第3讲 双曲线与抛物线初步 (文科班含答案)

当前形势双曲线与抛物线在近五年北京卷（文）考查5～14分高考要求内容要求层次具体要求A B C双曲线的定义及标准方程√由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质双曲线的简单几何性质√由双曲线的几何性质解决问题抛物线的定义及标准方程√由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质抛物线的简单几何性质√由抛物线的几何性质解决问题抛北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2012年（新课标）第4题5分第19题14分第13题5分第12题5分新课标剖析满分晋级第3讲解析几何2级椭圆初步解析几何3级双曲线与抛物线初步解析几何4级直线与圆锥曲线的位置关系双曲线与抛物线初步26 第3讲·尖子-目标·教师版考点1：双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12|F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距，焦距为2c ．双曲线上的点与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ．<教师备案>由上一讲椭圆的定义，自然类比到双曲线的定义．双曲线的定义需要强调的地方：①差的绝对值小于12F F ，否则轨迹为两条射线或不存在． ②绝对值．若去掉绝对值，则轨迹只有双曲线的一支．【例1】 ⑴到两定点1(30)F -，，2(30)F ，的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线⑵动点P 到定点1(10)F ，的距离比它到定点2(30)F ，的距离少1，则点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．一条射线 D ．两条射线⑶已知点()()120202F F -，，，，在满足下列条件的平面内，动点P 的轨迹为双曲线的是（ ）A ．123PF PF -=B ．124PF PF -=C ．125PF PF -=D ．123PF PF -= ⑷已知点A 、B 在一条双曲线的右支上，线段AB 经过该双曲线的右焦点2F ，已知 AB m =，且1F 为左焦点，则1ABF △的周长为（ ）A ．22a m +B ．42a m +C ．a m +D ．24a m +【解析】 ⑴ D ⑵ B⑶ D ⑷ B【点评】 涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解．【备选】 平面内有两个定点A 、B 及动点P ，设命题甲：||||PA PB -是定值；命题乙：点P 的轨迹是以定点A 、B 为焦点的双曲线，那么（ ）．A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件3.1双曲线及其标准方程经典精讲知识点睛28 第3讲·尖子-目标·教师版【解析】 B（选讲）已知两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=，动圆M 与两圆1C ，2C 都相切，则动圆圆心M 的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．双曲线的一支C ．双曲线D ．双曲线或一条直线【解析】 D如右图，动圆M 与两圆1C ，2C 都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都相外切，②动圆与M与两圆都相内切；③动圆M 与圆1C 外切、与圆2C 内切．④动圆M 与圆1C 内切、与圆2C 外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为0x =，是一条直线；在③的情况下，设动圆M 的半径为r，则1||MC r =，2||MC r =12||||MC MC -= 在④的情况下，同理得21||||MC MC -= 由③④得12||||MC MC -=±根据双曲线定义，可知此时点M 的轨迹是双曲线． 由①②③④可知，选择D ．考点2：双曲线的标准方程双曲线的标准方程：①22221(00)x y a b a b -=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； ②22221(00)y x a b a b-=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； <教师备案>以过焦点1F ，2F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图．设()M x y ，是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2(0)c c >，那么1F ，2F 的坐标分别是(0)c -，，(0)c ，，又设点M 与1F 和2F 的距离的差的绝对值等于常数2(0)a a c <<，则点M 在双曲线上的充分必要条件是 12||||2MF MF a -=，即12||||2MF MF a -=±．因为1||MF =2||MF，所以上述条件转化为坐标表示，就是2a ±， ①a =±， 知识点睛2cxa±．②上面①，②两式中的右边同取“＋”号或同取“－”号．由①＋②cx aa⎛⎫=±+⎪⎝⎭．③将③式两边平方，再整理得：2222222c ax y c aa--=-．因为0c a>>，所以220c a->．设222c a b-=，0b>，则上式化为22221(00)x ya ba b-=>>，．④因此，方程④是双曲线的方程，通常把这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线，两焦点在x轴上，焦点坐标分别为(0)c-，，(0)c，，这里222c a b=+．<教师备案>当标准方程中2x项的系数为正时，双曲线的焦点在x轴上；当2y项的系数为正时，双曲线的焦点在y轴上．【例2】⑴已知点()()125050F F-，，，，动点P到1F与2F的距离之差的绝对值为8，则动点P的轨迹方程为．