高中数学必修1模块综合测试题
高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册
模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)， 则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11． 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减， 得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4， 所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |， 得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2， 即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)， 所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3． 所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ． 又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)． 设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量， 则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1， 又因为a 2－b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下： 设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2． 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数． 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0， 所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0， 整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0． 从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意． 综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。
高中数学必修一前三章综合测试
（1）求
f
(x)
f
1 ( ) 的值；（2）计算：
f
(1)
f
(2)
f
(3)
f
(4)
f
(1)
f
(1)
f
(1).
x
234
x2 3x 0 22．已知函数 f x 1 x 0 ，求：
x 4 x 0
（1） f f f 4 ；
（2）若 f x 7 ，求 x 的值．
2 23．已知关于 x 的不等式 ax2 x 1 a 0 ． (1)当 a 1 时，解关于 x 的不等式；
(1) A B ；(2) CU A B ．
20．（1）设
x
3
，求函数
f
x
x
x
1
3
的最小值；
（2）设 0 x 5 ，求函数 f x x 30 2x 的最大值；
（3）已知 a,b 为正实数，且 a b 2 ，求 3 2 的最小值. ab
21．已知函数 f (x) x2 , x R . 1 x2
，则甲是乙的（
）条件
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．适合条件1 A 1, 2,3, 4,5, 6 的集合 A 的个数是（ ）
A．15
B．16
C．31
D．32
5．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f(x)=1 与 g(x)=x0
B． f x x2 1 与 g x x 1 x 1
高中数学必修一前三章综合测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
高中数学必修一练习题目( 带答案)
人教A 版·数学单元综合测试单元综合测试一(第一章)时间：120分钟 分值：150分1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．7 D ．82．下列五个写法，其中错误．．写法的个数为( ) ①{0}∈{0,2,3}；②Ø {0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈Ø；⑤0∩Ø＝Ø A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 C3．使根式x －1与x －2分别有意义的x 的允许值集合依次为M 、F ，则使根式x －1＋x －2有意义的x 的允许值集合可表示为( ) A ．M ∪F B ．M ∩F C ．∁M F D ．∁F M4．已知M ＝{x |y ＝x 2－2}，N ＝{y |y ＝x 2－2}，则M ∩N 等于( ) A ．N B ．M C ．R D ．Ø5．函数y ＝x 2＋2x ＋3(x ≥0)的值域为( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．[3，＋∞)6．等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰的长x 的函数，则y 等于( ) A ．20－2x (0<x ≤10) B ．20－2x (0<x <10) C ．20－2x (5≤x ≤10) D ．20－2x (5<x <10)7．用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水，则水面的高度h 和时间t 之间的关系是图1乙中的( )甲乙图18．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |) ②y ＝f (－x ) ③y ＝xf (x ) ④y ＝f (x )＋x A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④9．已知0≤x ≤32，则函数f (x )＝x 2＋x ＋1( )A ．有最小值－34，无最大值B ．有最小值34，最大值1C ．有最小值1，最大值194D ．无最小值和最大值10．已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数y ＝f (x )的图象如图2甲所示，则函数f (|x |)的图象是图2乙中的( )甲乙图211．若偶函数f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A ．f (－32)<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f (－32)<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f (－32)D ．f (2)<f (－32)<f (－1)12.(2009·四川高考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎣⎡⎦⎤f (52)的值是( ) A ．0 B.12 C ．1 D.52第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，A ＝{a ，c ，d }，B ＝{b ，d ，e }，则∁U A ∩∁U B ＝________. 14．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |－1≤x <2}，则∁U (A ∩B )＝________.15．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上为减函数，求实数a 的取值范围为________．16．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)、f (1)、f (－2)从小到大的顺序是__________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)设A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}， (1)当x ∈N *时，求A 的子集的个数；(2)当x ∈R 且A ∩B ＝Ø时，求m 的取值范围．18．(12分)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且B ⊆A ，求a ，b 的值．19．(12分)已知函数f (x )＝xax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)，满足f (2)＝1，方程f (x )＝x 有唯一实数解，求函数f (x )的解析式和f [f (－4)]的值．20．(12分)已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋(a 2－2a ＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值．21．(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选22．(12分)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围．单元综合测试二(第二章)时间：120分钟 分值：150分1．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 C3．如果log 12x >0成立，则x 应满足的条件是( )A ．x >12 B.12<x <1C ．x <1D ．0<x <14．函数f (x )＝log 3(2－x )在定义域区间上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．有时是增函数有时是减函数 D ．无法确定其单调5．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下( ) A ．0.015克 B ．(1－0.5%)3克C ．0.925克 D.1000.125克6．函数y ＝log 2x 与y ＝log 12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于y ＝x 对称7．函数y ＝lg(21－x－1)的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．y ＝x 对称8．设a >b >c >1，则下列不等式中不正确的是( ) A ．a c >b c B ．log a b >log a cC ．c a >c bD ．log b c <log a c9．已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)，若当x ∈(－1,0)时，f (x )<0，则f (x )是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．常数函数 D ．不单调的函数 10．设a ＝424，b ＝312，c ＝6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b <c <a C ．b >c >a D ．a <b <c11．若方程a x ＝x ＋a 有两解，则a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1)C ．(0，＋∞)D ．Ø 12．已知f (x )是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (1)，则x 的取值范围是( )A ．(110，1)B ．(0，110)∪(1，＋∞)C ．(110，10) D ．(0,1)∪(0，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a ＝________. 14．方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．15．设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2007)))＝________.16．设0≤x ≤2，则函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值是________，最小值是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，求(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值． 18．(12分)已知关于x 的方程4x ·a －(8＋2)·2x ＋42＝0有一个根为2，求a 的值和方程其余的根．19．(12分)已知f (x )＝2x －12x ＋1，证明：f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数．20．(12分)已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，且f (12)＝0，求不等式f (log a x )>0(a >0，且a ≠1)的解集．21．(12分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 都满足f (x ＋y )＝f (y )＋(x ＋2y ＋1)x ，且f (1)＝0， (1)求f (0)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)当x ∈[0，12]时，f (x )＋3<2x ＋a 恒成立，求a 的范围．22．(12分)设函数f (x )＝log a (1－ax)，其中0<a <1.(1)求证：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)解不等式f (x )>1.单元综合测试三(第三章)时间：120分钟 分值：150分1．二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．42．函数y ＝1＋1x的零点是( )A ．(－1,0)B ．－1C ．1D ．03．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )4．若函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．无法判断D ．等于零5．函数f (x )＝e x －1x的零点所在的区间是( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，32)D ．(32，2)6．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多个7．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝0.1x 2－11x ＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于( )A ．55台B ．120台C ．150台D ．180台8．已知α是函数f (x )的一个零点，且x 1<α<x 2，则( ) A ．f (x 1)f (x 2)>0 B ．f (x 1)f (x 2)<0 C ．f (x 1)f (x 2)≥0 D ．以上答案都不对9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水( )A ．10吨B ．13吨C ．11吨D ．9吨10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象为( )11．