广东省茂名市2020届高三数学第二次模拟试题 理(含解析)
广东省广州市2020届高三普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题(解析版)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若集合A ＝{x |y =√2−x }，B ＝{x |x 2﹣x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，1）B ．[0，1]C ．[0，2）D ．[0，2]2．已知复数z ＝1+bi （b ∈R ），z 2+i是纯虚数，则b ＝（ ）A ．﹣2B ．−12C ．12D ．13．若a ＝log 332，b ＝ln 12，c ＝0.6﹣0.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b4．首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ） A ．d ＞3B ．d ＜72C ．3≤d ＜72D ．3＜d ≤725．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（ ）A ．a 2(1−p)rB ．a 2(1+p)rC ．a (1−p)rD ．a(1+p)r6．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1（包括边界）上一点，若EF ∥平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是（ ） A ．线段B ．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．函数f（x）＝﹣2x+1|x|的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F 是AE上一点，AF→=2FE→，则BF→=（）A．12AB→−13AD→B．13AB→−12AD→C．−12AB→+13AD→D．−13AB→+12AD→9．已知命题p：（x2−1x）n的展开式中，仅有第7项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为495；命题q：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.7，则P （0＜ξ＜2）＝0.3．现给出四个命题：①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q，其中真命题的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④10．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+a n+1＝2n（n∈N*），则S2020＝（）A ．22020−23B ．22020+23C ．22021−23D ．22021+2311．过双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）右焦点F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，与双曲线交于点A ，若F 2P →=3F 2A →，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±12xB ．y ＝±xC ．y ＝±2xD ．y ＝±25x12．若关于x 的不等式e 2x ﹣alnx ≥12a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，2e ]B ．（﹣∞，2e ]C ．[0，2e 2]D ．（﹣∞，2e 2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题含答案
2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1．设21(1)iz i +=-则|z|=（ ）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（ ） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立 其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
广东省茂名市2021届高三数学第二次综合测试试题含解析
广东省茂名市2021届高三数学第二次综合测试试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，3）C．（2，3）D．（﹣1，+∞）2．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y（万0.5 0.6 1 1.4 1.5辆）由上表可知其线性回归方程为＝0.28x+a，则a的值为（）A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.83．“m≤0”是“函数f（x）＝lnx﹣mx在（0，1]上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级（M）是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为：M＝lg（其中A0（常数）是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅），地震的级数就是当地震发生时，以地震波的形式放出的能量的指示参数E＝104.8×101.5M焦耳，其中M为地震级数，它直接同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大．已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的100.9倍，若玉树地震波产生的能量为E，则汶川地震波产生的能量为（）A．101.35E B．1.35E C．100.9E D．90E5．已知三角形ABC的边长分别为AB＝3，AC＝4，BC＝5，＝3，则•＝（）A．1 B ．C．3 D ．6．设O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，若|PF|＝6，则△POF的面积为（）A．2 B．4C．4D．47．已知数列{a n}满足3a n﹣2a n﹣1＝a n+1，且a1＝0，a6＝2021，则a2＝（）A．B．C．D．8．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝2，∠ABC＝∠ACD＝60°，E、F分别为BC、AD的中点，且EF⊥BC，EF⊥AD，BC⊥AD，则异面直线BF与DE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9．第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18．则这两组数据的（）A．平均数相等B．中位数相等C．极差相等D．方差相等10．已知函数f（x）＝sin x和g（x）＝cos x，则下列正确的是（）A．f（x）的图象可由g（x）的图象向右平移个单位得到B．x∈（，π）时，|g（x）|＞|f（x）|C．h（x）＝f（x）+g（x）的对称轴方程为：x＝+kπ（k∈Z）D．若动直线x＝a与函数f（x）＝sin x和g（x）＝cos x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f（x）＝（x3）8，则（）A．f（x）的展开式中的常数项是56B．f（x）的展开式中的各项系数之和为0C．f（x）的展开式中的二项式系数最大值是70D．f（i）＝﹣16，其中i为虚数单位12．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为y＝x，且F1到l的距离为3，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为（2，0），PQ为∠F1PF2的平分线，则下列正确的是（）A．双曲线的方程为﹣＝1B．＝2C．||＝3D．点P到x轴的距离为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：e iπ+1＝．14．写出一个对称中心为（，0）的函数f（x）＝．15．在矩形ABCD内有E、F两点，其中AB＝120cm，AE＝100cm，EF＝80cm，FC＝60cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，则该矩形ABCD的面积为cm2．（答案如有根号可保留）16．已知x＞0，f（x）＝x2+e x，g（x）＝（m2+1）x+lnx，若f（x）≥g（x）恒成立，则实数m的取值范围是．四、解答题：共70分。