⑵已知双曲线22221x ya b-=的一个焦点为()0，2a b=，则双曲线的方程为．⑶c(52)-，，焦点在x轴上的双曲线标准方程为．⑷与双曲线221164x y-=有相同焦点，且经过点()2的双曲线标准方程为．【解析】⑴221169x y-=；⑵2214xy-=⑶2215xy-=．⑷221128x y-=．【点评】与双曲线221164x y-=有公共焦点的双曲线系方程为221164x yλλ-=-+(416)λ-<<，由此可以比较方便地解决同焦点的双曲线的问题．提高班学案1【拓1】双曲线2255x ky+=的一个焦点是()20，，那么k=．【解析】53k=-．经典精讲30 第3讲·尖子-目标·教师版尖子班学案1【拓2】 双曲线222x y k -=的焦距是6，则k 的值是（ ）A ．24B ．6± C． D ．3 【解析】 B目标班学案1【拓3】 若双曲线2288kx ky -=的一个焦点是()03，，则k =＿＿＿＿＿． 【解析】 1k =-若方程22193x y k k -=--表示双曲线，则k 的取值范围为_________．【解析】3k <或9k > 【思路】9030k k ->⎧⎨->⎩，或9030k k -<⎧⎨-<⎩，，3k ⇒<或9k >． 【错因分析】本题易忽视焦点在y 轴的情况而只由90330k k k ->⎧⇒<⎨->⎩，导致漏解． 【点评】 方程221Ax By +=表示双曲线时，A 、B 异号；当A 、B 异号时，方程221Ax By +=表示双曲线，即方程221Ax By +=表示双曲线的充要条件是0AB <．双曲线的几何性质（用标准方程22221(00)x y a b a b-=>>，来研究）： ⑴范围：x a ≥或x a -≤；如图．⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心． ⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点． 知识点睛3.2双曲线的简单几何性质⑷实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的 实轴．如图中，1212A A 为双曲线的实轴．在y 轴上作点1(0)B b -，，2(0)B b ，，线段12B B 叫做双曲线的虚轴．⑸渐近线：直线by x a =±；⑹离心率：ce a =．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．<教师备案>1．双曲线与椭圆的区别：①双曲线是无限伸展的，椭圆是封闭曲线；②双曲线有两个顶点，椭圆有4个顶点；③双曲线的虚轴与椭圆的短轴；④双曲线离心率1e >，椭圆离心率01e <<． 2．渐近线的理解：过双曲线上的一点()M x y ，（考虑对称性，不妨设M 是第一象限内的点）作平行于y 轴的直线，设它与直线by x a =相交于点P ，则||b PM x a =(b x a =-=当x a >时，x x 的增大而增大，从而||PM 越来越接近于0．这说明，当点M 从双曲线C 的顶点2A 开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点2A 时，点M 和直线b y x a =就越来越接近，而且b x a 的下方，且与直线越来越接近，不会相交． 其它象限内的情况与此类似．3．双曲线的开口大小：渐近线的斜率的绝对值b a ==e 越大，ba也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．4．画双曲线的草图时，一般都是先画出以22a b ，为边长的矩形，它的对角线恰为双曲线的渐近线，且双曲线的顶点在此矩形上，故可由此作出双曲线的较好的草图． 5．求双曲线的渐近线方程有一个比较容易的办法是直接令右边的常数为零，方程所表示的两条直线就是所求的渐近线方程．对于双曲线22221y x a b-=，它的渐近线方程即为22220y x a b-=，即直线ay x b =±．考点3：双曲线的几何性质【铺垫】求出下列双曲线的渐近线方程和离心率：①22154x y -=；②22154y x -=；③221x y -=；④224936x y -=；⑤22491x y -=． 【解析】①y e ==，y x e ==，y x e =±=，23y x e =±=，； ⑤23y x e =±=，． 经典精讲32 第3讲·尖子-目标·教师版<教师备案>由④⑤可知，()22220x y a bλλ-=>有相同的渐近线和离心率．【例3】 ⑴虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程是________________．⑵设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5 BCD ．54⑶若双曲线经过点(6，且渐近线方程是13y x =±，则双曲线的方程是（ ）A ．221369x y -=B ．221819x y -=C ．2219x y -= D ．221183x y -=⑷若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是)0，则双曲线的方程是 ．⑸实轴长为6，渐近线方程为32y x =±的双曲线的方程是 ．【解析】 ⑴ 2216436x y -=或2216436y x-=；⑵ B ；⑶ C⑷ 2219y x -=⑸ 2218194x y -=或22194y x -=； 【点评】 已知双曲线的渐近线方程求双曲线方程时，可利用共渐近线的双曲线方程2222(0)x y a bλλ-=≠再由其他条件求λ．尖子班学案2【拓2】 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60︒，则双曲线的离心率为 ． 【解析】目标班学案2【拓3】 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=︒，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 ．【解析】．<教师备案>抛物线相对来讲，学生应该比较熟悉了，生活中也有很多例子，比如，手电筒、太阳灶和射电望远镜就是利用抛物线的性质做的，但是学生对抛物线的认识仅是二次函数的图象而已，更进一步的了解将在本板块进行学习．