专题16 抛物线—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(原卷版)
专题22 算法—三年高考(2015-2017数学(文)真题分项版解析(解析版)(批量下载)
精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师 大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .1．【2021山东 ,文6】执行右侧的程序框图,当输入的x 值为4时,输出的y 的值为2,那么空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤ 【答案】B【考点】程序框图【名师点睛】程序框图试题主要有求程序框图执行的结果和完善程序框图两种形式,求程序框图执行的结果,要先找出控制循环的变量的初值 (计数变量与累加变量的初始值 )、步长、终值(或控制循环的条件),然后看循环体,循环体是反复执行的步骤,循环次数比拟少时,可依次列出,循环次数较多时,可先循环几次,找出规律,最|后要特别注意循环结束的条件,不要出现多一次或少一次循环的错误；完善程序框图的试题多为判断框内内容的填写,这类问题常涉及到,,,≥>≤<的选择,解答时要根据循环结构的类型,正确地进行选择,注意直到型循环是 "先循环,后判断,条件满足时终止循环〞；而当型循环那么是 "先判断,后循环,条件满足时执行循环〞；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的,它们恰好相反.另外还要注意判断框内的条件不是唯一的,如a >b ,也可写为a ≤b ;5i >,也可写成6i ≥. 2.【2021课标1 ,文10】如图是为了求出满足321000n n ->的最|小偶数n ,,可以分别填入A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D【考点】程序框图 ,当型循环结构【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是（高|考）的重点和热点．解决这类问题：首|先 ,要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二 ,要识别运行算法框图 ,理解框图解决的实际问题；第三 ,按照题目的要求完成解答．对框图的考查常与函数和数列等相结合 ,进一步强化框图问题的实际背景．3.【2021课标3 ,文8】执行下面的程序框图 ,为使输出S 的值小于91 ,那么输入的正整数N 的最|小值为 ( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】假设2N =,第|一次进入循环 ,12≤成立 ,100100,1010S M ==-=- ,2i =2≤成立 ,第二次进入循环 ,此时101001090,110S M -=-==-= ,3i =2≤不成立 ,所以输出9091S =<成立 ,所以输入的正整数N 的最|小值是2 ,应选D. 【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查 , ,包括选择结构、循环结构、伪代码 ,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件 ,更要通过循环规律 ,明确流程图研究的数学问题 ,是求和还是求项.4. 【2021课标II ,文10】执行右面的程序框图 ,如果输入的1a =- ,那么输出的S =【答案】B第三次：132,1,4S a k =-=-== ； 第四次：242,1,5S a k =-+==-= ； 第五次：253,1,6S a k =-=-== ； 第六次：363,1,7S a k =-+==-= ； 结束循环 ,输出3S = .应选B. 【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查 , ,包括选择结构、循环结构、伪代码 ,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件 ,更要通过循环规律 ,明确流程图研究的数学问题 ,是求和还是求项.5.【2021北京 ,文3】执行如下图的程序框图 ,输出的s 值为(A )2 (B )32(C )53 (D )85【答案】C【考点】循环结构【名师点睛】解决此类型时要注意：第|一 ,要明确是当型循环结构 ,还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二 ,要明确图中的累计变量 ,明确每一次执行循环体前和执行循环体后 ,变量的值发生的变化；第三 ,要明确循环体终止的条件是什么 ,会判断什么时候终止循环体 ,争取写出每一个循环 ,这样防止出错.6.【2021天津 ,文4】阅读右面的程序框图 ,运行相应的程序 ,假设输入N 的值为19 ,那么输出N 的值为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【答案】C第二次循环：63NN == ,不满足3N ≤；第三次循环：23NN == ,满足3N ≤； 此时跳出循环体 ,输出3N =. 此题选择C 选项.【考点】循环结构程序框图【名师点睛】解决此类型时要注意：第|一 ,要明确是当型循环结构 ,还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二 ,要明确图中的累计变量 ,明确每一次执行循环体前和执行循环体后 ,变量的值发生的变化；第三 ,要明确循环体终止的条件是什么 ,会判断什么时候终止循环体 ,争取写出每一个循环 ,这样防止出错. 7.【2021江苏 ,4】右图是一个算法流程图 ,假设输入x 的值为116,那么输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查 , ,包括选择结构、循环结构、伪代码 ,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件 ,更要通过循环规律 ,明确流程图研究的数学问题 ,是求和还是求项.结束 (第4题 )开始YN输入输出【2021 ,20215 ,2021（高|考）题】1. 【 2021湖南文7】执行如图1所示的程序框图 ,如果输入的[]2,2t ∈- ,那么输出的S 属于 ( )A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,那么(][][]2,63,13,6S ∈---=-,应选D.【考点定位】程序框图 二次函数【名师点睛】识别运行算法流程图和完善流程图是（高|考）的热点．解答这一类问题 ,第|一 ,要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二 ,要识别运行流程图 ,理解框图所解决的实际问题；第三 ,按照题目的要求完成解答．对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合 ,进一步强化框图问题的实际背景．2．【2021（高|考）湖南 ,文5】执行如图2所示的程序框图 ,如果输入n =3 ,中输入的S =( )A、67B、37C、89D、49【答案】B【考点定位】程序框图【名师点睛】识别运行算法流程图和完善流程图是（高|考）的热点．解答这一类问题 ,第|一 ,要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二 ,要识别运行流程图 ,理解框图所解决的实际问题；第三 ,按照题目的要求完成解答．对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合 ,进一步强化框图问题的实际背景．3. 【2021（高|考）新课标2文数】中国古代有计算多项式值得秦九韶算法 ,右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图 ,假设输入的a为2 ,2 ,5 ,那么输出的s = ( )(A )7 (B )12 (C )17 (D )34 【答案】C考点：程序框图 ,直到型循环结构.【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是（高|考）的重点和热点．解决这类问题：首|先 ,要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二 ,要识别运行算法框图 ,理解框图解决的实际问题；第三 ,按照题目的要求完成解答．对框图的考查常与函数和数列等结合 ,进一步强化框图问题的实际背景．4.【2021（高|考）新课标1文数】执行右面的程序框图,如果输入的n =1,那么输出的值满足 ( )(A )(B )(C )(D )【答案】C考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图根本是（高|考）每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.5. 【2021（高|考）陕西版文第4题】根据右边框图 ,对大于2的整数N ,得出数列的通项公式是 ( ).2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】C考点：程序框图的识别.【名师点晴】此题主要考查的是程序框图 ,属于容易题．解题时一定要注意这是一个循环结构 ,而且最|后输出的是数列的前N 项要根据这些项归纳出数列的通项公式．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算 ,直到到达输出条件即可．6. 【2021（高|考）陕西 ,文7】根据右边框图 ,当输入x 为6时 ,输出的y = ( )A ．1B ．2C ．5D ．10【答案】D【解析】该程序框图运行如下：6330x =-=> ,330x =-= ,0330x =-=-< ,2(3)110y =-+= ,故答案选D .【考点定位】程序框图的识别.【名师点睛】1.此题考查程序框图的识别 ,解题的关键是判断什么时候退出循环.2.考查逻辑思维能力、计算能力.此题属于根底题 ,常考题型.7. 【2021全国2 ,文8】执行右面的程序框图 ,如果输入的x ,t 均为2 ,那么输出的S = ( )(A )4 (B )5 (C )6 (D )7【答案】D【考点定位】程序框图.【名师点睛】此题主要考查程序框图中的循环结构；此题属于根底题 ,解决此题的关健在于读懂程序框图,然后一步一步的写出每循环运行一次的结果,直到条件成立时为止,就能正确快速地得到结果 ,注意循环条件的判断.8. [2021（高|考）新课标Ⅲ文数]执行下列图的程序框图 ,如果输入的 ,那么输出的 ( )(A )3 (B )4 (C )5 (D )6【答案】B【解析】试题分析：第|一次循环,得；第二次循环,得,；第三次循环,得；第四次循环 ,得 ,退出循环 ,输出 ,应选B．考点：程序框图．【注意提示】解决此类型时要注意：第|一,要明确是当型循环结构,还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二 ,要明确图中的累计变量 ,明确每一次执行循环体前和执行循环体后,变量的值发生的变化；第三,要明确循环体终止的条件是什么,会判断什么时候终止循环体．,那么输出的S 9. 【2021四川 ,文6】执行如图1所示的程序框图 ,如果输入的,x y R的最|大值为 ( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【考点定位】程序框图与线性规划.【名师点睛】在算法的考点上,四川省以程序框图的考查为主,而考查程序框图,必定是以循环结构形式出现 ,它可以包括程序框图的所有结构类型.此题只需对循环后的k值进行判定 ,最|后输出相应的三角函数值即可 ,属于简单题.10. 【2021（高|考）四川 ,文6】执行如下图的程序框图 ,输出S的值为( )(A) (B(C)－12(D)12【答案】D【考点定位】此题考查循环结构形式的程序框图,考查特殊角的三角函数值,考查根本运算能力.【名师点睛】在算法的考点上,四川省以程序框图的考查为主,而考查程序框图,必定是以循环结构形式出现 ,它可以包括程序框图的所有结构类型.此题只需对循环后的k值进行判定 ,最|后输出相应的三角函数值即可 ,属于简单题.11. 【2021（高|考）北京文数】执行如下图的程序框图 ,输出的s值为 ( )A.8B.9C.27D.36【答案】B【解析】试题分析：分析程序框图可知 ,程序的功能等价于输出 ,应选B.考点：程序框图【名师点睛】解决循环结构框图问题 ,要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值(或控制循环的条件) ,然后看循环体 ,循环次数比拟少时 ,可依次列出 ,循环次数较多时 ,可先循环几次 ,找出规律 ,要特别注意最|后输出的是什么 ,不要出现多一次或少一次循环的错误.12.【2021全国1 ,文9】执行右面的程序框图 ,假设输入的,,a b k分别为1,2,3 ,那么输出的M ( )A.203B.72C.165D.158【答案】D考点：算法的循环结构【名师点睛】考生在解决程序框图以及循环结构时 ,首|先要明确循环的条件 ,其次在计算的过程中要细心 ,此题还考查了考生的计算能力.13. 【2021（高|考）新课标1 ,文9】执行右面的程序框图 ,如果输入的0.01t = ,那么输出的n = ( )(A ) 5 (B )6 (C )10 (D )12 【答案】C【解析】执行第1次 ,t =0.01,S =1,n =0,m =12 =0.5,S =S -m =0.5,2mm = =0.25,n =1,S =0.5＞t =0.01,是 ,循环 , 执行第2次 ,S =S -m =0.25,2mm ==0.125,n =2,S =0.25＞t =0.01,是 ,循环 , 执行第3次 ,S =S -m =0.125,2mm ==0.0625,n =3,S =0.125＞t =0.01,是 ,循环 , 执行第4次 ,S =S -m =0.0625,2mm ==0.03125,n =4,S =0.0625＞t =0.01,是 ,循环 ,执行第5次 ,S =S -m =0.03125,2mm = =0.015625,n =5,S =0.03125＞t =0.01,是 ,循环 ,执行第6次 ,S =S -m =0.015625,2mm = =0.0078125,n =6,S =0.015625＞t =0.01,是 ,循环 ,执行第7次 ,S =S -m =0.0078125,2mm = =0.00390625,n =7,S =0.0078125＞t =0.01,否 ,输出n =7 ,应选C. 考点：程序框图【名师点睛】此题是程序框图计算输出结果问题 ,对此类问题 ,按程序框图逐次计算 ,直到输出时 ,即可计算出输出结果 ,是常规题 ,程序框图还可考查输入、输出 ,不全框图或考查程序框图的意义 ,处理方法与此题相同.14. 