2020届高三理科数学跟踪训练2(集合命题与条件)附解析
1．已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是( )A．[3，6) B．[1，2) C．[2，4) D．(2，4]2．已知集合M＝{(x，y)|y＝2x}，N＝{(x，y)|y＝a}，若M∩N＝∅，则实数a的取值范围是____．3．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．24．已知集合A＝{x|y＝－x2＋x＋6，x∈Z}，B＝{y|y＝5sin(x＋φ)}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．65．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．46．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“若x2≤1，则x≤1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2－x＝0”的否命题 D．命题“若a>b，则1a<1b”的逆否命题7．“1x>1”是“ex－1<1”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若不等式13<x<12的必要不充分条件是|x－m|<1，则实数m的取值范围是( )A．[－43，12] B．[－12，43] C．(－∞，12) D．(43，＋∞)9．设命题p：2x－1x－1<0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．10．已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)≥0，则非p 是( )A．∃x1，x2∉R，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0 B．∃x1，x2∈R，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0 C．∀x1，x2∉R，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0 D．∀x1，x2∈R，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0 11．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数12．命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是( )A．∃x0<0，x0x0－1≤0 B．∃x0>0，0≤x0≤1 C．∀x>0，xx－1≤0 D．∀x<0，0≤x≤113．命题“任意x∈R，存在m∈Z，m2－m<x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)．14．已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求实数a的取值范围．15．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”命题q：“∃x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．16．已知命题：“∃x∈{x|－1<x<1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围．1．已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是( )A．[3，6) B．[1，2) C．[2，4) D．(2，4]答案C∵A＝{x∈Z|－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x>m2}，A∩B有三个元素，∴1≤m2<2，即2≤m<4.2．已知集合M＝{(x，y)|y＝2x}，N＝{(x，y)|y＝a}，若M∩N＝∅，则实数a的取值范围是____．答案 a≤0 因为y＝2x>0，所以要使直线y＝a与函数y＝2x的图像无交点，则有a≤0.3．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．2答案 D由已知得A＝{2，5，8，11，14，17，…}，又B＝{6，8，10，12，14}，所以A∩B＝{8，14}．故选D.4．已知集合A＝{x|y＝－x2＋x＋6，x∈Z}，B＝{y|y＝5sin(x＋φ)}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6答案C 集合A满足－x2＋x＋6≥0，(x－3)(x＋2)≤0，－2≤x≤3，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3}，B＝[－5，5]，所以A∩B＝{－2，－1，0，1，2}，可知A∩B中元素个数为5.5．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4答案 B 原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若a>－6，则a>－3”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.6．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题D ．命题“若a>b ，则1a <1b ”的逆否命题答案 A7． “1x >1”是“e x －1<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A ∵1x >1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1.∴“1x >1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．8．若不等式13<x<12的必要不充分条件是|x －m|<1，则实数m 的取值范围是( )A ．[－43，12]B ．[－12，43]C ．(－∞，12)D ．(43，＋∞) 答案 B 由|x －m|<1，解得m －1<x<m ＋1.因为不等式13<x<12的必要不充分条件是|x －m|<1，所以⎩⎨⎧m －1≤13，12≤m ＋1，且等号不能同时取得，解得－12≤m ≤43，故选B. 9．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．答案 [0，12] 2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x<1，x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1， 由题意得(12，1)[a ，a ＋1]，故⎨⎪⎧a ≤12，解得0≤a ≤12.10．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∉R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0B ．∃x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0C ．∀x 1，x 2∉R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0答案 B 根据全称命题否定的规则“改量词，否结论”，可知选B.11．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案 D 否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.12．命题“∀x>0，x x －1>0”的否定是( ) A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0，0≤x 0≤1 C ．∀x>0，x x －1≤0 D ．