .根据2OM ON =，求出t 的值，即可证明直线l 经过定点. 【详解】（1）由题意，得椭圆C 的半焦距1c =，右焦点()1,0F ，上顶点()0,M b ，所以直线MF 的斜率03tan 1014b k π-===--，解得1b =，由222a b c =+，得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y .联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k-∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =，所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得只有0t =满足题意，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和直线过定点问题，属于较难的题目.21．设函数2()ln f x x bx a x =+-（Ⅰ）若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是()f x 的两个不同零点，且0(,1)x n n ∈+且n N ∈，求n 的值；（Ⅱ）若对任意[]2,1b ∈--, 都存在(1,)x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3， （2）详见解析【解析】试题分析：求导后利用2x =为极值点，满足(2)0f '=，在根据1是()f x 的零点，满足(1)0f =，列方程组解出,a b ，把,a b 的值代入求导，研究函数()f x 的另一个零点所在的区间，求出n ；由于()g b 在[2,1]--上为增函数，只需()()2max 1ln 0g b g x x a x =-=--<在()1,x e ∈有解，令()2ln h x x x a x =--，只需存在()01,x e ∈使得()00h x <即可，对()h x 求导，再进行分类讨论. 试题解析：（Ⅰ）()2,2a f x x b x x =+-'=Q 是函数()f x 的极值点，∴()242af b =+-'. ∵1是函数()f x 的零点，得()110f b =+=，由40210a b b ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩，解得6,1a b ==-， ∴()26ln f x x x x =--,()621f x x x-'=-， 令()2626210x x f x x x x--=--=>'， 0,2x x >∴>Q ，令()0f x '<得02x <<，所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增 故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,x ∈∈+∞，因为()()210f f <<，()()361ln30f =-<,()()2462ln46ln 04e f =-=>，所以()03,4x ∈，故3n =．（Ⅱ）令()2ln g b xb x a x =+-，[]2,1b ∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈，使得()0f x <成立，则 ()()2max 1ln 0g b g x x a x =-=--<在()1,x e ∈有解，令()2ln h x x x a x =--，只需存在()01,x e ∈使得()00h x <即可，由于()2221a x x ah x x x x='--=--，令()()22,1,x x x a x e ϕ=--∈，()410x x ϕ'=->，∴()x ϕ在(1，e )上单调递增，()()11x a ϕϕ>=-，①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 在(1，e )上单调递增，∴()()10h x h >=，不符合题意. ② 当10a -<，即1a >时，()110.a ϕ=-<()22e e e a ϕ=--若221a e e ≥->，则()0e ϕ<，所以在(1，e )上()0e ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在(1，e )上单调递减,∴存在()01,x e ∈，使得()()010h x h <=，符合题意.若221e e a ->>，则()0e ϕ>，∴在(1， e )上一定存在实数m ，使得()0m ϕ=， ∴在(1，m )上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，()h x 在(1，m )上单调递减, ∴存在()01,x m ∈，使得()()010h x h <=，符合题意.综上，当1a >时，对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈，使得()0f x <成立 22．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲] 已知曲线C 的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的普通方程；（2）A ,B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）将代入曲线的方程，即可求得曲线的普通方程； （2）因为题意得，由，设可得，即可求解。
宁夏银川市第二中学2020届高三数学一模试题文(含解析)
x y 1
由
x
y
1
，解得
C
(1,
0)
，
代入目标函数 z x 2 y ， 得 z 120 1 目标函数 z x 2 y 的最大值是 1．
故选： B ．
【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
10.已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为V1 、V2 、V3 ，若它们的表 面积相等，则V12 :V22 :V32 （ ）
则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的 是_______(填 A、B、C、D) 【答案】AD
【解析】
【分析】
对选项逐个分析，即得答案.
