简单几何体的面积和体积课件
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空间几何体的表面积和体积课件-ppt
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空间几何体的表面积 与体积
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
什么是面积？
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch
S 1 ah 1 ac sin B 22
Ba C
b Aa
S a ha b hb
absin A
a
S 1 (a b)h
3
作业
已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体 的棱长为a，求球O的表面积和体积.
解答：正方体的一条对
角线是球的一条直径，
所以球的半径为 R
3a
2
C′
o
A
感谢阅读
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
V 1 (S' S'S S)h 3 A
P
A
D
S
C
B
h
D
S C
B
V 1 h[Sh (S S' )
S' ]
3
S S'
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
S′=S
S′=0
例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底 面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm， 高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
RS2
1 3
RS3
V球
4
3
R3
1 3
RS球面
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
空间几何体的表面积 与体积
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
什么是面积？
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch
S 1 ah 1 ac sin B 22
Ba C
b Aa
S a ha b hb
absin A
a
S 1 (a b)h
3
作业
已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体 的棱长为a，求球O的表面积和体积.
解答：正方体的一条对
角线是球的一条直径，
所以球的半径为 R
3a
2
C′
o
A
感谢阅读
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
V 1 (S' S'S S)h 3 A
P
A
D
S
C
B
h
D
S C
B
V 1 h[Sh (S S' )
S' ]
3
S S'
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
S′=S
S′=0
例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底 面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm， 高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
RS2
1 3
RS3
V球
4
3
R3
1 3
RS球面
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
8.3简单几何体的表面积与体积第3课时球的问题课件(人教版)
6.一个正四面体的棱长为 ，若该四面体的表面积为 ，
其内切球的表面积为 ，求
=
=
正方体与球
正方体的外接球与内切球
如图①，正方体的棱长为，则外接球的直径为 ，内切球的直径为
用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图②
半径定大小
球与多面体
多面体的外接球：多面体的顶点均在球面上；球心到各个顶点距离相等
多面体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心到各面距离相等
球与旋转体
旋转体的外接球：旋转体的顶点在球面上；底面为球的截面；球心在旋转轴上
旋转体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心在旋转轴上
2
球与几何体外接、内切问题
′ =
×
×=
在Δ′ 中， = ′ + ′
所以
=
2 3
3
2
+
所以球 = =
2
1
,解得
2
=
′
2
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
确定球心位置
构造直角三角形，确定球的半径
球心定位置
过正方体对角面截组合体，其截面图如图③
①
②
③
3
正方体与球
与正方体各棱都相切的球
如图④，正方体的棱长为，该球的直径为
用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图⑤
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它 们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
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4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
空间几何体的表面积和体积1(共82张1)PPT课件
①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c， 则
S直棱柱侧＝ ch.（类比矩形的面积）
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ 2πr.（l 类比矩形的面积）
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h
cb
a
h
h
a
bc
S 直 棱 ＝ 拄 a （ 侧 bc)hch
r1
l
r2
扇环
S 圆＝ 台 S 扇 侧 ＝ 环 （ r1 r2)l
精选PPT课件
24
S(r'2r2r'lrl)
r' x
r xl
x 2r'
r 'O’
2r
l
rxr'xr'l
rO
S 侧 r ( l x ) r 'x ( r l r x r 'x )
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
有什么关系？
扇形
R扇＝ l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆 精选P锥 P＝ T课S 件侧 扇 ＝ n 3l6 20 11 2 8 l扇 lrl
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S r2 r l r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、棱台的侧面积公
别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台
的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
精选PPT课件
28
S直棱柱侧＝ ch.（类比矩形的面积）
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ 2πr.（l 类比矩形的面积）
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h
cb
a
h
h
a
bc
S 直 棱 ＝ 拄 a （ 侧 bc)hch
r1
l
r2
扇环
S 圆＝ 台 S 扇 侧 ＝ 环 （ r1 r2)l
精选PPT课件
24
S(r'2r2r'lrl)
r' x
r xl
x 2r'
r 'O’
2r
l
rxr'xr'l
rO
S 侧 r ( l x ) r 'x ( r l r x r 'x )
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
有什么关系？
扇形
R扇＝ l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆 精选P锥 P＝ T课S 件侧 扇 ＝ n 3l6 20 11 2 8 l扇 lrl
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S r2 r l r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、棱台的侧面积公