∀x<0，0≤x ≤1 答案 B 命题“∀x>0，x x －1>0”的否定为“∃x 0>0，x 0x 0－1≤0或x 0＝1”，即“∃x 0>0，0≤x 0≤1”，故选B.13．命题“任意x ∈R ，存在m ∈Z ，m 2－m<x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)．答案 真 由于任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，因此只需m 2－m<34，即－12<m<32，所以当m ＝0或m ＝1时，任意x ∈R ，存在m ∈Z ，m 2－m<x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．14．已知a>0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数a 的取值范围．解析 ∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a>1.22而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p ，q 中有且只有一个为真，一个为假．(1)若p 真，q 假，则a ≥4；(2)若p 假，q 真，则0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞)．15．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”命题q ：“∃x 0∈R ，x 02＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解析 由“p ∧q ”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题，若p 为真命题，a ≤x 2恒成立，∵x ∈[1，2]，∴x 2∈[1，4]，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，即a ≥1或a ≤－2，综上所求实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.16．已知命题：“∃x ∈{x|－1<x<1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a)(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解析 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1，1)上有解，即m 的取值范围就为函数y ＝x 2－x 在(－1，1)上的值域，易知M ＝{m|－14≤m<2}． (2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N.当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意；当a>1时，a>2－a ，此时集合N ＝{x|2－a<x<a}，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a<－14，a ≥2，解得a>94； 当a<1时，a<2－a ，此时集合N ＝{x|a<x<2－a}，则⎩⎪⎨⎪⎧a<－14，2－a ≥2，解得a<－14.。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
2025届广东省六校(广州二中,深圳实验,珠海一中,中山纪念,东莞中学高三第二次联考数学试卷含解析
2025届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学高三第二次联考数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ） A ．0 B ．1 C ．673 D ．6742．已知向量a ，b 夹角为30，()1,2a =，2b = ，则2a b -=( )A ．2B ．4C ．D ．3．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( ) A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++= 4．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则sin cos A A -的值为（ ）A B ． C D ．5-35．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件 6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若EF ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613 C ．1313 D ．13107．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ）A ．134- B ．54 C ．5 D ．1548．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．89．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．210．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A ．83B ．163C ．43 D ．811．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --12．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ）A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届广东省茂名市五校高三上学期第一次(10月)联考数学(理)试题(解析版)
2020届广东省茂名市五校高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2430x x x A -+≥=，{}22x x B =-≤≤，则A B =I ( ). A ．[2,3] B ．[2,1]-C ．[1,2]D ．[2,3]-【答案】B【解析】先求集合A ，再求A B I . 【详解】{|3A x x =…或1}x „，[]2,1A B =-I ∴.故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题型.2．已知复数Z 满足()12Z i i +=+（i 为虚数单位），则复数Z 的虚部为（ ）. A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i 【答案】A 【解析】首先21iZ i+=+，然后化简求虚部. 【详解】231122i i i Z +=-+=，虚部为12-.故选A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的相关概念，属于简单题型. 3．设实数3log 5a =，151log 3b =，22cos 4xc dx ππ-=⎰，则（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】C【解析】利用定积分运算法则求c ，再利用对数函数的单调性比较大小，即可得到答案． 【详解】由题意得：33log 5log 31a =>=，实数1551log 33b log ==，∴112b <<， 2222cos sin 111|()44442x x c dx ππππ--===--=⎰，a b c >>Q ，故选：C ． 【点睛】本题考查定积分运算、对数函数的单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 4．给出以下几个结论：①命题:p x R ∀∈，211x -≤，则0:p x R ⌝∃∈，2011x -≤②命题“若(1)10x x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则(1)10x x e -+≠” ③“命题p q ∧为真”是“命题p q ∨为真”的充分不必要条件 ④若02x π<<，则4sin sin x x+的最小值为4 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用命题的否定判断①的正误；运用逆命题的关系判断②的正误；充要条件判断③的正误；函数的最小值判断④的正误． 