【详解】对于 A 地，因为中位数为 2，极差为 5，所以最大值为 2 5 7 ，满足每天新增疑 似病例不超过 7 人，故 A 地符合；
对于 B 地，若过去 10 日分别为 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2,8 ，满足总体平均数为 2，众数为 2，但
14.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感
染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”.过去 10 日，A、B、C、D 四地新
增疑似病例数据信息如下：
A 地：中位数为 2，极差为 5；
B 地：总体平均数为 2，众数为 2；
C 地：总体平均数为 1，总体方差大于 0； D 地：总体平均数为 2，总体方差为 3.
y
ln
x
到直线
l
:
y
1 e
x
1
的
最小距离，即可得到本题答案.
a ln b, c 1 d 1
宁夏回族自治区银川市第二中学2020届高三数学上学期统练试题四理(含解析)
宁夏回族自治区银川市第二中学2020届高三数学上学期统练试题四理（含解析）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则AB =（ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =-，故选A ．【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ． 考点：1、复数的运算；2、复数的几何意义．3.下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ） A. 2xy =B. 12y x =C. tan y x =D.cos y x =【答案】B 【解析】【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果. 【详解】A 选项：2xy =值域为()0,∞+，错误B 选项：12y x =值域为[)0,+∞，正确C 选项：tan y x =值域为R ，错误D 选项：cos y x =值域为[]1,1-，错误本题正确选项：B【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.4.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a 在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A. 考点：充分条件、必要条件.5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A. 16 B. 8C. 4D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键． 6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.7.已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A. ,1a e b ==-B. ,1a e b ==C. 1,1a e b -==D.1,1a e b -==-【答案】D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 8.函数(()sin()f x A x ωφ=+（,,A ωφ是常数,0,0)A ω>>）,的部分图像如图所示，则f (0)=（ ）A. 2-B. 22-C. 02【答案】D 【解析】 【分析】欲求f （0），须先求f （x ）的解析式．易求A 2=，43T π=，从而可求ω＝32，由322π⨯+φ＝π可求φ的值，从而使问题解决．【详解】由f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）的部分图象可得：A 2=，54623T πππ=-=， ∴T ＝43π，又T 243ππω==，∴ω＝32，又322π⨯+φ＝π， ∴φ4π=，∴f （x ）2=sin （32x 4π+） ∴f （0）2=sin 24π=．故选：D ．【点睛】本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，结合图象求A ，ω，φ的值是关键，属于中档题．9.已知 x y ，满足约束条件10{230x y x y --≤--≥，当目标函数()0 0z ax by a b =+>>，在约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 5 D. 2【答案】B 【解析】【详解】由()0 0z ax by a b =+>>，得a zy x b b =-+，∵0,0a b >>，∴直线的斜率0a b-<，作出不等式对应的平面区域如图，由图可知当直线a z y x b b =-+经过点A 时，直线a zy x b b=-+的截距最小，此时z 最小．由10{230x y x y --=--=，解得21x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)A ，此时目标函数()0 0z ax by a b =+>>，的最小值为25225a b +=(,)P a b 在直线225x y +=225212d ==+，即22a b +的最小值24d =.故选B ．考点：1、简单线性规划；2、点到直线的距离．【思路点睛】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z 的几何意义确定取得最小值的条件，点(,)P a b 在直线225x y +=22a b +的几何意义为点到直线的距离的平方，将问题转化为求(,)P a b 到直线25x y +=用，利用数形结合求出目标函数取得最小值的条件是解决本题的关键．属于基础题．10.求值：4cos 50°－tan 40°＝( )C.－1 【答案】C【解析】【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【详解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=440404040sin cos sincos︒︒-︒︒=()280301040sin sincos︒-︒+︒︒=121010102240cos coscos︒-︒-︒︒=310102240coscos︒︒︒=()301040cos︒+︒︒故选C．【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．11.已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（）【答案】A【解析】【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算【详解】∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，∵圆O∴正方体的边长为2，即PA ＝PB ＝PC ＝2球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离 设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积V 13=S △ABC ×h 13=S △PAB ×PC 1132=⨯⨯2×2×243= △ABC 为边长为S △ABC =（2= ∴h 43ABCV S===∴球心（即正方体中心）O 到截面ABC=故选：A ．【点睛】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题12.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. []0,1 B. []0,2C. []0,eD. []1,e【答案】C 【解析】 【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立． 