2018_2019高中数学模块综合学业质量标准检测新人教A版必修4

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2018-2019学年高中数学模块综合测评(B)新人教A版必修4

模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知sin(-α)=,且cos(-α)>0,则tan α=()A. B.- C. D.-解析由已知得sin α=-,cos α>0,所以α是第四象限角,于是tan α=-.答案D2.已知向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a-b,n=a+λb,如果m⊥n,那么实数λ=()A.4B.3C.2D.1解析因为向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a-b,n=a+λb,所以m=(0,-3),n=(1+λ,-2+λ).因为m⊥n,所以m·n=0-3(-2+λ)=0,解得λ=2.答案C3.若角α的终边与单位圆相交于点(x0,2x0)(x0≠0),则tan 2α=()A.-B.C.-D.解析依题意tan α==2,所以tan 2α==-.答案A4.已知平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2b),则向量b在向量a方向上的投影为()A.1B.-1C.2D.-2解析由题设a·(a+2b)=0,即a2+2a·b=0,所以4+4|b|cos θ=0,即|b|cos θ=-1.答案B5.函数y=在一个周期内的图象是()解析y=cosx·=-2sin x cos x=-sin 2x,故选B.答案B6.导学号68254118将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位,再向上平移2个单位,得到g(x)的图象.若g(x1)·g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则|x1-x2|的最大值为()A.πB.2πC.3πD.4π解析依题意得g(x)=sin 2+2=sin+2,若g(x1)·g(x2)=9,则g(x1)=g(x2)=3,所以sin=sin=1.因为x1,x2∈[-2π,2π],所以2x1+,2x2+,设2x1++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,则当2x1+=-,2x2+时,|x1-x2|取得最大值3π.答案C7.已知a与b是非零向量且满足(a-6b)⊥a,(2a-3b)⊥b,则a与b的夹角是()A. B. C.π D.π解析根据条件(a-6b)·a=a2-6a·b=0,(2a-3b)·b=2a·b-3b2=0,又因为|a|≠0,|b|≠0,所以|a|=6|b|cos <a,b>①,3|b|=2|a|cos <a,b>②,所以3|a||b|=12|a||b|cos2<a,b>,得cos2<a,b>=,则cos <a,b>=,故a,b的夹角为.答案B8.的值等于()A.4B.-4C.-4D.4解析原式======-4.答案C9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,若f(x)>1对∀x∈恒成立,则φ的取值范围是()A. B.C. D.解析函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,故函数的周期为=π,所以ω=2,于是f(x)=2sin(2x+φ)+1.若f(x)>1对∀x∈恒成立,即当x∈时,sin(2x+φ)>0恒成立,则有2kπ≤2·+φ<2·+φ≤2kπ+π,求得2kπ+≤φ≤2kπ+,k∈Z,又|φ|≤,所以≤φ≤,故选D.答案D10.如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则||的范围为()A.[0,)B.[0,2)C.[1,)D.[1,2)解析设的夹角为θ,θ∈,则cos θ∈[-1,0),||2=+2=2+2cos θ∈[0,2),故||的范围为[0,).答案A11.已知函数f(x)=sin(π-x)cos(-x)+sin(π+x)cos图象上的一个最低点为A,离A最近的两个最高点分别为B与C,则=()A.9+B.9-C.4+D.4-解析f(x)=sin x cos x-sin2x=·sin 2x-sin 2x+cos 2x-=sin, 因此f(x)最大值为,最小值为-.设A,则B,C,于是,故=4-.答案D12.若函数y=2sin ωx(ω>0)在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,则ω的取值范围是()A. B.C. D.解析依题意,函数y=2sin ωx在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,由图象可知T≤2π<T,亦即≤2π<,解得≤ω<.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数f(x)=cos x cos +cos cos 的值域是.解析f(x)=cos x cos +cos cos =cos x cos -sin x sin =cos,故函数值域为[-1,1].答案[-1,1]14.如图,将两块三角板拼在一起组成一个平面四边形ABCD,若=x+y(x,y∈R),则x+y=.解析设AB=1,则AD=,BD=BC=2,过点C作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,如图所示;则BE=,AF=1,且=(+1),又=x+y,所以x=+1,y=,即x+y=1+.答案1+15.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.解析由题意知cos =sin,即sin,所以+φ=+2kπ或+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ或φ=+2kπ,k∈Z.因为0≤φ<π,所以φ=.答案16.定义a*b是向量a和b的“向量积”,其长度|a*b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角.若u=(2,0),u-v=(1,-),则|u*(u+v)|=.解析因为u=(2,0),u-v=(1,-),所以v=(1,),从而u+v=(3,).若设u与(u+v)的夹角为θ,则cos θ==,从而sin θ=,故|u*(u+v)|=|u||u+v|sin θ=2×2=2答案2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知向量=(1,-2),=(4,-1),=(m,m+1).(1)若,求实数m的值;(2)若△ABC为直角三角形,求实数m的值.解(1)因为向量=(1,-2),=(4,-1),所以=(3,1).因为,且=(m,m+1),所以3(m+1)-m=0,所以m=-.(2)由(1)知=(3,1),=(m-1,m+3),=(m-4,m+2).因为△ABC为直角三角形,所以.当时,有3(m-1)+m+3=0,解得m=0;当时,有3(m-4)+m+2=0,解得m=;当时,有(m-1)(m-4)+(m+3)(m+2)=0,无解.所以实数m的值为0或.18.(本小题满分12分)已知α∈,β∈,cos β=-,sin(α+β)=.(1)求tan 2β的值;(2)求α的值.解(1)因为β∈,cos β=-,可得sin β=,所以tan β==-2, 故tan 2β=.(2)因为α∈,β∈,所以α+β∈,又因为sin(α+β)=,所以cos(α+β)=-=-,于是cos α=cos(α+β-β)=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=,由于α∈,故α=.19.(本小题满分12分)已知向量a=(1,sin x),b=,函数f(x)=a·b-cos 2x.(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.解(1)函数f(x)=a·b-cos 2x=cos 2x cos -sin 2x sin cos 2x=-sin.由2kπ+≤2x+≤2kπ+,可得kπ+≤x≤kπ+,故单调递增区间为:.(2)当x∈时,可得2x+,因此sin,所以函数f(x)的值域是.20.导学号68254119(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f,求cos的值.解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2·+φ=kπ+,k∈Z.由-≤φ<,得k=0,所以φ==-.(2)由(1)得f sin,所以sin.由<α<,得0<α-,所以cos=.因此cos=sin α=sin=sin cos +cos sin=.21.导学号68254120(本小题满分12分)某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园.如图,已知扇形AOB的圆心角∠AOB=,半径为R.现欲修建的花园为▱OMNH,其中M,H分别在OA,OB上,N在上.设∠MON=θ,▱OMNH的面积为S.(1)将S表示为关于θ的函数;(2)求S的最大值及相应的θ值.解(1)如图,过N作NP⊥OA于点P,过H作HE⊥OA于点E,∵∠AOB=,∴OE=EH=NP=R sin θ,OP=R cos θ,∴HN=EP=OP-OE=R(cos θ-sin θ),∴S=HN·NP=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈.(2)S=R2(cos θsin θ-sin2θ)=R2=R2(sin 2θ+cos 2θ-1)=R2,∵θ∈,∴2θ+,∴当2θ+,即θ=时,S取得最大值,且最大值为R2.22.(本小题满分12分)已知点A(sin 2x,1),B,设函数f(x)=(x∈R),其中O 为坐标原点.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值与最小值;(3)求函数f(x)的单调减区间.解(1)∵A(sin 2x,1),B,∴=(sin 2x,1),,∴f(x)==sin 2x+cos=sin 2x+cos 2x cos -sin 2x sin=sin 2x+cos 2x=sin 2x cos +cos 2x sin=sin.故f(x)的最小正周期T==π.(2)∵0≤x≤,∴≤2x+,∴-≤sin≤1,∴f(x)的最大值和最小值分别为1和-.(3)由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴f(x)的单调减区间是,k∈Z.。