【2021（高|考）四川文科】秦九韶是我国南宋时期的数学家 ,普州(现四川省安岳县)人 ,他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法 ,至|今仍是比拟先进的算法.如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例 ,假设输入n ,x 的值分别为3 ,2 ,那么输出v 的值为( )(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9 【答案】C考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.【名师点睛】程序框图是（高|考）的热点之一 ,几乎是每年必考内容 ,多半是考循环结构 ,根本方法是将每次循环的结果一一列举出来 ,与判断条件比拟即可．15. 【2021（高|考）重庆文第5题】执行如题 (5 )图所示的程序框图 ,那么输出s的值为( ).10A.17B.19C.36D【答案】C考点：循环结构.【名师点睛】此题主要考查程序框图中的循环结构 ,属于根底题 ,常常一步一步的写出运行的结果 ,直到符合条件为止.16. 【2021（高|考）重庆,文8】执行如图(8 )所示的程序框图,那么输出s的值为( )(A) 34(B)56(C)1112(D)2524【答案】D【解析】初始条件：0,0s k == ,第1次判断0<8 ,是 ,112,0;22k s ==+= 第2次判断2<8 ,是 ,1134,;244k s ==+= 第3次判断4<8 ,是 ,31116,;4612k s ==+= 第4次判断6<8 ,是 ,111258,;12824k s ==+= 第5次判断8<8 ,否 ,输出2524s =; 应选D.【考点定位】程序框图.【名师点睛】此题考查程序框图 ,这是一个当循环结构 ,先判断条件是否成立再确定是否循环 ,一步一步进行求解.此题属于根底题 ,注意条件判断的准确性.17. 【2021（高|考）北京文第4题】执行如下图的程序框图 ,输出的S 值为 ( ) A.1 B.3 C.7 D.15输出【答案】C考点：本小题主要考查程序框图的根底知识 ,难度不大 ,程序框图是（高|考）新增内容 ,是（高|考）的重点知识 ,熟练本局部的根底知识是解答的关键.18.【2021（高|考）北京 ,文5】执行如下图的程序框图 ,输出的k 的值为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】初值为3,0a k == ,进入循环体后 ,3,12a k ==；3,24a k ==；3,38a k ==；3,416a k ==；此时14a <,退出循环 ,故4k = ,应选B. 【考点定位】程序框图.【名师点晴】此题主要考查的是程序框图 ,属于容易题．解题时一定要抓住重要条件 "14a <〞 ,否那么很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算 ,直到到达输出条件即可．19. 【2021 ,安徽文4】如下图,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．34 B．55 C．78 D．89【答案】B．考点：1．程序框图的应用．【名师点睛】解决算法问题的关键是读懂程序框图 ,明晰顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义 ,本题巧妙而自然地将算法、不等式、函数赋值交汇在一起 ,用循环结构来进行考查.这类问题可能出现的错误：①读不懂程序框图；②循环出错；③计算出错.20.【2021（高|考）安徽 ,文7】执行如下图的程序框图 (算法流程图 ) ,输出的n为 ( )(A )3 (B )4 (C )5 (D )6【答案】B【考点定位】此题主要考查程序框图以及循环结构的判断.【名师点睛】考生在解决程序框图以及循环结构时 ,首|先要明确循环的条件 ,其次在计算的过程中要细心 ,此题还考查了考生的计算能力.21. 【2021福建,文4】阅读右图所示的程序框图 ,运行相应的程序 ,输出的n 的值为 ( ).1.2.3.4A B C D【答案】B 【解析】试题分析：执行程序 ,1n = ,满足条件22nn > ,2;n = 不满足条件22nn > ,输出2,n =选B . 考点：算法与程序框图.【名师点睛】程序框图根本是（高|考）每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,其中把程序框图与数列结合在一起考查是（高|考）考查频率最|高的一类题型,对于循环结构的程序框图,运算次数确实定是解决这一类问题的关键.22.【2021（高|考）福建 ,文4】阅读如下图的程序框图 ,运行相应的程序．假设输入x 的值为1 ,那么输出y的值为 ( )A．2 B．7 C．8 D．128【答案】C【考点定位】程序框图．【名师点睛】此题考查程序框图,关键在于读懂框图有什么功能,要注意依序进行,认真判断条件来决定程序的执行方向．理解每个变量和框图的关系．运算量不大 ,重在理解 ,重在细心 ,属于根底题．23.【2021（高|考）天津 ,文3】阅读下边的程序框图,运行相应的程序,那么输出i的值为( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5【答案】C【考点定位】此题主要考查程序框图及学生分析问题解决问题的能力.【名师点睛】天津卷程序框图常以客观题形式出现,属于根底题,解决此类问题的关键是确定循环次数,当循环次数不多时,可以逐次列出计算结果,天津卷2021年第3题和此题是同一类问题,希望考生留意这种命题方式.24. (2021课标全国Ⅰ ,文9) 执行下面的程序框图 ,假设输入的a ,b ,k 分别为1,2,3 ,那么输出的M ＝( )．A ．203 B ．72 C ．165 D ．158答案：D解析：第|一次执行循环体时 ,n ＝1 ,13122M =+= ,a ＝2 ,32b =；第二次执行循环体时 ,n ＝2 ,28233M =+= ,32a = ,83b =；第三次执行循环体时 ,n ＝3 ,3315288M =+= ,83a = ,158b = ,这时n ＝4 ,跳出循环．输出M 的值158. 名师点睛：此题考查程序框图 ,当型循环结构 ,考查转化能力 ,识图能力 ,容易题. 注意循环类型以及判断框中的条件.25. 【2021新课标2文8】下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著?九章算术?中的 "更相减损术〞,执行该程序框图,假设输入的,a b 分别为14,18,那么输出的a 为 ( )A.0B.2C.4D.14【答案】B【考点定位】此题主要考查程序框图及更相减损术.【名师点睛】程序框图根本是（高|考）每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,更相减损术是人教版课本算法案例中的一个内容,此题以更相减损术为载体命制试题,故此题可看作课本例题的改编,这说明课本是（高|考）试题的 "生长点〞,故在此提醒考生考试复习时不要忘 "本〞. 二、填空题1. 【2021（高|考）天津文数】阅读右边的程序框图 ,运行相应的程序 ,那么输出S 的值为_______.【答案】4 【解析】试题分析：第|一次循环：8,n 2S ==；第二次循环：2,n 3S ==；第三次循环：4,n 4S ==；结束循环 ,输出 4.S =考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查 , ,包括选择结构、循环结构、伪代码 ,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件 ,更要通过循环规律 ,明确流程图研究的数学问题 ,是求和还是求项.2.【2021山东.文11】 执行右面的程序框图 ,假设输入的x 的值为1 ,那么输出的n 的值为 .【答案】3符合条件13x ≤≤ ,4,3x n ==；不符合条件13x ≤≤ ,输出3n =.答案为3. 考点：算法与程序框图.【名师点睛】此题考查算法与程序框图 ,在理解条件分支结构及算法功能的根底上 ,逐次运算 ,是解答此类问题的常见解法.此题属于根底题 ,由于给定数据较小 ,运算次数少 ,降低了题目的难度.3.【2021（高|考）山东 ,文11】执行右边的程序框图 ,假设输入的x 的值为1 ,那么输出的y 的值是 .【答案】13【考点定位】算法与程序框图.【名师点睛】此题考查算法与程序框图 ,在理解条件分支结构的根底上 ,准确地加以计算. 此题属于根底题 ,考查算法与程序框图的根本概念和根本结构 ,此题给定数据较小 ,循环次数少 ,大大降低了题目的难度.4. 【2021年.浙江卷.文13】假设某程序框图如下图 ,当输入50时 ,那么该程序运行后输出的结果是________.【答案】6 【解析】试题分析：当0=S ,1=i ,那么第|一次运行1102=+⨯=S ,211=+=i ； 第二次运行4112=+⨯=S ,312=+=i ； 第三次运行11342=+⨯=S ,413=+=i ； 第四次运行264112=+⨯=S ,514=+=i ；第五次运行50575262>=+⨯=S ,615=+=i 终止循环 , 故输出6=i .考点：程序框图 ,直到型循环结构 ,容易题.【名师点睛】此题考查的知识点是程序框图 ,其中分析出程序的功能是解答的关键．输入语句、输出语句和赋值语句根本对应于算法的顺序结构．在循环语句中也可以嵌套条件语句 ,甚至|是循环语句 ,此时需要注意嵌套格式 ,这些语句需要保证算法的完整性 ,否那么就会造成程序无法执行．解决程序框图问题要注意几个常用变量：(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数 ,如i ＝i ＋1；(2)累加变量：用来计算数据之和 ,如S ＝S ＋i.(3)累乘变量：用来计算数据之积 , ,关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．解决算法的交汇性问题的方法：(1)读懂程序框图 ,明确交汇知识；(2)根据给出问题与程序框图处理问题；(3)注意框图中结构的判断．5.【2021年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】阅读如下图的程序框图 ,运行相应的程序 ,假设输入n 的值为9 ,那么输出S 的值为 .【答案】1067考点：新定义题型 ,程序框图 ,当型循环结构 ,容易题.【名师点睛】此题属根底题 ,主要考查算法与程序框图 ,充分表达了（高|考）仍是以教材为蓝本 ,以根底为重点的指导思想 ,能较好的考查学生根底知识、根本技能和根本操作的能力.其解题的关键是读懂题意所给的程序框图的含义.6. 【2021（高|考）山东文数】执行右边的程序框图 ,假设输入n的值为3 ,那么输出的S 的值为_______．【答案】考点：程序框图【名师点睛】自新课标学习算法以来,程序框图成为常见考点,一般说来难度不大, ,考查考生对各种分支及算法语言的理解和掌握,此题能较好的考查考生应用知识分析问题解决问题的能力等.7. 【2021天津 ,文11】阅读右边的框图 ,运行相应的程序 ,输出S的值为________.【答案】 4.-考点：循环结构流程图8. 执行右侧的程序框图 ,假设输入3n= ,那么输出T= .【答案】20【解析】试题分析：输入n3= ,在程序执行过程中 ,,,i S T的值依次为0,0,0i S T===；1,1,i S==开始结束s=0,n=3ns=s+(-2)n=n-1≤n1输出s是否1T =；2,3,4i S T ===；3,6,10i S T ===；4,10,20i S T === ,程序结束．输出20T =．【考点定位】程序框图．【名师点睛】此题考查算法与程序框图的概念 ,在理解条件分支结构及算法功能的根底上 ,逐次运算 ,是解答此类问题的常见解法.此题属于根底题 ,由于给定数据较小 ,运算次数少 ,降低了题目的难度.9. 【2021天津文11】阅读右边的框图 ,运行相应的程序 ,输出S 的值为________.【答案】 4.-考点：循环结构流程图考点定位：此题考点为程序框图 ,要求会准确运行程序【名师点睛】此题考查程序框图的程序运行 ,此题为根底题 ,掌握循环程序的运行方法 ,框图以赋值框和条件框为主 ,按照框图箭线方向和每个框的指令要求运行 ,注意条件框的要求是否满足 ,运行程序时要准确.三视图问题 ,是进年（高|考）热点 ,属于必考题 ,是（高|考）备考的重点 ,也是学生必须掌握需要得总分值的题目 ,需要加强训练的题型.公众号：惟微小筑。
专题08 三角形—三年高考(2015-2017数学(文)真题分项版解析(解析版)(批量下载)