【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 综上可知，a 的取值范围是[0,]e ， 故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分） 13.观察下列不等式213122+< 231151233++<，222111137424+++< ……照此规律，第五个不等式为 【答案】：2222211111111++.234566+++< 【解析】【详解】试题分析：照此规律，第n 个式子为22112112(1)1n n n ++++<++，第五个为2221111112366++++<． 考点：归纳推理．【名师点睛】归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．是由部分到整体、由个别到一般的推理．14. 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，23AB = ，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则(23,0)B ，535(,)2D ． 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒， 所以直线BE 的斜率为3，其方程为3(23)3y x =-，直线AE 的斜率为3-，其方程为3y x =-． 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -．所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．15.已知f （x ）是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f （x ）=x 2﹣4x ，那么，不等式f （x+2）＜5的解集是 ． 【答案】（﹣7，3） 【解析】 设x<0，则－x>0. ∵当x≥0时， f(x)＝x 2－4x ，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)． ∵f(x)是定义在R 上的偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝x 2＋4x(x<0)， ∴f(x)＝由f(x)＝5得245{0x x x -=≥或245{0x x x +=< ∴x＝5或x ＝－5.观察图像可知由f(x)<5，得－5<x<5. ∴由f(x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5， ∴－7<x<3.∴不等式f(x ＋2)<5的解集是 {x|－7<x<3}．16.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是_____（写出所有正确命题的编号）①当0＜CQ12＜时，S为四边形②当CQ12=时，S为等腰梯形③当CQ34=时，S与C1D1的交点R满足1113C R=④当314CQ＜＜时，S为四边形⑤当CQ＝1时，S的面积为6 2【答案】①②③⑤【解析】【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．【详解】如图当CQ12=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP＝QD122151()2=+=，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ12＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ34=时，如图，延长DD 1至N ，使D 1N 12=，连接AN 交A 1D 1于S ，连接NQ 交C 1D 1于R ，连接SR ， 可证AN ∥PQ ，由△NRD 1∽△QRC 1，可得C 1R ：D 1R ＝C 1Q ：D 1N ＝1：2，故可得C 1R 13=，故③正确；④由③可知当34＜CQ ＜1时，只需点Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS ，显然为五边形，故④错误；⑤当CQ ＝1时，Q 与C 1重合，取A 1D 1的中点F ，连接AF ，可证PC 1∥AF ，且PC 1＝AF ， 可知截面为APC 1F 为菱形，故其面积为12AC 1•PF 163222==，故⑤正确．故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分 17.△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值； （2）求c 的值． 【答案】（1）6；（2）． 【解析】【详解】(1)因为a ＝3，b ＝6，∠B＝2∠A，所以在△ABC 中，由正弦定理得sin a A .所以2sin cos sin A A A ＝3.故cos A ＝3.(2)由(1)知cos A ＝3，所以sin A ＝3. 又因为∠B＝2∠A，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝3. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B . 所以c ＝sin sin a CA＝5.18.已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式． 【答案】（Ⅰ）2q ；（Ⅱ）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【解析】 【分析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列1{()}n n n b b a +-前n 项和求通项，解得1n n b b +-，再通过叠加法以及错位相减法求n b . 【详解】详解：（Ⅰ）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为1q >，所以2q.（Ⅱ）设()1n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（Ⅰ）可知12n na ，所以()111412n n n b b n -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，故()21145,22n n n b b n n --⎛⎫-=-⋅≥ ⎪⎝⎭，()()()()11123221n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-()()23111454973222n n n n --⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.设()22111371145,2222n n T n n -⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2211111137494522222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()2211111134444522222n n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅--⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此()211443,22n n T n n -⎛⎫=-+⋅≥ ⎪⎝⎭，又11b =，所以()2115432n n b n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19.函数f （x ）＝6cos232xω+sinωx ﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形（1）求ω的值及函数f （x ）的表达式； （2）若f （x 0）83=，且x 0∈（10233-，），求f （x 0+1）的值【答案】（1）ω4π=，f （x ）＝343sin x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭（276【解析】 【分析】（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，根据题意求得BC 的长，进而求得三角函数的最小正周期，则ω可得．