数学-河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试试题(理)(解析版)

河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足，其中为虚数单位，表示复数的共轭复数，则( )
A. B. C. D.
3. 如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )
A. B. C. D.
4. 函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
5. 设，若，则( )
A. B. C. D.
6. 设点是，表示的区域内任一点，点是区域关于直线的对称区域内的任一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 已知三棱锥中，与是边长为2的等边三角形且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8. 执行如图所示的程序框图(其中表示等于除以10的余数)，则输出的为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
9. 某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
10. 已知双曲线，是左焦点，，是右支上两个动点，则的最小值是( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16
11. 已知中，，，成等比数列，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：每题5分，满分20分.
13. 正三角形的边长为1，是其重心，则________.
14. 的展开式中，的系数为________.
15. 已知椭圆，和是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于
，两点，若的内切圆半径为1，，，则椭圆离心率为________________.
16. 先将函数的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的倍(其中)，得到函数的图象，若在区间上单调递增，则的最大值为
____________.
三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列是等差数列，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.
18.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.
(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量，求的分布列及数学期望.
19. 如图，正方形中，，与交于点，现将沿折起得到三棱锥，，分别是，的中点.
(1)求证：；
(2)若三棱锥的最大体积为，当三棱锥的体积为，且二面角
为锐角时，求二面角的正弦值.
20. 已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点.
(1)证明：直线过定点；
(2)过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程.
21. 已知函数.
(1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
(2)若函数在上存在两个极值点，且，证明：.
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)过原点的直线分别与曲线交于除原点外的两点，若，求的面积的最大值.
23. 已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若函数在上有最大值，求实数的取值范围.
【参考答案】
一、选择题
1.C
【解析】,所以，故选C.
2.A
【解析】设，，即，即，故选A.
3.B
【解析】设飞鸟图案的面积为，那么，几，故选B.
4.C
【解析】，所以函数是偶函数，关于轴对称，排除A.D，当时，，排除B，故选C.
5.B
【解析】，所以原式等于
而，
，又因为，所以，可求得
，那么，那么，故选B.
6.D
【解析】如图画出可行域，根据点的对称性可知，点与点关于直线的对称点间的距离最大，最大距离就是点到直线距离的2倍，联立，解得：
，点到直线的距离，那么，故选D.
7.D
【解析】如图，取的中点，连接，，，
，连接，点是三棱锥的外接球的球心，因为棱长都是2，所以，所以在中，，那么外接球的表面积是，故选D.
8.D
【解析】时，第一次进入循环，时，第二次进入循环
，时，第三次进入循环，，时，第四次进入循环，，当时，第五次进入循环，时，第六次进入循环，，由此可知此循环的周期为6，当时，第2016次进入循环，，所以此时，退出循环，输出的值等于8，故选D.
9.A
【解析】次三视图还原为如图几何体，长方体削下去等高的四棱锥，剩下一个三棱锥和一个三棱柱，，故选A.
10.C
【解析】，所以，当且仅当三点共线时等号成立，故选C.
11.B
【解析】由已知可知，即，，即，，
原式等于，设
即原式等于，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于,所以原式的取值范围是，故选B.
12.A
【解析】原式等价于，两边取自然对数得，
令，则时，，因为，
当时，即时，单调递增，当时，与矛盾；当时，即时，令，解得，
，单调递增，时，单调递减，
若，即，当时，单调递增，，矛盾；
若，即，当时，递减，，成立，
综上，，最小值为，故选A.
二、填空题
13.
【解析】且两向量的夹角为，即故填：14.56
【解析】原式，其中只可能出现在的展开式中，所以的系数是,故填：56.
15.
【解析】设周长为，则，又
，则，又，则，故填：.
16.9
【解析】在区间上单调递增，所以有，即
，由可得，当时，，所以正整数的最大值是9.
三、解答题
17. 解：(1)由题意得，所以，
时，，公差，所以，
时，，公差，所以.
(2)若数列为递增数列，则，
所以，，，
所以，
，
所以
，
所以.
18.解：由图可知，参加送考次数为1次，2次，3次的司机人数分别为20，100，80.
(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：.
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件.
则，，
.
的分布列：
的数学期望.
19. 解：(1)依题意易知，，，∴平面，
又∵平面，∴.
(2)当体积最大时三棱锥的高为，当体积为时，高为，
中，，作于，∴，∴，
∴为等边三角形，∴与重合，即平面.
以为原点，所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系.∴，，，.
设为平面的法向量，
∵，，∴，取，设是平面的法向量，，，
∴，取，∴，
设二面角大小为，∴.
20. 解：(1)点在抛物线上，代入得，所以抛物线的方程为，
由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，联立得，得，，
由于，所以，即，
即.(*)
又因为，，
代入(*)式得，即，
所以或，即或.
当时，直线方程为，恒过定点，
经验证，此时，符合题意；
当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，
所以直线恒过定点.
(2)由(1)，设直线恒过定点，则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为.
21. 解：(1)由函数在上是减函数，知恒成立，
.
由恒成立可知恒成立，则，
设，则，由，
函数在上递增，在上递减，∴，∴.
(2)由(1)知.
由函数在上存在两个极值点，且，知，
则且，
联立得，即，
设，则，要证，
只需证，只需证，只需证
构造函数，则.
故在上递增，，即，
所以.
22. 解：(1)曲线的普通方程为，即，
所以，曲线的极坐标方程为，即.
(2)不妨设，，.则，，
的面积. 所以，当时，的面积取最大值为.
23. 解：(1)设，
根据图象，由解得或.
所以，不等式的解集为.
(2)由题意得，
由函数在上有最大值可得解得.。