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1.【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2.【2016高考新课标1文数】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =,2c =,2cos 3A =,则b=（）（A （B ）（C ）2 （D ）3【答案】D 【解析】试题分析：由余弦定理得3222452⨯⨯⨯-+=b b ,解得3=b （31-=b 舍去）,故选D.考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b .运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3.【2015高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a=，c =，cos A =，且b c <，则b =（）A B ．2C ．D ．3【答案】B【考点定位】余弦定理．【名师点晴】本题主要考查的是余弦定理，属于容易题．解题时要抓住关键条件“b c <”， 否则很容易出现错误．本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即2222cos a b c bc =+-A ．4． [2016高考新课标Ⅲ文数]在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则sin A （ ）（A ）310（B（C（D【答案】D 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD，则3,2BC AD DC AD ==，所以AC ==．由正弦定理，知sin sin AC BC BA=3sin ADA=，解得sin A =，故选D ．考点：正弦定理．【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．5.【2016高考山东文数】ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )bc a b A ,则A =（）（A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6【答案】C 【解析】 试题分析： 因为,bc 所以由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc b b b =+-A =-A =-A ，又因为()2221sin ab =-A ，所以cos sin A =A ，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,πA∈，所以4πA =，故选C.考点：余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.6.【2014年.浙江卷.文10】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角），若m AB 15=，m AC 25=， 30=∠BCM ，则θtan 的最大值是（ ）A.530 B. 1030 C.934 D. 935 【答案】D在P AP Rt '∆中，θtan xAP =， 在P AB Rt '∆中由勾股定理得222)203(15)tan (-+=x x θ，整理得33406251)203(225tan 2222+-=-+=xx x x θ， 令)0(3340625)(2>+-=x x x x f 2527)125341(6252+-=x ，当125341=x 时2527)(min=x f ， 所以θ2tan 的最大值为2725，即θtan 的最大值是935考点：三角函数的定义，函数的最值，难度中等.【名师点睛】本题主要考查了解直角三角形的有关问题，根据所给条件构造直角三角形，运用勾股定理求解直角边长，然后运用导数有关性质解决所求角正切的最值问题.7. 【2014四川，文8】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．1)m -B ．1)m -C ．1)m -D ．1)m +【答案】 C.【考点定位】解三角形.【名师点睛】在三角形中，已知两角一边时可以使用正弦定理解三角形.8【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，=6S ．【考点】数学文化【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解． 9.【2017课标II ，文16】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos bc B a C c A =+,则B =【答案】3π【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒= 【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.10.【2017浙江，13】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【解析】试题分析：取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△．又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=综上可得，△BCD cos BDC ∠=． 【考点】解三角形【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．11.【2017课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b c =3，则A =_________. 【答案】75°【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.12.【2015高考北京，文11】在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B =．【答案】4π【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B =，=所以sin B =，所以4B π∠=. 【考点定位】正弦定理.【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理，属于容易题．解题时一定要注意检验有两解的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理，即sin sin a b=A B． 13.【2014全国1，文16】如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .【答案】150考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用【名师点睛】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系,同时还考查了考生的空间想象力，和学生的计算能力.14.【2015高考重庆，文13】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C3sin 2sin A B ,则c=________.【答案】4 【解析】由3sin 2sin AB 及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =，由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;故填：4.【考点定位】正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将3sin 2sin AB 转化为3a=2b 结合已知即可求得b 的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题，注意运算的准确性及最后结果还需开方.15.【2015高考安徽，文12】在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC .【答案】2【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用.【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力. 16.【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.【答案】.【解析】在ABC ∆中，030CAB ∠=，000753045ACB ∠=-=，根据正弦定理知，sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，即1sin sin 2AB BC BAC ACB =⨯∠==∠，所以tan CD BC DBC =⨯∠==，故应填.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力. 17.【2015高考福建，文14】若ABC ∆中，AC =，045A =，075C =，则BC =_______．【解析】由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．【考点定位】正弦定理．【名师点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．关键是计算准确细心，属于基础题．18. 【2016高考上海文科】已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等. 19.【2016高考新课标2文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=， 又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 考点：正弦定理，三角函数和差公式.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20.【2016高考北京文数】在△ABC 中，23A π∠=，a =，则b c=_________.【答案】1考点：解三角形【名师点睛】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．21.【2017山东，文17】（本小题满分12分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .【答案】3=π,4A a 【解析】试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩,由此求A ,再利用余弦定理求a .试题解析：因为6AB AC ⋅=-， 所以cos 6bc A =-， 又3ABCS ∆=，所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0A π<<， 所以34A π=， 又3b =，所以c =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(29a=+-⋅⋅=， 所以a =.【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．22.【2017天津，文15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B=，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a bA B=，得2a b =. 由222)ac a b c =--，及余弦定理，得222cos 2b c aA bc+-===（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin A =代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以cos B ==.于是4sin 22sin cos 5B B B ==， 23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式 23.【2016高考四川文科】（本题满分12分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅰ）4.试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设sin a A =sin b B =sin cC=k (k >0)． 则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C ． 代入cos A a +cos B b =sin Cc 中，有 cos sin A k A +cos sin B k B =sin sin Ck C，变形可得sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )．在△ABC 中，由A +B +C =π，有sin(A +B )=sin(π–C )=sin C ， 所以sin A sin B =sin C ． （Ⅰ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 cos A =2222b c a bc +-=35．所以sin A =45．由（Ⅰ），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ， 所以45sin B =45cos B +35sin B ，故sin tan 4cos BB B==． 考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180︒这个结论，否则难以得出结论． 24. 【2016高考天津文数】（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =.(Ⅰ)求B ； (Ⅱ)若1cos A 3=，求sinC 的值.【答案】（Ⅰ）6π=B两已知角的和)sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π，再根据两角和的正弦公式求解 试题解析：（Ⅰ）解：在ABC ∆中，由BbA a sin sin =，可得A b B a sin sin =，又由A b B a sin 32sin =得B a A b B B a sin 3sin 3cos sin 2==，所以23cos =B ，得6π=B ；（Ⅱ）解：由31cos =A 得322sin =A ，则)sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π，所以)6sin(sin π+=A C 6162cos 21sin 23+=+=A A 考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.25.【2015高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,)m a =与(cos ,sin )nA B =平行.(I)求A ；(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I)3A π=；(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，代入数值求得3c =，由面积公式得ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin 3B =，从而sin B =，又由a b >知A B >，所以cos B =，由sin sin()sin()3C A B B π=+=+，计算得sin C =，所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =.试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A =由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin 3B =从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin 33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =. 