【详解】对①，命题:p x R ∀∈，211x -≤，则200:,11P x R x ⌝∃∈->，不满足命题的否定形式，故①错误；对②，命题“若(1)10xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则(1)10x x e -+≠”，满足逆否命题的定义，故②正确；③“命题p q ∧为真”可知“命题p q ∨为真”反之不成立，所以“命题p q ∧为真”是“命题p q ∨为真”的充分不必要条件，故③正确；④若02x π<<，则4133sin sin 5sin sin sin 1x x x x x +=++≥=，当且仅当sin 1x =时，表达式取得最小值为5；因为sin 1x <，所以表达式没有最小值，故④错误；∴②③结论正确，故选：B ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及命题的否定，复合命题的真假以及函数的最值的求解．5．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人前三天共走了（ ）. A ．48里 B ．189里C ．288里D ．336里【答案】D【解析】记每天走的路程里数为{}n a ，{}n a 是等比数列，根据等比数列公式求解 【详解】记每天走的路程里数为{}n a ，{}n a 是等比数列，设第一天行走里程数是1a ，12q = ，166112378112a s ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，1192a =，33119212336112s ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∴，故选：D. 【点睛】本题考查数学文化问题，意在考查抽象，概括和计算求解能力，属于基础题型. 6．某几何体的三视图如图：其中俯视图是等边三角形，正视图是直角三角形，则这个几何体的体积等于（ ）.A ．33B ．23C ．3D ．3 【答案】C【解析】根据三视图的三个图都是三角形，可知几何体是三棱锥，底面是如俯视图的底面，三棱锥的高是正视图的高，13V Sh =. 【详解】由三视图可知几何体是三棱雉，底边是边长为2的等边三角形，12332S =⨯⨯=，高为3， 13333V =⨯⨯=， 故选：C . 【点睛】本题考查根据三视图，求几何体的体积，意在考查空间想象和计算能力，属于基础题型. 7．函数3sin 2xy x =的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <判断选项. 【详解】3xy =是偶函数，sin 2y x =是奇函数，()3sin 2xf x x =是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π ，当(,)2x ππ∈时，30x y =>，sin 20y x =<3sin 20xy x ∴=<，排除C.故选D . 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项. 8．已知函数()()2cos 23042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）.A ．1B ．65C ．43D ．32【答案】C【解析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=-2cos 3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x Q 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+， ∴ [,][0,]323πωπππ+⊆ ∴23ωπππ+≤，403ω∴<≤ ，综上可知403ω<≤.故选C 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解. 9．若正数,a b 满足211a b +=，则4821a b +--的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．16【答案】B 【解析】把已知211a b +=变形后代入4821a b +--化简后，再利用基本不等式求得最小值． 【详解】 ∵211a b+=，0,0a b >>，∴2,1a b >>，2a b ab +=， ∴484(1)8(2)8420421021(2)(1)22b a a b a b a b a b ab a b -+-+-+===+-------+=212(2)()10a b a b ++-222(5)102(5108a b b a =++-≥+-=，当且仅当22a b b a =，即3a b ==时，等号成立， ∴4821a b +--的最小值是8． 故选：B ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值．解题关键是把待求化简变形，然后凑配出可用基本不等式的形式，即定值，然后用基本不等式求得最值．这时用到了“1”的代换．10．已知函数()()()24sin 21f x x x x x =--++在[]1,5-上的最大值为M ，最小值为m ，则 M m +=（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】D【解析】()()()()()2242124sin 223f x x x sin x x x x x ⎡⎤=--++=---+-+⎣⎦Q令()()()224sin 22g x x x x ⎡⎤=---+-⎣⎦而()()()()()2424sin 2sin 22g x x x x x ⎡⎤-=-----+-⎣⎦ ()()40g x g x ∴-+=则()g x 关于()20，中心对称，则()f x 在[]15-，上关于()23，中心对称， 6M m ∴+=故答案选D点睛：对函数的解析式进行化简，构造出新函数()()()224sin 22g x x x x ⎡⎤=---+-⎣⎦，求得该函数关于点对称，从而计算出最大值与最小值的和．11．在等腰直角三角形ABC 中，,2C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD翻折，使点A 与点B 间的距离为此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．3C ．12πD ．20π【答案】D【解析】如图，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径. 【详解】ABC ∆中，易知4AB =，2CD AD BD ===翻折后AB =(222221cos 2222ADB +-∴∠==-⨯⨯ ，120ADB ∴∠=o ，设ADB ∆外接圆的半径为r ，24r == ，2r ∴= ， 如图：易得CD ⊥平面ABD ，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为R ，222221215R r =+=+= ，∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积为2420S R ππ==.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解. 12．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞ 【答案】A【解析】由已知可知，32()20f x x ex ax lnx '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立，分离系数可知，22lnxa ex x x≥+-在(0,)+∞上恒成立，构造函数即可求解． 【详解】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x -+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A . 【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．二、填空题13．已知两个向量a r ，b r 满足1a =r，2a b -=r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则b =r_________．【答案】3【解析】根据平面向量的数量积与模长公式，列方程求出||b r的值． 