举例，243y x x =-+，让学生计算此二次函数上的点（随机取几个点）到点324⎛⎫- ⎪⎝⎭，与直线54x =-的距离之比，由此引入抛物线的定义．1．平面内与一个定点F 和一条定直线l （F 不在l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．<教师备案>抛物线的画法：如图，将一根直尺固定在平板上，把直尺的一边当作定直线l ，拿一块三角板，以它的较短的直角边紧靠直线l ，在另一条直角边的锐角顶点处A 上结一条细绳．取这条绳长与这条直角边等长，绳的另一端扎一个小钉，并把它钉牢在平板上的F 处作为定点，然后把铅笔尖紧靠三角板把绳拉紧，并将三角板紧靠l 移动，笔尖画出的图形就是抛物线．从以上画图的过程可以看出，不论笔尖P 移到什么位置，它到定点F 的距离||PF 总是等于它到定直线l 距离||PQ ．这是因为||||||PF PA PQ PA +=+，即||||PF PQ =．根据抛物线的这个几何特征，得出抛物线的定义．2．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>，焦点在x 轴正半轴上，坐标是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是2p x =-，其中p 是焦点到准线的距离．<教室备案>抛物线的标准方程的推导：建立平面直角坐标系：取过焦点F 垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于点K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图所示），设||KF p =，则焦点F 的坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线l 方程为2p x =-． 知识点睛3.3抛物线的定义及其标准方程34 第3讲·尖子-目标·教师版设抛物线上的点()M x y ，到l 的距离为d ， 抛物线也就是集合{}|S M MF d ==．∵||MF =2p d x =+，2p x +．将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>．3．抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程22(0)y px p =>研究性质）： ⑴范围：抛物线在y 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． ⑵对称性：以x 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．⑶顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．⑷离心率：抛物线上的点到焦点与到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e 表示，1e =．<教师备案>学习过椭圆和双曲线的几何性质后，来看抛物线的性质和它们的区别：抛物线只有1个顶点、1个焦点、1条对称轴和1条准线，离心率为1，且没有中心．4．设抛物线的焦点到准线的距离为(0)p p >，抛物线方程的四种形式如下：考点4：抛物线的定义【例4】⑴动圆M过点(02)F，，且与直线:2l y=-相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）A．28x y=B．28y x=C．2y=D．2x=⑵点P到点(40)F，的距离比它到直线:6l x=-的距离小2，则点P的轨迹方程为（）A．21 6y x=B．2y=C．216y x=D．24y x=【解析】⑴ A⑵ C【备选】⑴动圆与定圆22:(2)1A x y++=外切，且与直线:1l x=相切，则动圆圆心P的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线⑵动点P到直线40x+=的距离减去它到点(20)M，的距离等于2，则点P的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解析】⑴ D⑵ D目标班学案3【拓3】点P到点(30)F，的距离比它到直线:1l x=的距离大4，则点P的轨迹是（）A．一条抛物线B．一条双曲线C．一个椭圆D．以上都不对【解析】D；考点5：抛物线的方程与性质提高班学案2【铺1】⑴抛物线240x y+=的焦点坐标为，准线方程为；⑵抛物线240x y+=的焦点坐标为，准线方程为；⑶抛物线2(0)x ay a=≠的焦点坐标为，准线方程为．【解析】⑴焦点坐标为(01)-，，准线方程为1y=；⑵焦点坐标为116⎛⎫-⎪⎝⎭，，准线方程为116y=；⑶焦点坐标为14a⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是：14xa=-．【例5】根据下列条件，求抛物线的标准方程．经典精讲⑴焦点为(20)-，； ⑵准线为1y =-； ⑶焦点与双曲线221169x y -=的左焦点相同； ⑷焦点到准线的距离是4； ⑸过点(12)，．【解析】 ⑴ 28y x =-．⑵ 24x y =．⑶ 220y x =-．⑷ 28y x =，28y x =-，28x y =，28x y =-．⑸ 24y x =或212x y =． 【点评】 ⑴ 抛物线标准方程中的系数p 叫做焦参数，它的几何意义是焦点到准线的距离，且焦点到顶 点及顶点到准线的距离都为2p ． ⑵ 抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是解题的关键，在方程的类型已确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程．⑶ 焦点在x 轴上的抛物线标准方程可统一写成2(0)y ax a =≠；焦点在y 轴上的抛物线标准方程可统一写成2(0)x ay a =≠．尖子班学案3【拓2】 试分别求满足下列条件抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：⑴ 过点(32)-，；⑵ 焦点在直线240x y --=上．