1985年试题 全国高考试题(高考数学试卷)
1985年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)如果正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体A′ABD的体积是【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D;(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要的条件【】[Key] (2)A;(A)y=x2(x∈R)(B)y=│sinx│(x∈R)(C)y=cos2x(x∈R)(D)y=e sin2x(x∈R)【】[Key] (3)B;(4)极坐标方程ρ=asinθ(a>0)的图象是【】[Key] (4)C;(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有(A)96个(B)78个(C)72个(D)64个【】[Key] (5)B.二、只要求直接写出结果.(2)设│a│≤1,求arccosa+arccos(-a)的值.(3)求曲线y2=-16x+64的焦点.(5)设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x2)的定义域.[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)π;(3)(0,0);(4)64(或26);(5)[-1,1](或{x│-1≤x≤1},或-1≤x≤1).三、(1)解方程log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).[Key] 三、本题考查对数方程、无理不等式的解法和分析问题的能力.(1)解法一:由原对数方程得因为log0.25a=-log4a,上式变成由此得到解这个方程,得到x1=0,x2=7.检验:把x=0代入原方程,左右两边都等于0;故x=0是原方程的根.但当x=7时,由于3-x<0,1-x<0,它们的对数无意义;故x=7不是原方程的根,应舍去.因此,原对数方程的根是x=0.对原方程变形,同解法一,得x1=0,x2=7.2x+5>x2+2x+1,x2<4,即-2<x<2.但由条件x≥-1,因此-1≤x<2也是原不等式的解.综合(i),(ii),得出原不等式的解集是四、如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°,P为面AC内的一点,Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上.又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ<90°)线段PM的长为a.求线段PQ的长.[Key] 四、本题考查三垂线定理、二面角、斜线与平面所成的角、解三角形、空间想象能力和综合运用知识的能力.解法一:自点P作平面BD的垂线,垂足为R,由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以R 在MQ上,过R作BC的垂线,设垂足为N,则PN⊥BC.(三垂线定理)因此∠PNR是所给二面角的平面角,所以∠PNR=45°.由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以∠PQR=β.在Rt△PNR中,NR=PRctg45°,所以NR=PR.又已知0°<θ<90°,所以解法二:同解法一,得∠PQR=β.设:∠PMR=α则在Rt△PMR中,MR=acosα,PR=asinα,在Rt△MNR中,NR=MRsinθ=acosα·sinθ.又在Rt△PNR中,由于∠PNR=45°,所以PR=NR.于是asinα=acosα·sinθ,tgα=sinθ,在△PMQ中,应用正弦定理得五、设O为复平面的原点,Z1和Z2为复平面内的两个动点,并且满足:(2)△OZ1Z2的面积为定值S.求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.[Key] 五、本题考查复数的概念、复数运算的几何意义、三角恒等式、不等式以及灵活运用知识的能力.解法一:设Z1、Z2和Z对应的复数分别为z1、z2和z,其中z1=r1(cosθ+isinθ),z2=r2(cosθ-isinθ).由于Z是△OZ1Z2的重心,根据复数加法的几何意义,则有3z=z1+z2=(r1+r2)cosθ+(r1-r2)isinθ.于是│3z│2=(r1+r2)2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ=(r1-r2)2cos2θ+4r1r2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ=(r1-r2)2+4r1r2cos2θ.解法二:同解法一,得3z=(r1+r2)cosθ+(r1-r2)isinθ.于是│3z│2=(r1+r2)2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ.又已知△OZ1Z2的面积为S,且r1为三角形边长,r1>0,以及sin2>θ(因[Key] 六、本题考查直线方程、两点间的距离公式、参数方程以及轨迹方程的求法.2.当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y),由(2)式得将上述两式代入(1)式,得整理得x2-y2+2x-2y+8=0,(*)当a=-2或a=-1时,直线PA和QB仍然相交,并且交点坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点的轨迹方程.解法二:设直线PA和QB的交点为M(x,y).当点M与点P及点Q都不重合时,直线PM的方程是(x+2)(Y-2)=(y-2)(X+2),直线QM的方程是x(Y-2)=(y-2)X.由方程组解得直线PM和直线l的交点A的坐标为由方程组解得直线QM和直线l的交点B的坐标为根据题意,线段AB两端点A,B的横坐标有如下关系:从而得x2-y2+2x-2y+8=0,(*)即又因点M与点P或点Q重合时,M点的坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点M的轨迹方程.(1)证明不等式对所有的正整数n都成立.[Key] 七、本题考查数列和极限的基础知识,证明不等式的基本方法.(1)证法一:用数学归纳法.假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即当n=k+1时,可得即也成立.从而不等式对所有的正整数n都成立.证法二:直接证明.由于不等式对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到又因以及因此不等式对所有的正整数n都成立.(2)由(1)及b n的定义知于是八、设a,b是两个实数,A={(x,y)│x=n,y=na+b,n是整数},B={(x,y)│x=,m,y=3m2+15,m是整数},C={(x,y)│x2+y2≤144}是平面XOY内的点集合.讨论是否存在a和b使得(2)(a,b)∈C同时成立.[Key] 八、本题考查集合的基本知识,不等式的证明以及分析问题的能力.解法一:如果实数a和b使得(1)成立,于是存在整数m和n使得(n,na+b)=(m,3m2+15),即由此得出,存在整数n使得na+b=3n2+15,或写成na+b-(3n2+15)=0.这个等式表明点P(a,b)在直线l:nx+y-(3n2+15)=0上,记从原点到直线l的距离为d,于是当且仅当时上式中等号才成立.由于n是整数,因此n2≠3,所以上式中等号不可能成立.即d>12.所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.解法二:如果实数a和b使得(1),(2)同时成立.同解法一,由于(1)成立,知存在整数n使得na+b=3n2+15,即b=3n2+15-an.(*)由(2)成立,得a2+b2≤144.