【考点定位】1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.【名师点睛】1.本题考查解三角形和三角形的面积，利用正弦定理进行边角互化，继而求出A 的值；可利用余弦定理求出c 的值，代入到三角形面积公式求解计算.2.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.26.【2015高考四川，文19】已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2＋px －p ＋1＝0(p ∈R )两个实根.(Ⅰ)求C 的大小(Ⅱ)若AB ＝1，AC ，求p 的值由韦达定理，有tanA ＋tanB p ，tanAtanB ＝1－p于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0 从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB == 解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tanA ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+-所以p (tanA ＋tanB)(2＋＋1)＝－1【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求解过程中要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生思维习惯及其严谨性是很有必要的.第(Ⅰ)问得到C ＝60°后，第(Ⅱ)问中要注意舍去B ＝135°，否则造成失误.属于中档题.27.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sinB AC =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a =求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac .又ab ，可得2bc ,2a c ,由余弦定理可得2221cos 24a cb Bac. （II ）由(1)知22b ac .因为B 90°，由勾股定理得222a c b .故222a c ac ，得2c a .所以ABC 的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.28.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【答案】(1)25；(2)9(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin CA B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABCS ab C ∆==⨯⨯=. 【考点定位】1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.【名师点睛】本题主要考查三角函数的基本计算以及解三角形应用.根据两角和的正切公式，计算角A 的正切值，利用同角三角函数基本关系式计算得到第一题的结论；根据角A 的正切值计算得到其正弦值，利用正弦定理计算得到边b 的值，根据三角形内角和为180及两角和的正弦公式计算得到角C 的正弦值，有两边一夹角的面积公式计算得到面积.本题属于中等题，主要考查学生三角函数有关公式的正确应用以及正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用，考查学生基本的计算能力.29.【2016高考浙江文数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ． （Ⅰ）证明：A =2B ； （Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）22cos 27C =.试题解析：（I ）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是，sin sin()B A B =-，又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-，因此，A π=（舍去）或2A B =， 所以，2A B =.（II ）由2cos 3B =，得sin B =，21cos 22cos 19B B =-=-，故1cos 9A =-，sin A =， 22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【思路点睛】（I ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有A ，B 的式子，根据角的范围可证2A =B ；（II ）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得cos 2B ，进而可得cos A 和sin A ，再用两角和的余弦公式可得cos C ．30.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（I ）a =8,sin C=（II得6, 4.b c ==由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a c A C=,得15sin 8C =.（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.31.【2015高考山东，文17】ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()B A B ac =+==sin A 和c 的值.【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B =因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=，因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，cos C=因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C=+=+=+=.由,sin sin a cA C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =.【考点定位】1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.【名师点睛】本题考查了两角和差的三角函数、正弦定理及函数方程思想，在正确理解题意的情况下，准确计算是关键.解答本题的一个易错点是忽视对角的范围的讨论，使解答陷入误区.本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两角和差的三角函数、解三角形等基础知识，同时考查考生的计算能力、思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力. 32.【2015湖南文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（I ）证明：sin cos B A =； (II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【答案】（I ）略；(II)30,120,30.A B C ===试题解析：（I ）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，所以sin cos B A =. （II ）因为sin sin cos sin[180()]sin cos C A B A B A B -=-+-sin()sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B A B =+-=+-=3cos sin 4A B ∴=有（Ｉ）知sin cos B A =，因此23sin 4B =，又Ｂ为钝角，所以sin B =，故120B =，由cos sin A B ==30A =，从而180()30C A B =-+=，综上所述，30,120,30,A B C ===【考点定位】正弦定理及其运用【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．33.【2015新课标2文17】（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin BC∠∠；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠. 【答案】（I ）12；30.试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,CBAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2CBAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 【考点定位】本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()A B C+=-tan tan+=+=-()sin sin,cos cos,A B C A B C，就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”。
专题16 抛物线—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(原卷+解析版)
专题16 抛物线原卷1-5页+解析5-24页1.2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为B. C. D. 2.【2014，安徽文3】抛物线241x y =的准线方程是（ ）A ． 1-=yB ． 2-=yC ． 1-=xD ． 2-=x3. 【2014全国1，文10】已知抛物线C ： x y =2的焦点为F ,()00,A x y 是C 上一点，x F A 045=，则0x =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 84. 【2014辽宁文8】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 5.【2014四川，文10】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧， （其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．6.【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)7. 【2016高考四川文科】抛物线24y x =的焦点坐标是( ) (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)8.【2014全国2，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A （B ）6 （C ）12 （D ）9.【2016高考新课标2文数】设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）210.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .11.【2014上海,文4】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.12.【2014高考陕西版文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________.13.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．14.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值．15.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.16.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.17. 【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD同向.（I ）求2C 的方程；（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率.18.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.19.【2015高考浙江，文19】（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4y x =：，圆222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点. （1）求点A ，B 的坐标； （2）求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公 共点为切点.20.【2014福建,文21】（（本小题满分12分） 已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论. 21.【2015高考福建，文19】已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解析1.2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为B. C. D. 【答案】C【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 2.【2014，安徽文3】抛物线241x y =的准线方程是（ ）A ． 1-=yB ． 2-=yC ． 1-=xD ． 2-=x 【答案】A ． 【解析】试题分析：题中抛物线的标准形式为24x y =，则其准线方程为1y =-，故先A ．考点：抛物线的准线方程．【名师点睛】在求解抛物线标准方程过程中，先要将给定方程转化成标准形式如2(0)y Ax A =≠，则其焦点坐标为(,0)4A ，准线方程为4Ax =-；若2(0)x Ay A =≠，则其焦点坐标为(0,)4A ，准线方程为4Ay =-.3. 