函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|－k 只有两个零点，则( ) A ．k ＝0 B ．k >1 C ．0≤k <1 D ．k >1，或k ＝0A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0) 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是__________．14．已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1的零点为－12，13，则a ＝__________，b ＝__________.15．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为定值l ，则这块场地面积y 与场地一边长x 的关系为________．图116．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．18．(12分)求方程x 2＋2x ＝5(x >0)的近似解(精确度0.1)． 19．(12分)要挖一个面积为800 m 2的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m 的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P 和Q (万元)，这两项利润与投入的资金x (万元)的关系是P ＝x 3，Q ＝103x ，该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x 万元，获得总利润y (万元)，写出y 关于x 的函数关系式及其定义域．21．(12分)已知某种产品的数量x (百件)与其成本y (千元)之间的函数关系可以近似用y ＝ax 2＋bx ＋c(1)(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p ＝p (x )；(3)据利润函数p ＝p (x )确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏)22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f (x )(万件)如表所示：x 1 2 3 4 f (x ) 4.00 5.58 7.00 8.44(1)画出2000～(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．(3)2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？单元综合测试四(必修1综合检测)时间：120分钟 分值：150分题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1．集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，C ＝{2,3,4}，则(A ∩B )∪C ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2,4} C ．{2,3,4} D ．{1,2,3,4}2．如图1所示，U 表示全集，用A ，B 表示阴影部分正确的是( )图1A ．A ∪B B ．(∁U A )∪(∁U B )C ．A ∩BD ．(∁U A )∩(∁U B )3．若f (x )＝1－2x ，g (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则g ⎝⎛⎭⎫12的值为( ) A ．1 B ．3 C ．15 D ．304．设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2(x <1)，4－x －1(x ≥1)，则使得f (－1)＋f (m －1)＝1成立的m 的值为( )A ．10B ．0，－2C ．0，－2,10D ．1，－1,115．若x ＝6是不等式log a (x 2－2x －15)>log a (x ＋13)的一个解，则该不等式的解集为( ) A ．(－4,7) B ．(5,7) C ．(－4，－3)∪(5,7) D ．(－∞，－4)∪(5，＋∞)6．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最大值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值7．方程(13)x ＝|log 3x |的解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 8．下列各式中，正确的是( )A ．(－43)23<(－54)23B ．(－45)13<(－56)13C ．(12)12>(13)12D ．(－32)3>(－43)39．生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3这个食物链中，若能使H 3获得10 kJ 的能量，则需H 1提供的能量为( )A ．105 kJB ．104 kJC ．103 kJD ．102 kJ10．如图3(1)所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的图象是如图3(2)所示的( )图311．函数f (x )在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若f (1－m )＋f (－m )<0，则m 的取值范围是( )A ．(0，12) B ．(－1,1)C ．(－1，12)D ．(－1,0)∪(1，12)12．(2009·山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(1－x )，f (x －1)－f (x －2)，x ≤0x >0，则f (2009)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13.log 2716log 34的值是________．14．若函数y ＝kx ＋5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围为__________．15．已知全集U ＝{x |x ∈R }，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k <x <k ＋1，k ∈R }，且(∁U A )∩B ＝Ø，则实数k 的取值范围是________．16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y (只)与时间x (年)的关系可近似地由关系式y ＝a log 2(x ＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的只数约为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)用定义证明：函数g (x )＝kx(k <0，k 为常数)在(－∞，0)上为增函数．18．(12分)已知集合P ＝{x |2≤x ≤5}，Q ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，当P ∩Q ＝Ø时，求实数k 的取值范围．19．(12分)已知f (x )为一次函数，且满足4f (1－x )－2f (x －1)＝3x ＋18，求函数f (x )在[－1,1]上的最大值，并比较f (2007)和f (2008)的大小．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．21．(12分)设函数y＝f(x)，且lg(lg y)＝lg3x＋lg(3－x)．(1)求f(x)的解析式和定义域；(2)求f(x)的值域；(3)讨论f(x)的单调性．22．(12分)已知函数f(x)＝lg(4－k·2x)(其中k为实数)，(1)求函数f(x)的定义域；(2)若f(x)在(－∞，2]上有意义，试求实数k的取值范围．答案及详细解析单元测试一(第一章)时间：120分钟分值：150分1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为()A．3 B．6C．7 D．8解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个．答案：C2．下列五个写法，其中错误．．写法的个数为()①{0}∈{0,2,3}；②Ø {0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈Ø；⑤0∩Ø＝ØA．1 B．2C．3 D．4解析：②③正确．答案：C3．使根式x－1与x－2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式x－1＋x－2有意义的x的允许值集合可表示为()A．M∪F B．M∩F C．∁M F D．∁F M解析：根式x－1＋x－2有意义，必须x－1与x－2同时有意义才可．答案：B4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于()A．N B．M C．R D．Ø解析：M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.答案：A5．函数y＝x2＋2x＋3(x≥0)的值域为()A．R B．[0，＋∞) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴函数在区间[0，＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)2＋2＝3.答案：D6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于()A．20－2x(0<x≤10) B．20－2x(0<x<10)C．20－2x(5≤x≤10) D．20－2x(5<x<10)解析：C＝20＝y＋2x，由三角形两边之和大于第三边可知2x>y＝20－2x，x>5.答案：D7．用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的()甲乙图1解析：水面升高的速度由慢逐渐加快． 答案：B8．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |) ②y ＝f (－x ) ③y ＝xf (x ) ④y ＝f (x )＋x A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④解析：因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．①y ＝f (|x |)为偶函数；②y ＝f (－x )为奇函数；③令F (x )＝xf (x )，所以F (－x )＝(－x )f (－x )＝(－x )·[－f (x )]＝xf (x )．所以F (－x )＝F (x )．所以y ＝xf (x )为偶函数；④令F (x )＝f (x )＋x ，所以F (－x )＝f (－x )＋(－x )＝－f (x )－x ＝－[f (x )＋x ]．所以F (－x )＝－F (x )．所以y ＝f (x )＋x 为奇函数．答案：D9．已知0≤x ≤32，则函数f (x )＝x 2＋x ＋1( )A ．有最小值－34，无最大值B ．有最小值34，最大值1C ．有最小值1，最大值194 D ．无最小值和最大值解析：f (x )＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34，画出该函数的图象知，f (x )在区间[0，32]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )max ＝f (32)＝194.答案：C10．已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数y ＝f (x )的图象如图2甲所示，则函数f (|x |)的图象是图2乙中的( )甲乙图2解析：因为y ＝f (|x |)是偶函数，所以y ＝f (|x |)的图象是由y ＝f (x )把x ≥0的图象保留，再关于y 轴对称得到的．答案：B11．若偶函数f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A ．f (－32)<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f (－32)<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f (－32)D ．f (2)<f (－32)<f (－1)解析：由f (x )是偶函数，得f (2)＝f (－2)，又f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，则f (2)<f (－32)<f (－1)． 答案：D12.(2009·四川高考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎣⎡⎦⎤f (52)的值是( ) A ．0 B.12 C ．1 D.52解析：令x ＝－12，则－12f (12)＝12f (－12)，又∵f (12)＝f (－12)，∴f (12)＝0；令x ＝12，12f (32)＝32f (12)，得f (32)＝0；令x ＝32，32f (52)＝52f (32)，得f (52)＝0；而0·f (1)＝f (0)＝0，∴f ⎣⎡⎦⎤f (52)＝f (0)＝0，故选A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，A ＝{a ，c ，d }，B ＝{b ，d ，e }，则∁U A ∩∁U B ＝________. 解析：∁U A ∩∁U B ＝∁U (A ∪B )，而A ∪B ＝{a ，b ，c ，d ，e }＝U . 答案：Ø14．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |－1≤x <2}，则∁U (A ∩B )＝________. 解析：A ∩B ＝{x |1≤x <2}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x <1或x ≥2}． 答案：{x |x <1或x ≥2}15．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上为减函数，求实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的对称轴为x ＝1－a ，则由题知：1－a ≥3即a ≤－2. 答案：a ≤－216．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)、f (1)、f (－2)从小到大的顺序是__________．解析：∵f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，∴m ＝0.∴f (x )＝－x 2＋2.∴f (0)＝2，f (1)＝1，f (－2)＝－2，∴f (－2)<f (1)<f (0)． 答案：f (－2)<f (1)<f (0)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)设A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}， (1)当x ∈N *时，求A 的子集的个数；(2)当x ∈R 且A ∩B ＝Ø时，求m 的取值范围． 解：(1)∵x ∈N *且A ＝{x |－2≤x ≤5}，∴A ＝{1,2,3,4,5}．故A 的子集个数为25＝32个． (2)∵A ∩B ＝Ø，∴m －1>2m ＋1或2m ＋1<－2或m －1>5， ∴m <－2或m >6.18．(12分)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且B ⊆A ，求a ，b 的值．