高能电子束对抗蚀剂曝光的Monte Carlo模拟
可靠性和可靠性灵敏度分析的Monte Carlo数值模拟法
指示函数IF(x)方差的无偏估计可以进一步表达为
Var
IF (x)
1
N
1
N j 1
I
2 F
(xj)
NI
2 F
N 1
N 1 N
N j 1
I
2 F
(
x
j
)
1 N
N
I
F
(
xk
)
2
k 1
N 1
N
1
N
式中, f(xi) (i=1, 2, …, n)为随机变量xi的概率密度函数。
东北大学机械设计及理论研究所
3 Monte lo 可靠性分析
Monte Carlo 可靠性分析方法又称随机抽样法、概率模拟法 或统计试验法。该方法是通过随机模拟或者说统计试验来 进行结构可靠性分析的。由于它是以概率和数理统计理论 为基础的，故被无理学家以赌城Monte Carlo来命名。
否 IF(xj)=0
g(xj)≤0 ?
是 IF(xj)=1
m=m+IF(xj)
否 j=N?
是
Pˆf
m N
,
Var
Pˆf
Pˆf Pˆf2 N 1
结束
3 Monte Carlo 可靠性分析
常见分布随机数生成函数的调用格式
东北大学机械设计及理论研究所
3 Monte Carlo 可靠性分析
xS
)dxS
dxR
1 FS (xR )
fR (xR )dxR
系统建模与仿真第12讲 Monte Carlo蒙特卡洛方法
Nicholas Metropolis (1915-1999)
Monte-Carlo, Monaco
引言(Introduction)
Monte Carlo模拟的应用： 自然现象的模拟： 宇宙射线在地球大气中的传输过程； 高能物理实验中的核相互作用过程； 实验探测器的模拟 数值分析： 利用Monte Carlo方法求积分
2
3.141528 3.141528 3.141509 3.141553 3.141506
3
3.141527 3.141521 3.141537 3.141527 3.141538
n
(i )2
si
i1
n 1
0.000012
0.0000032
s si / n
ua s t(0.683, n 1) 0.0000033
引言(Introduction)
Monte Carlo模拟在实际研究中的作用
引言(Introduction)
Monte Carlo模拟的步骤： 1. 根据欲研究的系统的性质，建立能够描述该系统特性的理 论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数； 2. 从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一些模 拟结果； 3. 对模拟结果进行分析总结，预言系统的某些特性。
k n 1
3.1415279
14
例1 在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两 门火炮）为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方 打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换射击地 点．
经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指 示有50％是准确的，而我方火力单位，在指示正确 时，有1/3的射击效果能毁伤敌人一门火炮，有1/6 的射击效果能全部消灭敌人．
低能电子束对抗蚀剂曝光的MonteCarlo模拟
第4 期2004 年12 月微细加工技术MICROFABR ICATION TEC HNOLOGY№14Dec1 ,2004文章编号:100328213 (2004) 0420001206低能电子束对抗蚀剂曝光的Monte Carlo 模拟宋会英,张玉林,孔祥东(山东大学控制学院电子束研究所,济南250061)摘要:考虑二次电子的产生和散射,利用Monte Carlo 方法模拟了具有高斯分布特征的低能入射电子束斑在抗蚀剂中的散射过程,分别得到了电子束在抗蚀剂中的穿透深度和能量沉积的分布图。
发现在能量小于215 keV 范围内的模拟结果与实验结果相吻合,这比用传统的不考虑二次电子的Bethe 公式得到的模拟结果更加符合实际的电子散射过程,精度更高。
另外还发现电子束能量越低,曝光的分辨率和效率越高, 这一结果也与实验相吻合。
结果表明,二次电子的产生和散射对电子束曝光起了重要的作用,需考虑它们的影响。
关键词:电子束;Monte C arlo 模拟;散射;二次电子中图分类号: T N30517 文献标识码:A1 引言实验结果表明,低能电子束曝光能得到极高的分辨率,并且由于它具有低邻近效应、高曝光效率和对衬底材料损坏极低的特性, 近年来对其研究得到了较快的发展[ 1 - 2 ] 。