(新人教版)2019年高中数学模块综合评价新人教A版必修4【重点推荐】

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )A.57B.61 C ．57D ．61解析：由题意可得a·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61. 答案：B2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( ) A ．－35B ．45C ．25D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)，所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：因为(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位后，得到f (x )的图象，则( )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称解析：f (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，f (x )的图象关于x ＝－π3对称；f ⎝⎛⎭⎪⎫7π3＝cos 16π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos 5π6≠0，因此选B.答案：B5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ⇒120°.故选C.答案：C6．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移7π24个单位后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＞－π3上的值域为[－1，2]，则θ等于( )A.π6B.π4C.2π3D.7π12解析：由图象可知，A ＝－2，T ＝π，ω＝2，φ＝π4，所以f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.g (x )＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －7π24＋π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由题意及g (x )的单调性知，g (θ)＝－1，解得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，结合题意知θ＝π4.答案：B7．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为点P 位于第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ<0，2cos θ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ >0，所以θ在第二象限．答案：B8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC →|＝2，OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值分别是( )A ．1，1 B.3，1 C ．－3，－1D ．－3，1解析：因为∠AOC ＝5π6，所以〈OA →，OC →〉＝5π6.〈OC →，OB →〉＝5π6－π2＝π3.则OC →＝λOA →＋μOB →＝(λ，μ)，OC →·OA →＝(λ，μ)·(1，0)＝|OC →|·|OA →|cos 5π6，即λ＝2×(－32)＝－3，OC →·OB →＝(λ，μ)·(0，1)＝|OC →||OB →|·cos π3，即μ＝2×12＝1，所以λ＝－3，μ＝1，选D.答案：D9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．在△ABC 中，P 是边BC 的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形但不是等边三角形解析：如图，由P 是BC 的中点，cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，知c (PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c )·PA →＋(c －b )PC →＝0，而PA →与PC →不共线，所以a －c ＝c －b ＝0，所以a ＝b ＝c ，故选A. 答案：A11．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos φ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x －12＝12sin 2x sin φ＋12cos φcos 2x ＝12cos(2x －φ)，所以g (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－φ. 因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，所以2×π4＋π6－φ＝2k π(k ∈Z)，即φ＝2π3－2k π(k ∈Z)．因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3. 答案：D12．已知向量a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.13B.27C.17D.23解析：由题意，得cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝25，解得sin α＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，tan α＝－34.则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，所以cos α＝－12.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＝23π，所以tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：314．若函数y ＝sin x (a ≤x ≤b )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值是________．解析：令y ＝12，可得x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，x 的值为…，－7π6，π6，5π6，13π6，…，两个相邻的x 值相差的最大值为4π3，因为函数y ＝sin x (a ≤x ≤b )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以b －a 的最大值是4π3. 答案：4π315．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．解析：如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.答案：1816．如图，在同一平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________．解析：由tan α＝7，得tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－43. 以O 为原点，OA 方向为x 轴正半轴建立坐标系(图略)，则A 点坐标为(1，0)．由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α ＋π4＝－43，OB →的模为1，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由tan α＝7，OC →的模为2，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.由OC →＝mOA →＋nOB →，代入A ，B ，C 点坐标可得， ⎩⎪⎨⎪⎧m －35n ＝15，45n ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74. 所以m ＋n ＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°，所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0，所以cos θ＝22. 又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，1)， (1)求a －2b ；(2)设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值； (3)若向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直，求k 的值．解：(1)a －2b ＝(1，2)－2(－3，1)＝(1＋6，2－2)＝(7，0)．(2)cos θ＝a ·b |a ||b |＝1×（－3）＋2×112＋22·12＋（－3）2＝－210. (3)因为向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直，所以(a ＋kb )·(a －kb )＝0，即a 2－k 2b 2＝0.因为a 2＝5，b 2＝10，所以5－10k 2＝0，所以k ＝±22. 19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．解：(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，由于cos α≠0，所以6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解得tan α＝－43或tan α＝12.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以tan α＜0，所以tan α＝－43.(2)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．所以sin α2＝55，cos α2＝－255，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2·sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z)，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z)，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z)．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2. 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰好有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，又k ＞0，所以k ＝3，令t ＝3x －π3，精品学习资料最新精品资料，为您推荐下载！ 11 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，若sin t ＝s 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，所以方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1，3)，即实数m 的取值范围是[3＋1，3)．。