解：(1)当B ＝A ＝{－1,1}时，易得a ＝0，b ＝－1； (2)当B 含有一个元素时，由Δ＝0得a 2＝b ， 当B ＝{1}时，由1－2a ＋b ＝0，得a ＝1，b ＝1当B ＝{－1}时，由1＋2a ＋b ＝0，得a ＝－1，b ＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝xax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)，满足f (2)＝1，方程f (x )＝x 有唯一实数解，求函数f (x )的解析式和f [f (－4)]的值．解：∵f (x )＝xax ＋b且f (2)＝1，∴2＝2a ＋b .又∵方程f (x )＝x 有唯一实数解．∴ax 2＋(b －1)x ＝0(a ≠0)有唯一实数解．故(b －1)2－4a ×0＝0，即b ＝1，又上式2a ＋b ＝2，可得：a ＝12，从而f (x )＝x 12x ＋1＝2xx ＋2，∴f (－4)＝2×(－4)－4＋2＝4，f (4)＝86＝43，即f [f (－4)]＝43.20．(12分)已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋(a 2－2a ＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值．解：f (x )＝4⎝⎛⎭⎫x －a22＋2－2a . (1)当a2<0即a <0时，f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2＝3，解得：a ＝1－ 2.(2)0≤a 2≤2即0≤a ≤4时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝2－2a ＝3，解得：a ＝－12(舍去)． (3)a2>2即a >4时，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18＝3，解得：a ＝5＋10， 综上可知：a 的值为1－2或5＋10.21．(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选解：设甲、乙两地距离为x 千米(x >0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为y 1和y 2. 于是y 1＝8x ＋1000＋(x50＋2)×300＝14x ＋1600，y 2＝4x ＋1800＋(x100＋4)×300＝7x ＋3000.令y 1－y 2<0得x <200.①当0<x <200时，y 1<y 2，此时应选用汽车；②当x ＝200时，y 1＝y 2，此时选用汽车或火车均可； ③当x >200时，y 1>y 2，此时应选用火车．故当距离小于200千米时，选用汽车较好；当距离等于200千米时，选用汽车或火车均可；当距离大于200千米时，选用火车较好．22．(12分)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围．解：(1)f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝2＋1＝3.(2)∵f (x )＋f (x －2)≤3，∴f [x (x －2)]≤f (8)，又∵对于函数f (x )有x 2>x 1>0时f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －2>0x (x －2)≤8⇒2<x ≤4.∴x 的取值范围为(2,4]．单元综合测试二(第二章)时间：120分钟 分值：150分1．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.答案：D2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f (2)＝log 3(22－1)＝1，f (f (2))＝2e 1－1＝2e 0＝2. 答案：C3．如果log 12x >0成立，则x 应满足的条件是( )A ．x >12 B.12<x <1C ．x <1D ．0<x <1 解析：由对数函数的图象可得． 答案：D4．函数f (x )＝log 3(2－x )在定义域区间上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．有时是增函数有时是减函数 D ．无法确定其单调解析：由复合函数的单调性可以判断，内外两层单调性相同则为增函数，内外两层的单调性相反则为减函数．答案：B5．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下( ) A ．0.015克 B ．(1－0.5%)3克C ．0.925克 D.1000.125克解析：设该放射性元素满足y ＝a x (a >0且a ≠1)，则有12＝a 100得a ＝(12)1100.可得放射性元素满足y ＝[(12)1100]x ＝(12)x 100.当x ＝3时，y ＝(12)3100＝100(12)3＝1000.125.答案：D6．函数y ＝log 2x 与y ＝log 12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于y ＝x 对称 解析：据图象和代入式判定都可以做出判断，故选B. 答案：B7．函数y ＝lg(21－x－1)的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．y ＝x 对称 解析：f (x )＝lg(21－x －1)＝lg 1＋x 1－x ，f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，所以y ＝lg(21－x－1)关于原点对称，故选C.答案：C8．设a >b >c >1，则下列不等式中不正确的是( ) A ．a c >b c B ．log a b >log a c C ．c a >c b D ．log b c <log a c解析：y ＝x c在(0，＋∞)上递增，因为a >b ，则a c >b c ；y ＝log a x 在(0，＋∞)上递增，因为b >c ，则log a b >log a c ；y ＝c x 在(－∞，＋∞)上递增，因为a >b ，则c a >c b .故选D.答案：D9．已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)，若当x ∈(－1,0)时，f (x )<0，则f (x )是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．常数函数 D ．不单调的函数解析：由于x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，所以a >1.因而f (x )在(－1，＋∞)上是增函数． 答案：A10．设a ＝424，b ＝312，c ＝6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b <c <a C ．b >c >a D ．a <b <c 解析：a ＝424＝12243，b ＝12124，c ＝6＝1266.∵243<124<66， ∴12243<12124<1266，即a <b <c . 答案：D11．若方程a x ＝x ＋a 有两解，则a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0，＋∞) D ．Ø解析：分别作出当a >1与0<a <1时的图象． (1)当a >1时，图象如下图1，满足题意．图1 图2(2)当0<a <1时，图象如上图2，不满足题意． 答案：A 12．已知f (x )是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (1)，则x 的取值范围是( )A ．(110，1)B ．(0，110)∪(1，＋∞)C ．(110，10) D ．(0,1)∪(0，＋∞)解析：由于f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以f (－1)＝f (1)，且f (x )在(－∞，0)上是增函数，应有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1<lg x <1，解得110<x <10.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a ＝________.解析：由互为反函数关系知，f (x )过点(－1,2)，代入得a －1＝2⇒a ＝12.答案：1214．方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．解析：log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)⇔log 2(x －1)＝log 24x ＋1，即x －1＝4x ＋1，解得x ＝±5(负值舍去)，∴x ＝ 5.答案： 515．设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2007)))＝________.解析：f 1(f 2(f 3(2007)))＝f 1(f 2(20072))＝f 1((20072)－1)＝[(20072)－1]12＝2007－1.答案：1200716．设0≤x ≤2，则函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值是________，最小值是________．解析：设2x ＝t (1≤t ≤4)，则y ＝12·4x －3·2x ＋5＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12.当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝12×4＋12＝52.答案：52 12三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，求(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值．解：(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(12＋3＋1)－2＋(12－3＋1)－2＝(3＋32＋3)－2＋(3－32－3)－2＝16(7＋432＋3＋7－432－3)＝16[(7＋43)(2－3)＋(7－43)(2＋3)]＝16×4＝23.18．(12分)已知关于x 的方程4x ·a －(8＋2)·2x ＋42＝0有一个根为2，求a 的值和方程其余的根．解：将x ＝2代入方程中， 得42·a －(8＋2)·22＋42＝0，解得a ＝2. 当a ＝2时，原方程为 4x ·2－(8＋2)2x ＋42＝0， 将此方程变形化为2·(2x )2－(8＋2)·2x ＋42＝0. 令2x ＝y ，得2y 2－(8＋2)y ＋42＝0.解得y ＝4或y ＝22.当y ＝4时，即2x＝4，解得x ＝2；当y ＝22时，2x ＝22，解得x ＝－12.综上，a ＝2，方程其余的根为－12.19．(12分)已知f (x )＝2x －12x ＋1，证明：f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数．证明：设任意x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2＋1)－(2x 2－1)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2x 1－2x 2－(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1).∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2，即2x 1－2x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数．20．(12分)已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，且f (12)＝0，求不等式f (log a x )>0(a >0，且a ≠1)的解集．解：f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上递增，f (12)＝0，∴f (x )在(－∞，0)上递减，f (－12)＝0，则有log a x >12，或log a x <－12.(1)当a >1时，log a x >12，或log a x <－12，可得x >a ，或0<x <aa ；(2)当0<a <1时，log a x >12，或log a x <－12，可得0<x <a ，或x >aa.综上可知，当a >1时，f (log a x )>0的解集为(0，aa )∪(a ，＋∞)；当0<a <1时，f (log a x )>0的解集为(0，a )∪(aa，＋∞)．21．(12分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 都满足f (x ＋y )＝f (y )＋(x ＋2y ＋1)x ，且f (1)＝0， (1)求f (0)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)当x ∈[0，12]时，f (x )＋3<2x ＋a 恒成立，求a 的范围．解：(1)令x ＝1，y ＝0，则f (1)＝f (0)＋(1＋1)×1，∴f (0)＝f (1)－2＝－2. (2)令y ＝0，则f (x )＝f (0)＋(x ＋1)x ，∴f (x )＝x 2＋x －2.(3)由f (x )＋3<2x ＋a ，得a >x 2－x ＋1.设y ＝x 2－x ＋1，则y ＝x 2－x ＋1在(－∞，12]上是减函数，所以y ＝x 2－x ＋1在[0，12]上的范围为34≤y ≤1，从而可得a >1.22．(12分)设函数f (x )＝log a (1－ax)，其中0<a <1.(1)求证：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)解不等式f (x )>1.解：(1)证明：设任意x 1，x 2∈(a ，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log a (1－a x 1)－log a (1－ax 2)＝log a 1－a x 11－a x 2＝log a 1－a x 2＋a x 2－ax 11－a x 2＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋a x 2－a x 11－a x 2＝log a (1＋ax 1－ax 2x 1x 2－ax 1)＝log a [1＋a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )]．∵x 1，x 2∈(a ，＋∞)且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,0<a <x 1<x 2，x 2－a >0.∴a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )<0，∴1＋a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )<1，又∵0<a <1，∴log a [1＋a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )]>0，∴f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝log a (1－a x )在(a ，＋∞)上为减函数．(2)因为0<a <1，所以f (x )>1⇔log a (1－ax )>log a a ⇔⎩⎨⎧1－ax >0，①1－ax<a .②解不等式①，得x >a 或x <0.解不等式②，得0<x <a 1－a .因为0<a <1，故x <a 1－a ，所以原不等式的解集为{x |a <x <a1－a}．单元综合测试三(第三章)时间：120分钟 分值：150分1．