【详解】由||1a =r，|2|a b -=r r a r 与b r 的夹角为3π，∴222(2)447a b a a b b -=-+=r r r r r r g ，24141||cos ||73b b π⨯-⨯⨯⨯+=r r ，∴2||2||30b b --=r r ，解得||3b =r 或||1b =-r（不合题意，舍去）．∴||3b =r．故答案为：3． 【点睛】本题考查平面向量的数量积与模长公式的计算问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．14．已知动点(),P x y 满足20030x y y x y -⎧⎪⎨⎪+-⎩……„，则12y x ++的取值范围是___________.【答案】1[,1]5【解析】首先做出可行域，12y x ++表示(),P x y 与()21--，连线的斜率k ，根据数形结合求k 的范围. 【详解】 作出可行域如图，12y x ++表示(),P x y 与()21--，连线的斜率k ，当直线过点()1,2时，k 最大，此时()()21112k --==--，当直线过点()3,0时，k 最小，此时()()011325k --==-- k 的最小值为15， 故答案为：1[,1]5.【点睛】本题考查线性规划，根据目标函数的几何意义求最值，属于基础题型.15．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2a 和1n a -是函数21()ln 42f x x x nx =+-的极值点，则数列{}(1)n n S -的前2n 项和为___________.【答案】242n n +【解析】首先求函数的导数，得到2410x nx -+=，所以214n a a n -+=，根据等差数列的性质和求和公式得到22n S n =，再代入()1nn S -，利用并项求和. 【详解】1'()40f x x n x=+-=， 2410x nx -+=∴.214n a a n -+=∴，14n a a n +=∴，22n S n =∴，数列{}(1)n n S -的前2n 项和为 222222222[12345(21)(2)]n S n n =-+-+-+--+L22[37(41)]42n n n =+++-=+L .【点睛】本题考查函数极值点和数列求和的综合应用，重点考查数列求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.并项求和法，比如本题；6.倒序相加法求和.16．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>且(1)y f x =+是偶函数，2(0)2f e =，则不等式()2x f x e <的解集为_________．【答案】(,2)-∞【解析】设()()x f x g x e=，结合已知可判断()g x 在R 上单调递增，然后由(1)y f x =+是偶函数，及(0)f 可求(2)f ，进而可求(2)g ，即可求解．【详解】 设()()x f x g x e =，()()()0xf x f x x e '-'=>g ∴， ()g x ∴在R 上单调递增，(1)y f x =+Q 是偶函数，()y f x ∴=图象关于1x =对称，2(2)(0)2f f e ∴==，2(2)(2)2f g e ∴==， ()()22x x f x f x e e<⇔<，即()(2)g x g <， 2x ∴<.故答案为：(,2)-∞.【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及转化思想的应用，考查计算能力．三、解答题17．已知向量(cos ,sin ),(cos )m x x n x x ==u r r ，函数1()2f x m n =⋅-u r r . （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3,()625f ππαα∈=（，），求cos2α的值； 【答案】（1）π；（2【解析】（1）首先利用向量数量积得到21()cos cos 2f x x x x =+-，利用三角函数恒等变形得到()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭ ，然后利用周期公式2T ωπ=求周期；（2）由（1）可知3sin 265πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后利用cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求解. 【详解】（1）21()cos cos 2f x x x x =-，1cos 21222x x +=+-12cos 22x x =+ sin(2)6x π=+ ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）3()sin(2)65f παα=+=， ,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，72,626ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 4cos(2)65πα+=-∴， cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， =cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα+++4313==525210--⨯+⨯【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，意在考查变形与转化，以及计算求解能力，属于基础题型.18．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n nS n a n N *+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14n T <. 【答案】（1）31n n a =-；（2）证明见解析；【解析】（1）首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=，然后两式相减得到132n n a a +=+，构造{}1n a +是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1）113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----，再利用裂项相消法求和，证明14n T <. 【详解】（1）223n n S n a +=Q ，1122(1)3n n S n a ++∴++=，两式相减得132n n a a +=+ ，113(1)n n a a ++=+∴ ，又111223,2S a a +==∴，∴数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列，13,31n n n n a a +==-∴∴（2）113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭∴ 1111142314n +=-⋅<- 【点睛】本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.19．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-．（1）求角C ；（2）若D 是边BC 的中点，11cos 14B =，21AD =ABC V 的面积S ． 【答案】（1）3π．（2）3【解析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出C 的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的变换的应用，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（1）2cos 2c A b a =-Q ，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin()sin C A A C A ∴=+-，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴，2sin cos sin A C A ∴=，Q sin 0A ≠，1cos 2C ∴=， (0,)C π∈Q ，3C π∴∠=. （2）Q 11cos 14B =，(0,)B π∈，53sin B ∴=， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+53111343214=+=， 43533::sin :sin :sin 8:5:7a b c A B C ∴===， 设8a x =，5b x =，7c x =， 在ACD V 中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅， 22221251620x x x ∴=+-，1x ∴=，8a ∴=，5b =，7c =，1sin 1032ABC S ab C ∴==V【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．