2018_2019学年高中数学阶段质量检测(一)(含解析)新人教A版必修4

阶段质量检测（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若角α的终边经过点P (－1,3)，则tan α的值为( ) A ．－13 B ．－3 C ．－1010 D.31010解析：选B 由定义，若角α的终边经过点P (－1,3)，∴tan α＝－3.故选B. 2．若sin α＝33，π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．－63 B ．－12 C.12 D.63解析：选A ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，又π2<α<π，sin α＝33，∴cos α＝－63. 3．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1 C.2π3D ．3 解析：选B 弧长l ＝3r －2r ＝r ，则圆心角α＝lr＝1.4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：选C f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π4，当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 解析：选D 周期为π，排除A ，B ；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，所以选D. 6．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：选C 令k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z ，选C.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 解析：选C ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π，∴3π4－α＝π－⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.8．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选B 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos π2－2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos2x －π3.故选B.9．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32 B ．2 C ．0 D.34解析：选A f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤sin x ≤12.当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14；当sin x ＝12时，f (x )max ＝54，∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝32.10．同时具有下列性质的函数可以是( ) ①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立； ②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数． A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选B 依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x ＝π3为对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．对于A 选项，函数周期为4π，因此A 选项不符合；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 选项不符合；对于D 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠±1，即函数图象不以直线x ＝π3为对称轴，因此D 选项不符合．综上可知，应选B.11.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 解析：选C 由图象可知A ＝2，因为π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8·2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝1，又|φ|<π，解得φ＝3π4.故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 12．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a解析：选A 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )，即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是________．解析：因为π2<α<π，所以cos α<0，sin α>0，所以cos α＝－cos 2α＝－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝－11＋tan 2α＝－11＋3＝－12.sin α＝32，所以cos α－sin α＝－1＋32.答案：－1＋3214．函数f (sin x )＝cos 2x ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．解析：令sin x ＝12，得x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π3＝12. 答案：1215．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b ，ba >b ，例如1*2=1，则函数f （x ）=sin x *cos x的值域为________．解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知tan α＋1tan α＝52，求2sin 2(3π－α)－3cos π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2的值．解：tan α＋1tan α＝52，即2tan 2α－5tan α＋2＝0，解得tan α＝12或tan α＝2.2sin 2(3π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2 ＝2sin 2α－3sin αcos α＋2＝2sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＋2. 当tan α＝12时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－3×12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝－45＋2＝65；当tan α＝2时，原式＝2×22－3×222＋1＋2＝25＋2＝125. 18．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2(2)令2k π－π2≤13x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以2k π－π3≤13x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，解得6k π－π≤x ≤2π＋6k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6的单调递增区间为[6k π－π，2π＋6k π]，k ∈Z .19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．解：(1)列表如下：(2)由图可知，值域为[－3,3]，最小正周期为2π，对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合．解：(1)因为函数图象过点(0,1)，所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12，所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z . 21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为－π<φ<π，所以φ＝π3.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ，则π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(3)由题意知，方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上有两个根．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.所以m －16∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.所以m ∈[33＋1,7)．22．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－b (ω>0,0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是π2.若将f (x )的图象先向右平移π6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象对应的函数g (x )为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的对称轴及单调区间；(3)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)－b .又因为函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ－b ＋3为奇函数，且0<φ<π，所以φ＝π3，b ＝3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3.(2)令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得对称轴为直线x ＝π12＋k π2，k ∈Z .令2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，得单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，令2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，得单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以－3≤f (x )≤1－3，所以－1－3≤f (x )－1≤－ 3.因为f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，整理可得m ≤1f x －1＋f (x )－1.由－1－3≤f (x )－1≤－3，得－1－332≤1f x －1＋f (x )－1≤－433，故m ≤－1－332，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1－332.。