在电子束三维光刻技术中,薄层单元的厚度和束斑的分辨率是极其重要的参数[ 3 ] 。
通过模拟方法获得这些参数,可大大缩短实验过程。
在传统的模拟方法中,主要是通过理想的点入射电子束模拟在固体中的散射轨迹, 利用基于能量损失的连续减速近似的Bethe 公式计算其能量沉积分布。
可实际上电子束是以一定半径的束斑入射的,并且束斑中的电子符合高斯分布。
对抗蚀剂曝光起主要作用的不是较高能量的入射电子,而是低能二次电子[ 4 ] 。
在传统的基于能量损失的连续减速近似的Bethe 公式计算能量沉积分布时, 并没有考虑二次电子的产生,因此传统模拟方法的精度较低。
蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod）
蒙特·卡罗⽅法（MonteCarlomethod）蒙特·卡罗⽅法（Monte Carlo method），也称统计模拟⽅法，是⼆⼗世纪四⼗年代中期由于科学技术的发展和电⼦计算机的发明，⽽被提出的⼀种以概率统计理论为指导的⼀类⾮常重要的数值计算⽅法。
是指使⽤随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的⽅法。
与它对应的是确定性算法。
这个⽅法的发展始于20世纪40年代，和原⼦弹制造的曼哈顿计划密切相关，当时的⼏个⼤⽜，包括乌拉姆、冯.诺依曼、费⽶、费曼、Nicholas Metropolis，在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室研究裂变物质的中⼦连锁反应的时候，开始使⽤统计模拟的⽅法，并在最早的计算机上进⾏编程实现。
现代的统计模拟⽅法最早由数学家乌拉姆提出，被Metropolis命名为蒙特卡罗⽅法，蒙特卡罗是著名的赌场，赌博总是和统计密切关联的，所以这个命名风趣⽽贴切，很快被⼤家⼴泛接受。
被不过据说费⽶之前就已经在实验中使⽤了，但是没有发表。
说起蒙特卡罗⽅法的源头，可以追溯到18世纪，布丰当年⽤于计算π的著名的投针实验就是蒙特卡罗模拟实验。
统计采样的⽅法其实数学家们很早就知道，但是在计算机出现以前，随机数⽣成的成本很⾼，所以该⽅法也没有实⽤价值。
随着计算机技术在⼆⼗世纪后半叶的迅猛发展，随机模拟技术很快进⼊实⽤阶段。
（类⽐深度学习，感叹~）对那些⽤确定算法不可⾏或不可能解决的问题，蒙特卡罗⽅法常常为⼈们带来希望。
蒙特卡罗基本思想：利⽤⼤量采样的⽅法来求解⼀些难以直接计算得到的积分。
例如，假想你有⼀袋⾖⼦，把⾖⼦均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗⾖⼦，这个⾖⼦的数⽬就是图形的⾯积。
当你的⾖⼦越⼩，撒的越多的时候，结果就越精确。
借助计算机程序可以⽣成⼤量均匀分布坐标点，然后统计出图形内的点数，通过它们占总点数的⽐例和坐标点⽣成范围的⾯积就可以求出图形⾯积。
第六章 M onte-Carlo 方法
10
1、离散型分布随机变量的直接抽样 对一个可以取两个值的随机变量x，如果它以几率p1取值x1, 而以几率p2取值x2。则：p2=(1-p1)。如果取(0,1)间一个随机数， 若满足： x < p 1 , 则取： x = x 1
第六章 Monte-Carlo 方法 第一节 Monte-carlo 方法概述 Monte-Carlo(蒙特卡罗)是摩纳哥闻名的赌城的名字，其本意具 有“随机”、“机遇”之意，从而Monte-Carlo方法又称为随机 抽样技巧或统计模拟方法(statistical simulation method )。 是利用随机数进行数值模拟的方法。 是由Metropolis在二次世界大战期间提出的,Nouman命名。在 Manhattan计划中，研究与原子弹有关的中子输运过程。 Monte Carlo方法是现代计算技术的最为杰出的成果之一。
由于试验次数不能太少，进行大量模拟就有很大的运算量， 从而只有在计算机出现和发展后，该方法才得到有效应用，所 以说，Monte-Carlo方法是和计算机紧密联系在一起的。
5
三. Monte-Carlo 方法的适用范围非常广泛
由于空间维数的多少对于Monte-Carlo方法的影响不大，且受问 题 的条件限制小，另外用该方法解决问题所编写的程序结构简 单，所以该方法已广泛应用在许多领域。 它可以解决一些典型的数学问题， 如多重积分的计算、线性代 数方程组、线性积分方程求解、齐次线性积分方程本征值的计 算、微分方程边值的计算等； 另外生物、 物理、材料、化学、经济、通讯等 科学方面许多 复杂问题用该方法来解决相对来说比较简单。
高能通量脉冲电子束作用下钽靶破坏初步研究