别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台
的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
精选PPT课件
28
第9讲 立体几何
在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面各边 都相等， 是 PC 上的一动点， M 当点 M 满足BM⊥PC 时， 平面 MBD⊥平面 PCD. 立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线 面关系的转化，即： 线∥线↔线∥面↔面∥面
判定 线⊥线↔线⊥面↔面⊥面 性质
线∥线↔线⊥面↔面∥面 如(ⅲ)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，给出下列 四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒ α⊥β ； ④l⊥m ⇒ α∥β. 其 中 正 确 的 命 题 是
8.直线与平面平行的判定和性质 (1)判定：①判定定理：如果平面外的一条直线和这个 平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行；②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一 个平面内的任何直线与另一个平面平行. (2)性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这 条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平 行.在遇到线面平行时， 常需作出过已知直线且与已知 平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.如 α、β 表示平面，a、b 表示直线，则 a∥α 的一个充分 不必要条件是( D ) A.α⊥β，a⊥β C.a∥b 且 b∥α B.α∩β＝b，且 a∥b D.α∥β 且 a⊂β
(4)体积公式 V 柱＝S·h (S 为底面面积，h 为高)， 1 V 锥＝ S·h(S 为底面面积，h 为高). 3 (5)球的表面积和体积 4 3 2 S 球＝4πR ，V 球＝ πR . 3
2.空间直线的位置关系：①相交直线——有且只有一个 公共点.②平行直线——在同一平面内，没有公共 点.③异面直线——不在同一平面内，也没有公共点. 如(1)空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是四边 上的中点，则直线 EG 和 FH 的位置关系是 相交 . (2)给出下列四个命题： ①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线； ②两异面直线 a，b，如果 a 平行于平面 α，那么 b 不 平行平面 α； ③两异面直线 a，b，如果 a⊥平面 α，那么 b 不垂直 于平面 α； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平 行直线.其中正确的命题是 ①③ .
《立体几何初步——简单几何体的表面积与体积》数学教学PPT课件(4篇)
栏目 导引
第八章 立体几何初步
一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的 球，在圆锥里又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积．
栏目 导引
第八章 立体几何初步
解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内 接于⊙O，而⊙O1 内切于△SAB. 设⊙O 的半径为 R， 则有43πR3＝972π， 所以 R3＝729，R＝9. 所以 SE＝2R＝18. 因为 SD＝16，所以 ED＝2. 连接 AE，又因为 SE 是直径，
栏目 导引
第八章 立体几何初步
角度二 球的内接长方体问题 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶
点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________． 【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝ 12＋22＋32＝ 14， 所以球的表面积 S＝4πR2＝14π. 【答案】 14π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆， 将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r， 球心到截面的距离 d 构成的直角三角形，即 R2＝d2＋r2.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
第八章 立体几何初步
一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的 球，在圆锥里又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积．
栏目 导引
第八章 立体几何初步
解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内 接于⊙O，而⊙O1 内切于△SAB. 设⊙O 的半径为 R， 则有43πR3＝972π， 所以 R3＝729，R＝9. 所以 SE＝2R＝18. 因为 SD＝16，所以 ED＝2. 连接 AE，又因为 SE 是直径，
栏目 导引
第八章 立体几何初步
角度二 球的内接长方体问题 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶
点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________． 【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝ 12＋22＋32＝ 14， 所以球的表面积 S＝4πR2＝14π. 【答案】 14π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆， 将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r， 球心到截面的距离 d 构成的直角三角形，即 R2＝d2＋r2.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
空间几何体的表面积与体积PPT教学课件
单的几何体，研究空间几何体的表面积
和体积，应以柱、锥、台、球的表面积
和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、
球2的020/12表/12 面积和体积呢？
2
2020/12/12
3
知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积
思考1:面积是相对于平面图形而言的， 体积是相对于空间几何体而言的.你知道 面积和体积的含义吗？
2020/12/12
21
2020/12/12
22
知识探究（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？
思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
V柱 R3
V锥
1
3
R3
2020/12/12
23
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆柱的底面半径为r，母线长 为l，那么圆柱的表面积公式是什么？
S2r(rl)
2020/12/12
6
思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆锥的底面半径为r，母线长 为l，那么圆锥的表面积公式是什么？
Sr(rl)
2020/12/12
7
思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆台的上、下底面半径分别 为r′、r，母线长为l，那么圆台的表面 积公式是什么？
17
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm， 内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆 螺帽大约有多少个？
V≈2956（mm3） =2.956（cm3）
2023高考数学基础知识综合复习第18讲简单几何体的表面积与体积 课件(共24张PPT)
分叫作棱台
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.