求得f （x ）的表达式，根据三角函数的性质求得函数f （x ）的值域． （2）由010233x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，知 4πx 03π+∈（2π-，2π），由f （0x ）83=，可求得即sin（043x ππ+）45=，利用两角和的正弦公式即可求得f （0x +1）．【详解】（1）函数f （x ）＝6cos 232x ω﹣3＝3cosωx 3＝3（ωx 3π+），由于△ABC 为正三角形，所以三角形的高为23BC ＝4． 所以函数f （x ）的最小正周期为T ＝4×2＝8，所以ω4π=，故得到f （x ）＝343sin x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭．（2）由于若f （x 0）835=，所以08323435sin x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得04435sin x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于x 0∈（10233-，）所以04322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，，所以03435cos x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以f （x 0+1）＝2000323443434434x sin sin x cos cos x sin πππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦ 423276235252⎛⎫=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭【点睛】本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．20.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值． 【答案】(1)见解析3310【解析】试题分析：（I ）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据0BE DC ⋅=，可得BE⊥DC；（II ）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量BF 的坐标，进而求出平面FAB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F-AB-P 的余弦值试题解析：方法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图所示），可得B （1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）．C 由E 为棱PC 的中点，得E （1，1，1）．（1）证明：向量BE＝（0，1，1），DC＝（2，0，0），故BE DC⋅＝0，所以BE⊥DC.（2）向量BD＝（－1，2，0），PB＝（1，0，－2）．设n＝（x，y，z）为平面PBD的法向量，则{n BDn PB⋅=⋅=20{20x yx z-+=-=即不妨令y＝1，可得n＝（2，1，1）为平面PBD的一个法向量．于是有cos,n BE〈〉＝n BEn BE⋅＝62⨯＝3，所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.（3）向量BC＝（1，2，0），CP＝（－2，－2，2），AC＝（2，2，0），AB＝（1，0，0）．由点F在棱PC上，设CF＝λCP，0≤λ≤1.故BF＝BC＋CF＝BC＋λCP＝（1－2λ，2－2λ，2λ）．由BF⊥AC，得BF AC⋅＝0，因此2（1－2λ）＋2（2－2λ）＝0，解得λ＝34，即BF＝113,,222⎛⎫-⎪⎝⎭.设n1＝（x，y，z）为平面FAB的法向量，即{1322xx y z=-++=不妨令z＝1，可得n1＝（0，－3，1）为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝（0，1，0），则cos 〈n 1，n 2〉＝1212n n n n ⋅＝101⨯＝－310.易知二面角F AB P 是锐角，所以其余弦值为310. 方法二：（1）证明：如图所示，取PD 中点M ，连接EM ，AM.由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM∥DC，且EM ＝12DC.又由已知，可得EM∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE∥AM. 因PA⊥底面ABCD ，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM ⊂平面PAD ，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.（2）连接BM ，由（1）有CD⊥平面PAD ，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM ，故平面BEM⊥平面PBD ，所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM.而BE⊥EM，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝2，而M 为PD 中点，可得AM 2，进而BE 2.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝EM BE ＝AB BE 2，因此sin∠EBM＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. （3）如图所示，在△PAC 中，过点F 作FH∥PA 交AC 于点H.因为PA⊥底面ABCD ，所以FH⊥底面ABCD ，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB ，因此AC⊥BH.在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP.在平面PDC 内，作FG∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A ，B ，F ，G 四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD ，故AB⊥AG，所以∠PAG 为二面角F AB P 的平面角． 在△PAG 中，PA ＝2，PG ＝14PD 2，∠APG＝45°.由余弦定理可得AG 10，cos∠PAGF AB P . 考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角 21.已知函数2()1xf x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围 【答案】（Ⅰ）当12a ≤时，()(0)1g x g b ≥=-；当122ea <≤时，()22ln(2)g x a a ab ≥--； 当2ea >时，()2g x e a b ≥--.（Ⅱ）a 的范围为(0,1). 【解析】试题分析：（Ⅰ）易得()2,()2xxg x e ax b g x e a -='=--，再对分a 情况确定()g x 的单调区间，根据()g x 在[0,1]上的单调性即可得()g x 在[0,1]上的最小值.（Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，注意到(0)0,(1)0f f ==.