二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析：∵Δ＝b 2＋4×2×3＝b 2＋24>0，∴函数图象与x 轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点． 答案：C2．函数y ＝1＋1x的零点是( )A ．(－1,0)B ．－1C ．1D ．0解析：令1＋1x＝0，得x ＝－1，即为函数零点．答案：B3．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )解析：把y ＝f (x )的图象向下平移1个单位后，只有C 图中图象与x 轴无交点． 答案：C4．若函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．无法判断D ．等于零解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部． 答案：C5．函数f (x )＝e x －1x的零点所在的区间是( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，32)D ．(32，2)解析：f (12)＝e －2<0， f (1)＝e －1>0，∵f (12)·f (1)<0，∴f (x )的零点在区间(12，1)内．答案：B6．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多个解析：方程log 12x ＝2x －1的实根个数只有一个，可以画出f (x )＝log 12x 及g (x )＝2x －1的图象，两曲线仅一个交点，故应选B.答案：B7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于() A．55台B．120台C．150台D．180台解析：设产量为x台，利润为S万元，则S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3000)＝－0.1x2＋36x－3000＝－0.1(x－180)2＋240，则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．答案：D8．已知α是函数f(x)的一个零点，且x1<α<x2，则()A．f(x1)f(x2)>0 B．f(x1)f(x2)<0C．f(x1)f(x2)≥0 D．以上答案都不对解析：定理的逆定理不成立，故f(x1)f(x2)的值不确定．答案：D9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水()A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，∴x＝9.答案：D10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为()答案：A11．函数f(x)＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，则()A．k＝0 B．k>1C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0解析：令y1＝|x2－6x＋8|，y2＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.答案：DA．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)解析：设f(x)＝2x－x2，由表格观察出x＝1.8时，2x>x2，即f(1.8)>0；在x＝2.2时，2x<x2，即f(2.2)<0.综上知f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是__________．解析：设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．答案：(2,3)14．已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1的零点为－12，13，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由韦达定理得－12＋13＝b a ，且－12×13＝1a.解得a ＝－6，b ＝1.答案：－6 115．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为定值l ，则这块场地面积y 与场地一边长x 的关系为________．图1解析：由题意知场地的另一边长为l －2x ，则y ＝x (l －2x )，且l －2x >0，即0<x <l2.答案：y ＝x (l －2x )(0<x <l2)16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解析：设过滤n 次才能达到市场要求，则2%(1－13)n ≤0.1%即(23)n ≤0.12，∴n lg 23≤－1－lg2， ∴n ≥7.39，∴n ＝8. 答案：8三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．解：设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意知：c ＝3，－b2a＝2.设x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则x 21＋x 22＝10，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，∴(－b a )2－2c a ＝10，∴16－6a＝10，∴a ＝1.代入－b2a＝2中，得b ＝－4.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.18．(12分)求方程x 2＋2x ＝5(x >0)的近似解(精确度0.1)． 解：令f (x )＝x 2＋2x －5(x >0)． ∵f (1)＝－2，f (2)＝3，∴函数f (x )的正零点在区间(1,2)内．取(1,2)中点x 1＝1.5，f (1.5)>0.取(1,1.5)中点x 2＝1.25，f (1.25)<0. 取(1.25,1.5)中点x 3＝1.375，f (1.375)<0.取(1.375,1.5)中点x 4＝1.4375，f (1.4375)<0.取(1.4375,1.5)． ∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x 2＋2x ＝5(x >0)的近似解为x ＝1.5(或1.4375)． 19．(12分)要挖一个面积为800 m 2的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m 的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．解：设所建矩形鱼池的长为x m ，则宽为800xm ，于是鱼池与路的占地面积为y ＝(x ＋2)(800x ＋4)＝808＋4x ＋1600x ＝808＋4(x ＋400x )＝808＋4[(x －20x )2＋40]．当x ＝20x，即x ＝20时，y 取最小值为968 m 2.答：鱼池与路的占地最小面积是968 m 2.20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P 和Q (万元)，这两项利润与投入的资金x (万元)的关系是P ＝x 3，Q ＝103x ，该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x 万元，获得总利润y (万元)，写出y 关于x 的函数关系式及其定义域．解：投入养殖加工生产业为60－x 万元．由题意可得，y ＝P ＋Q ＝x 3＋10360－x ，由60－x ≥0得x ≤60，∴0≤x ≤60，即函数的定义域是[0,60]．21．(12分)已知某种产品的数量x (百件)与其成本y (千元)之间的函数关系可以近似用y ＝ax 2＋bx ＋c(1)(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p ＝p (x )；(3)据利润函数p ＝p (x )确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏)解：(1)将表格中相关数据代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧36a ＋6b ＋c ＝104100a ＋10b ＋c ＝160，400a ＋20b ＋c ＝370解得a ＝12，b ＝6，c ＝50.所以y ＝f (x )＝12x 2＋6x ＋50(x ≥0)．(2)p ＝p (x )＝－12x 2＋14x －50(x ≥0)．(3)令p (x )＝0，即－12x 2＋14x －50＝0，解得x ＝14±46，即x 1＝4.2，x 2＝23.8，故4.2<x <23.8时，p (x )>0；x <4.2或x >23.8时，p (x )<0， 所以当产品数量为420件时，能扭亏为盈； 当产品数量为2380件时由盈变亏．22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f (x )(万件)如表所示：(1)画出2000～(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．(3)2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？解：图2(1)散点图如图2：(2)设f (x )＝ax ＋b .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝43a ＋b ＝7，解得a ＝32，b ＝52，∴f (x )＝32x ＋52.检验：f (2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1； f (4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴模型f (x )＝32x ＋52能基本反映产量变化．(3)f (7)＝32×7＋52＝13，由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件．单元综合测试四(必修1综合检测)时间：120分钟 分值：150分题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1．集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，C ＝{2,3,4}，则(A ∩B )∪C ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2,4} C ．{2,3,4} D ．{1,2,3,4}解析：∵A ∩B ＝{1,2}，∴(A ∩B )∪C ＝{1,2,3,4}． 答案：D2．如图1所示，U 表示全集，用A ，B 表示阴影部分正确的是( )图1A ．A ∪B B ．(∁U A )∪(∁U B )C ．A ∩BD ．(∁U A )∩(∁U B )解析：由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为(∁U A )∩(∁U B )． 答案：D3．若f (x )＝1－2x ，g (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则g ⎝⎛⎭⎫12的值为( ) A ．1 B ．3 C ．15 D ．30解析：g (1－2x )＝1－x 2x 2，令12＝1－2x ，则x ＝14，∴g ⎝⎛⎭⎫12＝1－116116＝15，故选C. 答案：C4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2(x <1)，4－x －1(x ≥1)，则使得f (－1)＋f (m －1)＝1成立的m 的值为( )A ．10B ．0，－2C ．0，－2,10D ．1，－1,11解析：因为x <1时，f (x )＝(x ＋1)2，所以f (－1)＝0.当m －1<1，即m <2时，f (m －1)＝m 2＝1，m ＝±1.当m －1≥1，即m ≥2时，f (m －1)＝4－m －2＝1，所以m ＝11.答案：D5．若x ＝6是不等式log a (x 2－2x －15)>log a (x ＋13)的一个解，则该不等式的解集为( ) A ．(－4,7) B ．(5,7) C ．(－4，－3)∪(5,7) D ．(－∞，－4)∪(5，＋∞)解析：将x ＝6代入不等式，得log a 9>log a 19，所以a ∈(0,1)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15>0，x ＋13>0，x 2－2x －15<x ＋13.解得x ∈(－4，－3)∪(5,7)．答案：C6．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最大值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析：2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，且2x ＋1>0，∴12x ＋1在(－∞，＋∞)上递减且无最小值． 答案：A7．方程(13)x ＝|log 3x |的解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：图2在平面坐标系中，画出函数y 1＝(13)x 和y 2＝|log 3x |的图象，如图2所示，可知方程有两个解．答案：C8．下列各式中，正确的是( )A ．(－43)23<(－54)23B ．(－45)13<(－56)13C ．(12)12>(13)12D ．(－32)3>(－43)3解析：函数y ＝x 23在(－∞，0)上是减函数，而－43<－54，∴(－43)23>(－54)23，故A 错；函数y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数，而－45>－56，∴(－45)13>(－56)13，故B 错，同理D错．答案：C9．生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3这个食物链中，若能使H 3获得10 kJ 的能量，则需H 1提供的能量为( )A ．105 kJB ．104 kJC ．103 kJD ．102 kJ解析：H 1⎝⎛⎭⎫1102＝10，∴H 1＝103. 答案：C10．如图3(1)所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的图象是如图3(2)所示的( )图3解析：当h ＝H2时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h 的增大，S随之减小，故排除A ，B ，D.答案：C11．函数f (x )在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若f (1－m )＋f (－m )<0，则m的取值范围是( )A ．(0，12) B ．(－1,1)C ．(－1，12)D ．(－1,0)∪(1，12)解析：f (1－m )<－f (－m )，∵f (x )在(－1,1)上是奇函数，∴f (1－m )<f (m )，∴1>1－m >m >－1，解得0<m <12，即m ∈(0，12)．答案：A12．(2009·山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(1－x )，f (x －1)－f (x －2)，x ≤0x >0，则f (2009)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由题意可得：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，从而f (x －1)＝f (x －2)－f (x －3)． 两式相加得f (x )＝－f (x －3)，f (x －6)＝f [(x －3)－3]＝－f (x －3)＝f (x )， ∴f (2009)＝f (2003)＝f (1997)＝…＝f (5)＝f (－1)＝log 22＝1. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13.log 2716log 34的值是________．解析：log 2716log 34＝23log 34log 34＝23.答案：2314．若函数y ＝kx ＋5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围为__________．解析：kx 2＋4kx ＋3恒不为零．若k ＝0，符合题意，k ≠0，Δ<0，也符合题意．所以0≤k <34.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪0≤k <34 15．已知全集U ＝{x |x ∈R }，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k <x <k ＋1，k ∈R }，且(∁U A )∩B ＝Ø，则实数k 的取值范围是________．解析：∁U A ＝{x |1<x <3}，又(∁U A )∩B ＝Ø， ∴k ＋1≤1或k ≥3， ∴k ≤0或k ≥3.答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y (只)与时间x (年)的关系可近似地由关系式y ＝a log 2(x ＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的只数约为________．解析：当x ＝1时，y ＝a log 22＝a ＝100，∴y ＝100log 2(x ＋1)， ∵2016－1986＋1＝31，即2016年为第31年， ∴y ＝100log 2(31＋1)＝500， ∴2016年麋鹿的只数约为500. 答案：500三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)。