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下底面周长．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽
然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用 “割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或 化离散为集中，给解题提供便利． (1)几何体的“分割”
几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易
答案：
4 3 cm 3
工具
第七章
立体几何
栏目导引
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面 展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2 将圆心角为 π， 面积为 3π 的扇形作为圆锥的侧面， 则圆锥的表面积 3 等于________．
解析： 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 1 12 2 rl＝ ·π·r ＝3π， 2 23 ∴r＝3，l＝2π. ∴圆锥的母线长为 3，底面半径为 1， 故圆锥的表面积为 S＝π·1·3＋π·r2＝4π.
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．直角三角形两直角边AB＝3，AC＝4，以AB为轴旋转所得的几 何体的体积为( A．12π C．9π ) B．16π D．24π
答案： B
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( A. 3 C．4 B．3 D．5
)
4 解析： 设球半径为 R，则 πR3＝4πR2，∴R＝3. 3
求体积的几何体，进而求之．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何
体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体
积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研 究体积． (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础， 充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．
又球的表面积为 4πR2， 3 2 πR 4 3 则 ＝ . 4πR2 16
答案： B
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第七章
立体几何
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4．已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底 面ABCD，且PA＝8，则该四棱锥的体积是________．
解析： ∵S 底面 ABCD＝36， 1 1 ∴VP－ABCD＝ S 底面 ABCD· PA＝ ×36×8＝96. 3 3
栏目导引
(2009·全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1的各项点都在同一球面
上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于 ________．
解析： 设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，
则O在底面ABC上的射影是点M， 在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°， 1 ∠ABC＝ (180° －120° )＝30° ， 2
工具
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第七章
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从近两年的高考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高
考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；
客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由 几何体的表面积、体积得出某些量，主观题考查较全面，考查线、面位 置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象 能力．
第5课时 简单几何体的面积和体积
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第七章
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柱、锥、台和球的侧面积和体积
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【思考探究】 对于不规则的几何体应如何求其体积？
提示：
对于求一些不规则几何体的体积，常用割补的方法，转化
为已知体积公式的几何体进行解决．
起，使A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．
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解析： 如图，把正四面体放在正方体中． 显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球．
∵正四面体棱长为 1， 2 ∴正方体棱长为 ， 2 2 6 ∴外接球直径 2R＝ 3· ，∴R＝ . 2 4 故所求外接球的体积为 4 3 4 63 6 V 球＝ πR ＝ π· ＝ π. 3 3 4 8
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在 Rt△BEB1 中，BE＝EB1＝1，∴BB1＝ 2，
∴几何体的表面积为 S＝S 正方形 ABCD＋S 矩形 A1B1C1D1＋2S 梯形 AA1B1B＋S 矩形 BB1C1C＋ 1 S 正方形 AA1D1D＝1＋2×1＋2× ×(1＋2)×1＋1× 2＋1＝7＋ 2(m2)． 2 3 3 ∴几何体的体积 V＝ ×1×2×1＝ (m3)， 4 2 3 ∴该几何体的表面积为(7＋ 2)m2，体积为 m3. 2
答案： B 【阅后报告】 本题考查了三视图及几何体的体积计算，解题难点
是由三视图读出该几何体的形状．
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1．(2010·全国新课标卷)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a， 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( A．3πa2 B．6πa2 )
C．12πa2
D．24πa2
