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初二平行四边形难题

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人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题提高题学能测试试题

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题提高题学能测试试题

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题提高题学能测试试题一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若50BCD ∠=︒，则OED ∠的度数是（ ）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°2．如图，四边形,ABCD AD 与BC 不平行，AB CD =．,AC BD 为四边形ABCD 的对角线，,,E F ,G H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点下列结论：①EG FH ⊥；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分;EHG ∠④()1 2EG BC AD =-；⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连结矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去．已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（ ）A ．14B ．116C ．132D ．164 4．如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD 、CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①AG ⊥BE ；②5:2；③S △BHE =S △CHD ；④∠AHB=∠EHD ．其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的点B '处，折痕为AE ．延长B E '交AB 的延长线于点M ，折痕AE 上有点P ，下列结论中：①M DAB '∠∠＝；②PB PB '＝；③AE ＝552；④MB CD '＝；⑤若B P CD '⊥，则EB B P ''＝．正确的有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边AD 于点；②再分别以B ，F 为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD 内部的点G 处；③连接AG 并延长交BC 于点E ，连接BF ，若BF ＝3，AB ＝2.5，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．57．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝185．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN , EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，若MN ∥AB ∥DC ，EF ∥DA ∥CB ，则有（ ）A ．S 1= S 4B ．S 1 + S 4 = S 2 + S 3C ．S 1 + S 3 = S 2 + S 4D ．S 1·S 4 = S 2·S 310．如图，正方形ABCD 中，延长CB 至E 使2CB EB =，以EB 为边作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点,N K ．则下列说法：①ANH GNF △≌△；②DAM NFG ∠=∠；③2FN NK =；④:2:7AFN DMKH S S =△四边形．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．12．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．13．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．14．已知在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．15．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．16．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．17．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．18．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．19．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积22．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．23．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．24．如图．正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，运动时间为t秒（t＞0），以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形AEFG，连接BF．（1）当t＝1时，求BF的长度；（2）在点E运动的过程中，求D、F两点之间距离的最小值；（3）连接AF、DF，当△ADF是等腰三角形时，求t的值．25．如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x．（1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______；（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°．①求证：点M是CD的中点；②求x的值．（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．26．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ：①M 点的坐标为 ．②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）．27．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．28．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

人教备战中考数学培优 易错 难题(含解析)之平行四边形含答案

人教备战中考数学培优 易错 难题(含解析)之平行四边形含答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62或23.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠3∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，3OH=23∴()2212362+-=如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=233， 综上所述：OP 的长为62 或233. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2．已知AD 是△ABC 的中线P 是线段AD 上的一点（不与点A 、D 重合），连接PB 、PC ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、PB 、PC 的中点，AD 与EF 交于点M ；（1）如图1，当AB ＝AC 时，求证：四边形EGHF 是矩形；（2）如图2，当点P 与点M 重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE 面积相等的三角形（不包括△BPE 本身）．【答案】（1）见解析；（2）△APE 、△APF 、△CPF 、△PGH ．【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EG ∥AP ，EF ∥BC ，EF=12BC ，GH ∥BC ，GH=12BC ，推出EF ∥GH ，EF=GH ，证得四边形EGHF 是平行四边形，证得EF ⊥AP ，推出EF ⊥EG ，即可得出结论；（2）由△APE 与△BPE 的底AE=BE ，又等高，得出S △APE =S △BPE ，由△APE 与△APF 的底EP=FP ，又等高，得出S △APE =S △APF ，由△APF 与△CPF 的底AF=CF ，又等高，得出S △APF =S △CPF ，证得△PGH 底边GH 上的高等于△AEF 底边EF 上高的一半，推出S△PGH=12S△AEF=S△APF，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝12BC，GH∥BC，GH＝12BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四边形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中线，∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中线，∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S△APF＝S△BPE，∵PF是△APC的中线，∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高，∴S△APF＝S△CPF，∴S△CPF＝S△BPE，∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC 底边BC上高的一半，∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，∵GH＝EF，∴S△PGH＝12S△AEF＝S△APF，综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．3．