把(*)式代入上式,得关于a的不等式(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-144≤0.(**)它的判别式Δ=4n2(3n2+15)2-4(1+n)2[(3n2+15)2-144]=-36(n2-3)2.但n是整数,n2-3≠0,因而Δ<0.又因1+n2>0,故(**)式不可能有实数解a,这就表明,不存在实数a和b使得(1)、(2)同时成立.解法三:如果实数a和b使(1)、(2)同时成立.同解法一,由(1)成立知,必存在整数n使得3n2-an-(b-15)=0.(*)于是,它的判别式非负,即Δ=a2+12b-180≥0,(**)由(**)得12b-180≥-a2.由(2)成立知a2+b2≤144,(***)即-a2≥b2-144.因此,12b-180≥b2-144,即(b-6)2≤0,由此得出b=6.把b=6代入判别式(**),得出a2≥108,但把b=6代入(***),得出a2≤108,因而必有a2=108.此时,从(*)式可解出所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.九、(附加题,不计入总分)已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y 轴上的截距为最小,并求出这个最小值.[Key] 九、(本题分数不计入总分)本题考查导数的几何意义,利用导数解决函数的最大值、最小值问题的能力.解:已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6,因此y′=3x2-12x+11.在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是点P处切线方程是设这切线与y轴的截距为r,则根据题意,要求r(它是以x0为自变量的函数)在区间[0,2]上的最小值.因为当0<x0<2时r′>0,因此r是增函数,故r在区间[0,2]的左端点x0=0处取到最小值.即在点P(0,-6)处切线在y轴上的截距最小.这个最小值是r最小值=-6.。
1985年全国统一高考数学试卷(文科)
1985年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）如果正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，那么四面体A′﹣ABD 的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（3分）的（ ）A ． 必要条件B ． 充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分又不必要的条件 3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y ）∪Z 是（ ） A ． {0，1，2，6，8} B ． {3，7，8} C ． {1，3，7，8} D ． {1，3，6，7，8}4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ） A ． y =x 2（x ∈R ） B ． y =|sinx|（x ∈R ） C ． y =cos2x （x ∈R ）D ． y =e sin2x （x ∈R ）5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ） A ． 96个 B ． 78个 C ． 72个 D ． 64个二、解答题（共11小题，满分90分） 6．（4分）求函数．7．（4分）求圆锥曲线3x 2﹣y 2+6x+2y ﹣1=0的离心率． 8．（4分）求函数y=﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值． 9．（4分）设（3x ﹣1）6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值． 10．（4分）设i 是虚数单位，求（1+i ）6的值． 11．（14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12，… 用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n 都成立．12．（13分）证明三角恒等式．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L 的对称的圆的方程．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．1985年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 8}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．解答：解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）D．y=e sin2x（x∈R）A．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．考点：函数的定义域及其求法．分析：只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．解答：解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．点评：本题考查具体函数的定义域，属基本题．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．解答：解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，即a=1，b=∴c==2∴e==2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．解答：解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2结合函数的图象可得，当x=2时，y max=2；当x=0时，y min=﹣2故最大值是2，最小值是﹣2．点评：二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型．分析：利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可．解答：解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i点评：本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．解答：证明：因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，====．即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成立，即证得点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可．解答：证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边点评：考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根．（2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解．解答：（1）解：由原对数方程得，于是解这个方程，得x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0．（2）解：解得点评：解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解．14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题．分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．