【2014全国1，文10】已知抛物线C ： x y =2的焦点为F ,()00,A x y 是C 上一点，x F A 045=，则0x =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：14x =-，则有：01||4AF x =+，即有001544x x +=，可解得01x =．考点：抛物线的方程和定义【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质，同时考查了考生分析问题、转换问题的能力.4. 【2014辽宁文8】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 【答案】C【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、直线的斜率公式..注意从已知出发，确定焦点F 的坐标，进一步确定直线的斜率.本题是一道基础题，在较全面考查抛物线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.5.【2014四川，文10】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 CD【答案】B 【解析】试题分析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥. 【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.【名师点睛】在圆锥曲线的问题中，我们通常使用设而不求的办法，此题中，我们设出1122(,),(,)A x y B x y 两点坐标，由2OA OB ⋅=，得122y y =-，接下来表示出ABO ∆与AFO ∆面积之和，利用基本不等式即可求得最小值，利用基本不等式时，要注意“一正，二定，三相等”.6.【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1) 【答案】B【解析】由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 【考点定位】抛物线方程和性质.【名师点睛】1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出p 的值.本题属于基础题，注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键.7. 【2016高考四川文科】抛物线24y x =的焦点坐标是( ) (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】D考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．8.【2014全国2，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A （B ）6 （C ）12 （D ）【答案】C【解析】由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==，故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++=168312162+=，选C ． 【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题考查了抛物线的标准方程，焦半径公式，属于中档题，深入理解抛物线的定义是解题的关键，注意韦达定理的使用．9.【2016高考新课标2文数】设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质.【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数y =kx(0)k ≠，当0k >时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，当0k <时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数.10.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .【答案】22(1)(1x y ++-= 【解析】试题分析：设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-，1cos 2AC AF CAF AC AF ⋅∠===-⋅，m =，由于圆C 与y轴得正半轴相切，则取m =，所求圆得圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++-=. 【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是0120CAF ∠=，会不会用向量的坐标表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为()1,C m -，那么方程就是()()2211x y m ++-=，若能用向量的坐标表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了.11.【2014上海,文4】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】2x =-.【考点】椭圆与抛物线的几何性质【名师点睛】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 12.【2014高考陕西版文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________. 【答案】1x =- 【解析】试题分析：由抛物线的几何性质知：抛物线24y x =的准线方程为1x =-，故答案为1x =-. 考点：抛物线的几何性质.【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的几何性质，属于容易题，解题时直接利用抛物线的几何性质即可求得其准线方程13.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1； （2）7y x =+．于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-． （2）由24x y =，得2xy'=．设M （x 3，y 3），由题设知312x=，解得32x =，于是M （2，1）．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12|||AB x x -=．由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．14.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值． 【答案】（Ⅰ）)1,1(-；（Ⅱ）2716试题解析：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，则2121412-=+-=x x x k ，∵1322x -<<，∴直线AP 斜率的取值范围是)1,1(-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是)1(23422+++-=k k k x Q ，因为|P A|=1)2x +=)1(12++k k |PQ |=1)1)(1()(1222++--=-+k k k x x k Q ，所以|P A ||PQ |=3)1)(1(+--k k令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)21,1(-上单调递增，)1,21(上单调递减，因此当k =12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．15.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I ）2（II ）没有把直线MH 的方程x tpt y 2=-,与px y 22=联立得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.试题解析：（Ⅰ）由已知得),0(t M ,),2(2t pt P . 又N 为M 关于点P 的对称点,故),(2t p t N ,ON 的方程为x t p y =,代入px y 22=整理得0222=-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,因此)2,2(2t pt H . 所以N 为OH 的中点,即2||||=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x t p t y 2=-,即)(2t y ptx -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.16.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=， 所以AR FQ . ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．17. 【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD同向.（I ）求2C 的方程；（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率.【答案】（I ）22198y x += ；(II) .2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+-，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.试题解析：（I ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -= ①； 又1C 与2C 的公共弦长为，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C的方程为21:4C x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3()2，229614a b∴+= ②，联立①②得229,8a b ==，故2C 的方程为22198y x +=。
专题20 概率—三年高考(2015-2017数学(文)真题分项版解析(原卷版)(批量下载)
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专题20 概率1.【2017课标1，文4】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π 42.【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A ）45（B ）35（C ）25（D ）153.【2017课标II ，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A.110 B. 15 C. 310 D. 254.【2015高考山东，文7】在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( ) （A ）34（B ）23（C ）13（D ）145. [2016高考新课标Ⅲ文数]小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）（A ）815（B ）18（C ）115（D ）1306.【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（） （A ）710（B ）58（C ）38（D ）3107.【2016高考新课标1文数】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）568.【2015高考福建，文8】如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为．且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上．若在矩形ABCD 内随机 取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（） A ．16 B ．14 C ．38 D ．129.【2015高考湖北，文8】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（） A ．1212p p << B ．1212p p <<C ．2112p p <<D ．2112p p << 10.【2015高考广东，文7】已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．111.【2015高考陕西，文12】设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（） A ．3142π+B ．112π+C ．1142π-D ．112π-12. 【2016高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（）（A ）65（B ）52 （C ）61 （D ）31 13.【2014高考陕西版文第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）1.5A2.5B3.5C4.5D 14.【2015高考新课标1，文4】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（） （A ）310（B ）15（C ）110（D ）12015.【2014福建,文13】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________.16.【2016高考四川文科】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则log a b 为整数的概率= .17. 【2016高考上海文科】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.18. 【2014高考重庆文第15题】某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）19. 【2015高考重庆，文15】在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p 有两个负根的概率为________.20. 