【分析】 从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；而从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论．【解析】 ⑴ 所求的抛物线方程为243y x =-或292x y =， 前者的准线方程是13x =，后者的准线方程是98y =-； ⑵ 所求的抛物线方程为216y x =或28x y =-，对应的准线方程分别是4x =-，2y =．考点5：抛物线定义的应用提高班学案3【铺1】 ⑴ 设抛物线28(0)x ay a =->，F 是焦点，则a 表示（ ）A ．F 到准线的距离B ．F 到准线距离的14C ．F 到x 轴的距离D ．F 到准线距离的18⑵ 抛物线22y px =过点(22)M ，，则点M 到抛物线准线的距离为__________． 【解析】 ⑴ B⑵ 52【例6】 ⑴已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(3)M m -，到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．⑵抛物线的焦点F 在x 轴上，直线3y =-与抛物线相交于点A ，5AF =，求抛物线的标准方程．【解析】 ⑴ 抛物线方程为28x y =-，m =±2y =．【点评】 已知抛物线的某些几何元素的特征，求抛物线的标准方程的方法如下：一是由抛物线的标准方程中只有一个参数p ，用待定系数法求解，但在设置方程形式时，要注意0p >；二是找到焦点坐标、准线方程等条件，直接利用定义求解．⑵ 22y x =±或218y x =±．目标班学案4【拓3】 抛物线上的点(5-，到焦点(0)F x ，的距离为6，则抛物线的标准方程是（ ） A ．22y x =-，218y x =- B ．24y x =-，236y x =-C ．24y x =-D ．218y x =-，236y x =-【解析】 C【例7】 ⑴已知抛物线28y x =，定点()42A ，，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则PF PA +的 最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 ⑵已知点(32)M ，，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PM PF +取最小值时，点P 的坐标为 ．【解析】 ⑴ B⑵ P 点坐标为(22)，． 【点评】 本题充分应用抛物线的定义及几何特征解决问题，曲线的几何特征是曲线本身具有的性质，与曲线在坐标系中的位置无关．【备选】 若点A 的坐标为552⎛⎫ ⎪⎝⎭，，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，则||||PA PF +的最小值为（ ）A B ．1 C D ．2【解析】 C ；【演练1】已知两定点1(40)F -，，2(40)F ，，动点P 满足12||||2PF PF a -=，则当2a =和4时，P 点的轨迹是（ ）A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线【解析】 C【演练2】⑴ 抛物线2y x =-的焦点坐标为________，准线方程为________；⑵ 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上一点(3)P a -，到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．【解析】 ⑴ 焦点坐标为104⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为14y =； ⑵ 28y x =-．【演练3】已知点()23-，与抛物线()220y px p =>的焦点的距离是5，则p = ．【解析】 4p =．【演练4】已知点()34A ，，F 是抛物线28y x =的焦点，M 是抛物线上的动点，当MA MF +最小时，M 点坐标是（ ）A ．()00， B．(3， C ．()24， D．(3-， 【解析】 C【演练5】已知双曲线过(11)M ，，(25)N -，两点，求双曲线的标准方程． 【解析】 双曲线的标准方程为221778x y -=．【演练6】讨论221259x y k k+=--表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 【解析】 由于9k ≠，25k ≠，则k 的取值范围为9k <，925k <<，25k >，分别进行讨论．①当9k <时，250k ->，90k ->，所给方程表示椭圆，此时225a k =-，29b k =-，22216c a b =-=，这些椭圆有共同的焦点(40)-，，(40)，；②当925k <<时，250k ->，90k -<，所给方程表示双曲线，实战演练此时，225a k =-，29b k =-，22216c a b =+=，这些双曲线也有共同的焦点(40)-，，(40)，． ③25k >时，220259x y k k+--≤，所给方程没有对应的曲线． 【点评】 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系．1．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论．【解析】 取一条与所有抛物线对称轴均不平行的直线，则每条抛物线均只能覆盖此直线的有限段，而直线是无限的，故不能覆盖．2．已知抛物线21y x =-上一点()10B -，，若抛物线上存在两点P Q ，，且使得PQ PB ⊥，则Q 点横坐标的取值范围为 ．【解析】 (][)31-∞-+∞，，设点()()P P Q Q P x y Q x y ，，，，由1PB PQ k k ⋅=-，得11Q P P P Q P y y y x x x -⋅=-+-， 即()()22211111Q P P P Q Px x x x x x ----⋅=-+-，化简得211P P Q P x x x x -+=-，其中1P x ≠-． 以下略．大千世界。