解答：解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；压轴题．分析：求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程．解答：解：已知圆方程可化成（x+2）2+（y﹣6）2=1，它的圆心为P（﹣2，6），半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b），则PP'的中点应在直线L上，故有，即3a﹣4b﹣20=0（1）又PP'⊥L，故有，即4a+3b﹣10=0（2）解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=﹣2由此，所求圆的方程为（x﹣4）2+（y+2）2=1，即：x2+y2﹣8x+4y+19=0．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．考点：极限及其运算；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：当公比q满足0＜q＜1时，．当公比q=1时，S n=n，．．当公比q＞1时，，．综合以上讨论，可以求得的值．解答：解：当公比q满足0＜q＜1时，，于是==．当公比q=1时，S n=1+1+…+1=n，于是=．因此当公比q＞1时，于是．因此．综合以上讨论得到点评：本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．。
1985年(文高考数学试题理科)
一九八五年（理科）考生注意：这份试题共八道大题，满分120分。
第九题是附加题，满分10分，不计入总分。
一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分。
（1）如果正方体ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇的棱长为a ，那么四面体A ＇-ABD 的体积是 （ D )6(D) 4(C) 3(B)2)(3333a a a a A （2）π==451x tgx 是的 （ A ） （A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要的条件 （3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？ （ B ） （A ）).(2R x x y ∈= （B ）)(|sin |R x x y ∈= （C ）)(2cos R x x y ∈= （D ）)(2sin R x e y x ∈=(4)极坐标方程)0(sin >θ=ρa a 的图象是 （ C ）（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 （ B ） （A ）96个 （B ）78个 （C ）72个 （D ）64个 二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分。
只要求直接写出结果）（1）求方程1)6sin(2=π+x 解集。
答：}.,6]1)1[(|{Z k k x x k∈π--+π=（2）设1||≤a ，求)arccos(arccos a a -+的值。
答：π。
（3）求曲线64162+-=x y 的焦点。
答：（0，0）（4）设(3x-1)6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0,求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2 +a 1+a 0的值。
1985年高考试题(上海-理)
1985年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（每小题3分，共10分）1、不等式1|2|<+x 的解集是 。
2、函数31-=x y 的反函数是 。
3、点(0,1)到直线2=+y x 的距离是 。
4、函数2sin x y π=的最小正周期是 。
5、如果一个圆的圆心在点(2,4)，并且经过点(0,3)，那么这个圆的方程 是 。
6、若平面α及这个平面外的一条直线l 同时垂直于直线m ，则直线l 和平面α的 位置关系是 。
7、函数x x y 22cos sin -=的最小值是 。
8、方程018379=-⋅-x x 的解是 。
9、若2-=αtg ，且0sin <α，则αcos 的值是 。
10、已知O 为直角坐标系的原点，点A 的坐标为(1,3)，点B 的坐标为(0,3)。
若把OAB ∆绕y 轴旋转一周，则所得旋转体的体积是 。
二、选择题（每小题3分，共有5小题）11、设z 为复数，z 是z 的共轭复数，则z = z 是z 为实数的 （ ）（A ）、充分非必要条件 （B ）、必要非充分条件（C ）、充要条件 （D ）、既非充分又非必要条件12、下列各式中，正确的是 （ ）（A ）、23)3a r c s i n (-=-π （B ）、3)3s i n (a r c s i n ππ=（C ）、4)45s i n a r c s i n ππ-= （D ）、23)]21(sin[arccos -=- 13、已知函数)23lg()(2+-=x x x f 的定义域为F ，函数)2lg()1lg()(-+-=x x x g的定义域为G ，那么 （ ）（A ）、F ⋂G =∅ （B ）、F = G （C ）、F ⊂G （D ）、G ⊂ F14、若一个棱锥的底面是边数大于3的凸多边形，它的顶点到底面各边的距离都相等，则这个棱锥的底面多边形 （ ）（A ）、必为正多边形 （B ）、必有内切圆（C ）、必有外切圆 （D ）、必既有内切圆又有外接圆15、若平移坐标轴，把坐标系xoy 的原点O 移到点O '，O '在原坐标系中的坐标为)1,2(-，则原坐标系中的曲线3x y =在新坐标系y o x '''中的方程是（ ）（A ）、3)2(1-'=+'x y （B ）、3)2(1+'=+'x y（C ）、3)2(1-'=-'x y （D ）、3)2(1+'=-'x y三、（本题满分9分）（1）、在直角坐标系内，方程⎩⎨⎧==φφcsc 23y ctg x （φ是参数）表示的曲线是 。
1985年高考试题(上海-理)
1985年高考试题（上海-理）上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（每小题3分，共10分）1、不等式|某2|1的解集是2、函数y3某1的反函数是3、点(0,1)到直线某y2的距离是4、函数yin的最小正周期是25、如果一个圆的圆心在点(2,4)，并且经过点(0,3)，那么这个圆的方程是6、若平面及这个平面外的一条直线l同时垂直于直线m，则直线l 和平面的位置关系是7、函数yin2某co2某的最小值是8、方程9某73某180的解是9、若tg2，且in0，则co的值是10、已知O为直角坐标系的原点，点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(0,3)。
若把OAB绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积是二、选择题（每小题3分，共有5小题）11、设z为复数，z是z的共轭复数，则z=z是z为实数的（）（A）、充分非必要条件（B）、必要非充分条件（C）、充要条件（D）、既非充分又非必要条件12、下列各式中，正确的是（）n(icra（A）、某3nicra(ni)（B）、323)3nicra（C）、ni513)（D）、in[arcco()]442213、已知函数f(某)lg(某23某2)的定义域为F，函数g(某)lg(某1)lg(某2)的定义域为G，那么（）（A）、FG=（B）、F=G（C）、FG（D）、GF14、若一个棱锥的底面是边数大于3的凸多边形，它的顶点到底面各边的距离都相等，则这个棱锥的底面多边形（）（A）、必为正多边形（B）、必有内切圆（C）、必有外切圆（D）、必既有内切圆又有外接圆15、若平移坐标轴，把坐标系某oy的原点O移到点O，O在原坐标系中的坐标为(2,1)，则原坐标系中的曲线y某3在新坐标系某oy中的方程是（）（A）、y1(某2)3（B）、y1(某2)3（C）、y1(某2)3（D）、y1(某2)3三、（本题满分9分）某3ctg（1）、在直角坐标系内，方程（是参数）表示的曲线是画y2cc出它的图形。