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠∴BC＝B'C，∠B＝∠B'∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC∴△ADE≌△B'EC（2）四边形AECF是菱形∵△ADE≌△B'EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．4．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求证：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.详解：（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的长为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．5．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的关系是___；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立.【解析】试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形．试题解析：解：（1）FG=CE，FG∥CE；（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H．∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°．∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HE．在△HGE与△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD．∵CE=BF，∴GH=BF．∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；（3）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°．在△CBF与△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°．∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．6．如图1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EF⊥CE 交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H．（1）①如图2，当点F与点B重合时，CE=，CG=；②如图3，当点E是BD中点时，CE=，CG=；（2）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并加以证明；（3）在图1，CGCE的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由；（4）在图1，设DE的长为x，矩形CEFG的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．【答案】（1）245，185 ，5，154 ；（2）△EBG 是直角三角形，理由详见解析；（3）34 ；（4）S=34x 2﹣485x+48（0≤x≤325）． 【解析】【分析】（1）①利用面积法求出CE ，再利用勾股定理求出EF 即可；②利用直角三角形斜边中线定理求出CE ，再利用相似三角形的性质求出EF 即可；（2）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；（3）只要证明△DCE ∽△BCG ，即可解决问题；（4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；【详解】（1）①如图2中，在Rt △BAD 中，BD=22AD AB +=10， ∵S △BCD =12•CD•BC=12•BD•CE ， ∴CE=245．CG=BE=2224186()=55-． ②如图3中，过点E 作MN ⊥AM 交AB 于N ，交CD 于M ．∵DE=BE，∴CE=12BD=5，∵△CME∽△ENF，∴CM ENCE EF=，∴CG=EF=154，（2）结论：△EBG是直角三角形．理由：如图1中，连接BH．在Rt△BCF中，∵FH=CH，∴BH=FH=CH，∵四边形EFGC是矩形，∴EH=HG=HF=HC，∴BH=EH=HG，∴△EBG是直角三角形．（3）F如图1中，∵HE=HC=HG=HB=HF，∴C、E、F、B、G五点共圆，∵EF=CG，∴∠CBG=∠EBF，∵CD∥AB，∴∠EBF=∠CDE，∴∠CBG=∠CDE，∵∠DCB=∠ECG=90°，∴∠DCE=∠BCG，∴△DCE∽△BCG，∴6384CG BCCE DC===．（4）由（3）可知：34CG CDCE CB==，∴矩形CEFG∽矩形ABCD，∴2264CEFGABCDS CE CES CD==矩形矩形（），∵CE2=（325-x）2+245）2，S矩形ABCD=48，∴S矩形CEFG=34[（325-x）2+（245）2].∴矩形CEFG的面积S=34x2-485x+48（0≤x≤325）．【点睛】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题．7．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．【答案】（1）证明见试题解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，再证明 FG=FE，即可得到四边形DEFG为菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．试题解析：（1）由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；（2）设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，，即，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．菱形的判定与性质；4．矩形的性质；5．综合题．8．如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．（2）引申：如果∠C 90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，从而△ABC与△DFC的面积相等；（2）延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．得到四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．于是AP=DQ．又因为S△ABC=12BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，所以S△ABC=S△DFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．（1）证明：在△ABC与△DFC中，∵{AC DCACB DCF BC FC∠∠＝＝＝，∴△ABC ≌△DFC ．∴△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ． ∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，∴AC=CD ，BC=CF ，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ ．∴{APC DQCACP DCQ AC CD∠∠∠∠＝＝＝，△APC ≌△DQC （AAS ），∴AP=DQ ．又∵S △ABC =12BC•AP ，S △DFC =12FC•DQ ， ∴S △ABC =S △DFC ；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC 的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC 的面积最大，∴当△ABC 是直角三角形，即∠C 是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S 阴影部分面积和=3S △ABC =3×12×3×4=18． 考点：四边形综合题9．已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合），过点P 作PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F ．（1）当点E 落在线段CD 上时（如图），①求证：PB=PE ；②在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P 的运动过程中，△PEC 能否为等腰三角形？如果能，试求出AP 的长，如果不能，试说明理由．【答案】（1）①证明见解析；②点PP 在运动过程中，PF的长度不变，值为2；（2）画图见解析，成立 ；（3）能，1.【解析】 分析：（1）①过点P 作PG ⊥BC 于G ，过点P 作PH ⊥DC 于H ，如图1．要证PB=PE ，只需证到△PGB ≌△PHE 即可；②连接BD ，如图2．易证△BOP ≌△PFE ，则有BO=PF ，只需求出BO 的长即可．（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立．（3）可分点E 在线段DC 上和点E 在线段DC 的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP 的长．详解：（1）①证明：过点P 作PG ⊥BC 于G ，过点P 作PH ⊥DC 于H ，如图1．∵四边形ABCD 是正方形，PG ⊥BC ，PH ⊥DC ，∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°．∴PG=PH ，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°．∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°，∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH ．在△PGB 和△PHE 中，PGB PHE PG PHBPG EPH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△PGB ≌△PHE （ASA ），∴PB=PE ．②连接BD ，如图2．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOP=90°．∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°，∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF ．∵EF ⊥PC 即∠PFE=90°，∴∠BOP=∠PFE ．在△BOP 和△PFE 中，PBO EPF BOP PFE PB PE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BOP ≌△PFE （AAS ），∴BO=PF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，∠BOC=90°，∴BC=2OB ．∵BC=1，∴OB=22， ∴PF=22． ∴点PP 在运动过程中，PF 的长度不变，值为2． （2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．同理可得：PB=PE ，2 （3）①若点E 在线段DC 上，如图1．∵∠BPE=∠BCE=90°，∴∠PBC+∠PEC=180°．∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．若△PEC为等腰三角形，则EP=EC．∴∠EPC=∠ECP=45°，∴∠PEC=90°，与∠PEC＞90°矛盾，∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形．②若点E在线段DC的延长线上，如图4．若△PEC是等腰三角形，∵∠PCE=135°，∴CP=CE，∴∠CPE=∠CEP=22.5°．∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°．∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER，∴∠PBR=∠CER=22.5°，∴∠ABP=67.5°，∴∠ABP=∠APB．∴AP=AB=1．∴AP的长为1．点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．10．倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题．习题如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，又∵AE′=AE，AF=AF∴△AE′F≌△AEF（SAS）∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．类比猜想：（1）请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由．（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF吗？请说明理由．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，根据菱形和旋转的性质得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，则点F、D、E′不共线，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3），根据旋转的性质得到AE′=AE，∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，由于∠ADE′+∠ADC=180°，知F、D、E′共线，因此有EF=DE′+DF=BE+DF；根据前面的条件和结论可归纳出结论．试题解析：（1）当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴AB=AD，∠1+∠2=60°，∠B=∠ADC=60°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，∴∠2+∠3=60°，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∵∠ADE′+∠ADC=120°，即点F、D、E′不共线，∴DE′+DF＞EF∴BE+DF＞EF；（2）当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF成立．理由如下：如图（3），∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3），∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，∵∠B+∠D=180°，∴∠ADE′+∠D=180°，∴点F、D、E′共线，∵∠EAF=∠BAD，∴∠1+∠2=∠BAD，∴∠2+∠3=∠BAD，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∴EF=DE′+DF=BE+DF；归纳：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF．考点：四边形综合题．。

备战中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案

备战中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．试题解析：（1）解：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ，在△ABP 和△QBP 中，{90APB BPHA BQP BP BP∠=∠∠=∠=︒=，∴△ABP ≌△QBP （AAS ），∴AP=QP ，AB=BQ ，又∵AB=BC ，∴BC=BQ ．又∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，在△BCH 和△BQH 中，{90BC BQC BQH BH BH=∠=∠=︒=，∴△BCH ≌△BQH （SAS ），∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH 的周长是定值．（3）解：如图3，过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB ．又∵EF 为折痕，∴EF ⊥BP ．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP ．又∵∠A=∠EMF=90°，在△EFM 和△BPA 中，{EFM ABPEMF A FM AB∠=∠∠=∠=，∴△EFM ≌△BPA （AAS ）．∴EM=AP ．设AP=x在Rt △APE 中，（4-BE ）2+x 2=BE 2．解得BE=2+28x ， ∴CF=BE-EM=2+28x -x ， ∴BE+CF=24x -x+4=14（x-2）2+3． 当x=2时，BE+CF 取最小值，∴AP=2．考点：几何变换综合题．2．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）133． 【解析】 分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x= 133， ∵BD=22AD AB + =213， ∴OB=12BD=13， ∵BD ⊥EF ，∴EO=22BE OB -=213， ∴EF=2EO=4133． 点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键3．在△ABC 中，AB=BC ，点O 是AC 的中点，点P 是AC 上的一个动点（点P 不与点A ，O ，C 重合）．过点A ，点C 作直线BP 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，连接OE ，OF ． （1）如图1，请直接写出线段OE 与OF 的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE 与OF 之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF ﹣AE|=2，EF=23，当△POF 为等腰三角形时，请直接写出线段OP 的长．【答案】（1）OF =OE ；（2）OF ⊥EK ，OF=OE ，理由见解析；（3）OP 62233.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=23，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3，∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=33，综上所述：OP6223.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.4．已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°问题探究：（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为．（2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离．问题解决：（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．【答案】(1)、5；(2)、622+；(3)、3212++.【解析】【分析】试题分析：(1)、如图1中，连接OD，在Rt△ODC中，根据OD=22OC CD+计算即可．(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．在Rt△OCE中，根据OC=22OE CE+计算即可．(3)、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．分别求出MH、OM、FH即可解决问题．【详解】试题解析：(1)、如图1中，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90°在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，∴OD=2222215OC CD+=+=(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°，∴四边形BECF是矩形，∴BF=CF=12，CF=BE=32，在Rt △OCE 中，OC=222231122OE CE ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=622+． (3)、如图3中，当OF ⊥DE 时，OF 的值最大，设OF 交DE 于H ，在OH 上取一点M ，使得OM=DM ，连接DM ．∵FD=FE=DE=1，OF ⊥DE ， ∴DH=HE ，OD=OE ，∠DOH=12∠DOE=22.5°， ∵OM=DM ， ∴∠MOD=∠MDO=22.5°， ∴∠DMH=∠MDH=45°， ∴DH=HM=12， ∴DM=OM=2， ∵FH=223DF DH -=， ∴OF=OM+MH+FH=2132++=321++． ∴OF 的最大值为321++． 