2018_2019高中数学模块综合学业质量标准检测新人教A版

模块综合学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．cos1，sin1，tan1的大小关系是( D ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．sin1<tan1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1D ．cos1<sin1<tan1[解析] 作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，有OM <MP <AT ，即cos1<sin1<tan1.故选D ．2．(2015·陕西)对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( B ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤|a |－|b | C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2[解析] 对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥|a |－|b |，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B ．3．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( D )A ．43B ．34C ．－34D ．－43[解析] ∵α是第二象限角，∴cos α＝15x <0，即x <0．又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，∴tan α＝4x ＝－43．4．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( A ) A ．－32B ．－53C ．53D ．32[解析] 因为c ＝(1＋k,2＋k )，b ·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－32，故选A ．5．若cos2αα－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( C ) A ．－72B ．－12C ．12D ．72[解析]cos 2α－sin 2α22α－cos α＝－22，即α＋sin αα－sin α22α－cos α＝－22∴cos α＋sin α＝12．6．将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( C )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1 [解析] 将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得函数y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把y ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( D ) A ．－16 B ．－8 C ．8D ．16[解析] 解法1：∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ，△ABC 为直角三角形，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·|AC →||AB →|＝|AC →|2＝16.故选D ．解法2：∵△ACB 为直角三角形，∴AB →在AC →上的投影为AC ，∴AB →·AC →＝AC →2＝16． 8．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( C )A ．13B ．27C ．17D ．23[解析] 由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，整理得sin α＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝－45.所以tan α＝－34．则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝17．9．每一个音都是纯音合成的，纯音的数字模型是函数y ＝A sin ωt ，音调、响度、音长、音色等音的四要素都与正弦函数及其参数(振幅、频率)有关．我们听到的声音是许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的函数是y ＝14sin4x ＋16sin6x ，则该复合音的周期为( B )A ．3π2B ．πC ．2π3D ．π6[解析] y 1＝14sin4x 的周期是π2，y 2＝16sin6x 的周期是π3，所以y ＝y 1＋y 2的周期应为π2与π3的公倍数π． 10．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( C )A ．5B ．4C ．3D ．2[解析] 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边的中点，由MA →＋MB →＋MC →＝0易知M 是△ABC 的重心， ∴AB →＋AC →＝2AD →．又∵AD →＝32AM →，∴AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，∴m ＝3，故选C ．11．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图，则(OA →＋OB →)·AB →＝( A )A ．6B ．4C ．－4D ．－6[解析] ∵点B 的纵坐标为1， ∴tan(π4x －π2)＝1，∴π4x －π2＝π4，∴x ＝3，即B (3,1)．令tan(π4x －π2)＝0，则π4x －π2＝0，解得x ＝2，∴A (2,0)，∴OA →＋OB →＝(5,1)，AB →＝(1,1)． ∴(OA →＋OB →)·AB →＝6．12．(2018·全国卷Ⅱ理，10)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( A )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π [解析] f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，34π，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减．∵ 函数f (x )在[－a ，a ]是减函数，∴ [－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，34π， ∴ 0<a ≤π4，∴ a 的最大值为π4．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2017全国卷Ⅱ理科)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34(x ∈[0，π2])的最大值是__1__．[解析] f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－(cos x －32)2＋1．∵x ∈[0，π2]，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1． 14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若a ∥b ，则实数x ＝ 12 ．[解析] ∵a ∥b ，∴1－2x ＝0.∴x ＝12．15．已知e 1、e 2是平面单位向量，且e 1· e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝3． [解析] 不妨设b ＝x e 1＋y e 2，则b ·e 1＝x ＋y2＝1，b ·e 2＝x 2＋y ＝1，因此可得x ＝y ＝23，所以|b |＝23|e 1＋e 2|＝233．16．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间(π24，13π24)上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是__①②③__.(注：把你认为正确的说法的序号都填上) [解析] 化简f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π2－π3)＝cos(2x －π3)－sin(2x －π3)＝2cos(2x －π12)，∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )．即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )，即③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos[2(x ＋π24)]≠f (x )，∴④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC →＝λCA →(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b ．(1)当λ＝1时，用a 、b 表示OC →； (2)用a 、b 表示OC →．[解析] (1)当λ＝1时，BC →＝CA →，即C 是AB 的中点， ∴OC →＝12(OB →＋OA →)＝12a ＋12b ．(2)∵BC →＝λCA →，∴BC →＝λ1＋λBA →．又BA →＝OA →－OB →＝a －b ， ∴BC →＝λ1＋λ(a －b )．∴OC →＝OB →＋BC →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λ1＋λa ＋11＋λb ． 18．(本题满分12分)(2018·浙江卷，18)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．[解析] (1)解：由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45．所以sin(α＋π)＝－sin α＝45．(2)解：由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35．由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213．由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665．19．(本题满分12分)已知点A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值． [解析] ∵A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)， BC →＝(2sin θ，cos θ－1)．(1)|AC →|＝|BC →|， ∴θ－2＋cos 2θ＝θ2＋θ－2，化简得2sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝12．∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5． (2)OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)， ∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1， ∴2sin θ＋2cos θ＝1， ∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴1＋2sin θcos θ＝14，∴sin θcos θ＝－38．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4＋π2．(1)求f (x )的解析式； (2)若tan α＋1tan α＝5，求2fα－π4－11－tan α的值．[解析] (1)设最高点为(x 1,1)，相邻的最低点为(x 2，－1)，则|x 1－x 2|＝T2(T >0)，∴x 1－x 22＋＋2＝4＋π2，∴T 24＋4＝4＋π2，∴T ＝2π＝2π|ω|，又ω>0，∴ω＝1． ∴f (x )＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )是偶函数， ∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∵0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x ．(2)∵tan α＋1tan α＝5，∴sin αcos α＋cos αsin α＝5， ∴sin αcos α＝15，∴2f α－π4－11－tan α＝2α－π4－11－tan α＝2αcos π4＋sin2αcossinπ4－11－sin αcos α＝cos2α＋sin2α－1cos α－sin αcos α＝αcos α－2sin 2ααcos α－sin α＝2sin αcos α＝25．21．(本题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限．求OB 2的最大值．[解析] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H ．设∠OAD ＝θ(0<θ<π2)，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin(π2－θ)＝cos θ， AH ＝cos(π2－θ)＝sin θ，所以B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos2θ＋23sin2θ＝7＋43sin(2θ＋π3)．由0<θ<π2，知π3<2θ＋π3<4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋43．22．(本题满分12分)已知向量m ＝(sin 12x,1)，n ＝(43cos 12x ，2cos x )，设函数f (x )＝m·n ．(1)求函数f (x )的解析式．(2)求函数f (x )，x ∈[－π，π]的单调递增区间．(3)设函数h (x )＝f (x )－k (k ∈R )在区间[－π，π]上的零点的个数为a ，试探求a 的值及对应的k 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝m·n ＝43sin 12x cos 12x ＋2cos x＝23sin x ＋2cos x ＝4sin(x ＋π6)． (2)由(1)，知f (x )＝4sin(x ＋π6)，x ∈[－π，π]，所以x ＋π6∈[－5π6，7π6]，由－π2≤x ＋π6≤π2，解得－2π3≤x ≤π3，所以函数f (x )的单调递增区间为[－2π3，π3]．(3)当x ∈[－π，π]时，函数h (x )＝f (x )－k 的零点讨论如下：当k >4或k <－4时，h (x )无零点，a ＝0；当k ＝4或k ＝－4时，h (x )有一个零点，a ＝1；当－4<k <－2或－2<k <4时，h (x )有两个零点，a ＝2；当k ＝－2时，h (x )有三个零点，a ＝3．。