联系到函数的图象可知，导函数()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x ，即()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当12a ≤及2ea ≥时，()g x 在(0,1)内都不可能有两个零点.所以122ea <<.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，且必有(0)10,(1)20gb g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：1b e a =--，代入这两个不等式即可得a 的取值范围.试题解答：（Ⅰ）()2,()2xxg x e ax b g x e a -='=--①当0a ≤时，()20x g x e a -'=>，所以()(0)1g x g b ≥=-. ②当0a >时，由()20xg x e a -'=>得2,ln(2)xe a x a >>.若12a >，则ln(2)0a >；若2ea >，则ln(2)1a >. 所以当102a <≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)1g x gb ≥=-.当122ea <≤时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2g x g a a a ab ≥=--.当2ea >时，()g x 在[0,1]上单调递减，所以()(1)2g x g e a b ≥=--. （Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，则由0(0)()0f f x ==可知， ()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增，也不可能单调递减.则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负. 故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x . 同理()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x . 所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由（Ⅰ）知，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 当2ea ≥时，()g x 在[0,1]上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 所以122e a <<.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增， 因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：12a b e +=-<，有(0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->.解得21e a -<<.当21e a -<<时，()g x 在区间[0,1]内有最小值(ln(2))g a . 若(ln(2))0g a ≥，则()0([0,1])g x x ≥∈，从而()f x 在区间[0,1]上单调递增，这与(0)(1)0f f ==矛盾，所以(ln(2))0g a <. 又(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->，故此时()g x 在(0,ln(2))a 和(ln(2),1)a 内各只有一个零点1x 和2x .由此可知()f x 在1[0,]x 上单调递增，在1(,x 2)x 上单调递减，在2[,1]x 上单调递增.所以1()(0)0f x f >=，2()(1)0f x f <=，故()f x 在1(,x 2)x 内有零点.综上可知，a 的取值范围是(2,1)e -.【考点定位】导数的应用及函数的零点.（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y ，θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【答案】（1）3(,)44ππ（2）2,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，344ππα<<) 【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离d r <可得．（2）联立方程，由根与系数的关系求解详解：（1）O 的直角坐标方程为221x y +=． 当2πα=时，l 与O 交于两点． 当2πα≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =-l 与O交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 综上，α的取值范围是3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）l的参数方程为,(2x tcosty tsinαα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数，344ππα<<)．设A，B，P对应的参数分别为A t，B t，P t，则2A BPt tt+=，且At，Bt满足222sin10t tα-+=．于是22sinA Bt tα+=，2sinPtα=．又点P的坐标(),x y满足,2.PPx t cosy t sinαα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是22,222222x siny cosαα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，344ππα<<)．点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．23.设函数()211f x x x=++-．（1）画出()y f x=的图像；（2）当[)x+∞∈，，()f x ax b≤+，求+a b的最小值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值详解：（1）()1 3,,212,1,23, 1.x xf x x xx x⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x=的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x=的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a≥且2b≥时，()f x ax b≤+在[)0,+∞成立，因此a b+的最小值为5．点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．。
2020年宁夏银川一中高考数学三模试卷(文科) (含答案解析)