（2）、在极坐标系内，方程画出它的图形。
普通高等学校招生全国统一考试数学1985年-文科数学
1985年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学一、本题每个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号.(1)设正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a,那么三棱锥A′—ABD的体积是(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要的条件(3)设集合X={0,1,2,4,5,7},Y={1,3,6,8,9},Z={3,7,8},那么集合(x∩Y)∪Z是(A){0,1,2,6,8} (B){3,7,8}(C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}以π为周期的偶函数?(A)y=x2 (x∈R) (B)y=│s i nx│(x∈R)(C)y=cos2x (x∈R) (D)y=e sin2x (x∈R)(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有(A)96个(B)78个(C)72个(D)64个二、只要求直接写出结果.(2)求圆锥曲线3x2-y2+6x+2y-1=0的离心率.(3)求函数y=-x2+4x-2在区间[0,3]上的最大值和最小值.(4)设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值.(5)设i是虚数单位,求(1+i)6的值.三、设S1=12, S2=12+22+12,S3=12+22+32+22+12,…,S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,….用数学归纳法证明:公式对所有的正整数n都成立.四、证明三角恒等式五、(1)解方程lg(3-x)-lg(3+x)=lg(1-x)-lg(2x+1).(2)解不等式六、设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β,它的高是h.求这个三棱锥底面的切圆半径.七、已知一个圆C:x2+y2+4x-12y+39=0和一条直线l:3x-4y+5=0.求圆C关于直线l对称的圆的方程.1985年全国普通高等学校招生统一考试（文史卷）数学参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D; (2)A; (3)C; (4)B; (5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(1){x│-2≤x<1}∪{x│1<x≤2};(2)2;(3)最大值是2,最小值是-2;(4)64(或26;(5)-8i.三、本题考查应用数学归纳法证明问题的能力.证明:因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12(Ⅱ)假设当n=k时,(A)式成立,即现设n=k+1,在上式两边都加上(k+1)2+k2,得12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12即证得当n=k+1时(A)式也成立.根据(Ⅰ)和(Ⅱ),(A)式对所有的正整数n都成立,即证得四、本题考查三角公式和证明三角恒等式的能力.证法一:左边=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x-(4cos3x-3cosx)cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=(2sin2x+cos2x)(sin2x+cos2x)+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=右边.证法二:=右边.五、本题考查对数方程、无理不等式的解法以及分析问题的能力.(1)解法一:由原对数方程得于是解这个方程,得到x1=0, x2=7.检验:把x=0代入原方程,左边=0=右边;故x=0是原方程的根.把x=7代入原方程,由于3-x<0,1-x<0,它们的对数无意义,故x=7不是原方程的根,应舍去.因此,原对数方程的根是x=0.对原方程变形,同解法一,得x1=0, x2=7.2x+5>x2+2x+1,x2<4,即-2<x<2.但由条件x≥-1,因此-1≤x<2也是原不等式的解.综合(i)和(ii),得出原不等式的解集是六、本题考查三棱锥、二面角的概念,三垂线定理和解决空间图形问题的能力.解:自三棱锥的顶点V向底面作垂线,垂足为O.再过O分别作AB,BC,CA的垂线,垂足分别为E,F,G.连接VE,VF,VG.根据三垂线定理知VE⊥AB,VF⊥BC,VG⊥AC.因此∠VEO,∠VFO,∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角,由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β.在△VOE和△VOF中,由于VO⊥平面ABC,所以VO⊥OE,VO⊥OF.又因VO=VO,∠VEO=∠VFO,于是△VEO≌△VFO.由此得到OE=OF.同理可证OE=OG.因此OE=OF=OG.又因OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,所以点O是△ABC的切圆的圆心.在直角三角形VEO中,VO=h,∠VEO=β,因此OE=hctgβ.即这个三棱锥底面的切圆半径为hctgβ.七、本题考查直线和圆的基础知识和用解析法解决几何问题的能力.解法一:已知圆C的方程是x2+y2+4x-12y+39=0,它可写成(x+2)2+(y-6)2=1,因此它的圆心为P(-2,6),半径为1.即3a-4b-20=0. (1)又PP′⊥l,故有即4a+3b-10=0. (2)解(1),(2)所组成的方程组,得a=4,b=-2.由此,所求圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1,即x2+y2-8x+4y+19=0.解法二:设圆C上任一点(x′,y′)关于直线l的对称点为(x,y).则有由此可得因点(x′,y′)在圆C上,故有(x′+2)2+(y′-6)2=1,即有化简,得x2+y2-8x+4y+19=0,这就是所求圆的方程.八、本题考查数列和极限的基础知识以及分析问题的能力.解:当公比q满足0<q<1时,于是因此当公比q=1时,S n=1+1+…+1=n,于是因此当公比q>1时,于是因此综合以上讨论得到。
1985年全国高考数学试题及答案解析
(1)解法一:由原对数方程得
因为log0.25a=-log4a,上式变成
由此得到
解这个方程,得到
x1=0,x2=7.
检验:把x=0代入原方程,左右两边都等于0;故x=0是原方程的根.但当x=7时,由于3-x<0,1-x<0,它们的对数无意义;故x=7不是原方程的根,应舍去.
当n=k+1时,可得
即
也成立.
从而不等式对所有的正整数n都成立.
证法二:直接证明.
由于不等式
对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到
又因
以及
因此不等式
对所有的正整数n都成立.
(2)由(1)及bn的定义知
于是
八、设a,b是两个实数,
解法二:设直线PA和QB的交点为M(x,y).
当点M与点P及点Q都不重合时,直线PM的方程是
(x+2)(Y-2)=(y-2)(X+2),
直线பைடு நூலகம்M的方程是
x(Y-2)=(y-2)X.
由方程组
解得直线PM和直线l的交点A的坐标为
由方程组
解得直线QM和直线l的交点B的坐标为
根据题意,线段AB两端点A,B的横坐标有如下关系:
1985年全国高考数学试题及答案解析
(理工农医类)
一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.