高中数学必修一经典综合测试题一[1].doc1
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高中数学必修一 经典综合测试题一一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩U B ＝( )． A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＞1}2．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是( )．A B C D 3．已知函数 f (x )＝x 2＋1，那么f (a ＋1)的值为( )． A ．a 2＋a ＋2B ．a 2＋1C ．a 2＋2a ＋2D ．a 2＋2a ＋14．下列等式成立的是( )． A ．log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4 B ．4log 8log 22＝48log 2 C ．log 2 23＝3log 2 2D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 45．下列四组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝|x |，g (x )＝2x B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xC ．f (x )＝1－1－2x x ，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝1＋x ·1－x ，g (x )＝1－2x 6．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ).A ．一定经过点(0，0)B ．一定经过点(1，1)C ．一定经过点(－1，1)D ．一定经过点(1，－1)7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km 的某地，他应付的邮资是( ). A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元8．方程2x＝2－x 的根所在区间是( ). A ．(－1，0)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．(0，1)9．若log 2 a ＜0，b⎪⎭⎫⎝⎛21＞1，则( ).A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜010．函数y ＝x 416－的值域是( ). A ．[0，＋∞)B ．[0，4]C ．[0，4)D ．(0，4)11．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ). A ．f (x )＝x1 B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)12．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是( ). A ．(－∞，－1)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( ).A ．－2B ．－1C ．0D ．114．已知x 0是函数f (x )＝2x＋x －11的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则有( ). A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0二、填空题（每题4分，共4×4=16分） 13、函数xx y -++=211的定义域为14、函数()x y x -=-3log 1的定义域是15、⎩⎨⎧>-≤+=0,20,1)(2x x x x x f 若()10=x f ，则=x16、1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为1%，经过x 年后世界人口数为y （亿），则y 与x 的函数解析式为 三、解答题 （6小题，共74分） 17、求函数[]5,3,112∈+-=x x x y 的最小值和最大值。
新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析
人教B 选择性必修第一册综合测验第一章 空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章 平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章 空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin <u ,v >,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章 平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。
高中数学人教A版必修第一册综合检测试题
综合检测试题选题明细表一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|2x-1≥1}，B={y|y=log3x，x∈A}，则∁B A等于( B )A.(0，1)B.[0，1)C.(0，1]D.[0，1]解析:由题得A={x|2x-1≥20}={x|x≥1}，B={y|y≥0}，所以∁B A={x|0≤x<1}.故选B.2.若a=0.60.7，b=0.70.6，c=lg 3，则下列结论正确的是( D )A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c解析:因为y=x0.6为增函数，y=0.6x为减函数，所以0.70.6>0.60.6>0.60.7>0.61，c=lg 3<lg √10=0.5， 所以b>a>c.故选D.3.已知正实数x ，y 满足x+2y=2xy ，则x+y 的最小值为( D ) A.4 B.√2 C.√3 D.√2+32解析:因为正实数x ，y 满足x+2y=2xy ， 所以x+2y xy=2，即1y +2x =2，所以x+y=(x+y 2)·(1y +2x )=x 2y +1+12+y x ≥32+2√x 2y ·y x =32+√2，当且仅当x 2=2y 2时，等号成立. 故选D.4.已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log 2(x+1)+ax ，且f(-3)=a ，则f(7)等于( B ) A.12B.-12C.log 23D.2解析:因为函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log 2(x+1)+ax ，且f(-3)=-f(3)=a ，所以f(3)=-a ，即2+3a=-a ，所以a=-12，则f(7)=log 28+7a=3-72=-12.故选B.5.已知2sin 2α=1+cos 2α，则tan 2α等于( D ) A.-43 B.43C.-43或0 D.43或0解析:因为{2sin2α=1+cos2α,sin 22α+cos 22α=1,所以{sin2α=0,cos2α=-1或{sin2α=45,cos2α=35.所以tan 2α=0或tan 2α=43.故选D.6.将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象分别向左、向右平移ϕ(ϕ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y 轴对称，则ϕ的最小值分别为( A ) A.π6，π3B.π3，π6C.2π3，5π6D.π6，π12解析:函数f(x)的图象向左平移ϕ个单位长度得到函数g(x)= sin(2x+2ϕ+π6)的图象，因为g(x)图象关于y 轴对称，则2ϕ+π6=π2+k π，k ∈Z ，即ϕ=π6+kπ2，k∈Z ，而ϕ>0， 则ϕmin =π6;函数f(x)的图象向右平移ϕ个单位长度得函数h(x)=sin(2x-2ϕ+π6)的图象，因为函数h(x)关于y 轴对称，则有-2ϕ+π6=π2+k π，k ∈Z ，即ϕ=-π6-kπ2，k ∈Z ，而ϕ>0，则ϕmin =π3，所以ϕ的最小值分别为π6，π3.故选A.7.如图所示，其对应的函数解析式可能是( B )A.f(x)=1|x -1|B.f(x)=1||x |-1|C.f(x)=11-x2D.f(x)=11+x 2解析:函数的定义域为{x|x ≠±1}，排除选项A 和D ，当x ∈(1，+∞)时，f(x)>0，可排除选项C.故选B. 8.已知函数f(x)=ln(1+x 2)-11+|x |，若实数a 满足f(log 3a)+f(lo g 13a)≤2f(1)，则a 的取值范围是( D ) A.[1，3] B.(0，13)C.(0，3]D.[13，3]解析:函数f(x)=ln(1+x 2)-11+|x |，故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(x)为偶函数，若实数a 满足f(log 3a)+f(lo g 13a)≤2f(1)，即f(log 3a)+f(-log 3a)≤2f(1)，f(log 3a)≤f(1)，所以|log 3a|≤1，即-1≤log 3a ≤1，故13≤a ≤3.故选D.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知f(x)={log 3x ,x >0,2x ,x ≤0,角α的终边经过点(1，2√2)，则下列结论正确的是( AC )A.f(cos α)=-1B.f(sin α)=1C.f(f(cos α))=12D.f(f(sin α))=2解析:因为角α的终边经过点(1，2√2)， 所以sin α=2√23，cos α=13， 所以f(cos α)=f(13)=log 313=-1， f(sin α)=f(2√23)=log 32√23<0， 所以f(f(cos α))=f(-1)=2-1=12， f(f(sin α))=2log 32√23.故选AC.10.下列命题正确的是( ABD ) A.函数f(x)=x+1x (x>0)的最小值为2B.函数y=2-x-4x(x>0)的最大值为-2C.函数f(x)=2x+1x的最小值为2√2D.函数f(x)=2√x 2+1的最小值为3解析:因为x>0，所以f(x)=x+1x≥2√1=2，当且仅当x=1x，即x=1时，取等号，所以函数的最小值为2，所以A 正确;因为x>0，所以f(x)=x+4x≥2√4=4，当且仅当x=4x，即x=2时，取等号，所以函数f(x)的最小值为4，所以函数y 的最大值为-2，所以B 正确;当x=-1时，f(-1)=-3，所以C 错误; 设√x 2+1=t(t ≥1)，则x 2=t 2-1，则f(t)=2t 2+1t=2t+1t，在[1，+∞)上任取t 1，t 2.令t 1<t 2，则f(t 1)-f(t 2)=2(t 1-t 2)+(1t 1-1t 2)=(t 1-t 2)·(2-1t 1t 2).因为1≤t 1<t 2，所以t 1-t 2<0，2-1t 1t 2>0，所以f(t 1)<f(t 2).则f(t)=2t+1t在[1，+∞)上为增函数，所以当t=1时，f(t)的最小值为f(1)=3， 所以D 正确.故选ABD.11.已知直线x=π8是函数f(x)=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的一条对称轴，则( ACD ) A.f(x+π8)是偶函数B.x=3π8是f(x)的一条对称轴C.f(x)在[π8，π2]上单调递减D.y=f(x)与g(x)=sin(2x-π4)的图象关于直线x=π4对称解析:直线x=π8是函数f(x)=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的一条对称轴，所以2×π8+ϕ=k π+π2，k ∈Z ，所以ϕ=π4，所以f(x+π8)=sin(2x+π2)=cos 2x ，是偶函数，故A 正确;由2x+π4=k π+π2(k ∈Z)，解得x=kπ2+π8(k ∈Z)，所以f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π8(k ∈Z)，而x=3π8不能满足上式，故B 错误;当x ∈[π8，π2]，2x+π4∈[π2，5π4]，此时函数f(x)单调递减，故C 正确;显然，f(x)=sin(2x+π4)与g(x)=sin(2x-π4)的图象关于直线x=π4对称，故D 正确.故选ACD.12.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设 x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如:[-1.5]=-2，[2.1]=2.已知函数f(x)=2x -11+2x，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述正确的是( BCD ) A.g(x)是奇函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R 上是增函数 D.g(x)的值域是{-1，0}解析:因为函数g(x)=[f(x)]，且f(x)=2x -11+2x ，所以g(1)=[f(1)]=0， g(-1)=[f(-1)]=-1， 所以g(-1)≠-g(1)，则g(x)不是奇函数，故选项A 错误; 因为f(x)=2x -11+2x，则f(-x)=2-x -11+2-x =1-2x2x +1=-f(x)，所以f(x)为奇函数，故选项B 正确; 因为f(x)=2x -11+2x=1+-22x +1，又y=2x +1在R 上为单调递增函数， 则y=-22x +1在R 上为单调递增函数，所以f(x)在R 上为单调递增函数，故选项C 正确; 因为2x >0，则-1<1+-22x +1<1，所以-1<f(x)<1，当-1<f(x)<0时，则g(x)=[f(x)]=-1;当0≤f(x)<1时，则g(x)=[f(x)]=0，所以g(x)∈{-1，0}，则g(x)的值域为{-1，0}，故选项D正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)=(m2+m-1)x m+1是幂函数，且该函数在第一象限是增函数，则m的值是.