高考文科数学导数真题汇编(带答案)

高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。

7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。

9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。

11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。

解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。

2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。

解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。

故x∈(-∞,1)时，f(x)>2可得f(x)单调递增。

2) 当a=1时，f'(x)=ex-1，(x-k)f'(x)+x+1>0化简得e^(k-1)x>1-k。

当x=1时，e^(k-1)>1-k，即k<2.当x→+∞时，e^(k-1)x→+∞，所以k≥2.综上可得k的最大值为1.1)首先求导数：f'(x) = 2xex + x2ex = xex(2 + x)。

令f'(x) = 0，得到x = 0或x = -2.因此，f(x)的驻点为0和-2.当x。

0；当x。

0时，f'(x)。

0.因此，f(x)在x。

0时单调递增。

所以f(-2)为极小值，f(0)为极大值。

代入函数得f(-2) = 4/e^2，f(0) = 0.2)曲线y = f(x)的切线斜率为f'(x)。

因此，当f'(x)。

0时，切线斜率为正数；当-2 < x < 0时，切线斜率为负数。

所以，要求切线斜率为负数，x必须在(-2,0)之间。

设切线方程为y = kx + b，由于切线过x轴，所以b = 0.又因为切线斜率为负数，所以k < 0.因此，切线方程为y = kx，其中k的取值范围为(-∞,0)。

1）已知f(x)=alnx+b，f'(x)=a/x，由题设得f'(1)=1/2，所以a=1/2.代入f(x)得f(x)=1/2lnx+b，又知道f(1)=1/2+b，所以b=1/2-f(1)。

2）根据f(x)的定义域和f'(x)的符号可得f(x)在(1,∞)上单调递增。

所以当a≤1/2时，对于任意x≥1，f(x)≥f(1)=1/2+b，不可能存在x使得f(x)1/2时，f'(x)1/2时，存在x≥1，使得f(x)2/(1+2f(1))。

2014新课标2】21.已知函数f(x)=x^3-3x^2+ax+2，曲线y=f(x)在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2.1）求a；2）证明：当a=1时，曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点。

解析】1）f'(x)=3x^2-6x+a，f'(0)=a曲线y=f(x)在点（0,2）处的切线方程为y=ax+2，由题设得-2a+2=0，解得a=1.2）由（1）知，f(x)=x^3-3x^2+x+2设g(x)=f(x)-kx+2=x^3-3x^2+(1-k)x+4由题设知1-k>0，即k<1当x≤0时，g'(x)=3x^2-6x+1-k>0，g(x)单调递增，g(-1)=k-1<0,g(0)=4，所以g(x)在(-∞,0]有唯一实根。

当x>0时，令h(x)=x^3-3x^2+4，则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x)h'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)=5所以g(x)在(0,+∞)没有实根综上g(x)在R由唯一实根，即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点。

2015新课标1】21.设函数f(x)=x^a(1-x)^{1-a}。

1）讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数；2）证明：当a>1时，f(x)≥2a+a ln(1-a).解析】1) f'(x)=x^{a-1}(1-x)^{-a}(a-x)，当0<x<1时，f'(x)=0的根有两个，分别为a和1.2) 当a>1时，f'(x)=0的两个根a和1中，只有a在(0,1)内。

故只需证明f(x)在x=a处取得最大值即可。

f(a)=a^a(1-a)^{1-a}，对f(a)求导得f'(a)=a^a(1-a)^{1-a}[lna-ln(1-a)]，令f'(a)=0得a=1/2，此时f(a)=2^(-2a)。

因此，当f(x)有最大值且最大值大于2a-2时，即2^(-2a)>2a-2，解得a1/2，即a的取值范围为(1/2,1]∪(1,+∞)。

2015新课标2】21.已知f(x)=lnx+a(1-x)。

1）讨论f(x)的单调性；2）当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围。

解析】已知f(x)=lnx+a(1-x)。

1) f'(x)=1/x-a，当x1/a时，f'(x)>0，f(x)在(1/a,+\infty)上是单调递增的。

2) 当f(x)有最大值时，即f'(x)=0的根在(0,+\infty)内。

令f'(x)=0得x=1/a，此时f(1/a)=ln(1/a)+a(1-1/a)，对f(1/a)求导得f'(1/a)=-a^(-2)+1/a，令f'(1/a)=0得a=1，此时f(1/a)=0，不是最大值。

因此，当f(x)有最大值且最大值大于2a-2时，即f(1/a)>2a-2，解得a1，即a的取值范围为(0,1/2]∪(1,+\infty)。

设 $g(x)=\ln x+x-1$，则 $g'(x)=\frac{1}{x}+1$，对于$a>0$，有 $x>a$ 时 $g'(x)>0$，因此 $g(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上单调递增。

又因为 $g(1)=0$，根据不等式 $g(a)<g(1)$，可以得到 $0<g(a)<g(1)=0$，因此 $0<a<1$，即 $a\in(0,1)$。

已知函数 $f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2$。

I) 讨论 $f(x)$ 的单调性。

i) 设 $a\geq 0$，则当 $x\in(-\infty,1)$ 时，$f'(x)0$。

因此在 $(-\infty,1)$ 上 $f(x)$ 单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上$f(x)$ 单调递增。

ii) 设 $a-\frac{1}{e}$，则 $\ln(-2a)0$；当 $x\in(\ln(-2a),1)$ 时，$f'(x)1$，当 $x\in(-\infty,1)$ 时，$f'(x)>0$；当$x\in(1,\ln(-2a))$ 时，$f'(x)0$。

因此在 $(-\infty,1)$ 上 $f(x)$ 单调递增，在 $(1,\ln(-2a))$ 上 $f(x)$ 单调递减，在 $(\ln(-2a),+\infty)$ 上 $f(x)$ 单调递增。

II) 若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围。

i) 设 $a>0$，则根据 (I) 可知 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增。

又因为 $f(1)=-e0$，因此存在 $b\in(1,2)$ 使得 $f(b)=0$。

又因为 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，因此$f(x)$ 在 $(-\infty,b)$ 上取负值，在 $(b,+\infty)$ 上取正值。

根据零值定理可知，在 $(-\infty,b)$ 和 $(b,+\infty)$ 中至少有一个区间上 $f(x)$ 为 $0$，因此 $f(x)$ 有两个零点。

ii) 设 $a=0$，则 $f(x)=(x-2)e^x$，因此 $f(x)$ 有一个零点。

iii) 设 $a<0$，则根据 (I) 可知 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增，在 $(\ln(-2a),+\infty)$ 上单调递增，因此不存在$b\in(1,\ln(-2a))$ 使得 $f(b)=0$。

又因为 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增，在 $(1,\ln(-2a))$ 上单调递减，在 $(\ln(-2a),+\infty)$ 上单调递增，因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上取负值，在 $(1,\ln(-2a))$ 上取正值，在 $(\ln(-2a),+\infty)$ 上取正值。

根据零值定理可知，$f(x)$ 最多只有一个零点。

因此$a\in(0,+\infty)$。

综上，$a$ 的取值范围为 $(0,+\infty)$。

已知函数$f(x)=(x+1)\ln x-a(x-1)$。

1）当$a=4$时，求曲线$y=f(x)$在$(1,f(1))$处的切线方程。

解：代入$a=4$，得$f(x)=(x+1)\ln x-4(x-1)$，$f(1)=0$，切点坐标为$(1,0)$。