(1)如果正方体ABCD_A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体
A′_ABD的体积是
【】
[Key]一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)D;
1985年全国高考数学试题及答案解析
1985年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)如果正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体A′ABD的体积是【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D;(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要的条件【】[Key] (2)A;(A)y=x2(x∈R)(B)y=│sinx│(x∈R)(C)y=cos2x(x∈R)(D)y=e sin2x(x∈R)【】[Key] (3)B;(4)极坐标方程ρ=asinθ(a>0)的图象是【】[Key] (4)C;(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有(A)96个(B)78个(C)72个(D)64个【】[Key] (5)B.二、只要求直接写出结果.(2)设│a│≤1,求arccosa+arccos(-a)的值.(3)求曲线y2=-16x+64的焦点.(5)设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x2)的定义域.[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)π;(3)(0,0);(4)64(或26);(5)[-1,1](或{x│-1≤x≤1},或-1≤x≤1).三、(1)解方程log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).[Key] 三、本题考查对数方程、无理不等式的解法和分析问题的能力.(1)解法一:由原对数方程得因为log0.25a=-log4a,上式变成由此得到解这个方程,得到x1=0,x2=7.检验:把x=0代入原方程,左右两边都等于0;故x=0是原方程的根.但当x=7时,由于3-x<0,1-x<0,它们的对数无意义;故x=7不是原方程的根,应舍去.因此,原对数方程的根是x=0.对原方程变形,同解法一,得x1=0,x2=7.2x+5>x2+2x+1,x2<4,即-2<x<2.但由条件x≥-1,因此-1≤x<2也是原不等式的解.综合(i),(ii),得出原不等式的解集是四、如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°,P为面AC内的一点,Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上.又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ<90°)线段PM的长为a.求线段PQ的长.[Key] 四、本题考查三垂线定理、二面角、斜线与平面所成的角、解三角形、空间想象能力和综合运用知识的能力.解法一:自点P作平面BD的垂线,垂足为R,由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以R 在MQ上,过R作BC的垂线,设垂足为N,则PN⊥BC.(三垂线定理)因此∠PNR是所给二面角的平面角,所以∠PNR=45°.由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以∠PQR=β.在Rt△PNR中,NR=PRctg45°,所以NR=PR.又已知0°<θ<90°,所以解法二:同解法一,得∠PQR=β.设:∠PMR=α则在Rt△PMR中,MR=acosα,PR=asinα,在Rt△MNR中,NR=MRsinθ=acosα·sinθ.又在Rt△PNR中,由于∠PNR=45°,所以PR=NR.于是asinα=acosα·sinθ,tgα=sinθ,在△PMQ中,应用正弦定理得五、设O为复平面的原点,Z1和Z2为复平面内的两个动点,并且满足:(2)△OZ1Z2的面积为定值S.求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.[Key] 五、本题考查复数的概念、复数运算的几何意义、三角恒等式、不等式以及灵活运用知识的能力.解法一:设Z1、Z2和Z对应的复数分别为z1、z2和z,其中z1=r1(cosθ+isinθ),z2=r2(cosθ-isinθ).由于Z是△OZ1Z2的重心,根据复数加法的几何意义,则有3z=z1+z2=(r1+r2)cosθ+(r1-r2)isinθ.于是│3z│2=(r1+r2)2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ=(r1-r2)2cos2θ+4r1r2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ=(r1-r2)2+4r1r2cos2θ.解法二:同解法一,得3z=(r1+r2)cosθ+(r1-r2)isinθ.于是│3z│2=(r1+r2)2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ.又已知△OZ1Z2的面积为S,且r1为三角形边长,r1>0,以及sin2>θ(因[Key] 六、本题考查直线方程、两点间的距离公式、参数方程以及轨迹方程的求法.2.当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y),由(2)式得将上述两式代入(1)式,得整理得x2-y2+2x-2y+8=0,(*)当a=-2或a=-1时,直线PA和QB仍然相交,并且交点坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点的轨迹方程.解法二:设直线PA和QB的交点为M(x,y).当点M与点P及点Q都不重合时,直线PM的方程是(x+2)(Y-2)=(y-2)(X+2),直线QM的方程是x(Y-2)=(y-2)X.由方程组解得直线PM和直线l的交点A的坐标为由方程组解得直线QM和直线l的交点B的坐标为根据题意,线段AB两端点A,B的横坐标有如下关系:从而得x2-y2+2x-2y+8=0,(*)即又因点M与点P或点Q重合时,M点的坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点M的轨迹方程.(1)证明不等式对所有的正整数n都成立.[Key] 七、本题考查数列和极限的基础知识,证明不等式的基本方法.(1)证法一:用数学归纳法.假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即当n=k+1时,可得即也成立.从而不等式对所有的正整数n都成立.证法二:直接证明.由于不等式对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到又因以及因此不等式对所有的正整数n都成立.(2)由(1)及b n的定义知于是八、设a,b是两个实数,A={(x,y)│x=n,y=na+b,n是整数},B={(x,y)│x=,m,y=3m2+15,m是整数},C={(x,y)│x2+y2≤144}是平面XOY内的点集合.讨论是否存在a和b使得(2)(a,b)∈C同时成立.[Key] 八、本题考查集合的基本知识,不等式的证明以及分析问题的能力.解法一:如果实数a和b使得(1)成立,于是存在整数m和n使得(n,na+b)=(m,3m2+15),即由此得出,存在整数n使得na+b=3n2+15,或写成na+b-(3n2+15)=0.这个等式表明点P(a,b)在直线l:nx+y-(3n2+15)=0上,记从原点到直线l的距离为d,于是当且仅当时上式中等号才成立.由于n是整数,因此n2≠3,所以上式中等号不可能成立.即d>12.所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.解法二:如果实数a和b使得(1),(2)同时成立.同解法一,由于(1)成立,知存在整数n使得na+b=3n2+15,即b=3n2+15-an.(*)由(2)成立,得a2+b2≤144.