解析:由函数f(x)=(m2+m-1)x m+1是幂函数，则m2+m-1=1，解得m=-2或m=1;当m=-2时，f(x)=x-1在第一象限内不是增函数，不符合题意;当m=1时，f(x)=x2在第一象限内是增函数，满足题意.所以m的值是1.答案:114.已知函数y=2x，当x>0时，函数值的取值范围构成集合A，函数y=x k，在x∈A时，函数值的取值范围构成集合B，则A∩B=∅的充要条件是.解析:已知函数y=2x，当x>0时，函数值的取值范围构成集合A=(1，+∞)，当x∈(1，+∞)时，函数y=x k∈(0，+∞)，由于A∩B=∅，故x k≤1=x0，故k≤0.故A ∩B= 的充要条件是k ≤0. 答案:k ≤015.已知函数y=f(x)满足f(2)>5，且以(1，1)点为对称中心，写出一个符合条件的函数y= . 解析:因为函数的对称中心为(1，1)， 所以不妨设为分式函数f(x)=a x -1+1，因为f(2)>5，所以f(2)=a+1>5，解得a>4， 不妨取a=5，即y=5x -1+1.答案:y=5x -1+1(答案不唯一)16.已知f(x)=2sin(2x+π3)，若∃x 1，x 2，x 3∈[0，3π2]，且x 1<x 2<x 3，使得f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的最小值为 ，最大值为 .解析:作出f(x)图象如图所示，当f(x)图象与y=√3图象相交时，前三个交点横坐标依次为x 1，x 2，x 3，此时x 1+x 2+x 3最小;x 1+x 2=π12×2=π6，f(π)=2sin(2π+π3)=√3，x 3=π，所以最小值为π6+π=7π6;当f(x)图象与y=-√3图象相交时，交点横坐标依次为x 1，x 2，x 3，此时x 1+x 2+x 3最大，x 1+x 2=7π12×2=7π6，f(3π2)=2sin(3π+π3)=-√3，x 3=3π2，最大值为7π6+3π2=8π3.答案:7π68π3四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)若函数y=lg(√3-2sin x)+√1-x 2的定义域为A. (1)求集合A;(2)当x ∈A 时，求函数y=cos 2x+sin x 的最大值. 解:(1)由题意可得{√3-2sinx >0,1-x 2≥0, 解得-1≤x ≤1， 即集合A=[-1，1].(2)y=cos 2x+sin x=-sin 2x+sin x+1，x ∈[-1，1]， 令t=sin x ∈[-sin 1，sin 1]， 则y=-t 2+t+1=-(t -12)2+54，故当t=12时，函数取得最大值为54.18.(本小题满分12分)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知OA=10，OB= x(0<x<10)，线段BA ，CD 与BC ⏜，AD ⏜的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式;(2)记铭牌的截面面积为y ，试问:x 取何值时，y 的值最大?并求出最 大值.解:根据题意，可得BC ⏜=x ·θ，AD ⏜=10θ. 又BA+CD+BC⏜+AD ⏜=30， 所以10-x+10-x+x ·θ+10θ=30， 所以θ=2x+10x+10(0<x<10).(2)y=S 扇形OAD -S 扇形OBC =12θ×102-12θx 2=12θ×(102-x 2)=12θ×(10+x) (10-x)，化简得y=-x 2+5x+50=-(x -52)2+2254.于是，当x=52(满足条件0<x<10)时，y max =2254.所以当x=52时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为2254.19.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=log 3(3x+1)-12x.若不等式f(x)-12x-a ≥0对x ∈(-∞，0]恒成立，求实数a 的取值范围.解:因为不等式f(x)-12x-a ≥0在区间(-∞，0]上恒成立，即a ≤log 3(3x +1)-x 在区间(-∞，0]上恒成立， 令g(x)=log 3(3x +1)-x=log 3(1+13x )，因为x ∈(-∞，0]，所以1+13x ≥2，所以g(x)=log 3(1+13x )≥log 32，所以a ≤log 32，所以a 的取值范围是(-∞，log 32]. 20.(本小题满分12分)已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cos β=-13，sin(α+β)=79.(1)求tan β2的值;(2)求sin α的值.解:(1)因为cos β=cos 2β2-sin 2β2=cos 2β2-sin 2β2cos 2β2+sin 2β2=1-tan 2β21+tan 2β2，且cos β=-13，所以1-tan 2β21+tan 2β2=-13，解得tan 2β2=2，因为β∈(π2，π)，所以β2∈(π4，π2)，所以tan β2>0，所以tan β2=√2.(2)因为β∈(π2，π)，cos β=-13，所以sin β=√1-cos 2β=√1-(-13) 2=2√23， 又α∈(0，π2)， 故α+β∈(π2，3π2)，又sin(α+β)=79，所以cos(α+β)=-√1-sin 2(α+β)=-√1-(79)2=-4√29.所以sin α=sin[(α+β)-β] =sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =79×(-13)-(-4√29)×2√23=13.21.(本小题满分12分)在①f(x)的图象关于直线x=5π6对称，②f(x)的图象关于点(5π18，0)对称，③f(x)在[-π4，π4]上单调递增，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a 存在，求出a 的值;若a 不存在，说明理由.已知函数f(x)=4sin(ωx+π6)+a(ω∈N *)的最小正周期不小于π3，且 ，是否存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3?解:由于函数f(x)的最小正周期不小于π3，所以2πω≥π3，所以1≤ω≤6，ω∈N *，若选择①，即f(x)的图象关于直线x=5π6对称，有5π6ω+π6=k π+π2(k ∈Z)，解得ω=65k+25(k ∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=3，ω=4， 此时，f(x)=4sin(4x+π6)+a ，由x ∈[0，π12]，得4x+π6∈[π6，π2]，因此当4x+π6=π2，即x=π12时，f(x)取得最大值4+a ，令4+a=3，解得a=-1<0，不符合题意.故不存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.若选择②，即f(x)的图象关于点(5π18，0)对称，则有5π18ω+π6=k π(k ∈Z)，解得ω=185k-35(k ∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=1，ω=3. 此时，f(x)=4sin(3x+π6)+a.由x ∈[0，π12]，得3x+π6∈[π6，5π12]，因此当3x+π6=5π12，即x=π12时，f(x)取得最大值4sin 5π12+a=√6+√2+a ，令√6+√2+a=3，解得a=3-√6-√2<0，不符合题意. 故不存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.若选择③，即f(x)在[-π4，π4]上单调递增，则有{-ωπ4+π6≥2kπ-π2,ωπ4+π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得{ω≤-8k +83,ω≤8k +43(k ∈Z)， 由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=0，ω=1. 此时，f(x)=4sin(x+π6)+a.由x ∈[0，π12]，得x+π6∈[π6，π4]，因此，当x+π6=π4，即x=π12时，f(x)取得最大值2√2+a ，令2√2+a=3，解得a=3-2√2，符合题意.故存在正实数a=3-2√2，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.22.(本小题满分12分)设函数f(x)=ka x -a -x (a>0，且a ≠1)是定义域为R 上的奇函数. (1)求k 的值;(2)若f(1)>0，试求不等式f(x 2+2x)+f(x-4)>0的解集;(3)若f(1)=32，且g(x)=a 2x +a -2x -2mf(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求m 的值.解:(1)因为f(x)是定义域为R 上的奇函数，所以f(0)=0，所以k-1=0，所以k=1，经检验k=1符合题意. (2)因为f(1)>0，所以a-1a >0，又a>0，且a ≠1，所以a>1， 易知f(x)在R 上单调递增， 原不等式化为f(x 2+2x)>f(4-x)， 所以x 2+2x>4-x ，即x 2+3x-4>0， 所以x>1或x<-4，所以不等式的解集为{x|x>1或x<-4}. (3)因为f(1)=32，所以a-1a =32，即2a 2-3a-2=0，解得a=2或a=-12(舍去)，所以g(x)=22x +2-2x -2m(2x -2-x )=(2x -2-x )2-2m(2x -2-x )+2.令t=f(x)=2x -2-x ，因为x ≥1，所以t ≥f(1)=32，所以g(t)=t 2-2mt+2=(t-m)2+2-m 2， 当m ≥32时，当t=m 时，g(t)min =2-m 2=-2，所以m=2，符合题意; 当m<32时，当t=32时，g(t)min =174-3m=-2，解得m=2512>32，舍去.综上可知，m=2.。
高一数学必修一综合测试题附答案
高一数学必修一综合测试题附答案高中数学必修1检测题【附答案】本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间90分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}$，$A=\{2,4,6\}$，$B=\{1,3,5,7\}$，则 $A\cap(C\cup B)$ 等于A。
$\{2,4,6\}$ B。
$\{1,3,5\}$ C。
$\{2,4,5\}$ D。
$\{2,5\}$2.已知集合 $A=\{x|x^2-1=0\}$，则下列式子表示正确的有（）① $1\in A$② $\{-1\}\in A$③ XXX④ $\{1,-1\}\subseteq A$A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个3.若 $f:A\to B$ 能构成映射，下列说法正确的有（）1）$A$ 中的任一元素在 $B$ 中必须有像且唯一；2）$A$ 中的多个元素可以在 $B$ 中有相同的像；3）$B$ 中的多个元素可以在 $A$ 中有相同的原像；4）像的集合就是集合 $B$。
A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个4.如果函数 $f(x)=x^2+2(a-1)x+2$ 在区间 $(-\infty,4]$ 上单调递减，那么实数 $a$ 的取值范围是（）A。
$a\leq-3$ B。
$a\geq-3$ C。
$a\leq5$ D。
$a\geq5$5.下列各组函数是同一函数的是（）① $f(x)=-2x^3$ 与 $g(x)=x-2x$；② $f(x)=x$ 与 $g(x)=x^2$；③ $f(x)=x$ 与 $g(x)=\dfrac{x-2}{x-1}$；④ $f(x)=x-2x-1$ 与 $g(t)=t-2t-1$。
A。
①② B。
①③ C。
③④ D。
①④6.根据表格中的数据，可以断定方程 $e^x-x-2=0$ 的一个根所在的区间是（）begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}XXXx$ & $-1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ \\XXXe^x$ & $0.371$ & $2.718$ & $7.389$ & $20.086$ & $54.598$ & $148.413$ \\XXXx+1$ & $0$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\XXXend{tabular}A。
高中数学必修一第一章单元测试卷及答案2套
高中数学必修一第一章单元测试卷及答案2套测试卷一(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个2．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1(x ∈Z )与y ＝2x －1(x ∈Z )3．设M ＝{1,2,3}，N ＝{e ，g ，h }，从M 至N 的四种对应方式如下图所示，其中是从M 到N 的映射的是( )4．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x 2－3x －2＝0}，集合B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{2}B ．{x |x ≤1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12 D ．{x |x ≤1或x ＝2}5．函数f (x )＝x|x |的图象是( )6．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈0,1]7．已知偶函数f (x )在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3)＜f (4)B ．f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (4)C ．f (4)＜f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72D ．f (4)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3) 8．已知反比例函数y ＝k x的图象如图所示，则二次函数y ＝2kx 2－4x ＋k 2的图象大致为( )9．函数f (x )是定义在0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 10．若函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x －1，则当x <0时，有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )－f (－x )>011．已知函数f (x )是定义在－5,5]上的偶函数，f (x )在0,5]上是单调函数，且f (－3)＜f (1)，则下列不等式中一定成立的是( )A ．f (－1)＜f (－3)B ．f (2)＜f (3)C ．f (－3)＜f (5)D ．f (0)＞f (1)12．函数f (x )＝ax 2－x ＋a ＋1在(－∞，2)上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．0,4]B ．2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (f (3))的值等于________．14．