2020年宁夏银川一中高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={y|y=x2−2}，B={x|3x≤3}，则A∪(C R B)=()A. (−2,+∞)B. [−2,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)2.复数z满足(1+i)z=|√3−i|，则z=()A. 1+iB. 1−iC. −1−iD. −1+i3.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2√2，则C的渐近线方程为()A. y=±2xB. y=±√3xC. y=±√5xD. y=±√7x4.若在区间[0,2]上随机取两个数，则这两个数之和小于3的概率是()A. 78B. 38C. 58D. 185.已知向量a⃗=(−1,2)，|2a⃗+b⃗ |=|b⃗ |，则a⃗⋅b⃗ =()A. −3B. 3C. −5D. 56.已知F是抛物线y2=2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=11，则线段AB中点到y轴的距离为()A. 3B. 4C. 5D. 77.已知m,n是两条不重合的直线，α,β是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是()A. 若m⊥n,m⊥α，则n//αB. 若m//n,m//α,n⊄α，则n//αC. 若m⊥n,m⊥α,n⊥β，则α⊥βD. 若m//α,α//β，则m//β或m⊂β8.函数f(x)=sinxx2+1的部分图象可能是()A. B.C. D.9. 已知f(x)=2x −2−x ，a =(79) −14，b =(97) 15，c =log 279，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为( ) A. f(b)<f(a)<f(c)B. f(c)<f(b)<f(a)C. f(c)<f(a)<f(b)D. f(b)<f(c)<f(a)10. 为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了“星等”这个概念。
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宁夏银川二中2020届高三（上）统练试卷（三）数学（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系式正确的是（）A．M＝P B．M∪P＝P C．M∪P＝M D．M∩P＝P2．设复数，若z1•z2为实数，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．23．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，点E是边AB的中点，则•＝（）A．2 B．C．D．﹣4．等比数列{a n}中，a2＝4，，则a3a6+a4a5的值是（）A．1 B．2 C．D．5．若三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．6．设函数，若x1x2＜0，且f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值是（）A．B．C．D．7．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则S9＝（）A．66 B．99 C．144 D．2978．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A．B．0 C．D．19．函数f（x）＝sin ax+cos ax（a＞0）的最小正周期为1，则f（x）的递增区间为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，若，则△ABC的面积S＝（）A．B．C．D．11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则必有（）A．B．C．D．12．已知△ABC的面积为S满足条件，且，则∠ABC的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．i为虚数单位，若，则|z|＝．14．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝．15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时．16．若b＞a＞3，f（x）＝，则f（a），f（b），f（），f（）按照由小到大的顺序排列为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）（1）若||＝||，求角α的值；（2）若•＝﹣1，求的值．18．设向量，的坐标为．（1）若||，求sin x cos x的值；（2）若函数f（x）＝，求f（x）的对称轴方程和的值．19．设{a n}是公比为q的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当q＞1时，令b n＝1+log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．20．在△ABC△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求∠B；（2）若∠C为钝角，求的取值范围．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系式正确的是（）A．M＝P B．M∪P＝P C．M∪P＝M D．M∩P＝P【解答】解：依题意P＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），又∵M＝{x|x＞1}，所以M∪P＝P，故选：B．2．设复数，若z1•z2为实数，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2【解答】解：∵，∴z1•z2＝（1+i）（x2﹣i）＝（x2+1）+（x2﹣1）i，由z1•z2为实数，得x2﹣1＝0，即x＝±1．故选：C．3．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，点E是边AB的中点，则•＝（）A．2 B．C．D．﹣【解答】解：如图，E是AB中点；∴，；∴＝．故选：B．4．等比数列{a n}中，a2＝4，，则a3a6+a4a5的值是（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2＝4，，∴a3a6＝a4a5＝a2•a7＝4×＝，故a3a6+a4a5 ＝+＝，故选：C．5．若三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），∴＝（﹣3，2），＝（﹣3，3），∴＝（﹣3）×（﹣3）+2×3＝15；|＝＝3；则向量在向量上的投影为，＝＝．故选：D．6．设函数，若x1x2＜0，且f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数，所以函数的最小正周期为T＝π．由于f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值为．故选：B．7．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则S9＝（）A．66 B．99 C．144 D．297【解答】解：由a1+a4+a7＝3a1+9d＝39，得a1+3d＝13①，由a3+a6+a9＝3a1+15d＝27，得a1+5d＝9②，②﹣①得d＝﹣2，把d＝﹣2代入①得到a1＝19，则前9项的和S9＝9×19+×（﹣2）＝99．故选：B．8．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A．B．0 C．D．1【解答】解：如图所示，＝＝﹣．∴m＝﹣，n＝，∴，故选：C．9．函数f（x）＝sin ax+cos ax（a＞0）的最小正周期为1，则f（x）的递增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝sin ax+cos ax＝sin（ax+），∵T＝＝1，则a＝2π，∴f（x）＝sin（2πx+）∵令2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+，k∈Z，解得：k﹣≤x≤k+，k∈Z，∴f（x）的递增区间为：[k﹣，k+]，k∈Z．故选：D．10．在△ABC中，若，则△ABC的面积S＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴cos A＝＝，sin A＝＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A＝×（﹣）+×＝，∵由正弦定理，可得AB＝＝，∴S△ABC＝AB•BC•sin B＝×1×＝．