把(*)式代入上式,得关于a的不等式(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-144≤0.(**)它的判别式Δ=4n2(3n2+15)2-4(1+n)2[(3n2+15)2-144]=-36(n2-3)2.但n是整数,n2-3≠0,因而Δ<0.又因1+n2>0,故(**)式不可能有实数解a,这就表明,不存在实数a和b使得(1)、(2)同时成立.解法三:如果实数a和b使(1)、(2)同时成立.同解法一,由(1)成立知,必存在整数n使得3n2-an-(b-15)=0.(*)于是,它的判别式非负,即Δ=a2+12b-180≥0,(**)由(**)得12b-180≥-a2.由(2)成立知a2+b2≤144,(***)即-a2≥b2-144.因此,12b-180≥b2-144,即(b-6)2≤0,由此得出b=6.把b=6代入判别式(**),得出a2≥108,但把b=6代入(***),得出a2≤108,因而必有a2=108.此时,从(*)式可解出所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.九、(附加题,不计入总分)已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y 轴上的截距为最小,并求出这个最小值.[Key] 九、(本题分数不计入总分)本题考查导数的几何意义,利用导数解决函数的最大值、最小值问题的能力.解:已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6,因此y′=3x2-12x+11.在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是点P处切线方程是设这切线与y轴的截距为r,则根据题意,要求r(它是以x0为自变量的函数)在区间[0,2]上的最小值.因为当0<x0<2时r′>0,因此r是增函数,故r在区间[0,2]的左端点x0=0处取到最小值.即在点P(0,-6)处切线在y轴上的截距最小.这个最小值是r最小值=-6.第11 页共11 页。
1985年高考数学试题及答案
1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分（1）如果正方体ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇的棱长为a ，那么四面体A ＇-ABD 的体积是 （ D )6(D) 4(C) 3(B)2)(3333a a a a A （2）π==451x tgx 是的 （ A ） （A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要的条件 （3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？ （ B ） （A ）).(2R x x y ∈= （B ）)(|sin |R x x y ∈= （C ）)(2cos R x x y ∈= （D ）)(2sin R x e y x ∈=(4)极坐标方程)0(sin >θ=ρa a 的图象是 （ C ）(A) X2（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 （ B ）（A ）96个 （B（C （D ）64个二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）集（1）求方程16sin(2=π+x 解答：}.,6]1)1[(|{Z k k x x k ∈π--+π=（2）设1||≤a ，求)arccos(arccos a a -+的值答：π（3）求曲线64162+-=x y 的焦点答：（0，0）（4）设(3x-1)6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0,求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2 +a 1+a 0的值(C) O X(B) (D) a X答：64（或26）（5）设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x 2)的定义域答：[-1，1]三．（本题满分14分）（1）解方程).12(log )1(log )3(log )3(log 25.0425.04++-=++-x x x x 解：由原对数方程得,312log 312log 13log 425.04⎪⎭⎫⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x x x1)3)(1()12)(3(,031213log 4=+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅--x x x x x x x x 由此得到 解这个方程，得到x 1=0,x 2=7. 检验：x=7是增根，x=0是原方程的根（2）解不等式.152+>+x x解：⎪⎩⎪⎨⎧++>+≥+≥+⎩⎨⎧<+≥+125201052010522x x x x x x x 或 解得}.225|{<≤-x x 四．（本题满分15分）如图，设平面AC 和BD 相交于BC ，它们所成的一个二面角为450，P 为平面AC 内的一点，Q 为面BD 内的一点MQ 是直线PQ 在平面BD 内的射影，并且M 在BC 上又设PQ 与平面BD 所成的角为β，∠CMQ=θ（00<θ<900)，线段PM 的长为a ，求线段PQ 的长解：自点P 作平面BD 的垂线，垂足为R ，由于直线MQ 是直线PQ 在平面BD 内的射影，所以R 在MQ 上，过R 作BC 的垂线，设垂足为N ，则PN ⊥BC （三垂线定理）因此∠PNR 是所给二面角的平面角，所以∠PNR=450由于直线MQ 是直线PQ 在平面BD 内的射影，所以∠PQR=β 在Rt △PNR 中，NR=PRctg450,所以NR=PR 在Rt △MNR 中，MR=θ=θsin 1sin 1PR NR在Rt △PMR 中，sin 11(sin 22222222θ+=θ+=+=PR PR PR MR PR a又已知00＜θ＜900，所以.sin 1sin 2θ+θ=a PR在Rt △PRQ 中，.sin 1sin sin sin 12θ+βθ=β=a PR PQ 故线段PQ 五．（本题满分15分）设O 为复平面的原点，Z 1和Z 2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z 1和Z 2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ)20(π<θ<， （2）△OZ 1Z 2的面积为定值S求△OZ 1Z 2的重心Z 所对应的复数的模的最小值AB Q D解：设Z 1,Z 2和Z 对应的复数分别为z 1,z 2和z ，其中).sin (),sin (2211θ-θ=θ+θ=i co r z i co r z由于Z 是△OZ 1Z 2的重心，根据复数加法的几何意义，则有.sin )(cos )(3212121θ-+θ+=+=i r r r r z z z 于是θ+-=θ-+θ+θ-=θ-+θ+=22122122212212221222122212cos 4)(sin )(cos 4cos )(sin )(cos )(|3|r r r r r r r r r r r r r r z 又知△OZ 1Z 2的面积为定值S 及)20(02sin π<θ<>θ ，所以.32||,||,2sin 24)(2sin cos 8)(|3|,2sin 2,2sin 2121221222122121θ=θ==θ+-=θθ+-=θ==θSctg z z S r r Sctg r r S r r z S r r S r r 最小值且最小时故当由此即六．（本题满分15分）已知两点P （-2，2），Q （0，2）以及一条直线：L:y=x ，设长为2的线段AB 在直线L 上移动，如图PA 和QB 的交点M 的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）解：由于线段AB 在直线y=x 上移动，且AB 的长2，所以可设点A 和B 分别是（a ,a )和(a +1,a +1)，其中a 为参数YZ 2于是可得：直线PA 的方程是)1()2()2(222-≠++-=-a x a a y直线QB 的方程是)2()1(112-≠+-=-a x a a y 1.