已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．15．若函数f (x )＝x 2＋a ＋1x ＋ax为奇函数，则实数a ＝________.16．老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质： ①此函数为偶函数； ②定义域为{x ∈R |x ≠0}； ③在(0，＋∞)上为增函数．老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个(或几个)这样的函数________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5x ≤0，x ＋50<x ≤1，－2x ＋8x >1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π，f (－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f (x )的最大值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是偶函数，且x ≤0时，f (x )＝1＋x1－x ，求：(1)f (5)的值； (2)f (x )＝0时x 的值； (3)当x >0时f (x )的解析式．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋a x，且f (1)＝10. (1)求a 的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并证明你的结论；(3)函数在(3，＋∞)上是增函数，还是减函数？并证明你的结论．21．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )是二次函数，且f (0)＝8，f (x ＋1)－f (x )＝－2x ＋1. (1)求f (x )的解析式；(2)求证：f (x )在区间1，＋∞)上是减函数．22．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)当x ∈(－1,1)时判断函数f (x )的单调性，并证明； (3)解不等式f (2x －1)＋f (x )<0.答案1．B 解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个，故选B.2．C 解析：A 中两个函数定义域不同；B 中y ＝x 2－1＝|x |－1，所以两函数解析式不同；D 中两个函数解析式不同，故选C.解题技巧：判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．C 解析：A 选项中，元素3在N 中有两个元素与之对应，故不正确；同样B ，D 选项中集合M 中也有一个元素与集合N 中两个元素对应，故不正确；只有C 选项符合映射的定义．4．C 解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，2，∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∩(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，故选C.5．C 解析：由于f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0，所以其图象为C.6．B 解析：A 选项是奇函数；B 选项为偶函数；C ，D 选项的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．7．D 解析：∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，且－4<－72<－3，∴f (4)＝f (－4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72<f (－3)，故选D. 8．D 解析：由反比例函数的图象知k <0，∴二次函数开口向下，排除A ，B ，又对称轴为x ＝1k<0，排除C.9．D 解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13，解得12≤x <23，故选D.10．C 解析：f (x )为奇函数，当x <0时，－x >0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x －1)＝x ＋1， ∴f (x )·f (－x )＝－(x ＋1)2≤0.11．D 解析：易知f (x )在－5,0]上单调递增，在0,5]上单调递减，结合f (x )是偶函数可知，故选D.12．C 解析：由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a≥2，∴0<a ≤14，当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1为减函数，符合题意，故选C.13．2 解析：由图可知f (3)＝1，∴f (f (3))＝f (1)＝2. 14．2，＋∞) 解析：∵A ∪B ＝A ，即B ⊆A ， ∴实数m 的取值范围为2，＋∞)．15．－1 解析：由题意知，f (－x )＝－f (x )，即x 2－a ＋1x ＋a －x ＝－x 2＋a ＋1x ＋a x，∴(a ＋1)x ＝0对x ≠0恒成立， ∴a ＋1＝0，a ＝－1. 16．y ＝x2或y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >0，1＋x ，x <0或y ＝－2x(答案不唯一)解析：可结合条件来列举，如：y ＝x2或y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >01＋x ，x <0或y ＝－2x.解题技巧：本题为开放型题目，答案不唯一，可结合条件来列举，如从基本初等函数中或分段函数中来找．17．解：∵B ⊆A ，①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1， 解得m ≥2；②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m ＜2.综上得，m 的取值范围为{m |m ≥－1}． 18．解：(1)∵32>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2×32＋8＝5， ∵0<1π<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π＝1π＋5＝5π＋1π.∵－1<0，∴f (－1)＝－3＋5＝2. (2)如图：在函数y ＝3x ＋5的图象上截取x ≤0的部分，在函数y ＝x ＋5的图象上截取0<x ≤1的部分，在函数y ＝－2x ＋8的图象上截取x >1的部分．图中实线组成的图形就是函数f (x )的图象．(3)由函数图象可知，当x ＝1时，f (x )的最大值为6. 19．解：(1)f (5)＝f (－5)＝1－51－－5＝－46＝－23.(2)当x ≤0时，f (x )＝0即为1＋x1－x ＝0，∴x ＝－1，又f (1)＝f (－1)，∴f (x )＝0时x ＝±1.(3)当x >0时，f (x )＝f (－x )＝1－x 1＋x ，∴x >0时，f (x )＝1－x1＋x .20．解：(1)f (1)＝1＋a ＝10，∴a ＝9.(2)∵f (x )＝x ＋9x ，∴f (－x )＝－x ＋9－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(3)设x 2>x 1>3，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋9x 2－x 1－9x 1＝(x 2－x 1)＋⎝⎛⎭⎪⎫9x 2－9x1＝(x 2－x 1)＋9x 1－x 2x 1x 2＝x 2－x 1x 1x 2－9x 1x 2，∵x 2>x 1>3，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>9，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )＝x ＋9x在(3，＋∞)上为增函数．21．(1)解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴f (0)＝c ，又f (0)＝8，∴c ＝8. 又f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ， ∴f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c ) ＝2ax ＋(a ＋b )．结合已知得2ax ＋(a ＋b )＝－2x ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，a ＋b ＝1.∴a ＝－1，b ＝2.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋8. (2)证明：设任意的x 1，x 2∈1，＋∞)且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(－x 21＋2x 1＋8)－(－x 22＋2x 2＋8) ＝(x 22－x 21)＋2(x 1－x 2) ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)． 又由假设知x 2－x 1>0， 而x 2>x 1≥1， ∴x 2＋x 1－2>0，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)>0，f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在区间1，＋∞)上是减函数． 22．解：(1)由题意可知f (－x )＝－f (x )， ∴－ax ＋b 1＋x 2＝－ax ＋b 1＋x 2，∴b ＝0.∴f (x )＝ax1＋x2.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，∴a ＝1. ∴f (x )＝x1＋x2.(2)f (x )在(－1,1)上为增函数． 证明如下：设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x21－x 21＋x 22＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22， ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0， 1＋x 21>0,1＋x 22>0， ∴x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)∵f (2x －1)＋f (x )<0，∴f (2x －1)<－f (x )， 又f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (2x －1)<f (－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<2x －1<1，－1<－x <1，2x －1<－x ，∴0<x <13.∴不等式f (2x －1)＋f (x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. 解题技巧：在求解抽象函数中参数的范围时，往往是利用函数的奇偶性与单调性将“f ”符号脱掉，转化为解关于参数不等式(组)．测试卷二(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数y ＝1－x 2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∩⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥2，－x 2＋3x x <2，则f (－1)＋f (4)的值为( )A ．－7B ．3C ．－8D ．44．已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且A ∪B ＝A ，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．1或－1或05．函数f (x )＝cx 2x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－32，满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．3或－3D ．5或－36．若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34>f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34<f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≤f (a 2－a ＋1)7．函数y ＝x |x |，x ∈R ，满足( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是偶函数又是增函数C ．既是奇函数又是增函数D ．既是偶函数又是减函数8．若f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，又f (－3)＝1，则不等式f (x )<1的解集为( )A ．{x |x >3或－3<x <0}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}9．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ，若f x ≥g x ，f x ，若f x <g x .则F (x )的最值是( )A ．最大值为3，最小值为－1B ．最大值为7－27，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 11．已知y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如下图：则F (x )＝f (x )·g (x )的图象可能是下图中的( )12．设f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数．若x 1<0，且x 1＋x 2>0，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为________．14．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的递减区间是________． 15．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，(x ，y ∈R )，则下列各式恒成立的是________．①f (0)＝0；②f (3)＝3f (1)；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f (1)；④f (－x )·f (x )<0.16．若函数f (x )＝x 2－(2a －1)x ＋a ＋1是(1,2)上的单调函数，则实数a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A 为方程－x 2－2x ＋8＝0的解集，集合B 为不等式ax －1≤0的解集． (1)当a ＝1时，求A ∩B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)设全集为R ，A ＝{x |3<x <7}，B ＝{x |4<x <10}， (1)求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B ；(2)C ＝{x |a －4≤x ≤a ＋4}，且A ∩C ＝A ，求a 的取值范围．19．