第17卷 第10期强激光与粒子束Vol.17,No.10 2005年10月H I GH P OW ER LASER AND P ARTI CLE BEAMS Oct.,2005 文章编号: 100124322(2005)1021581204高能通量脉冲电子束作用下钽靶破坏初步研究3朱 隽, 章林文, 龙继东, 李 劲, 禹海军, 石金水(中国工程物理研究院流体物理研究所,四川绵阳621900) 摘 要: 使用Monte2Carl o程序MC NP在2维情况下模拟得到了高能通量脉冲电子束在钽金属靶中的能量沉积。
根据能量沉积的模拟结果以及实验后靶上穿孔的大小和形貌,提出了电子束对不同结构钽金属靶破坏的物理机制。
由于能量沉积的差异,1mm实心靶中的热激波在一定时间内沿径向和轴向持续对靶材进行压缩,而在叠靶中这种压缩效果并不明显,因此实验后1mm实心靶上穿孔的大小几乎是叠靶上的两倍。
根据理论模型分析得到的靶材熔融喷射和层裂现象与实验结果相吻合。
关键词: 脉冲电子束; 钽靶; 热激波; 能量沉积 中图分类号: T L503.92 文献标识码: A 当数十ns的脉冲电子束与靶相互作用时,将产生多种物理效应,如力学效应和热效应。
靶材料、电子束能量以及电子束在靶内的能通量密度不同时,材料的各种效应响应一般也不一样。
在“闪光二号”[1～3]上电子束的能量约为1Me V,靶上的能通量为100J/c m2左右。
靶内热激波的应力峰值约为0.5～2.5GPa,材料一般工作在弹塑性区。
在12Me V直线感应加速器上,靶上的能通量可达4kJ/c m2。
在热激波和稀疏波的作用下靶上最终呈现为对称撕裂的破坏形态[4]。
在美国的DARHT装置上,能量20Me V、流强2kA、脉冲宽度60ns的电子束经过加速聚焦后(F WH M焦斑1.3mm)与钽金属靶作用,靶上的能通量可达到6.3×104J/c m2。
模拟结果表明电子束的能量沉积可将靶中心处温度加热到几个e V,喷出的等离子体速度可达c m/μs的量级[5]。
Monte-Carlo(蒙特卡洛方法)解析
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1
=2147483647
2147483399 2147483563
Multiplier a 16807
在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P(A) 的估计，即 pˆ fn ( A) 。
然后取 ˆ
2l afn ( A)
作为
的估计。根据大数定律，当 n 时，
pˆ
fn ( A) a.s.
p.
从而有ˆ 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 afn ( A)
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
例 1 ：设 X ~ U (a,b) ，则其分布函数为
0
F
(
x)
x b
a a
1,
xa a xb
xb
F -1( y) a (b a) y ， 0 y 1
生成 U (0,1) 随机数 U，则 a (b - a)U 是来自
算法实现
许多程序语言中都自带生成随机数的方法, 如 c 中的 random() 函数, Matlab中的rand()函数等。 但这些生成器生成的随机数效果很不一样, 比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差, 如果用 c , 最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数, 经过了很多优化。可以产生性质很好的随 机数, 可以直接利用。
U (a,b) 的随机数。
例 2：
设 X ~ exp( ) 服从指数分布，则 X 的分布函数为：
直接蒙特卡洛模拟方法
直接蒙特卡洛模拟方法一、什么是蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo simulation）是一种基于随机数和概率统计的模拟技术，通过生成大量随机样本来模拟实验或事件的概率分布，用于解决复杂的计算问题。
它起源于第二次世界大战时，用于解决核物理领域的复杂问题。
二、蒙特卡洛模拟方法的基本原理蒙特卡洛模拟方法的基本原理是利用概率统计理论中的随机抽样和大数定律，通过生成大量的随机样本，通过对这些随机样本进行统计分析，得到研究对象的数值解或概率分布。
在蒙特卡洛模拟中，随机数的生成是关键步骤，通常使用计算机算法来生成伪随机数。
2.1 蒙特卡洛模拟方法的步骤蒙特卡洛模拟方法的主要步骤包括： 1. 定义模拟的问题和目标。
2. 建立模拟模型，包括建立数学模型和模拟算法。
3. 生成随机数，用于模拟实验的输入。
4. 进行模拟实验并记录结果。
5. 分析模拟结果，得出目标问题的解或概率分布。
6. 进行模型验证和灵敏度分析。