【2014高考广东卷.文.12】从字母a .b .c .d .e 中任取两个不同的字母,则取到字母a 的概率为.21.【2014全国2，文13】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.22.【2014全国1，文13】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.23.【2017课标3，文18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：Ⅲ）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．24.【2017山东，文】16(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(Ⅲ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(Ⅲ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.25.【2015高考福建，文18】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．3 [6,7) 7 4[7,8]3（Ⅲ）现从融合指数在[4,5)和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（Ⅲ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．26.【2015高考北京，文17】（本小题满分13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××（I ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（II ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（III ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ 27. 【2015高考安徽，文17】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],,[80,90],[90,100]（Ⅲ）求频率分布图中a 的值；（Ⅲ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率.商品顾 客 人 数28.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：xy≤，则奖励玩具一个；①若3xy≥，则奖励水杯一个；②若8③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（I）求小亮获得玩具的概率；（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.29. 【2014高考陕西版文第19题】某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.30. 【2015高考陕西，文19】随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(I)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.31.【2015高考天津，文15】（本小题满分13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（i ）用所给编号列出所有可能的结果;（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率. 32. 【2015高考湖南，文16】（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球12,A A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球12,a a 和2个白球12,b b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.（I ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（II ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.33. 【 2014湖南文17】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a ，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.专题21 统计1.【2017课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数2.【2017山东，文8】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为 A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，73.【2017课标3，文3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（） A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4.【 2014湖南文3】对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =<231.B p p p =<132.C p p p =<123.D p p p ==5.【2015高考湖南，文2】在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示;若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )A 、3B 、4C 、5D 、6 6.[2016高考新课标Ⅲ文数]某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C ．下 面叙述不正确的是（ ）(A) 各月的平均最低气温都在00C以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C的月份有5个7.【2015高考山东，文6】为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )（A）①③(B) ①④(C) ②③(D) ②④8.【2015高考陕西，文2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93B．123C．137D．1679.【2016高考山东文数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A ）56（B ）60（C ）120（D ）14010.【2014高考陕西版文第9题】某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）（A ）x ，22s 100+（B ）100x +，22s 100+ （C ）x ，2s （D ）100x +，2s11.【2015高考四川，文3】某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )(A )抽签法 (B )系统抽样法 (C )分层抽样法 (D )随机数法 12.【2015高考重庆，文4】重庆市2013年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如下 0 8 9 1 2 5 8 23383 1 2则这组数据中的中位数是（）(A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )2313.【2015高考北京，文4】某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）A ．90B ．100C ．180D ．30014.【2016高考北京文数】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛15. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷6】根据如下样本数据：得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0a > ,0<b B.0a > ,0>b C.0a < ,0<b D.0a < ,0>b16.【2015高考湖北，文2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石17.【2015高考湖北，文4】已知变量x和y满足关系0.11=-+，变量y与z正相关. 下y x列结论中正确的是（）A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关18.【2015湖南文1】在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示;若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )A、3B、4C、5D、619.【2015新课标2文3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）A．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关20.【2017江苏，3】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取▲ 件.21.【2016高考北京文数】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.22. 【2015高考广东，文12】已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为．23. 【2015高考北京，文14】高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是． 24. 【2016高考上海文科】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）.25.【2015高考湖北，文14】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.26.【2015高考福建，文13】某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．27.【2017课标1，文19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0．01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数nx y r =，0.09≈．28.【2017课标II ，文19】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：（1） 记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++29.【2017北京，文17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．30.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若n=19,求y与x的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？31.【2015高考新课标1，文19】（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w ，w =1881ii w=∑（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-，根据（II ）的结果回答下列问题：（i ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()niii nii u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-32.【2016高考新课标2文数】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（Ⅰ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()P A 的估计值； （Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求()P B 的估计值；（III ）求续保人本年度的平均保费估计值.33. [2016高考新课标Ⅲ文数]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=，7≈2.646.参考公式：相关系数nt y r =回归方程y a b =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-． 34.【2016高考北京文数】（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I ）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（II ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.35. 【2014全国2，文19】（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评优.36.【2016高考四川文科】（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.37.【2015高考重庆，文17】随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：(Ⅰ)求y 关于t 的回归方程^^^t yb a =+(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款. 附：回归方程^^^t y b a =+中1122211()(),().nniii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nxa y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑38.【2015高考广东，文17】（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 39.【2014，安徽文17】（本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.。