故选：A．11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则必有（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故函数f（x）为奇函数且单调递增，∵f（﹣cos600°）＝f（），f（﹣log）＝f（），∵f（），∴f（﹣cos600°）＞f（﹣log），故选：B．12．已知△ABC的面积为S满足条件，且，则∠ABC的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，∴，且△ABC的面积为S，且∴＝，∴，且0＜∠ABC＜π，∴．故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．i为虚数单位，若，则|z|＝．【解答】解：，则|z|＝＝＝＝．故答案为：．14．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝﹣．【解答】解：∵sin（+θ）＝，即+＝，平方可得+sin2θ＝，解得 sin2θ＝﹣，故答案为﹣．15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是10 海里/小时．【解答】解：根据题意得：AB＝10，∠ADC＝75°，∠BDC＝60°，DC⊥AC，∴∠DBC＝30°，∠BDA＝∠A＝15°，∴BD＝AB＝10，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝10×＝5，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷＝10海里/小时故答案为：10．16．若b＞a＞3，f（x）＝，则f（a），f（b），f（），f（）按照由小到大的顺序排列为f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．．【解答】解：∵，x＞0，则f′（x）＝，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减，∵b＞a＞3，∴b＞＞＞a＞3，∴f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．故答案为：f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）（1）若||＝||，求角α的值；（2）若•＝﹣1，求的值．【解答】解：，．（1）∵，∴．化简得：sinα＝cosα，∴tanα＝1．又，故．（2）∵，∴（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1，化简得：，两边平方得：，∴，故sinα﹣cosα＞0，而，∴，18．设向量，的坐标为．（1）若||，求sin x cos x的值；（2）若函数f（x）＝，求f（x）的对称轴方程和的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴①cos x＝0时，sin x cos x＝0；②cos x≠0时，，∴，∴或，∴，综上得，sin x cos x＝0或；（2）＝＝＝，解，得f（x）的对称轴方程为，k∈Z，＝＝＝＝＝．19．设{a n}是公比为q的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当q＞1时，令b n＝1+log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得a1+a1q+a1q2＝7，6a2＝a1+3+a3+4，即6a1q＝a1+a1q2+7，解得a1＝1，q＝2或a1＝4，q＝，则a n＝2n﹣1或a n＝23﹣n；（2）当q＞1时，b n＝1+log2a n＝1+log22n﹣1＝1+n﹣1＝n，a n+b n＝2n﹣1+n，则前n项和T n＝（1+2+4++2n﹣1）+（1+2+3++n）＝+n（n+1）＝2n﹣1+．20．在△ABC△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求∠B；（2）若∠C为钝角，求的取值范围．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为．∴×2ac cos B＝ac sin B，解得：tan B＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵A+C＝，∠C为钝角，∴A∈（0，），可得tan A∈（0，），∈（，+∞）∴＝＝•∈（2，+∞），故的取值范围为（2，+∞）．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．【解答】（1）解：当a＝时，f（x）＝（x+2）lnx+x2﹣4x+，函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）且f′（x）＝lnx++x﹣3．设g（x）＝lnx++x﹣3，则g′（x）＝﹣+1＝＝，（x＞0）．当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0（当且仅当x＝1时取等号）．即当x＞0时，f′（x）≥0（当且仅当x＝1时取等号）．所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，至多有一个零点．因为f（1）＝0，x＝1是函数f（x）唯一的零点．所以若a＝，则函数f（x）的所有零点只有x＝1．（2）证法1：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4．当a≥时，f′（x）≥lnx++x﹣3，由（1）知lnx++x﹣3≥0．即当x＞0时，f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．所以f（x）不存在极值．证法2：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4设m（x）＝lnx++2ax﹣4，则m′（x）＝﹣+2a＝，（x＞0）．设h（x）＝2ax2+x﹣2，（x＞0），则m′（x）与h（x）同号．当a≥时，由h（x）＝2ax2+x﹣2＝0，解得x1＝＜0，x2＝＞0．可知当0＜x＜x2时，h（x）＜0，即m′（x）＜0，当x＞x2时，h（x）＞0，即m′（x）＞0，所以f′（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．由（1）知lnx++x﹣3≥0．则f′（x2）＝lnx2++x2﹣3+（2a﹣1）x2≥（2a﹣1）x2≥0．所以f′（x）≥f′（x2）≥0，即f（x）在定义域上单调递增．所以f（x）不存在极值．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，将，代入得曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）设点M（3+2cosθ，4+2sinθ）到直线AB：x+y+2＝0的距离为d，则d＝＝，当sin（）＝﹣1时，d有最小值，所以△ABM面积的最小值S＝＝9﹣2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．【解答】解（1）当a＝1时，由f（x）＞x，得|2x﹣1|﹣1＞x+1．（1分）当x≥时，2x﹣1﹣1＞x+1，解得x＞3．当x时，1﹣2x﹣1＞x+1，解得x＜﹣．综上可知，不等式f（x）＞x+1的解集为 {x|x＞3或x＜﹣}．（2）因为||2x﹣1|﹣|2x+1||≤|（2x﹣1）﹣（2x+1）|，即﹣2≤|2x﹣1|﹣|2x+1|≤2，则|2x﹣1|﹣|2x+1|≥﹣2．所以g（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+1|+|2x﹣1|≥﹣2+|2x﹣1|≥﹣2，当且仅当x＝时等号成立．所以g（x）min＝﹣2．所以实数a的取值范围为（﹣2，+∞）。