当,0,1122时即=+-=+-a a a a a 直线PA 和QB2．当0≠a 时，直线PA 与QB相交，设交点为M(x,y)，由（2）式得.2632,2232,221,)121(2+---=-+-+-=+∴+-=++-=-y x x y a y x y x a y x x a x a y 将上述两式代入（1）式，得(*)18)1(8)1(0822)2(236322222-=+-+=+-+-++---=-y x y x y x x y x x y y 即整理得当a =-2或a =-1时，直线PA 和QB 仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式所以（*）式即为所求动点的轨迹方程注：考生没指出“a =0”及“a =-2或a =-1”时的情形不扣分七．（本题满分14分）设)2,1()1(3221 =+++⋅+⋅=n n n a n（1）证明不等式2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有的正整数n 都成立（2）设),2,1()1( =+=n n n a b n n 用定义证明.21lim =∞→n n b YXM（1）证一：用数学归纳法略证二：由不等式2122)1()1(+=++<+<k k k k k k 对所有正整数k 成立，把它对k 从1到n （n ≥1）求和，得到212252321++++<<+++n a n n 又因,2)1(21+=+++n n n 以及 .2)1(2)1(,2)1()]12(531[21212252322+<<++=+++++<++++n a n n n n n n 因此不等式 对所有的正整数n 都成立（2）由（1）及b n 的定义知nb b n n n b n n n 212121,21212121<-=-+=+<<于是 对任意指定的正数ε，要使ε<-21n b ，只要使ε<n 21，即只要使 .21ε>n 取N 是ε21的整数部分，则数列b n 的第N 项以后所有的项都满足<-21n b 根据极限的定义，证得.21lim =∞→n n b 八．（本题满分12分） 设a ,b 是两个实数，A={(x,y)|x=n,y=n a +b,n 是整数}， B={(x,y)|x=m,y=3m 2+15,m 是整数}， C={(x,y)|x 2+y 2≤144}，是平面XOY 内的点集合，讨论是否存在a 和b 使得（1）A ∩B ≠φ（φ表示空集）， （2）（a ,b)∈C 同时成立解：如果实数a 和b 使得（1）成立，于是存在整数m 和n 使得(n,n a +b)=(m,3m 2+15), 即⎩⎨⎧+=+=.153,2m b na m n 由此得出，存在整数n 使得n a +b=3n 2+15, 或写成n a +b-(3n 2+15)=0这个等式表明点P （a ,b)在直线L ：nx+y-(3n 2+15)=0上，记从原点到直线L 的距离为d ，于是12)1221(611532222≥+++=++=n n n n d 当且仅当3,12122==+n n 即时上式中等号才成立由于n 是整数，因此32≠n ，所以上式中等号不可能成立即12>d因为点P 在直线L 上，点P 到原点的距离22b a +必满足.1222>≥+d b a而（2）成立要求a 2+b 2≤144，即1222≤+b a 由此可见使得（1）成立的a 和b 必不能使（2）成立所以，不存在实数a 和b 使得（1），（2）同时成立 九．（附加题，本题满分10分，）已知曲线y=x 3-6x 2+11x-6.在它对应于]2,0[∈x 的弧段上求一点P ，使得曲线在该点的切线在y 轴上的截距为最小，并求出这个最小值解：已知曲线方程是y=x 3-6x 2+11x-6，因此y ＇=3x 2-12x+11在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是y＇|x=x0=3x02-12x0+11点P处切线方程是y=(3x02-12x0+11)(x-x0)+y0设这切线与y轴的截距为r，则r=(3x02-12x0+11)(-x0)+(x03-6x02+11x0-6)=-2x03+6x02-6根据题意，要求r（它是以x0为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值因为r＇=-6x02+12x0=-6x0(x0-2)当0＜x0＜2时r＇＞0，因此r是增函数，故r在区间[0，2]的左端点x0=0处取到最小值即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小这个最小值是r最小值=-6。
1985年全国统一高考数学试卷(文科)
1985年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）如果正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，那么四面体A′﹣ABD 的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（3分）的（ ）A ． 必要条件B ． 充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分又不必要的条件 3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y ）∪Z 是（ ） A ． {0，1，2，6，8} B ． {3，7，8} C ． {1，3，7，8} D ． {1，3，6，7，8}4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ） A ． y =x 2（x ∈R ） B ． y =|sinx|（x ∈R ） C ． y =cos2x （x ∈R ）D ． y =e sin2x （x ∈R ）5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ） A ． 96个 B ． 78个 C ． 72个 D ． 64个二、解答题（共11小题，满分90分） 6．（4分）求函数．7．（4分）求圆锥曲线3x 2﹣y 2+6x+2y ﹣1=0的离心率． 8．（4分）求函数y=﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值． 9．（4分）设（3x ﹣1）6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值． 10．（4分）设i 是虚数单位，求（1+i ）6的值． 11．（14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12，… 用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n 都成立．12．（13分）证明三角恒等式．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L 的对称的圆的方程．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．1985年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 8}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．解答：解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）D．y=e sin2x（x∈R）A．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．考点：函数的定义域及其求法．分析：只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．解答：解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．点评：本题考查具体函数的定义域，属基本题．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．解答：解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，即a=1，b=∴c==2∴e==2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．