2018-2019学年高中数学人教A版必修4综合质量评估卷含答案

综合质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.sin2010°= ( )A.-B.-C.D.【解析】选A.sin2010°=sin(5×360°+210°)=sin210°=-sin30°=-.2.若点在角α的终边上,则sinα的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选A.由题意,x=sin=,y=cos=-,r=1,所以sinα==-.3.(2018·石家庄高一检测)若tanθ=2,则的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选D.因为tanθ=2,则====.4.已知a与b是非零向量且满足(a-6b)⊥a,(2a-3b)⊥b,则a与b的夹角是( )A. B. C.π D.π【解析】选B.根据条件:(a-6b)·a=a2-6a·b=0;(2a-3b)·b=2a·b-3b2=0;因为|a|≠0,|b|≠0;所以|a|=6|b|cos<a,b>①,3|b|=2|a|cos<a,b>②;所以3|a||b|=12|a||b|cos2<a,b>,所以cos2<a,b>=;所以cos<a,b>=,所以a,b的夹角为.5.已知扇形的圆心角为π弧度,半径为2,则扇形的面积是( )A.πB.C.2πD.π【解析】选D.由S扇形=|α|R2,可得S扇形=×π×22=π.6.若α,β都是锐角,且cosα=,sin(α-β)=,则cosβ= ( )A. B.C.或-D.或【解析】选A.因为cosα=,所以sinα=,因为α,β都是锐角,所以-<α-β<,因为sin(α-β)=>0,所以0<α-β<,所以cos(α-β)=,所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=.7. (2018·日照高一检测)已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),若·=-1,则sin的值为( ) A. B. C. D.【解析】选B.因为=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),所以·=(cosα-3)·cosα+sinα(sinα-3)=-1,得cos2α+sin2α-3(cosα+sinα)=-1,所以sinα+cosα=,故sin=(sinα+cosα)=×=.8.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为( )A. B. C. D.【解析】选C9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(x)的递增区间为( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】选B.由图象可知A=2,T=-=,所以T=π,故ω=2.由五点法作图可得2·+φ=0,求得φ=-,所以f(x)=2sin.由2x-∈(k∈Z),得x∈(k∈Z),所以f(x)的递增区间是(k∈Z).10.设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在内单调递减【解析】选D.当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.11.如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OD=3,点P为△BCD内(含边界)的动点,则|+|的取值范围为( )A. B.[,4]C.[,]D.【解析】选 B.以O为原点建立平面直角坐标系,如图所示:则C(0,1),A(1,0), D(3,0),设P(x,y),则+=(x+1,y),所以|+|=,设M(-1,0),则|+|=||,由图可知当P与C重合时||取得最小值,当P与D重合时,||取得最大值4,所以|+|的取值范围是[,4].12.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )A.-2B.-C.-D.-1【解析】选B.以BC为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),所以=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以+=(-2x,-2y),·(+)=2x2-2y(-y)=2x2+2-≥-,当P时,所求的最小值为-.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.将函数y=sin的图象上的所有点向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),则所得的图象的函数解析式为________.【解析】将函数y=sin的图象上的所有点向右平移个单位,得到函数y=sin=sin2x的图象,再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),则所得的图象的函数解析式为y=sin4x.答案:y=sin4x14.=________.【解析】原式===.答案:15.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________. 【解析】由已知得:a+b=(m+1,3),所以|a+b|2=|a|2+|b|2⇒(m+1)2+32=m2+12+12+22,解得m=-2.答案:-216.已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1+e2与e1-λe2夹角为60°,则实数λ的值是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且=2,=5,(1)若=-+,求证:点F为DE的中点.(2)在(1)的条件下,求·的值.【解析】(1)因为=-+,所以=-=+,又=2,=5,所以=+,所以F为DE的中点.(2)由(1)可得==(-),因为=2,=5,所以=-,所以·=-·=-+·=-×4+×2×6×cos60°=-.18.(12分)已知a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),f(x)=2a·b+2m-1(x,m∈R). (1)求f(x)的对称轴方程.(2)若x∈时,f(x)的最小值为5,求m的值.【解析】(1)a·b=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin+;所以f(x)=2sin+2m;令2x+=+kπ,k∈Z;所以f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z.(2)因为x∈,所以≤2x+≤;所以2x+=时,f(x)min=2×+2m=5;所以m=3.19.(12分)已知函数f(x)=+cos2x-sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间.(2)在所给坐标系中画出函数在区间的图象(只作图不写过程).【解析】f(x)=+cos2x =sin2x+cos2x=sin.(1)函数f(x)的最小正周期T==π, 令2kπ+≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,则2kπ+≤2x≤2kπ+π,k∈Z,故kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(2)图象如下:20.(12分)(2018·山东高考)设函数f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),其中0<ω<3,已知f=0,(1)求ω.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.【解析】(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx==sin,由题设知f=0,所以-=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin,所以g(x)=sin=sin,因为x∈,所以x-∈,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.21.(12分)已知函数f(x)=sin+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为,当x∈时,f(x)的最大值为1.(1)求函数f(x)的解析式.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若g(x)-3≤m≤g(x)+3在x∈上恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)因为函数f(x)=sin+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为,所以=,可得T=π,由=π,可得ω=2,所以f(x)=sin+b,因为当x∈时,2x-∈,由y=sinx在上单调递增,可得当2x-=,即x=时,函数f(x)取得最大值f=sin+b,所以sin+b=1,解得b=-,所以f(x)=sin-.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为:g(x)=sin-=sin-,因为当x∈时,2x-∈,g(x)=sin-∈[-2,1],所以g(x)-3∈[-5,-2],g(x)+3∈[1,4],因为g(x)-3≤m≤g(x)+3在x∈上恒成立,所以m∈[-2,1].22.(12分)如图所示,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,四边形ABCD是扇形的内接矩形,B,C两点在圆弧上,OE是∠POQ的平分线,E在上,连接OC,记∠COE=α,则角α为何值时矩形ABCD的面积最大?并求最大面积.【解析】设OE交AD于M,交BC于N,显然矩形ABCD关于OE对称,而M,N分别为AD,BC的中点,在Rt△ONC中,CN=sinα,ON=cosα,OM==DM=CN=sinα,所以MN=ON-OM=cosα-sinα,即AB=cosα-sinα,而BC=2CN=2sinα,故S矩形ABCD=AB·BC=(cosα-sinα)·2sinα=2sinαcosα-2sin2α=sin2α-(1-cos2α)=sin2α+cos2α-=2-=2sin-.因为0<α<,所以0<2α<,<2α+<,故当2α+=,即α=时,S矩形ABCD取得最大值,此时S矩形ABCD=2-.。