20．在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，//PE CD ，2AB BC ==，4=AD ，25PD =，PDA ∠的余弦值为25，1=2PE CD ，F 为BE 中点，G 为PD 中点．（1）求证：//FG 平面ABCD ；（2）求平面BCE 与平面ADE 所成角(锐角)的余弦值．【答案】（1）答案见解析．（2）35【解析】（1）取EC 的中点H ，连结FH ，GH ，证明//FH BC ，//FH 平面ABCD ，//HG CD ，//HG 平面ABCD ，然后证明平面//FHG 平面ABCD ，推出//FG 平面ABCD ；（2）在PAD ∆中，求出2PA =，说明PA AD ⊥，以AD 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系．求出平面BCE 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面BCE 与平面ADE 所成角的余弦值即可．【详解】（1）取EC 得中点H ，连结FH ，GHF Q 为BE 中点，//FH BC ∴，FH ⊄Q 平面ABCD ．BC ⊂平面ABCD ，//FH ∴平面ABCDG Q 为PD 中点，//EP CD//HG CD ∴HG ⊄Q 平面ABCD ．CD ⊂平面ABCD//HG ∴平面ABCD=FH HG H ⋂Q ∴平面//FHG 平面ABCDFG ⊂Q 平面FHG //FG ∴平面ABCD（2）在PAD △中，222=2cos PA PD AD PD AD PDA +-⋅⋅∠25201622544=+-⨯=， 2PA ∴=，222PA AD PD ∴+=，PA AD ∴⊥，又∴平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PA ∴⊥平面ABCD ，以AD 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，A 为原点建立空间直角坐标系． (0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(4,0,0),(0,0,2)A B C D P --， 设11(,,),2,2E x y z PE CD EP CD =∴=u u u r u u u r Q ， ∴1(,,2)(2,2,0)2x y z ---=，1x ∴=-，1y =-，2z =， ∴点E 的坐标为(1,1,2)--,设平面ADE 的一个法向量：1111(,,)n x y z =u r ，(4,0,0)(1,1,2)AD AE ==--u u u r u u u r ， ∴11114020x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1112,z y =∴=， ∴1(0,2,1)n =u r ，设平面BCE 的一个法向量2222(,,)n x y z =u u r ，22,n BC n BE⊥⊥u u r u u u r u u r u u u r Q ，∴(2,0,0),(1,1,2)BC BE ==-u u u r u u u r ， ∴22222020x x y z =⎧⎨-++=⎩令2212,z y =∴=-，∴2(0,2,1)n =-u u r ，∴123cos ,5n n <>==-u r u u r ∴平面BCE 与平面ADE 所成角（锐角）的余弦值为35． 【点睛】本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．21．已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-，a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析．（2）(0,1)【解析】（1）先求()f x 的定义域，然后进行求导，然后结合a 的范围判断导数的正负即可判断，（2）构造函数()0f x =，分离22lnx x a x x +=+，构造函数22()lnx x g x x x+=+，然后结合导数与函数的关系进行判断即可．【详解】（1）Q ()f x 的定义域为(0,)+∞， 1(21)(1)()2(2)x ax f x ax a x x+-'=-+-=， ①当0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，②当0a >时，令()0f x '>得10ax ->，1x a ∴<， ()f x ∴在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减. （2）令2()ln (2)0f x x ax a x =-+-=得2ln 2x x a x x+=+， 设2ln 2()x x g x x x+=+，22(21)(1ln )()()x x x g x x x +--'∴=+， 令()1ln p x x x =--，1()10p x x'=--<在(0,)+∞上恒成立， ()p x ∴在(0,)+∞上单调递减，又(1)0p =Q ，∴当(0,1)x ∈时()0p x >，即()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时()0p x <，即()0g x '<；()g x ∴在(0,1)上单调递增，(1,)+∞上单调递减，当0x +→时，()g x →-∞，(1)1g =；当x →+∞时，()0g x →作出()g x 的图象如图：a ∴的取值范围为(0,1).【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力． 22．已知函数()sin sin f x x x a x b =++，()cos 2x x g x e x e =，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =．（1）求实数a ，b 的值；（2）当0x >，证明：()()g x f x >．【答案】（1）1a =，0b =．（2）答案见解析【解析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，求出切点，代入切线方程，求出b 即可．（2）要证()()g x f x >，即证(cos (1)sin x e x x x +>+，等价于证明：1x e x >+()(0)1xe p x x x =>+，利用函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值，证明即可．【详解】（1）()sin cos cos f x x x x a x '=++Q ，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，(0)1f a '∴==，又(0)f b =，切点(0,)b 在切线y x =上，0b ∴=.（2）由（1）可知()(1)sin f x x x =+，要证()()g x f x >，即证(cos (1)sin x e x x x >+0x Q >，10x +>，cos 0x >∴等价于证明：1x e x >+ 设()(0)1xe p x x x =>+，2()0(1)x xe p x x '=>+在(0,)+∞上恒成立， ()p x ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)1p x p ∴>=，设()y h x ==，cos sin y x x ∴=，sin cos x y x ∴-=，)x ϕ+=，sin()x ϕ∴+=，1≤，解得11y -≤≤，即()1()h x p x ≤<，()()g x f x ∴>．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，构造法的应用以及函数的最值证明不等式，考查转化思想以及计算能力，是难题．。
2020届高三2月联考(线上)数学(理)试题)
2.