2.2 蒙特卡洛模拟方法的应用领域蒙特卡洛模拟方法在各个领域都有广泛的应用，包括金融、天气预测、风险评估、物理学、化学工程等。
它可以帮助我们解决那些具有不确定性的问题，以及那些使用传统解析方法难以求解的复杂问题。
三、蒙特卡洛模拟方法的优缺点蒙特卡洛模拟方法具有以下优点： - 可以解决各种具有不确定性的问题。
- 可以处理复杂问题，无需求解解析解。
- 结果具有可靠性和可重复性。
然而，蒙特卡洛模拟方法也存在一些缺点： - 模拟结果受随机数生成算法的影响。
- 计算量大，运行时间较长。
- 在处理高维问题时会面临“维数灾难”。
四、蒙特卡洛模拟方法的案例应用4.1 金融领域的蒙特卡洛模拟在金融风险评估中，蒙特卡洛模拟方法非常常见。
例如，在期权定价中，我们可以使用蒙特卡洛模拟方法来模拟股票价格的随机波动，从而计算期权的价值和风险。
示例代码：import numpy as npdef monte_carlo_option_pricing(S0, K, r, sigma, T, n_simulations):dt = T / n_simulationsS = np.zeros((n_simulations + 1, ))S[0] = S0for i in range(1, n_simulations + 1):epsilon = np.random.standard_normal()S[i] = S[i-1] * (1 + r * dt + sigma * np.sqrt(dt) * epsilon)payoff = np.maximum(S[-1] - K, 0)price = np.exp(-r * T) * np.mean(payoff)return priceS0 = 100K = 105r = 0.05sigma = 0.2T = 1n_simulations = 10000option_price = monte_carlo_option_pricing(S0, K, r, sigma, T, n_simulations) print(f"The option price is: {option_price}")4.2 物理学中的蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟在物理学中也有广泛应用。
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λ
∆Econt = |[dE/ds]cont | • λ,
, E0 . 200eV, Bethe
∆Econt + ∆E ,
, , , , , 100eV .
, 100eV.
1/λel + 1/λL , 1/λT 1/λel + 1/λL < 1/λT
5
5.1 Mott Au ,
, ∆E
∆E
0.1keV E0 (13)
29 2005
12 12 HIGH ENERGY PHYSICS AND NUCLEAR PHYSICS
Vol. 29, No. 12 Dec., 2005
Monte Carlo
( 250061)
*
, E0 100keV)
Monte Carlo , . , . .
(50keV ,
, ,
Monte Carlo
(y = 0
2
, 100keV, 3 , , 20000, 10nm, ( ). Si . 300nm , PMMA . Monte Carlo
5
5.4
3
6 5.2 PMMA . , 50 PMMA , , 100keV Si (y = 0 ) , . 4 500nm . , . , . ,
50keV, , ,
E0 EB [6]
20keV
,
, [14] , ,
, 2 3%, .
R3 =
EB
dσ (∆E ) d∆E d∆E
dσ (∆E ) d∆E , d∆E (13) . ,
R3
(0, 1)
. : Ese = ∆E − EB ,
, .
12
Monte Carlo
1223
. , . 5.3 , ,
, ,
.
5 ) , , , ( 50keV), , .
2
1 (2γ − γ 2 ) ln 2 + γ 2 + (1 − γ 2 ) . 8 3.4
, γ= ,v
1/2
v c
2
,m , Bethe + (6) dE ds , , , dE ds dE ds , dE ds =
cont
′
σ
M inel
=
εi
dσM 2 π e4 dε = dε mv 2 E0
, E0 E0 + EB ∆E EB
1 2 3 2
. β , , . . η . , , . , ,
α,
dσ (∆E ) πe4 EB = d∆E ∆E 3 E0 ∆E 1− E0
EB (EB +∆E )
× EB E0 +
×
1− ,
4 E0 − ∆E ln 2.7 + 3 EB e
(3)
, ∆E , EB , E0 ( keV).
