2018届高考数学二轮复习技法篇学案含答案(全国通用)

技法篇：4大思想提前看，依“法”训练提时效高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数思想方法、数能力的考查．如果说数知识是数内容，可用文字和符号记录与描述，那么数思想方法则是数意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，着眼于对数问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先习此部分．带着方法去复习，这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果，而市面上有些资料把方法集中放于最后，起不到”依法训练”的作用，也因时间紧造成而不透、而不深，在真正的高考中不能从容应对．不过也可根据自身情况选择完后再复习此部分．
思想1函数与方程思想
函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数思想．
方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数思想．【例1】(1)(2017·天水二模)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满
足f(x)＞f′(x)，且f(0)＝1，则不等式f(x)
e x＜1的解集为()
A．(－∞，0)B．(0，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
B[构造函数g(x)＝f(x)
e x，则g′(x)＝
e x·f′(x)－e x·f(x)
(e x)2
＝
f′(x)－f(x)
e x.由题意
得g′(x)＜0恒成立，所以函数g(x)＝f(x)
e x在R上单调递减．又g(0)＝
f(0)
e0＝
1，所以f(x)
e x＜1，即g(x)＜1，解得x＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．故
选B.]
(2)(名师押题)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________.
【导 号：04024000】
[1，＋∞) [以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，
由⎩⎨⎧
y ＝x 2，x 2＋(y －a )2＝a ， 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0，
即(y －a )[y －(a －1)]＝0，
由题意得⎩⎨⎧
a ＞0，a －1≥0，
解得a ≥1.] [方法指津]
函数与方程思想在解题中的应用
1．函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x )，当y ＞0时，就化为不等式f (x )＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
2．数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．
3．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．
4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
[变式训练1] 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x －π3的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为________.
【导 号：04024001】
5π24 [把y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x －π3的图象上所有的点向左平移m 个单位长度后，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x ＋m )－π3＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x ＋4m －π3的图象， 而此图象关于y 轴对称，则4m －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，
解得m ＝14k π＋5π24(k ∈Z )．又m ＞0，所以m 的最小值为5π24.]
思想2 数形结合思想
数形结合思想，就是通过数与形的相互转化 解决数 问题的思想．其应用包括以下两个方面：
(1)“以形助数”，把某些抽象的数 问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数 问题的本质，如应用函数的图象 直观地说明函数的性质．
(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程 精确地阐明曲线的几何性质．
【例2】 (经典高考题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，
其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．
(3，＋∞) [作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.]
[方法指津]
数形结合思想在解题中的应用
1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．
2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围．
3．构建解析几何模型求最值或范围．
4．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．
[变式训练2] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x
，x ≥2，(x －1)3，x ＜2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两
个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
【导 号：04024002】
A ．(－1,1)
B ．(0,2)
C ．(0,1)
D ．(0,1] (2)若不等式4x 2－log a x <0对任意x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1256，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1256 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，1256 (1)C (2)B [(1)当x ≥2时，f (x )＝2x ，
此时f (x )在[2，＋∞)上单调递减，
且0＜f (x )≤1.
当x ＜2时，f (x )＝(x －1)3，此时f (x )过点(1,0)，(0，－1)，
且在(－∞，2)上单调递增．
当x →2时，f (x )→1.
如图所示作出函数y ＝f (x )的图象，由图可得f (x )在(－∞，2)上单调递增且f (x )＜1，f (x )在[2，＋∞)上单调递减且0＜f (x )≤1，
故当且仅当0＜k ＜1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不相等的实根，即实数k 的取值范围是(0,1)．
(2)由已知4x 2<log a x 对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，相当于在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14上，函数y ＝log a x 的图象恒在函数y ＝4x 2图象的上方，显然当a >1时，不成立，当0＜a
＜1时，如图，只需log a 14≥4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫142⇒a 14≥14⇒a ≥1256，
又0＜a ＜1，故a ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1256，1.故选B.] 思想3 分类讨论思想
分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数 思想．
【例3】(1)(经典高考题)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
3x －1，x <1，2x ，x ≥1.
则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) (2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，
F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________． (1)C (2)2或72
[(1)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.
当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.
综上，a ≥23，故选C.
(2)若∠PF 2F 1＝90°，
则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2.
∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，。