专题25 选修部分—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)
1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）． （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ． 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-．试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =．当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=，所以16a =-． 综上，8a=或16a =-．【考点】参数方程【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表达椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．2【2017课标1，文23】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ． （1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -<≤；（2）[1,1]-．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<≤． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-． 【考点】不等式选讲【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．3.【2017课标II ，文22】 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题19抛物线理20171102336
专题19 抛物线1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】试题分析：设A(x,y),B(x,y),D(x,y),E(x,y)，直线方程为11223344y k1(x1)y4x22y4x联立方程y k(x1)1得k12x22k12x 4x k120∴2k42x x 1122k12k421k21同理直线与抛物线的交点满足2k42x x 2342k2由抛物线定义可知|AB||DE |x x x x 2p12342k 42k 444162212482816k k k k k k22222 2121212当且仅当k1k21（或1）时，取得等号.【考点】抛物线的简单性质2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p 0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2 MF,则直线OM的斜率的最大值为( )（A）33（B）23（C）22（D）1【答案】C【解析】1p 试题分析：设P 2pt 2 , 2pt , M x , y （不妨设 t 0），则 22, 2 .FP ptptp 试题分析：设2由已1 FM FP知得3p 2p px t22 3 6 ，2pt y , 3 ,，2ppx t23 32pt y , 3,，2t1 12 kOM122 11 2tt 22t22，，故选 C.kOMmax2考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．3.【2016年高考四川理数】设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 2px (p 0) 上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 PM =2 MF ,则直线 OM 的斜率的最大值为( ) （A ） 3 3 （B ） 2 3 （C ） 2 2（D ）1【答案】C 【解析】试题分析：设P 2pt , 2pt , M x , y （不妨设 t 0），则 22,2 .由已2FP pt ppt2试题分析：设1FMFP知得3p2p px t2236，2pty,3,，2p px t2332pty,3,，2t112 kOM122112t t22t22，k ，故选C.OMmax2考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标，利用向量法求出点M的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，2本题采用基本不等式求出最值．4.【2016高考新课标 1卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A 、B 两点,交 C 的准线于 D 、E 两点.已知|AB |=4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B 【解析】【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所 以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的 主要原因.5.【 2015高 考 四 川 ， 理 10】 设 直 线 l 与 抛 物 线 y 24x 相 交 于 A ， B 两 点 ， 与 圆x5yr r 0 相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4条，则 r222的取值范围是（）（A ）1，3（B ）1，4（C ）2，3（D ）2，4【答案】D 【解析】显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设32y 4xA (x , y ),B (x , y ), xx ,M (x , y )，则11112212y 24x22，相减得(yy )(yy ) 4(xx ) .由于121212y y y yxx ，所以1212122xx122 ky.圆心为2，即y0 C ，由CMAB 得(5, 0)k 1,ky 5 xx 50 0，所以2 5x , x3，即点 M必在直线 x 3上.将 x 3代入 y 2 4x 得 y 2 12,2 3 y2 3 .因为点 M 在圆x5yr r0 上，所以 (x5)2y 2 r 2 ,r 2y 2 4 12 4 16 .又222y 04 4 （由于斜率不存在，故2y，所以不取等号），所以4 y4 16,2 r 4 .选 D.2 0y6 5 4A32 1M FC–1O123456789–1B–2 x–3 –4 –5 –66.【2015高考浙江，理 5】如图，设抛物线 y 2 4x 的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A ， B ，C ，其中点 A ， B 在抛物线上，点C 在 y 轴上，则 BCF 与 ACF 的面积之比是（ ）A. B F AF 11B. B F AF221 1 C. B F AF 11 D. B F AF 221 1【答案】A.4【解析】S BC x BF1BCF，故选A.BS AC x AF1ACF A【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.7.【2017课标II，理16】已知F是抛物线C:y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。
三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题05 函数图象与方程 理
专题05 函数图象与方程一、选择题1.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞ （C）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B【解析】试题分析：当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，ym =单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m << ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用.2. 【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C【解析】如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集选C【考点定位】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.【名师点睛】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，本题属于基础题，首先是函数图象平移变换，把2log y x =沿x 轴向左平移2个单位，得到2log (y x =+2)的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.3.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D 【解析】考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.4.【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）23，34] （C ）13，23]{34}（D ）13，23）{34}【答案】C 【解析】试题分析：由()f x 在R 上递减可知3401331,0134a a a a -≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数的去范围是123[,]{}334，故选C.考点：函数性质综合应用5.【2015高考新课标2，理10】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）(D)(C)(B)(A)y424ππ424yy424ππ424yx【答案】B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +=；当点P 在CD边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，DPCxPA PB +=，当2x π=时，PA PB +=当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．【考点定位】函数的图象和性质．【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点P 的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案，属于中档题．6.【2015高考安徽，理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <【答案】C【解析】由()()2ax bf x x c +=+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，2(0)0b f c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=，所以0bx a=->，所以0a <.故0a <，0b >，0c <，选C.【考点定位】1.函数的图象与应用.7.【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知72b <<. 【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.8.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.【答案】1Q ；2.p【解析】试题分析：作图可得11A B 中点纵坐标比2233,A B A B 中点纵坐标大，所以第一位选1Q分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B ''' 斜率，可得22A B '最大，所以选2.p【考点】1.图象的应用；2.实际应用.9.【2017浙江，17】已知αR ，函数a a xx x f +-+=|4|)(在区间1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________． 【答案】9(,]2-∞ 【解析】试题分析：[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论： ①．当5a ≥时，()442f x a x a a x x x =--+=--，函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②．当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立；③．当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或：4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a <综上可得，实数的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【考点】基本不等式、函数最值10.【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质 因此10n mq p =，则10()nm q p= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉ 因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈ 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉ 的部分的交点，画出函数图像，图中交点除外(1,0) 其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉ 的部分， 且1x = 处11(lg )1ln10ln10x x '==< ，则在1x =附近仅有一个交点因此方程解的个数为8个.