2018_2019学年高中数学阶段质量检测(三)(含解析)新人教A版必修4

阶段质量检测（三）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数解析：选D 因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x ＋22sin x ＝－2sin x ，所以函数f (x )的最小正周期为2π1＝2π.又f (－x )＝－2sin(－x )＝2sin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故选D.2．sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：选C sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15° ＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°) ＝sin 30°＝12.3．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值是( )A.210 B ．－210 C.7210 D ．－7210解析：选A 由题意，sin α＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝210. 4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( )A ．－79B ．－13C.13D.79解析：选A cos 2π3＋2α＝cos π－2π6－α＝－cos2π6－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.5．已知tan(α＋β)＝14，tan α＝322，那么tan(2α＋β)等于( )A.25B.14 C.1318 D.1322解析：选A tan(2α＋β)＝α＋β＋tan α1－α＋βα＝25.6．已知3sin x ＋cos x ＝2a －3，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12解析：选A 由3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2a －3，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －32，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32≤1，即12≤a ≤52.7．在△ABC 中，已知tanA ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 在△ABC 中，tanA ＋B2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sinA ＋B2cosA ＋B2，∴2cos2A ＋B2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形．8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32 D ．±12解析：选B 由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin θ>cos θ，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π，因此，cos 2θ＝－32，故选B.9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x －α)恒成立，则α的值是( )A.π6B.π3C.π4 D.π2解析：选D ∵f (x ＋α)＝f (x －α)，∴函数f (x )的周期为T ＝2α，而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期为T ＝2π2＝π，∴2α＝π，∴α＝π2. 10．已知tan θ和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，那么a ，b 间的关系是( )A ．a ＋b ＋1＝0B ．a ＋b －1＝0C ．a －b ＋1＝0D ．a －b －1＝0解析：选C 由条件得tan θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－a ，tan θtan π4－θ＝b ，∴tan π4＝1＝tan θ＋π4－θ＝tan θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ1－tan θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－a1－b ，∴－a ＝1－b ，即a －b ＋1＝0.11．设a ＝22(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝sin 37°·sin 67°＋sin 53°sin 23°，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c解析：选A a ＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17°＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 37°cos 23°＋cos 37°sin 23°＝sin 60°，故c <a <b .12．在△ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ，当f (B )－m <2恒成立时，实数m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m >－3C ．m <3D ．m >1解析：选D f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B )＝2sin B ＋1. ∵f (B )－m <2恒成立，∴2sin B ＋1－m <2恒成立，即m >2sin B －1恒成立． ∵0<B <π，∴0<sin B ≤1. ∴－1<2sin B －1≤1，故m >1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 解析：因为sin α＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.所以tan α＝sin αcos α＝－12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－11－14＝－43. 答案：－4314．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是________．解析：由题意，sin A 2＝14，∴cos A 2＝154，∴tan A 2＝1515.∴tan A ＝2tanA21－tan2A 2＝157.答案：15715．化简sin(x ＋60°)＋2sin(x －60°)－3cos(120°－x )的结果是________．解析：原式＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝0.答案：016．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则m ＝________.解析：f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋1＋cos 2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，所以f (x )max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，所以m ＝0.答案：0三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分 )已知cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6以及tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．解：因为cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，所以sin θ＝－513，tan θ＝－512，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6 ＝－513×32－1213×12＝－53＋1226，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋tan π41－tan θtan π4＝－512＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－512×1＝717.18．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0. ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin2π4－2＝0.19．(12分)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解：(1)由|a|2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1，此时f (x )取得最大值，最大值为32.20．(12分)已知向量a ＝(3，cos 2ωx )，b ＝(sin 2ωx,1)(ω>0)，令f (x )＝a·b ，且函数f (x )的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＋m ≤3，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝a·b ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.∵函数f (x )的最小正周期为π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴f (x )∈[－1,2]．由f (x )＋m ≤3，得f (x )max ＋m ≤3， ∴2＋m ≤3，∴m ≤1.21.(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)试确定函数f (x )的解析式； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2π＝13，求cos 2π3－α的值．解：(1)由图象知，A ＝2，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，∴ω＝2πT ＝2π2＝π，故函数f (x )＝2sin(πx ＋φ)．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1. 又∵|φ|<π2，即－π2<φ<π2，∴－π6<π3＋φ<5π6，故π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α2π＝13，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π·α2π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π6＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π6＝16，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝16，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α2＝2cos 2π3－α2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫162－1＝－1718.22．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最小正周期为π.∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1， ∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6.又∵f (x 0)＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310.。