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ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝ 6， 所以 HA＝HB＝ 3， 因为∠APB＝∠ADB＝60° ， 所以 PA＝PB＝ 6，HD＝HC＝1， 可得 PH＝ 3，AC＝BD＝ 3＋1. 1 等腰梯形 ABCD 的面积为 S＝ AC×BD＝2＋ 3， 2 3＋2 3 1 所以四棱锥的体积为 V＝ ×(2＋ 3)× 3＝ . 3 3
2
答案： C
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1．高考中对该部分的考查也常以三视图为条件，求组合体的表面 积和体积，求表面积时应注意重合部分的处理． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要
认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，
并作出合适的截面图．
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1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积就是根据条件求它们的侧面积和 底面积的和； 2．求棱柱、棱锥、棱台的体积时，根据体积公式，需要具备已知 底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出．
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一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：
答案： 96
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5．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的 底面直径为________．
解析： 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，
πrl＋πr2＝3π r＝1 则有 ，∴ ， 2πr＝lπ l＝2
∴直径 2r＝2.
答案： 2
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【变式训练】 1.已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出
的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．
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解析：
由三视图知该几何体是三棱锥，底
面△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，AD＝2，BC＝ 2.面 SBC⊥面 ABC，SD⊥面 ABC，SD＝2，所以 1 1 4 该三棱锥的体积等于 × ×2×2×2＝ (cm3)． 3 2 3
解析： 由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，则长方体的体 对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a.又长方体外接球的直径 2R 等于长方体 的体对角线，∴2R＝ 6a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.
答案： B
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2．(2010·陕西卷)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体
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练规范、练技能、练速度
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1．几何体的展开图
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积公式的讨论，都是利用展开图 进行的． (1)圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是底面圆周长，宽是圆柱 的母线长． (2)圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长 是圆锥的底面周长．
(3)圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上
AC AM＝ ＝2. 2sin 30°
AA12 因此，R ＝2 ＋ 2 ＝5，
2 2
此球的表面积等于 4πR2＝20π.
答案： 20π
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【变式训练】
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，
∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折
(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积．
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解析： (1)直观图如图所示．
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一部分，且该几何体的体 3 积是以 A1A，A1D1，A1B1 为棱的长方体的体积的 ，在直角梯形 AA1B1B 4 中，作 BE⊥A1B1， 则四边形 AA1EB 是正方形， ∴AA1＝BE＝1，
答案： 4π
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2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽
然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用 “割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或 化离散为集中，给解题提供便利． (1)几何体的“分割”
几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易
答案：
4 3 cm 3
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圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面 展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
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2 将圆心角为 π， 面积为 3π 的扇形作为圆锥的侧面， 则圆锥的表面积 3 等于________．
解析： 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 1 12 2 rl＝ ·π·r ＝3π， 2 23 ∴r＝3，l＝2π. ∴圆锥的母线长为 3，底面半径为 1， 故圆锥的表面积为 S＝π·1·3＋π·r2＝4π.