(本小题满分12分) 函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈3,5]．(1)判断单调性并证明； (2)求最大值和最小值．20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝－x 2＋2ax －a 在区间0,1]上有最大值2，求实数a 的值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )的值满足f (x )>0(当x ≠0时)，对任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )·f (y )，且f (－1)＝1，f (27)＝9，当0<x <1时，f (x )∈(0,1)．(1)求f (1)的值，判断f (x )的奇偶性并证明； (2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明； (3)若a ≥0且f (a ＋1)≤39，求a 的取值范围．22．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在2，＋∞)上的单调性．答案1．D 解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－12且x ≠2.故选D.2．D 解析：∵集合M 中的元素－1不能映射到N 中为－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0.∴a ，b 为方程x 2－4x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝4.3．B 解析：f (4)＝2×4－1＝7，f (－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f (－1)＋f (4)＝3，故选B.4．D 解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{－1}或B ＝{1}．则m ＝0或－1或1.解题技巧：涉及到B ⊆A 的问题，一定要分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论，其中B ＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视．5．B 解析：f (f (x ))＝cf x 2fx ＋3＝x ，f (x )＝3x c －2x ＝cx2x ＋3，得c ＝－3. 6．C 解析：∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，∴f (a2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34. 解题技巧：根据函数的单调性，比较两个函数值的大小，转化为相应的两个自变量的大小比较．7．C 解析：由f (－x )＝－f (x )可知，y ＝x |x |为奇函数．当x >0时，y ＝x 2为增函数，而奇函数在对称区间上单调性相同．8．C 解析：由于f (x )是偶函数，∴f (3)＝f (－3)＝1，f (x )在(－∞，0)上是增函数，∴当x >0时，f (x )<1即为f (x )<f (3)，∴x >3，当x <0时，f (x )＜1即f (x )<f (－3)，∴x <－3.综上知，故选C.9．B 解析：作出F (x )的图象，如图实线部分，则函数有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.10．A 解析：若x 2－x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)，∴f (x )在0，＋∞)上是减函数，∵3>2>1，∴f (3)<f (2)<f (1)． 又f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)， ∴f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.11．A 解析：由图象知y ＝f (x )与y ＝g (x )均为奇函数，∴F (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，故D 不正确．在x ＝0的左侧附近，∵f (x )>0，g (x )<0，∴F (x )<0， 在x ＝0的右侧附近，∵f (x )<0，g (x )>0，∴F (x )<0.故选A. 12．C 解析：∵x 1<0且x 1＋x 2>0，∴－x 2<x 1<0. 又f (x )在(－∞，0)上为减函数， ∴f (－x 2)>f (x 1)．而f (x )又是偶函数，∴f (－x 2)＝f (x 2)． ∴f (x 1)<f (x 2)．13．{－3,2} 解析：∵2∈M ，∴3x 2＋3x －4＝2或x 2＋x －4＝2，解得x ＝－2,1，－3,2，经检验知，只有－3,2符合元素的互异性，故集合为{－3,2}．14．(－∞，0] 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝kx 2－(k －1)x ＋2＝kx 2＋(k －1)x ＋2＝f (x )． ∴k ＝1.∴f (x )＝x 2＋2，其递减区间为(－∞，0]． 15．①②③ 解析：令x ＝y ＝0得，f (0)＝0； 令x ＝2，y ＝1得，f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)； 令x ＝y ＝12得，f (1)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f (1)；令y ＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )， ∴f (－x )·f (x )＝－f (x )]2≤0.16.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥52或a ≤32 解析：函数f (x )的对称轴为x ＝2a －12＝a －12，∵函数在(1,2)上单调， ∴a －12≥2或a －12≤1，即a ≥52或a ≤32.解题技巧：注意分单调递增与单调递减两种情况讨论． 17．解：(1)由－x 2－2x ＋8＝0，解得A ＝{－4,2}． 当a ＝1时，B ＝(－∞，1]． ∴A ∩B ＝{}－4. (2)∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4a －1≤0，2a －1≤0，∴－14≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.18．解：(1)∁R (A ∪B )＝{x |x ≤3或x ≥10}， (∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}．(2)由题意知，∵A ⊆C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4≥7，a －4≤3，解得3≤a ≤7，即a 的取值范围是3,7]．19．解：(1)f (x )在3,5]上为增函数．证明如下： 任取x 1，x 2∈3,5]且x 1<x 2. ∵ f (x )＝2x －1x ＋1＝2x ＋1－3x ＋1＝2－3x ＋1，∴ f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3x 2＋1 ＝3x 2＋1－3x 1＋1＝3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1，∵ 3≤x 1<x 2≤5，∴ x 1－x 2<0，(x 2＋1)(x 1＋1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴ f (x )在3,5]上为增函数． (2)根据f (x )在3,5]上单调递增知，f (x )]最大值＝f (5)＝32， f (x )]最小值＝f (3)＝54.解题技巧：(1)若函数在闭区间a ，b ]上是增函数，则f (x )在a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(2)若函数在闭区间a ，b ]上是减函数，则f (x )在a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．20．解：由f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ，得函数f (x )的对称轴为x ＝a . ①当a <0时，f (x )在0,1]上单调递减，∴f (0)＝2， 即－a ＝2，∴a ＝－2.②当a >1时，f (x )在0,1]上单调递增，∴f (1)＝2， 即a ＝3.③当0≤a ≤1时，f (x )在0，a ]上单调递增，在a,1]上单调递减， ∴f (a )＝2，即a 2－a ＝2，解得a ＝2或－1与0≤a ≤1矛盾． 综上，a ＝－2或a ＝3.21．解：(1)令x ＝y ＝－1，f (1)＝1.f (x )为偶函数．证明如下：令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )·f (－1)，∵f (－1)＝1，∴f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数． (2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．设0<x 1<x 2，∴0<x 1x 2<1，f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·f (x 2)，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2f (x 2)＝f (x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2.∵0<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<1，f (x 2)>0，∴Δy >0，∴f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)∵f (27)＝9，又f (3×9)＝f (3)×f (9)＝f (3)·f (3)·f (3)＝f (3)]3， ∴9＝f (3)]3，∴f (3)＝39， ∵f (a ＋1)≤39，∴f (a ＋1)≤f (3)， ∵a ≥0，∴a ＋1≤3，即a ≤2， 综上知，a 的取值范围是0,2]．22．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，而f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴ f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴ 函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x.任取x 1，x 2∈2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2，由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在2，＋∞)上单调递增．解题技巧：本题主要考查函数奇偶性的判断和函数单调性的判断．本题中由于函数解析式中含有参数，所以在判断函数奇偶性时需要根据参数的不同取值进行分类讨论；第(2)问中则需要根据f (1)＝2先确定参数的值，再根据函数单调性的定义判断函数的单调性．。
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A． B． C． D． 12、.已知是上减函数，则的取值范围是（ ） A.（0，1） B. C. D.
二、填空题（共5小题，每题20分）
13、函数y=2x+2x-2的零点所在区间为———— 14、函数的值域是 15．函数的图象恒过定点，, 在幂函数的图象上，____． 16．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),有关叙述 （1）值域为R； （2）只有当b=0时，函数才是偶函数； (3)在上单调递减，在上单调递增； （4）若f(x1)=f(x2)=0,则有f(x1+x2)=c.把正确的序号全部写在______ 内 三、解答题：（本大题共6小题，17题10分其它题各12分共70分．） 17、（10分）计算 （1） （2）
A．A∩B B．A∪B C．A D．B 7、若奇函数在上为增函数，且有最小值0，则它在上
（
） A、是减函数，有最大值0 B、是减函数，有最小值0 C、是增函数，有最大值0 D、是增函数，有最小值0 8、已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围 （ ） A、 B、C、 D、 9．已知集合，，则 ( ) A． B． C． D． 10．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为( ) A． B． C． D． 11．当时,在同一坐标系中,函数的图象是( ) x y o 1 1 o y x 1 1 o y x 1 1 x y 1 1 o
高中数学必修1模块综合测试题
班级 姓名 成绩 一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1、下列四个关系式中，正确的是 （ ） A、 B、 C、 D、 2．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是 ( ) A．3x＋2 B．3x＋1 C．3x－1 D．3x＋4 3．函数y=的定义域为 （） A．（，+∞） B．［1，+∞ C. D.(-∞，1） 4、已知函数，则 （ ） A 、 8 B、—8 C 、8或—8 D、16 2 5、若集合A＝｛x｜ax ＋2x＋a＝0，a∈R｝中有且只有一个元素，则a 的取值集合是（ ） A、｛1｝ B、｛－1｝ C、｛0，1｝ D、 ｛－1，0，1｝ 6．定义集合A、B的运算A*B＝{x|x∈A，或x∈B，且x∉A∩B}，则 (A*B)*A等于 ( )
21、（12分）已知，函数，求当为何值时最大值.
22、（12分）已知函数在定义域内为奇函数 （1）确定函数的解析式; （2）用定义证明f(x)在上是增函数； （3）求函数在上的值域. 第6页（共6页）
高中数学必修1模块综合测试题参考答案
一：选择题 CCCA D DCADA CB 二：填空题 13、(0,1)、14 、15、、16、②④ 三：解答题 17．（1） （2）1 18、（1） ， （2）由（1）知， ①当时，满足，此时， 得；②当时，要，则，解得；
由①②得， 19． （1）如右图 （2） 20、解：(1)由题意f(4)=5.2 f(6.5)=6.5+3.9+3.25=13.65 (2)由题意
f(5.5)=6.5+1.95=8.45
21.解： 令域为内为奇函数 得 （2）对任意则 在上为增函数 （3）在上为增函数 在上最大值为=，最小值为 在上值域为
18、（12分）已知集合，， . (1) 求，； (2) 若，求a的取值范围.
19、(12分）X已知函数是定义在上的奇函数，当， （1）画出求出图象； （2）求出的解析式.
20．（ 12分）我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市 打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时， 每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分加收 200％，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分加收400％，如果某人本 季度实际用水量为x(0≤x≤7)吨，应缴纳的水费为f(x). (1) 求f(4),f(5.5),f(6.5)的值；（2）试求出函数f(x)的解析式。