考点：四边形综合题．5．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，E 、F 在菱形的边BC ，CD 上．（1）证明：BE=CF ．（2）当点E ，F 分别在边BC ，CD 上移动时（△AEF 保持为正三角形），请探究四边形AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）33）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC ，进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB 进而求证△ABE ≌△ACF ，即可求得BE=CF ；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．6．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，分别延长AC至E，BC至F，且CE＝EF，延长FE交AD的延长线于G．（1）求证：AE＝EG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BG＝BF，求证：BE＝EG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB＝5，求EM的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5 2【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG；（2）作辅助线，证明△BEF≌△GEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EM＝DN＝12AC，计算可得结论．【详解】证明：（1）如图1，过E作EH⊥CF于H，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如图2，连接GC，∵AC＝BC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AG是BC的垂直平分线，∴GC＝GB，∴∠GBF＝∠BCG，∵BG＝BF，∴GC＝BE，∵CE＝EF，∴∠CEF＝180°﹣2∠F，∵BG＝BF，∴∠GBF＝180°﹣2∠F，∴∠GBF＝∠CEF，∴∠CEF＝∠BCG，∵∠BCE＝∠CEF+∠F，∠BCE＝∠BCG+∠GCE，∴∠GCE＝∠F，在△BEF 和△GCE 中，CE GCE F CG BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△GEC （SAS ），∴BE ＝EG ；（3）如图3，连接DM ，取AC 的中点N ，连接DN ，由（1）得AE ＝EG ，∴∠GAE ＝∠AGE ，在Rt △ACD 中，N 为AC 的中点，∴DN ＝12AC ＝AN ，∠DAN ＝∠ADN ， ∴∠ADN ＝∠AGE ，∴DN ∥GF ，在Rt △GDF 中，M 是FG 的中点， ∴DM ＝12FG ＝GM ，∠GDM ＝∠AGE ， ∴∠GDM ＝∠DAN ，∴DM ∥AE ，∴四边形DMEN 是平行四边形， ∴EM ＝DN ＝12AC ， ∵AC ＝AB ＝5， ∴EM ＝52． 【点睛】 本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．7．（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使BC 落在对角线BD 上，折痕为BE ，点C 落在点C '处，若42ADB =∠，则DBE ∠的度数为______.（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD ，4AB =，9AD =.（画一画）如图2，点E 在这张矩形纸片的边AD 上，将纸片折叠，使AB 落在CE 所在直线上，折痕设为MN （点M ，N 分别在边AD ，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕MN （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；（算一算）如图3，点F 在这张矩形纸片的边BC 上，将纸片折叠，使FB 落在射线FD 上，折痕为GF ，点,A B 分别落在点A '，B '处，若73AG =，求B D '的长.【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：3B D '=【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；（2）【画一画】，如图2中，延长BA 交CE 的延长线由G ，作∠BGC 的角平分线交AD 于M ，交BC 于N ，直线MN 即为所求；【算一算】首先求出GD=9-72033=，由矩形的性质得出AD ∥BC ，BC=AD=9，由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG ，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG ，证出∠DFG=∠DGF ，由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=203，再由勾股定理求出CF ，可得BF ，再利用翻折不变性，可知FB′=FB ，由此即可解决问题．【详解】（1）如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=42°，由翻折的性质可知，∠DBE=∠EBC=12∠DBC=21°，故答案为21．（2）【画一画】如图所示：【算一算】如3所示：∵AG=73，AD=9，∴GD=9-72033，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=203，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=22222016433 DF CD⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，∴BF=BC-CF=9161133-=，由翻折不变性可知，FB=FB′=11 3，∴B′D=DF-FB′=2011333-=.【点睛】四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，点E、F分别在边AD、AB上．（1）如图1，若点P与点O重合：①求证：AF=DE；②若正方形的边长为23，当∠DOE=15°时，求线段EF的长；（2）如图2，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP 时，证明：PE=2PF．【答案】（1）①证明见解析，②2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AOF≌△DOE根据全等三角形的性质证明；②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；（2）首先过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°，∴∠AOE+∠DOE=90°，∴∠AOF+∠AOE=90°，∴∠DOE=∠AOF ，在△AOF 和△DOE 中，OAF ODE OA ODAOF DOE ＝＝＝∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOF ≌△DOE ，∴AF=DE ；②解：过点O 作OG ⊥AB 于G ，∵正方形的边长为23， ∴OG=12BC=3， ∵∠DOE=15°，△AOF ≌△DOE ，∴∠AOF=15°，∴∠FOG=45°-15°=30°，∴OF=OG cos DOG∠=2， ∴EF=22=22OF OE +；（2）证明：如图2，过点P 作HP ⊥BD 交AB 于点H ，则△HPB 为等腰直角三角形，∠HPD=90°，∴HP=BP ，∵BD=3BP ，∴PD=2BP ，又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，∴∠HPF=∠DPE ，又∵∠BHP=∠EDP=45°，∴△PHF ∽△PDE ， ∴12PF PH PE PD ==， ∴PE=2PF ．【点睛】 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．9．问题探究（1）如图①，已知正方形ABCD 的边长为4．点M 和N 分别是边BC 、CD 上两点，且BM ＝CN ，连接AM 和BN ，交于点P ．猜想AM 与BN 的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD 的边长为4．点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM 和BN ，交于点P ，求△APB 周长的最大值；问题解决（3）如图③，AC 为边长为23的菱形ABCD 的对角线，∠ABC ＝60°．点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CA 向终点C 和A 运动．连接AM 和BN ，交于点P ．求△APB 周长的最大值．【答案】（1）AM ⊥BN ，证明见解析；（2）△APB 周长的最大值2；（3）△PAB 的周长最大值3．【解析】试题分析：根据全等三角形的判定SAS 证明△ABM ≌△BCN ，即可证得AM ⊥BN ； （2）如图②，以AB 为斜边向外作等腰直角△AEB ，∠AEB=90°，作EF ⊥PA 于E ，作EG ⊥PB 于G ，连接EP ，证明PA+PB=2EF ，求出EF 的最大值即可；（3）如图③，延长DA 到K ，使得AK=AB ，则△ABK 是等边三角形，连接PK ，取PH=PB ，证明PA+PB=PK ，求出PK 的最大值即可.试题解析：（1）结论：AM ⊥BN ．理由：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠CBN+∠ABN=90°，∴∠ABN+∠BAM=90°，∴∠APB=90°，∴AM⊥BN．（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，∴四边形EFPG是矩形，∴∠FEG=∠AEB=90°，∴∠AEF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，∴△AEF≌△BEG，∴EF=EG，AF=BG，∴四边形EFPG是正方形，∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值=AE=2，∴△APB周长的最大值=4+4．