2019高中数学模块综合测评新人教A版必修4

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos(－2 640°)＋sin 1 665°等于( ) A ．1＋22B ．－1＋22C ．1＋32D ．－1＋32B [cos(－2 640°)＝cos 2 640° ＝cos(7×360°＋120°) ＝cos 120°＝－12，sin 1 665°＝sin(4×360°＋225°) ＝sin 225°＝sin(180°＋45°) ＝－sin 45°＝－22， ∴cos(－2 640°)＋sin 1 665°＝－12－22＝－1＋22.]2．已知扇形的圆心角为2π3弧度，半径为2，则扇形的面积是( )【导学号：84352374】A ．8π3B ．43C ．2πD ．4π3D [此扇形的面积S ＝12×2π3×22＝4π3.]3．log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2C [log 2sin π12＋log 2cos π12＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π12＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π6＝log 214＝－2.]4．设向量a ＝(2tan α，tan β)，向量b ＝(4，－3)，且a ＋b ＝0，则tan(α＋β)＝( )【导学号：84352375】A ．17B ．－15C ．15D ．－17A [∵a ＋b ＝(2tan α＋4，tan β－3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2tan α＋4＝0，tan β－3＝0，∴tan α＝－2，tan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋31－－2×3＝17.]5．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，且ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图1所示，则( )图1A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4C [∵T ＝4×2＝8，∴ω＝π4，又π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4.] 6．已知tan θ2＝23，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ的值为( )A ．23 B ．－23C ．32D ．－32A [1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝tan θ2＝23.]7．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( )【导学号：84352376】A ．－32B ．－16C ．16D ．32D [由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，]8．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，－3B [y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x ＋π3＝k π，(k ∈Z )，x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6，∴函数图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π6，－32.]9．设向量a ＝(c os 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 为实数，则|a －t b |的最小值是( )A ．12B ．1C ．32D ．1＋ 3A [|a －t b |＝a －t b2＝a 2－2t a·b ＋t 2b 2＝1－2t a·b ＋t 2＝t 2－2t ＋＋1＝t 2－－2t ＋1＝t 2－3t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋14，即|a －t b |的最小值为12.]10．已知f (x )＝1＋sin 2x2，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 0.2)，则下列正确的是( )【导学号：84352377】A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1C [∵b ＝f (lg 0.2)＝f (－lg 5)， ∴f (x )＋f (－x )＝1＋sin 2x 2＋1＋－2x 2＝1， ∴a ＋b ＝f (lg 5)＋f (－lg 5)＝1.]11．如图2，设P 为△ABC 内一点，且AP →＝14AB →＋15AC →，BM →＝34BA →，CN →＝45CA →，则△PMB 的面积与△ABC 的面积之比等于( )图2A ．1∶5B ．2∶5C ．3∶20D ．7∶20C [由题可知AM →＝14AB →，AN →＝15AC →，则AP →＝AM →＋AN →，由平行四边形法则可知NP →∥AB →，AN →∥MP →，所以S △PMB S △ABC ＝|PM →|·|MB →||AB →|·|AC →|＝15×34＝320.]12．在△ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ，当f (B )－m ＜2恒成立时，实数m 的取值范围是( )【导学号：84352378】A ．m ＜1B ．m ＞－3C ．m ＜3D ．m ＞1D [f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m ＜2恒成立， ∴2sin B ＋1－m ＜2恒成立，即m ＞2sin B －1恒成立． ∵0＜B ＜π， ∴0＜sin B ≤1，∴－1＜2sin B －1≤1，故m ＞1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知O A →＝(－2,1)，O B →＝(0,2)，且A C →∥O B →，B C →⊥A B →，则点C 的坐标是________． (－2,6) [设C (x ，y )，则A C →＝(x ＋2，y －1)，B C →＝(x ，y －2)，A B →＝(2,1)．由A C →∥O B →，B C →⊥A B →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴点C 的坐标为(－2,6)．]14．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，则所得的图象的函数解析式为________.【导学号：84352379】y ＝sin 4x [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得y ＝sin 4x .]15．如图3，在平行四边形OPQR 中，S 是对角线的交点，若OP →＝2e 1，OR →＝3e 2，以e 1，e 2为基底，表示PS →＝________，QS →＝________.图332e 2－e 1，－e 1－32e 2 [∵平行四边形OPQR 中，OQ →＝OP →＋OR →＝2e 1＋3e 2， PR →＝OR →－OP →＝3e 2－2e 1. S 是OQ ，PR 的中点，∴PS →＝12PR →＝32e 2－e 1，QS →＝－12OQ →＝－e 1－32e 2.]16．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于________. 【导学号：84352380】π3[由题意得， sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin(α－β)＝3314.∵0＜β＜α＜π2，∴cos(α－β)＝1－27196＝1314. 又cos α＝17得sin α＝437.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αα＋π·α－ππ－α的值．[解] (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， ∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α.由(1)得sin α＝－35，P 在单位圆上，∴cos α＝45，∴原式＝54.18．(本小题满分12分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.【导学号：84352381】[解] 由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2α ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135. 19．(本小题满分12分)如图4，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，图4(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点；(2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值． [解] (1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →，所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →，又AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以AF →＝12AD →＋12AE →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以EF →＝14AB →－110AC →，所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC →＝－14AB 2→＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos 60°＝－25.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 4x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋cos 2x －sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在所给坐标系中画出函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π，118π的图象(只作图不写过程).【导学号：84352382】图5[解] f (x )＝1－2sin 22x －1－2sin 2x ＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则2k π＋π4≤2x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (2)图象如下：21．(本小题满分12分)如图6，已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设Z 是直线OP 上的一动点．图6(1)求使ZA →·ZB →取最小值时的OZ →；(2)对(1)中求出的点Z ，求cos ∠AZB 的值． [解] (1)∵Z 是直线OP 上的一点， ∴OZ →∥OP →.设实数t ，使OZ →＝tOP →， ∴OZ →＝t (2,1)＝(2t ，t )，则ZA →＝OA →－OZ →＝(1,7)－(2t ，t ) ＝(1－2t,7－t )， ZB →＝OB →－OZ →＝(5,1)－(2t ，t )＝(5－2t,1－t )，∴ZA →·ZB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8. 当t ＝2时，ZA →·ZB →有最小值－8，此时OZ →＝(2t ，t )＝(4,2)．(2)当t ＝2时，ZA →＝(1－2t,7－t )＝(－3,5)，|ZA →|＝34，ZB →＝(5－2t,1－t )＝(1，－1)，|ZB →|＝ 2. 故cos ∠AZB ＝ZA →·ZB→|ZA →||ZB →|＝－834×2＝－417＝－41717.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3tan ωx ＋1tan 2ωx ＋1(ω＞0)． (1)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，求f (x )的单调增区间；(2)若f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x (0＜ω＜2)，求ω的值； (3)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上单调递增，则ω的最大值为多少？【导学号：84352383】[解] f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx cos ωx 2＋1 ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx 2 ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π，2π|2ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，又因当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2时f (x )单调递增即f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6k ∈Z . (2)因为f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x ，所以函数f (x )关于直线x ＝π3对称，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1，所以ω＝12＋3k 2(k ∈Z )．又ω∈(0,2)，所以k ＝0，ω＝12.(3)由题意知ω＞0，y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上单调递增，所以T 4＝π4ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －π4ω≤－3π2，π4ω≥π2，解得ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16，所以ωmax ＝16.。