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1．直角三角形两直角边AB＝3，AC＝4，以AB为轴旋转所得的几 何体的体积为( A．12π C．9π ) B．16π D．24π
答案： B
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2．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( A. 3 C．4 B．3 D．5
)
4 解析： 设球半径为 R，则 πR3＝4πR2，∴R＝3. 3
求体积的几何体，进而求之．
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(2)几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何
体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体
积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研 究体积． (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础， 充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．
又球的表面积为 4πR2， 3 2 πR 4 3 则 ＝ . 4πR2 16
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4．已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底 面ABCD，且PA＝8，则该四棱锥的体积是________．
解析： ∵S 底面 ABCD＝36， 1 1 ∴VP－ABCD＝ S 底面 ABCD· PA＝ ×36×8＝96. 3 3
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(2009·全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1的各项点都在同一球面
上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于 ________．
解析： 设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，
则O在底面ABC上的射影是点M， 在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°， 1 ∠ABC＝ (180° －120° )＝30° ， 2
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从近两年的高考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高
考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；
客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由 几何体的表面积、体积得出某些量，主观题考查较全面，考查线、面位 置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象 能力．
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【思考探究】 对于不规则的几何体应如何求其体积？
提示：
对于求一些不规则几何体的体积，常用割补的方法，转化
为已知体积公式的几何体进行解决．
起，使A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．
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解析： 如图，把正四面体放在正方体中． 显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球．
∵正四面体棱长为 1， 2 ∴正方体棱长为 ， 2 2 6 ∴外接球直径 2R＝ 3· ，∴R＝ . 2 4 故所求外接球的体积为 4 3 4 63 6 V 球＝ πR ＝ π· ＝ π. 3 3 4 8
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在 Rt△BEB1 中，BE＝EB1＝1，∴BB1＝ 2，
∴几何体的表面积为 S＝S 正方形 ABCD＋S 矩形 A1B1C1D1＋2S 梯形 AA1B1B＋S 矩形 BB1C1C＋ 1 S 正方形 AA1D1D＝1＋2×1＋2× ×(1＋2)×1＋1× 2＋1＝7＋ 2(m2)． 2 3 3 ∴几何体的体积 V＝ ×1×2×1＝ (m3)， 4 2 3 ∴该几何体的表面积为(7＋ 2)m2，体积为 m3. 2
答案： B 【阅后报告】 本题考查了三视图及几何体的体积计算，解题难点
是由三视图读出该几何体的形状．
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1．(2010·全国新课标卷)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a， 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( A．3πa2 B．6πa2 )
C．12πa2
D．24πa2
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ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝ 6， 所以 HA＝HB＝ 3， 因为∠APB＝∠ADB＝60° ， 所以 PA＝PB＝ 6，HD＝HC＝1， 可得 PH＝ 3，AC＝BD＝ 3＋1. 1 等腰梯形 ABCD 的面积为 S＝ AC×BD＝2＋ 3， 2 3＋2 3 1 所以四棱锥的体积为 V＝ ×(2＋ 3)× 3＝ . 3 3
2
答案： C
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1．高考中对该部分的考查也常以三视图为条件，求组合体的表面 积和体积，求表面积时应注意重合部分的处理． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要
认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，
并作出合适的截面图．
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1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积就是根据条件求它们的侧面积和 底面积的和； 2．求棱柱、棱锥、棱台的体积时，根据体积公式，需要具备已知 底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出．
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答案： 96
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5．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的 底面直径为________．
解析： 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，
πrl＋πr2＝3π r＝1 则有 ，∴ ， 2πr＝lπ l＝2
∴直径 2r＝2.
答案： 2
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的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．
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解析：
由三视图知该几何体是三棱锥，底
面△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，AD＝2，BC＝ 2.面 SBC⊥面 ABC，SD⊥面 ABC，SD＝2，所以 1 1 4 该三棱锥的体积等于 × ×2×2×2＝ (cm3)． 3 2 3
解析： 由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，则长方体的体 对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a.又长方体外接球的直径 2R 等于长方体 的体对角线，∴2R＝ 6a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.
答案： B
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2．(2010·陕西卷)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体
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1．几何体的展开图
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积公式的讨论，都是利用展开图 进行的． (1)圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是底面圆周长，宽是圆柱 的母线长． (2)圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长 是圆锥的底面周长．
(3)圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上
AC AM＝ ＝2. 2sin 30°
AA12 因此，R ＝2 ＋ 2 ＝5，
2 2
此球的表面积等于 4πR2＝20π.
答案： 20π
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3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，
∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折
(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积．
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解析： (1)直观图如图所示．
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一部分，且该几何体的体 3 积是以 A1A，A1D1，A1B1 为棱的长方体的体积的 ，在直角梯形 AA1B1B 4 中，作 BE⊥A1B1， 则四边形 AA1EB 是正方形， ∴AA1＝BE＝1，
答案： 4π
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