（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠A PN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，∴∠APB=120°，∵∠AKB=60°，∴∠AKB+∠APB=180°，∴A、K、B、P四点共圆，∴∠BPH=∠KAB=60°，∵PH=PB，∴△PBH是等边三角形，∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，∴△KBH≌△ABP，∴HK=AP，∴PA+PB=KH+PH=PK，∴PK的值最大时，△APB的周长最大，∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，∴△PAB的周长最大值=2+4．10．已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第二象限内左等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，如图1所示．（1）填空：AB= ，BC= ．（2）将△ABC绕点B逆时针旋转，①当AC与x轴平行时，则点A的坐标是②当旋转角为90°时，得到△BDE，如图2所示，求过B、D两点直线的函数关系式．③在②的条件下，旋转过程中AC扫过的图形的面积是多少？（3）将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，点C′为直线AB上的一点，请直接写出△ABC扫过的图形的面积．【答案】（1）：5；5；（2）①（0，﹣2）；②直线BD的解析式为y=﹣x+3；③S=π；（3）△ABC扫过的面积为．【解析】试题分析：（1）根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，利用勾股定理即可解答；（2）①因为B（0，3），所以OB=3，所以AB=5，所以AO=AB-BO=5-3=2，所以A（0，-2）；②过点C作CF⊥OA与点F，证明△AOB≌△CFA，得到点C的坐标，求出直线AC解析式，根据AC∥BD，所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同，设出解析式，即可解答．③利用旋转的性质进而得出A，B，C对应点位置进而得出答案，再利用以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积求出答案；（3）利用平移的性质进而得出△ABC扫过的图形是平行四边形的面积．试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（-4，0），B（0，3），∴AO=4，BO=3，在Rt△AOB中，AB=，∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，∴BC=；（2）①如图1，∵B（0，3），∴OB=3，∵AB=5，∴AO=AB-BO=5-3=2，∴A（0，-2）．当在x轴上方时，点A的坐标为（0，8），②如图2，过点C作CF⊥OA与点F，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BAO+∠CAF=90°，∵∠OBA+∠BAO=90°，∴∠CAF=∠OBA，在△AOB和△CFA中，，∴△AOB≌△CFA（AAS）；∴OA=CF=4，OB=AF=3，∴OF=7，CF=4，∴C（-7，4）∵A（-4，0）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入得：，解得：，则直线AC解析式为y=x，∵将△ABC绕点B逆时针旋转，当旋转角为90°时，得到△BDE，∴∠ABD=90°，∵∠CAB=90°，∴∠ABD=∠CAB=90°，∴AC∥BD，∴设直线BD的解析式为y=x+b1，把B（0，3）代入解析式的：b1=3，∴直线BD的解析式为y=x+3；③因为旋转过程中AC扫过的图形是以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积，所以可得：S=；（3）将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，△ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形ABC，如图3：将C点的纵坐标代入一次函数y=x+3，求得C′的横坐标为，平行四边CAA′C′的面积为（7+）×4=，三角形ABC的面积为×5×5=△ABC扫过的面积为：．考点：几何变换综合题．。

中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)附详细答案

中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)附详细答案

中考数学平行四边形(大题培优易错难题)附详细答案一、平行四边形1．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析;（3）不成立．理由如下见解析.【解析】试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a，又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°，∴∠BMC=90°．（2）存在，理由：若∠BMC=90°，则∠AMB+∠DMC=90°，又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC，又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC，∴AM ABCD DM=，设AM=x，则x aa b x =-，整理得：x 2﹣bx+a 2=0，∵b ＞2a ，a ＞0，b ＞0，∴△=b 2﹣4a 2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，∴当b ＞2a 时，存在∠BMC=90°，（3）不成立．理由：若∠BMC=90°，由（2）可知x 2﹣bx+a 2=0，∵b ＜2a ，a ＞0，b ＞0，∴△=b 2﹣4a 2＜0，∴方程没有实数根，∴当b ＜2a 时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质2．问题发现：（1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长．问题探究：（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度．问题解决：（3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点(1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，353）(0,0)E ，(5,5)F ．【解析】试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分．（2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．试题解析：（1）作图如下：（2）∵(6,7)P ，(4,3)O '，∴设:6PO y kx =+'，67{43k b k b +=+=，2{5k b ==-， ∴25y x =-，交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 交BC 于11,62M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．∵(1052,102)P --在直线y x =上，∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ，设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ，82{28k b k +=+=，1{10k b =-=， ∴直线:10BC y x =-+，联立10{y x y x =-+=，得55x y =⎧⎨=⎩， ∴(0,0)E ，(5,5)F ．3．如图，△ABC 是等边三角形，AB=6cm ，D 为边AB 中点．动点P 、Q 在边AB 上同时从点D 出发，点P 沿D→A 以1cm/s 的速度向终点A 运动．点Q 沿D→B→D 以2cm/s 的速度运动，回到点D 停止．以PQ 为边在AB 上方作等边三角形PQN ．将△PQN 绕QN 的中点旋转180°得到△MNQ ．设四边形PQMN 与△ABC 重叠部分图形的面积为S （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（0＜t ＜3）．（1）当点N 落在边BC 上时，求t 的值．（2）当点N 到点A 、B 的距离相等时，求t 的值．（3）当点Q 沿D→B 运动时，求S 与t 之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN 的边MN 、MQ 与边BC 的交点分别是E 、F ，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN 的面积比为2：3时t 的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S 菱形PQMN =2S △PNQ =t 2；（4）t=1或【解析】 试题分析：（1）由题意知：当点N 落在边BC 上时，点Q 与点B 重合，此时DQ=3； （2）当点N 到点A 、B 的距离相等时，点N 在边AB 的中线上，此时PD=DQ ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为四边形PQMN ；当≤t≤时，四边形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形PQFEN ．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题4．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：AF=BF+EF．【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△ABF≌△DAE；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF，等量代换可得证.∵ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠BAD=90°∵DE ⊥AG ，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF ．∵BF ∥DE ，∴∠AFB=∠DEG=∠AED ．