[4]
. Moller
, =
M
dσf dε
2 π e4 1 1 + + 2 2 mv E0 ε (1 − ε)2 τ τ +1
2
−
dE ds
=
R
2 π e4 mv 2 E0 nZ ln − 2 mv 2J 2 γ 2 (9)
−
ε = ∆E/E0 , τ = (γ −1 − 1)
2τ + 1 1 , (5) (τ + 1)2 ε(1 − ε) mc2 1− , 1 − εi 2 τ τ +1
=
dis
dE ds
+
core
dE ds
,
valence
(11)
Gryzinsky . dE − ds n ,J
[3]
2 π e4 1.166E0 = nZ ln , E0 J Bethe ,Z . , n, Z J
(7)
3.5 0.1—100keV Monte Carlo , . , 20keV 20keV< Joy . E0 100keV , Moller Bethe Bethe 0.1keV< E0 20keV Gryzinsky . 20keV< 0.1keV< E0 E0 100keV Bethe 10keV, 10keV< E0 , . Mott
500nm (y = 0 )
, . ,
4
6
1224
( HEP & NP )
29
.
, , . , , . , , . ,
6
, , E0 100keV) , , Monte Carlo (50keV , ,
(References)
6 Pandey L N, Rustgi M L. J. Appl. Phys., 1989, 66(12): 6059 7 LIU Ming, CHEN Bao-Qin, ZHANG Jian-Hong et al. Mi-
f (θ)
1
g (θ) . , , Mott ,
[2]
Dirac , . . , Chang , 3.2 , Carlo
Monte .
[8]
: . (1) , Gryzinsky
[10]
f (r) = α η β
1 1 −(r/α)2 η −(r/β )2 e + 2e , π(1 + η ) α2 β
Ese
100keV
[6] E0 /2 Ei
R3 =
Ei
dσM dE dE
(14)
R 2)
√ − ln W1 cos(2πW2 ) X0 = R √ Y = R − ln W1 sin(2πW2 ) , 0 Z =0 0 , W1 , W2 . Mott σel .
[2]
Ei = EB + 0.01. (12)
2
. µm, , . , . ( ( B) C)
[7]
3Hale Waihona Puke , 1 A , : (1) , , , (2) ( . , ( 3.1 Dirac Rutherford
[9] [7]
. , . ,
, , . , , , .
, , ) . X
D
),
Mott
, Mott dσ (θ) = |f (θ)|2 + |g (θ)|2 , dΩ (2)
. Joy
[11]
Bethe dE ds 2 π e4 1.166E0 nZ ln , E0 J′ k ,
− J′ =
=
Joy
(8)
J , 1 + kJ/E
1222
( HEP & NP )
29
θp
θs ,
: sin2 θp = ∆E/E0 , , dσM dE , dE
4
1) ,
[12]
cos2 θs = ∆E/E0 . 20keV< E0 (14)
crofabrication Technology, 2000 (1): 16 (in Chinese) ( , , . , 2000 (1): 16) 8 Chang T H P. J. Vac. Sci. Technol, 1975, 12(6): 1271 9 Murata K, Kawata H, Nagami K et al. J. Vac. Sci. Technol., 1987, B5(1): 124 10 Adesida, Shimizu R, Everhart T E. J. Appl. Phys., 1980, 51(11): 5062 11 Joy D C, Lou S. Scanning, 1989, 11(4): 176 12 REN Li-Ming, CHEN Bao-Qin. Microfabrication Technology, 2001 (3): 60 (in Chinese) ( , . , 2001 (3): 60) 13 REN Li-Ming, CHEN Bao-Qin, TAN Zhen-Yu et al. OptoElectronic Engineering, 2002, 29(3): 24 (in Chinese) ( , , . , 2002, 29(3): 24) 14 Reimer L, Krefting E R. National Bureau of Standards Special Publication, 1976, 460: 45
,
[6]
,
.
, (50keV E0 100keV)
2005 – 01 – 04 *
, 2005 – 07 – 06 (90307003),
(Y2003G03)
(022090105)
1219 — 1224
1220
( HEP & NP )
29
, , . , , Monte Carlo .
, .
Monte Carlo , ,
2 REN Li-Ming, CHEN Bao-Qin. Chinese Journal of Semiconductors, 2001, 22(12): 1519 (in Chinese) ( , . , 2001, 22(12): 1519) 3 TAN Zhen-Yu, He Yan-Cai. Chinese Journal of Computational Physics, 2000, 17(3): 331—336 (in Chinese) ( , . , 2000, 17(3): 331—336) 4 Kenji Murata, David F Kyser, Chiu H. Ting. J. Appl. Phys., 1981, 52(7): 4396 5 Ivin V V, Silakov M V, Babushkin G A et al. Microelecteonic Engineering, 2003, 69: 594