已知
i
为虚数单位，
a、b
R
，复数
1 2
i i
i
a
bi
,则
A. 1 2 i
B. 1 2 i
C. 2 1 i
D. 2 1 i
55
55
55
55
3. 已知 A (1, 2), B (2, 3), C (-1, m),若 BA BC BA BC ，则 AC2 =
(II)若 M , N 分别为曲线 C1 和曲线 C2 上的动点，求 MN 的最大值.
23. (本小题满分 10 分) 选修 4 —5：不等式选讲
已知函数 f x 2x 7 2x 5 (I )解不等式 f x 6 ；
(II)设函数
f
x 的最小值为 m
，已知正实数 a,
若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积
相等.如图（1）,函数
f
x
sin x , x 2, 0
2
的图象与 x
1 x 12 , x 0, 2
轴围成一个封闭区域 A（阴影部分），将区域 A A（阴影部分）沿 Z 轴的正方向上移
6 个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图（2）所示，其
数学（理科）试題（第 1 页，共 6 页）
7. 已知点 G 在 ABC 内，且满足 2GA 3GB 4GC 0 ，现在 ABC 内随机取一点，此
点取自， GAB 、 GAC 、 GBC 的概率分别记为 P1、P2、P3 ，则
A.P1 P2 P3
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2016年第二次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，24小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案的序号填在答题卡相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁. 考试结束后，将答题卷交回。
第一部分 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设集合{20,1x A xB x y x ⎧-⎫=<==⎨⎬+⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤ B ．{}11x x -<< C ．{}11x x -≤< D ．{}1,1- 2．“1a =”是“复数2(1)2(1)z a a i =-++（a R ∈）为纯虚数”的 （ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知()f x 在R 上是减函数，若)8(log 21f a =,])21[(31f b =,)2(21-=f c .则（ ）A ．a b c <<B ． c a b <<C ． b c a <<D ．a c b <<4．《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布。
A ．12 B ．815 C ．1631 D ．16295．若动圆的圆心在抛物线2112y x =上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点 ( ) A. (0,2) B ．(0，－3) C. (0,3) D ．(0,6)6．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的334俯视图侧视图正视图第10题图点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ，y 都为偶数且x ≠y ”，则A 发生的概率P （A ）为（ ） A.41 B. 16 C. 31D. 1127．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－4，则条件框内应填写 （ ） A. 3?i > B. 5?i < C.4?i > D.4?i <8．23451+1111x x x x -+--+-（）（）+（）（）展开式中2x 项的系数为（ ） A ．－19 B ．19 C ．20 D ．－209. 已知向量(3,2)a =-，(,1)a x y =-且a ∥b ，若,x y 均为正数， 则32x y+的最小值是 （ ） A ．24 B ．8 C ．38 D ．3510．若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ( )A. π34B. π35 C ．π36 D ．π1711．已知双曲线：22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c , 直线)y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠, 则双曲线的离心率为 （ ）A B ．2 D 1 12．已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-，当[3,3]x ππ∈-时，方程()()f x g x =根的个数是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分.）13．已知函数()2sin 3πf x ωx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω＝14．已知点A （1，2），点P （,x y ）满足1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，O 为坐标原点，则Z OA OP =∙的最大值为15. 已知△ABC 中，∠B=900，AB=3, BC=1.若把△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得几何体的第7题图 第13题图体积为 .16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-， 若数列{}a n 的前n 项和S n 满足21n nS a n n=+，则56()()f a f a +＝ 三、解答题（本大题共8小题，共70分.其中17至21题为必做题，22至24题为选做题.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 若3π=∠ABC ,2,7==c b , D 为BC 的中点.（I ）求cos BAC ∠的值; （II ）求AD 的值.18．（本小题满分12分)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，所得数据如下 列联表：从服药的动物中任取2只，记患病动物只数为ξ； （I ）求出列联表中数据x ，y ，t 的值，并求ξ的分布列和期望； （II ）根据参考公式，求2k 的值（精确到小数后三位）； （Ⅲ）能够有97.5%的把握认为药物有效吗？（参考数据如下）第17题图19、（本小题满分12分)如图1，已知四边形ABCD 为菱形，且︒=∠60A ,2=AB ,E 为AB 的中点。