在△ABF 与△DAE 中，AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△DAE （AAS ）．∴BF=AE ．∵AF=AE+EF ，∴AF=BF+EF ．点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．5．菱形ABCD 中、∠BAD ＝120°，点O 为射线CA 上的动点，作射线OM 与直线BC 相交于点E ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转60°，得到射线ON ，射线ON 与直线CD 相交于点F ． （1）如图①，点O 与点A 重合时，点E ，F 分别在线段BC ，CD 上，请直接写出CE ，CF ，CA 三条段段之间的数量关系；（2）如图②，点O 在CA 的延长线上，且OA ＝13AC ，E ，F 分别在线段BC 的延长线和线段CD 的延长线上，请写出CE ，CF ，CA 三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）点O 在线段AC 上，若AB ＝6，BO ＝27，当CF ＝1时，请直接写出BE 的长．【答案】（1）CA=CE+CF ．（2）CF-CE=43AC ．（3）BE 的值为3或5或1． 【解析】（1）如图①中，结论：CA=CE+CF．只要证明△ADF≌△ACE（SAS）即可解决问题；（2）结论：CF-CE=43AC．如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形．只要证明△FOG≌△EOC（ASA）即可解决问题；（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.【详解】（1）如图①中，结论：CA=CE+CF．理由：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°∴AB=AD=DC=BC，∠BAC=∠DAC=60°∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∵∠DAC=∠EAF=60°，∴∠DAF=∠CAE，∵CA=AD，∠D=∠ACE=60°，∴△ADF≌△ACE（SAS），∴DF=CE，∴CE+CF=CF+DF=CD=AC，∴CA=CE+CF．（2）结论：CF-CE=43 AC．理由：如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形．∵∠GOC=∠FOE=60°，∴∠FOG=∠EOC，∵OG=OC，∠OGF=∠ACE=120°，∴△FOG≌△EOC（ASA），∴CE=FG，∵OC=OG，CA=CD，∴OA=DG，∴CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+13AC=43AC，（3）作BH⊥AC于H．∵AB=6，AH=CH=3，∴BH=33，如图③-1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．∵OB=27，∴OH=22OB BH=1，∴OC=3+1=4，由（1）可知：CO=CE+CF，∵OC=4，CF=1，∴CE=3，∴BE=6-3=3．如图③-2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．由（2）可知：CE-CF=OC，∴CE=4+1=5，∴BE=1．如图③-3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．同法可证：OC=CE+CF，∵OC=CH-OH=3-1=2，CF=1，∴CE=1，∴BE=6-1=5．如图③-4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．同法可知：CE-CF=OC，∴CE=2+1=3，∴BE=3，综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．【答案】（1）见解析；（2）S△B′EC＝108 25．【解析】【分析】（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出.【详解】（1）由折线法及点E是BC的中点，∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，∴△B'EC是等腰三角形，又∵EF⊥B′C∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF＝∠FEC，∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝90°，即∠AEF＝90°，即AE⊥EF；（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，∴EB＝EB′＝EC，∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C；又∵△BB'C三内角之和为180°，∴∠BB'C＝90°；∵点B′是点B关于直线AE的对称点，∴AE垂直平分BB′；在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2将AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，∴AO＝165cm，∴BO22AB AO125cm，∴BB′＝2BO＝245cm，∴在Rt △BB 'C 中，B ′C ＝22BC BB '-＝518cm ， 由题意可知四边形OEFB ′是矩形，∴EF ＝OB ′＝125， ∴S △B ′EC ＝*111812108225525B C EF '⨯=⨯⨯=．【点睛】考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．7．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，在Rt △PFE 中，∠EPF=90°，点E 、F 分别在边AD 、AB 上．（1）如图1，若点P 与点O 重合：①求证：AF=DE ；②若正方形的边长为23，当∠DOE=15°时，求线段EF 的长；（2）如图2，若Rt △PFE 的顶点P 在线段OB 上移动（不与点O 、B 重合），当BD=3BP 时，证明：PE=2PF ．【答案】（1）①证明见解析，②2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AOF ≌△DOE 根据全等三角形的性质证明；②作OG ⊥AB 于G ，根据余弦的概念求出OF 的长，根据勾股定理求值即可；（2）首先过点P 作HP ⊥BD 交AB 于点H ，根据相似三角形的判定和性质求出PE 与PF 的数量关系．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA=OD ，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°，∴∠AOE+∠DOE=90°，∵∠EPF=90°，∴∠AOF+∠AOE=90°，∴∠DOE=∠AOF ，在△AOF 和△DOE 中，OAF ODE OA ODAOF DOE ＝＝＝∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOF ≌△DOE ，∴AF=DE ；②解：过点O 作OG ⊥AB 于G ，∵正方形的边长为23， ∴OG=12BC=3， ∵∠DOE=15°，△AOF ≌△DOE ，∴∠AOF=15°，∴∠FOG=45°-15°=30°，∴OF=OG cos DOG∠=2， ∴EF=22=22OF OE +；（2）证明：如图2，过点P 作HP ⊥BD 交AB 于点H ，则△HPB 为等腰直角三角形，∠HPD=90°，∴HP=BP ，∵BD=3BP ，∴PD=2BP ，∴PD=2HP ，又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，∴∠HPF=∠DPE ，又∵∠BHP=∠EDP=45°，∴△PHF ∽△PDE ， ∴12PF PH PE PD ==， ∴PE=2PF ．【点睛】 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．8．如图1，在正方形ABCD 中，AD=6，点P 是对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC 过点P 作PE ⊥PC 交直线AB 于E ．（1） 求证：PC=PE;（2） 延长AP 交直线CD 于点F.①如图2，若点F 是CD 的中点，求△APE 的面积；②若ΔAPE 的面积是21625，则DF 的长为 （3） 如图3，点E 在边AB 上，连接EC 交BD 于点M,作点E 关于BD 的对称点Q ，连接PQ ，MQ ，过点P 作PN ∥CD 交EC 于点N ，连接QN ，若PQ=5，MN=723，则△MNQ 的面积是【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）56【解析】【分析】（1）利用正方形每个角都是90°，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证;（2）作出△ADP 和△DFP 的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到△PAE 的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可;（3）根据已经条件证出△MNQ 是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.【详解】(1) 证明：∵点P 在对角线BD 上，∴△ADP ≌△CDP ,∴AP=CP , ∠DAP =∠DCP ,∵PE ⊥PC ，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90°,∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45°+90°-∠BPC=135°-∠BPC,∵∠PAE=90°-∠DAP ＝90°-∠DCP ,∠DCP=∠BPC-∠PDC=∠BPC-45°,∴∠PAE=90°-(∠BPC-45°)= 135°-∠BPC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE;（2）①如图2，过点P 分别作PH ⊥AD,PG ⊥CD,垂足分别为H 、G.延长GP 交AB 于点M.