2018-2019学年高中数学(人教A版+必修4)课后习题：模块综合测评(B)+Word版含解析

模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知sin(-α)=,且cos(-α)>0,则tan α=()A. B.- C. D.-解析由已知得sin α=-,cos α>0,所以α是第四象限角,于是tan α=-.答案D2.已知向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a-b,n=a+λb,如果m⊥n,那么实数λ=()A.4B.3C.2D.1解析因为向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a-b,n=a+λb,所以m=(0,-3),n=(1+λ,-2+λ).因为m⊥n,所以m·n=0-3(-2+λ)=0,解得λ=2.答案C3.若角α的终边与单位圆相交于点(x0,2x0)(x0≠0),则tan 2α=()A.-B.C.-D.解析依题意tan α==2,所以tan 2α==-.--答案A4.已知平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2b),则向量b在向量a方向上的投影为()A.1B.-1C.2D.-2解析由题设a·(a+2b)=0,即a2+2a·b=0,所以4+4|b|cos θ=0,即|b|cos θ=-1.答案B5.函数y=-在一个周期内的图象是()12解析y=----cosx · - =-2sin x cos x=-sin 2x ,故选B . 答案B 6.导学号68254118将函数f (x )=sin 2x的图象向左平移个单位,再向上平移2个单位,得到g (x )的图象.若g (x 1)·g (x 2)=9,且x 1,x 2∈[-2π,2π],则|x 1-x 2|的最大值为( ) A.πB.2πC.3πD.4π解析依题意得g (x )=sin 2+2=sin+2,若g (x 1)·g (x 2)=9,则g (x 1)=g (x 2)=3,所以sin3=sin 2 2+ 3=1.因为x 1,x 2∈[-2π,2π],所以2x 1+,2x 2+-,设2x 1++2k π,2x 2++2n π,k ,n ∈Z ,则当2x 1+=-,2x 2+时,|x 1-x 2|取得最大值3π. 答案C7.已知a 与b 是非零向量且满足(a -6b )⊥a ,(2a -3b )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ) A.B.C. πD. π解析根据条件(a -6b )·a =a 2-6a ·b =0,(2a -3b )·b =2a ·b -3b 2=0,又因为|a |≠0,|b |≠0,所以|a |=6|b |cos <a ,b >①, 3|b |=2|a |cos <a ,b >②, 所以3|a ||b |=12|a ||b |cos 2<a ,b >, 得cos 2<a ,b >=,则cos <a ,b >=, 故a ,b 的夹角为. 答案B8.的值等于( )A.4B.-4C.-4D.4解析原式=--===-=-=-4.答案C9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,若f(x)>1对∀x∈-恒成立,则φ的取值范围是()A. B.C. D.解析函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,故函数的周期为=π,所以ω=2,于是f(x)=2sin(2x+φ)+1.若f(x)>1对∀x∈-恒成立,即当x∈-时,sin(2x+φ)>0恒成立,则有2kπ≤2·-+φ<2·+φ≤2kπ+π,求得2kπ+≤φ≤2kπ+,k∈Z,又|φ|≤,所以≤φ≤,故选D.答案D10.如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则||的范围为()A.[0,B.[0,2)3D.[1,2)解析设的夹角为θ,θ∈,则cos θ∈[-1,0),||2=+2=2+2cos θ∈[0,2),故||的范围为[0,).答案A11.已知函数f(x)=sin(π-x)cos(-x)+sin(π+x)cos-图象上的一个最低点为A,离A最近的两个最高点分别为B与C,则=()A.9+B.9-C.4+D.4-解析f(x)=sin x cos x-sin2x=·sin 2x--sin 2x+cos 2x-=sin, 因此f(x)最大值为,最小值为-.设A-,则B-,C,于是-,故=4-.答案D12.若函数y=2sin ωx(ω>0)在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,则ω的取值范围是()A. B.C. D.解析依题意,函数y=2sin ωx在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,由图象可知T≤2π<T,亦即≤2π<,解得≤ω<.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数f(x)=cos x cos +cos cos 的值域是.解析f(x)=cos x cos +cos cos =cos x cos -sin x sin =cos,故函数值域为[-1,1].414.如图,将两块三角板拼在一起组成一个平面四边形ABCD,若=x+y(x,y∈R),则x+y=.解析设AB=1,则AD=,BD=BC=2,过点C作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,如图所示;则BE=,AF=1,且=(+1),又=x+y,所以x=+1,y=,即x+y=1+.答案1+15.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.解析由题意知cos =sin,即sin,所以+φ=+2kπ或+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ或φ=+2kπ,k∈Z.因为0≤φ<π,所以φ=.答案16.定义a*b是向量a和b的“向量积”,其长度|a*b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角.若u=(2,0),u-v=(1,-),则|u*(u+v)|=.解析因为u=(2,0),u-v=(1,-),所以v=(1,),从而u+v=(3,).若设u与(u+v)的夹角为θ,则cos θ=5=,从而sin θ=,故|u*(u+v)|=|u||u+v|sin θ=2×2=2答案2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知向量=(1,-2),=(4,-1),=(m,m+1).(1)若,求实数m的值;(2)若△ABC为直角三角形,求实数m的值.解(1)因为向量=(1,-2),=(4,-1),所以=(3,1).因为,且=(m,m+1),所以3(m+1)-m=0,所以m=-.(2)由(1)知=(3,1),=(m-1,m+3),=(m-4,m+2).因为△ABC为直角三角形,所以或或.当时,有3(m-1)+m+3=0,解得m=0;当时,有3(m-4)+m+2=0,解得m=;当时,有(m-1)(m-4)+(m+3)(m+2)=0,无解.所以实数m的值为0或.18.(本小题满分12分)已知α∈,β∈,cos β=-,sin(α+β)=-.(1)求tan 2β的值;(2)求α的值.=-2,解(1)因为β∈,cos β=-,可得sin β=-,所以tan β=-6故tan 2β=.-(2)因为α∈,β∈,所以α+β∈,又因为sin(α+β)=-,所以cos(α+β)=--=-,于是cos α=cos(α+β-β)=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=---,由于α∈,故α=.19.(本小题满分12分)已知向量a=(1,sin x),b=,函数f(x)=a·b-cos 2x.(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.解(1)函数f(x)=a·b-cos 2x=cos 2x cos -sin 2x sin -cos 2x=-sin.由2kπ+≤2x+≤2kπ+,可得kπ+≤x≤kπ+,故单调递增区间为:.(2)当x∈时,可得2x+,因此sin,所以函数f(x)的值域是-. 20.导学号68254119(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f,求cos的值.解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2·+φ=kπ+,k∈Z.由-≤φ<,得k=0,所以φ==-.(2)由(1)得f sin-,78所以sin -.由 <α< ,得0<α- , 所以cos - - -= -.因此cos =sin α=sin -=sin - cos+cos - sin=.21.导学号68254120(本小题满分12分)某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园.如图,已知扇形AOB 的圆心角∠AOB=,半径为R.现欲修建的花园为▱OMNH ,其中M ,H 分别在OA ,OB 上,N 在上.设∠MON=θ,▱OMNH 的面积为S. (1)将S 表示为关于θ的函数; (2)求S 的最大值及相应的θ值.解(1)如图,过N 作NP ⊥OA 于点P ,过H 作HE ⊥OA 于点E ,∵∠AOB=,∴OE=EH=NP=R sin θ,OP=R cos θ, ∴HN=EP=OP-OE=R (cos θ-sin θ), ∴S=HN ·NP=R 2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈.(2)S=R 2(cos θsin θ-sin 2θ)=R2--=R2(sin 2θ+cos 2θ-1)=R2-,∵θ∈,∴2θ+,∴当2θ+,即θ=时,S取得最大值,且最大值为-R2.22.(本小题满分12分)已知点A(sin 2x,1),B,设函数f(x)=(x∈R),其中O为坐标原点.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值与最小值;(3)求函数f(x)的单调减区间.解(1)∵A(sin 2x,1),B,∴=(sin 2x,1),,∴f(x)==sin 2x+cos=sin 2x+cos 2x cos -sin 2x sin=sin 2x+cos 2x=sin 2x cos +cos 2x sin=sin.故f(x)的最小正周期T==π.(2)∵0≤x≤,∴≤2x+,∴-≤sin≤1,∴f(x)的最大值和最小值分别为1和-.9(3)由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴f(x)的单调减区间是,k∈Z.10。

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