【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11. 【2014江苏，理13】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 . 【答案】1(0,)2【名师点晴】研究函数性质时一般要借助于函数图像，体现了数形结合思想；方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决．图像的应用常见的命题角度有：(1)确定方程根的个数；(2)求参数的取值范围； (3)求不等式的解集.12.【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【答案】4【解析】由题意得：求函数()y f x =与1()y g x =-交点个数以及函数()y f x =与1()y g x =--交点个数之和，因为221,011()7,21,12x y g x x x x x <≤⎧⎪=-=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =-有两个交点，又221,011()5,23,12x y g x x x x x -<≤⎧⎪=--=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =--有两个交点，因此共有4个交点【考点定位】函数与方程13.【2015高考安徽，理15】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==. 【答案】①③④⑤【解析】令3()f x x ax b =++，求导得2'()3f x x a =+，当0a ≥时，'()0f x ≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以3()f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a <时，若3a =-，则2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，易知，()f x 在(,1),(1,)-∞-+∞上单调递增，在[1,1]-上单调递减，所以()=(1)132f x f b b -=-++=+极大， ()=(1)132f x f b b =-+=-极小，要使方程仅有一根，则()=(1)1320f x f b b -=-++=+<极大或者()=(1)1320f x f b b =-+=->极小，解得2b <-或2b >，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤.【考点定位】1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值.t()f x 与()g x 图象恰有四个交点．当()1y a x =-与23y x x =+（或()1y a x =--与23y x x =--）相切时，()f x 与()g x 图象恰有三个交点．把()1y a x =-代入23y x x =+，得()231x x a x +=-，即()230x a x a +-+=，由0D =，得()2340a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．（方法二）显然1a ¹，∴231x x a x +=-．令1t x =-，则45a t t=++．∵(][),,444t t ???++，∴(][)45,19,t t?ゥ+++．结合图象可得01a <<或9a >．考点：方程的根与函数的零点．【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给条件要求，两函数图象有四个交点，找出符合零点要求的参数，讨论要全面，注意数形结合．14.【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数的取值范围是________. 【答案】，(,1)-∞-.【解析】考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．15.【2015湖南理13】已知32,(),x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞ .【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于方程)(3a x b x ≤=与方程)(2a x b x >=的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤ab a b ab 31有解，∴23a b a <<，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a x b x >=有2个根：则可知关于的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab a b 31有解，从而0<a ，综上，实数的取值范围是),1()0,(+∞-∞ .【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.16.【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.【答案】()3,+∞【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即22m> >-⋅+->，解得3m m m m m m m24,30考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数。
专题17 椭圆及其综合应用—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(原卷版)
1.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是（）A B C ．23D ．592.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A B C D ．133.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<14.【2016高考新课标3理数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于 点.若直线经过的中点，则的离心率为（）（A ）（B ）（C ）（D ）5.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.6.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是.7.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1），P 4（1）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.8.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
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专题16 抛物线1.2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为B. C. D. 2.【2014，安徽文3】抛物线241x y =的准线方程是（ ）A ． 1-=yB ． 2-=yC ． 1-=xD ． 2-=x3. 【2014全国1，文10】已知抛物线C ： x y =2的焦点为F ,()00,A x y 是C 上一点，x F A 045=，则0x =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 84. 【2014辽宁文8】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 5.【2014四川，文10】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， 2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A ．2B ．3CD 6.【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)7. 【2016高考四川文科】抛物线24y x =的焦点坐标是( ) (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)8.【2014全国2，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A （B ）6 （C ）12 （D ）9.【2016高考新课标2文数】设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）210.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .11.【2014上海,文4】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.12.【2014高考陕西版文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________.13.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．14.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值．15.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.16.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.17. 【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向. （I ）求2C 的方程；（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率.18.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.19.【2015高考浙江，文19】（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4y x =：，圆222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点. （1）求点A ，B 的坐标； （2）求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公 共点为切点.20.【2014福建,文21】（（本小题满分12分） 已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论. 21.【2015高考福建，文19】已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．专题17 立体几何中线面位置关系1.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是A ．B ．C ．D ．2.【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥3.【2014高考广东卷.文.9】若空间中四条直线两两不同的直线..,满足,,,则下列结论一定正确的是( ) A . B .C ..既不平行也不垂直D ..的位置关系不确定4.【2016高考山东文数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面b 相交”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5.【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 6. 【2016高考上海文科】如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）(A)直线AA 1(B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 17.【2014辽宁文4】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥8.【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件9.【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m10.【2014年.浙江卷.文6】设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥mB.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 11.【2017课标1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．12.【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E⊥平面ABCD ,（Ⅰ）证明：1AO ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.13.【2017江苏，15】 如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD . 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .14.【2016高考北京文数】（本小题14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.15.【2014四川，文18】（本小题满分12分）在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形。