解答：解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2结合函数的图象可得，当x=2时，y max=2；当x=0时，y min=﹣2故最大值是2，最小值是﹣2．点评：二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型．分析：利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可．解答：解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i点评：本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．解答：证明：因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，====．即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成立，即证得点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可．解答：证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边点评：考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根．（2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解．解答：（1）解：由原对数方程得，于是解这个方程，得x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0．（2）解：解得点评：解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解．14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题．分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．解答：解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；压轴题．分析：求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程．解答：解：已知圆方程可化成（x+2）2+（y﹣6）2=1，它的圆心为P（﹣2，6），半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b），则PP'的中点应在直线L上，故有，即3a﹣4b﹣20=0（1）又PP'⊥L，故有，即4a+3b﹣10=0（2）解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=﹣2由此，所求圆的方程为（x﹣4）2+（y+2）2=1，即：x2+y2﹣8x+4y+19=0．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．考点：极限及其运算；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：当公比q满足0＜q＜1时，．当公比q=1时，S n=n，．．当公比q＞1时，，．综合以上讨论，可以求得的值．解答：解：当公比q满足0＜q＜1时，，于是==．当公比q=1时，S n=1+1+…+1=n，于是=．因此当公比q＞1时，于是．因此．综合以上讨论得到点评：本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．。
一九八五年的高考数学试卷
一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）1. 下列各数中，无理数是（）A. $\sqrt{2}$B. $\frac{1}{3}$C. $\pi$D. $\sqrt{9}$2. 已知函数$f(x)=2x-3$，则$f(-1)$的值为（）A. -1B. 1C. 2D. 33. 如果$a^2+b^2=5$，且$a-b=2$，那么$ab$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=1$的对称点为（）A. $(-1,1)$B. $(-1,-1)$C. $(1,-1)$D. $(1,1)$5. 下列命题中，正确的是（）A. 函数$y=x^2$在$x=0$处有极小值B. 函数$y=\log_2x$在$x=1$处有极大值C. 函数$y=\sqrt{x}$在$x=0$处有极小值D. 函数$y=3^x$在$x=0$处有极小值6. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=1$，$S_3=6$，则$a_4$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 如果复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，那么$z$对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 在$\triangle ABC$中，若$A=45^\circ$，$B=60^\circ$，则$C$的度数为（）A. $45^\circ$B. $60^\circ$C. $75^\circ$D. $90^\circ$9. 若$|x+2|=|x-2|$，则$x$的取值范围是（）A. $x \leq -2$B. $x \geq 2$C. $x \leq 2$或$x \geq -2$D. $x = 0$10. 下列函数中，奇函数是（）A. $y=x^2$B. $y=x^3$C. $y=\frac{1}{x}$D. $y=\sqrt{x}$11. 如果$a+b=5$，$ab=6$，那么$a^2+b^2$的值为（）A. 19B. 20C. 21D. 2212. 在$\triangle ABC$中，若$a:b:c=1:2:3$，则$\cos A$的值为（）A. $\frac{1}{3}$B. $\frac{2}{3}$C. $\frac{1}{2}$D. $\frac{3}{2}$13. 已知$sinA=0.6$，$cosB=0.8$，那么$sin(A+B)$的值为（）A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.714. 下列各对数式中，正确的是（）A. $\log_2(8)=3$B. $\log_5(25)=2$C. $\log_4(16)=2$D. $\log_3(9)=1$15. 下列各三角函数式中，正确的是（）A. $\sin^2x+\cos^2x=1$B. $\tan^2x+\sec^2x=1$C. $\cos^2x+\csc^2x=1$D. $\cot^2x+\sec^2x=1$16. 已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=1$，$S_4=10$，则$a_5$的值为（）A. 5B. 10C. 20D. 4017. 下列各函数中，是单调递增函数的是（）A. $y=x^2$B. $y=x^3$C. $y=\frac{1}{x}$D. $y=\sqrt{x}$18. 如果复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，那么$z$对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限19. 在$\triangle ABC$中，若$A=45^\circ$，$B=60^\circ$，则$C$的度数为（）A. $45^\circ$B. $60^\circ$C. $75^\circ$D. $90^\circ$20. 若$|x+2|=|x-2|$，则$x$的取值范围是（）A. $x \leq -2$B. $x \geq 2$C. $x \leq 2$或$x \geq -2$D. $x = 0$二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）21. 若$a+b=5$，$ab=6$，则$a^2+b^2=$______。