现将四边形EBCD 沿DE 折起至EBHD ，如图2。
（I ）求证：ABE 平面⊥DE （II ）若二面角H DE A --的大小为3π， 求平面ABH 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值。
20. （本小题满分12分)已知椭圆)30(,19222<<=+b b y x 的左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，过点1F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆相交于B A ,两点.当直线l 垂直x 轴时,38=AB .（I ）求椭圆的标准方程；（II ）求2ABF ∆内切圆半径的最大值.21. （本小题满分12分)已知函数x xexf ln )(-=,a x e x g x ++=-ln )(1 (I) 将)(x f 写成分段函数的形式（不用说明理由），并求()f x 的单调区间。
（II ）若1111-<<--≥-a ex e且，比较)(x f 与)(x g 的大小。
第19题 图1第19题 图2请考生在第22 , 23 , 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分, 作答时请在答题卡中用2B 铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图所示，AC 为⊙O 的直径， E 为BC 的中点, 延长OE 与⊙O 相交于点D ，连结AD ,DC ，F 为BC 与AD 的交点． (Ⅰ)求证：BF AD DC AB ⋅=⋅ (Ⅱ)若33==CD AD ，求OF 的值.23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx sin 55cos 53（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系得曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）将曲线1C 向右移动1个单位得到曲线3C ,求3C 与2C 交点的极坐标（0≥ρ,π20<≤θ）24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数a x x f -=2)(，（Ⅰ）若4=a ,求x x f ≤)(的解集;第22题图（Ⅱ）若a x f ->+2)1(对()+∞∈∀,0x 恒成立，求实数a 的取值范围.茂名市2016年第二次高考模拟考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题（60分）二、填空题（20分）13、2； 14、5 ； 15 ； 16、3 。
选择、填空题答案与提示： 1. 答案A ，提示：20(1)(2)0121x x x x x -<⇒+-<⇒-<<+ 22101011x x x -≥⇒-≤⇒-≤≤，则A B ={}11x x -<≤2. 答案A ，提示：212(1)a a i -++ 为纯虚数，则21a -＝0，10a +≠，所以1a = ，反之也成立。
3. 答案C ，提示：函数()f x 在R 上是减函数， 111032212111log 8302()()()1,222-=-<<=<<= 1132121(log 8)(3)(3)(2)()2a f f f c fb f -∴==-=>=>=，即b c a <<，选C ． 4. 答案D ，提示：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m , 则由题意知，解得d=． 故选：D ．5 答案C ，提示：直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3).6．答案B ，正面朝上的点数(x ，y )的不同结果共有116636C C =＝36(种)．事件A 为“x ，y都为偶数且x ≠y ”包含的基本事件总数为11333C C -，所以113331()366C C P A -==。
7. 答案D ，提示：第1次运算：11028,2s i =-==，第2次运算：2824,3s i =-==， 第3次运算：3424,4s i =-=-=，符合结束要求；这是一个当型循环，故选D8. 答案C ，提示：23451(1)(1)(1)(1)x x x x +-+-+-+-，它的展开式中2x 项系数为22222345C C C C +++＝1＋3＋6＋10＝20。
9. 答案B ，提示：∵a ∥b ，∴﹣2x ﹣3（y ﹣1）=0，化为2x+3y=3，∴32x y+= 3211941()(23)(66)(128333y x x y x y x y +⨯+=+++≥+= 当且仅当2x=3y=32时，等号成立。
∴ 32x y +的最小值是8．故选：B ．10答案A ，提示：由几何体的三视图知它是底面是正方形且有一侧棱垂于底面的四棱锥，可把它补成一个长方体，所以22224334181634R =+++＝＝， 它的外接球表面积为2S=434R ππ＝11. 答案D ，提示：∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°，∴∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M . ∴|MF 1|＝121||2F F c = ，|MF 2| 012||sin60F F = 由双曲线的定义有： |MF 2|－|MF 1|c -＝2a ， ∴离心率1c e a===12 答案B ，提示：由题意知，函数f （x ）=﹣在[﹣3π，0）（0，3π]是奇函数且是反比例函数，g （x ）=xcosx ﹣sinx 在[﹣3π，3π]是奇函数；g ′（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣cosx=﹣xsinx ；故g （x ）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g （0）=0，g （π）=﹣π；g （2π）=2π；g （3π）=﹣3π；故作函数f （x ）与g （x ）在[﹣3π，3π]上的图象如图： 结合图象可知，有6个交点；故选：B ．。