∵四边形ABCD 是正方形，P 在对角线上，∴四边形HPGD 是正方形，∴PH=PG,PM ⊥AB,设PH=PG=a,∵F 是CD 中点，AD ＝6，则FD=3,ADF S n =9,∵ADF S n =ADP DFP S S +n n =1122AD PH DF PG ⨯+⨯, ∴1163922a a ⨯+⨯=,解得a=2, ∴AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,又∵PA=PE,∴AM=EM,AE=4,∵APE S n =1144822EA MP ⨯=⨯⨯=, ②设HP ＝b,由①可得AE=2b,MP=6-b,∴APE S n =()121626225b b ⨯⨯-=, 解得b=2.4 3.6或, ∵ADF S n =ADP DFP S S +n n =1122AD PH DF PG ⨯+⨯, ∴11166222b DF b DF ⨯⨯+⨯=⨯, ∴当b=2.4时，DF=4；当b ＝3.6时，DF ＝9,即DF 的长为4或9; （3）如图，∵E 、Q 关于BP 对称，PN ∥CD,∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45°,∴∠1+∠4=45°, ∴∠3=∠4,易证△PEM ≌△PQM, △PNQ ≌△PNC,∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,∴∠6+∠7=90°,∴△MNQ 是直角三角形,设EM=a,NC=b 列方程组222252372 a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎪+= ⎪⎝⎭⎩, 可得12ab=56, ∴MNQ 56S V =, 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.9．△ABC 为等边三角形，AF AB =．BCD BDC AEC ∠=∠=∠．(1)求证：四边形ABDF 是菱形．(2)若BD 是ABC ∠的角平分线，连接AD ，找出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ABC ，△BDC ，△ABD ，△ADF ，△ADC ，△ADE ．【解析】【分析】（1）先求证BD ∥AF ，证明四边形ABDF 是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD 平分∠ABC ，得到BD 垂直平分线段AC ，进而证明△DAC 是等腰三角形，根据BD ⊥AC,AF ⊥AC ，找到角度之间的关系,证明△DAE 是等腰三角形，进而得到BC ＝BD ＝BA ＝AF ＝DF ，即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中，∵∠BCD ＝∠BDC ，∴BC ＝BD ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∵AB ＝AF ，∴BD ＝AF ，∵∠BDC ＝∠AEC ，∴BD ∥AF ，∴四边形ABDF 是平行四边形，∵AB ＝AF ，∴四边形ABDF 是菱形．(2)解：如图2中，∵BA ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∴BD 垂直平分线段AC ，∴DA ＝DC ，∴△DAC 是等腰三角形，∵AF ∥BD ，BD ⊥AC∴AF ⊥AC ，∴∠EAC ＝90°，∵∠DAC ＝∠DCA ，∠DAC +∠DAE ＝90°，∠DCA +∠AEC ＝90°，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE，∴△DAE是等腰三角形，∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．10．问题探究（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM ＝CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；问题解决（3）如图③，AC为边长为23的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．【答案】（1）AM⊥BN，证明见解析；（2）△APB周长的最大值2；（3）△PAB的周长最大值3．【解析】试题分析：根据全等三角形的判定SAS证明△ABM≌△BCN，即可证得AM⊥BN；（2）如图②，以AB为斜边向外作等腰直角△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP，证明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可；（3）如图③，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB，证明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可.试题解析：（1）结论：AM⊥BN．理由：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠CBN+∠ABN=90°，∴∠ABN+∠BAM=90°，∴∠APB=90°，∴AM⊥BN．（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，∴四边形EFPG是矩形，∴∠FEG=∠AEB=90°，∴∠AEF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，∴△AEF≌△BEG，∴EF=EG，AF=BG，∴四边形EFPG是正方形，∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值=AE=2，∴△APB周长的最大值=4+4．（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠A PN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，∴∠APB=120°，∵∠AKB=60°，∴∠AKB+∠APB=180°，∴A、K、B、P四点共圆，∴∠BPH=∠KAB=60°，∵PH=PB，∴△PBH是等边三角形，∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，∴△KBH≌△ABP，∴HK=AP，∴PA+PB=KH+PH=PK，∴PK的值最大时，△APB的周长最大，∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，∴△PAB的周长最大值=2+4．11．在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，连接DF．（1）说明△BEF是等腰三角形；（2）求折痕EF的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据折叠得出∠DEF=∠BEF，根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠DEF=∠BFE，求出∠BEF=∠BFE即可；（2）过E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=AB=6，AE=BM，根据折叠得出DE=BE，根据勾股定理求出DE、在Rt△EMF中，由勾股定理求出即可．【详解】（1）∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，∴∠DEF=∠BEF．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，即△BEF 是等腰三角形；（2）过E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，所以EM=AB=6，AE=BM．∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，∴DE=BE，DO=BO，BD⊥EF．∵四边形ABCD是矩形，BC=8，∴AD=BC=8，∠BAD=90°．在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，即（8﹣BE）2+62=BE2，解得：BE==DE=BF，AE=8﹣DE=8﹣==BM，∴FM=﹣=．在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF==．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键．12．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE P ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠，∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ，∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，又∵AB 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，∴OF=OB=BF=EF ，∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形，∴60BOE ∠=︒，而OE CD ⊥，∴30D ∠=︒．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.13．如图1所示，（1）在正三角形ABC 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是∠ACP 的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN ． （2）若将（1）中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”，N 是∠DCP 的平分线上一点，若∠AMN=90°，则AM=MN 是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．（3）若将（2）中的“正方形ABCD”改为“正n 边形A 1A 2…A n “，其它条件不变，请你猜想：当∠A n ﹣2MN=_____°时，结论A n ﹣2M=MN 仍然成立．（不要求证明）【答案】0(2)180n n- 【解析】分析：（1）要证明AM=MN ，可证AM 与MN 所在的三角形全等，为此，可在AB 上取一点E ，使AE=CM ，连接ME ，利用ASA 即可证明△AEM ≌△MCN ，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN ．（2）同（1），要证明AM=MN ，可证AM 与MN 所在的三角形全等，为此，可在AB 上取一点E ，使AE=CM ，连接ME ，利用ASA 即可证明△AEM ≌△MCN ，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN ．详（1）证明：在边AB 上截取AE=MC ，连接ME ．在正△ABC 中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC ．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE ，BE=AB-AE=BC-MC=BM ，∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．∵N是∠ACP的平分线上一点，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（2）解：结论成立；理由：在边AB上截取AE=MC，连接ME．∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．∵N是∠DCP的平分线上一点，∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（3）由（1）（2）可知当∠A n-2MN等于n边形的内角时，结论A n-2M=MN仍然成立；即∠A n-2MN=()02180nn-时，结论A n-2M=MN仍然成立；故答案为[()02180nn-]．点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力．难度较大．14．已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE＝2．（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能【解析】解：（1）过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，∠HEF＝90°，EH＝EF，∴∠AEH＋∠BEF＝90°．∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BEF．又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AHE≌△BEF．同理可证△MFG≌△BEF．∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．∴．（2）过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，连接HF．∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG．又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．∴．（3）△GFC的面积不能等于2．说明一：∵若S△GFC＝2，则12－a＝2，∴a＝10．此时，在△BEF中，．在△AHE中，，∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上，故不可能有S△GFC＝2．说明二：△GFC的面积不能等于2．∵点H在AD上，∴菱形边EH的最大值为，∴BF的最大值为．又∵函数S△GFC＝12－a的值随着a的增大而减小，∴S△GFC的最小值为．又∵，∴△GFC的面积不能等于2．15．数学活动课上，老师给出如下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC 剪开，得到等腰直角三角形△ABC与△EFD，将△EFD的直角顶点在直线BC上平移，在平移的过程中，直线AC与直线DE交于点Q，让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系．请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题．展示交流：小敏：满足条件的图形如图甲所示图形，延长BQ与AD交于点H．我们可以证明△BCQ≌△ACD，从而易得BQ=AD，BQ⊥AD．小慧：根据图甲，当点F在线段BC上时，我们可以验证小慧的说法是正确的．但当点F在线段CB的延长线上（如图乙）或线段CB的反向延长线上（如图丙）时，我对小慧说法的正确性表示怀疑．（1）请你帮助小慧进行分析，小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由．（选择图乙或图丙的一种情况说明即可）．（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是．拓展延伸：根据你上面选择的图形，分别取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T．则四边形MNPT 是什么样的特殊四边形？请说明理由．【答案】成立；分类讨论思想；正方形.【解析】试题分析：利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BQ=AD，BQ⊥AD；利用已知条件分类得出，体现数学中的分类讨论思想，拓展延伸：利用三角形中位线定理结合正方形的判定方法，首先得出四边形MNPT是平行四边形进而得出它是菱形，再求出一个内角是90°，即可得出答案．试题解析：(1)、成立，理由：如图乙：由题意可得：∠FDE=∠QDC=∠ABC=∠BAC=45°，则DC=QC，AC=BC，在△ADC和△BQC中∵，∴△ADC≌△BQC（SAS），∴AD=BQ，∠DAC=∠QBC，延长AD交BQ于点F，则∠ADC=∠BDF，∴∠BFD=∠ACD=90°，∴AD⊥BQ；(2)、小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是：分类讨论思想；拓展延伸：四边形MNPT是正方形，理由：∵取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T，∴MN AD，TP AD，∴MN TP，∴四边形MNPT是平行四边形，∵NP BQ，BQ=AD，∴NP=MN，∴平行四边形MNPT 是菱形，又∵AD⊥BQ，NP∥BQ，MN∥AD，∴∠MNP=90°，∴四边形MNPT是正方形．考点：几何变换综合题。

八年级数学平行四边形30道经典题(含答案和解析)

八年级数学平行四边形30道经典题(含答案和解析)

八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）1.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE. ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，(12AE)2+(12BF)2=AB2.∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.3.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.4.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD∥BCB. AB＝CD，AD∥BCC. AB∥CD，AB＝CDD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC .∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC 可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.5.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线. 解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.6.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝√3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析．（2）AB＝√3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形．（2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝2√3.∴AB＝CD＝√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.7.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．（1）依题意补全图形．（2）连接BF 交AE 于点O ，判断四边形AECG 的形状并证明．（3）若BC ＝10，AB ＝203，求CF 的长．答案：（1）画图见解析． （2）四边形AECG 是平行四边形，证明见解析．（3）CF ＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图：（2）依翻折的性质可知，点O 是BF 中点.∵E 是BC 边的中点. ∴EO ∥CG. ∵AG ∥CE.∴四边形AECG 是平行四边形．（3）在Rt △ABE 中.∵BE ＝12BC ＝5，AB ＝203.∴AE ＝253.∵S △BAE ＝12AB×BE ＝12AE×BO.∴BO ＝4. ∴BF ＝2BO ＝8. ∵BF ⊥AE ，AE ∥CG. ∴∠BFC ＝90°. ∴CF ＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.8.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.9.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′和B C′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．答案：25.8解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2+AB2=BE2.(4−x)2+32=x2..解得x＝258∴DE的长为25．8考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8．（1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5．．（2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝√AE2+AD2=10.∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE 是平行四边形． ∴AC ＝DE ＝6．在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°. ∵OA ＝OC. ∴BO ＝12AC ＝5．∵BF ＝BO. ∴BF ＝5． （2）取BC 中点为O.∴BG ＝CG.∵四边形ABCD 是矩形.∴OB ＝OD ，∠BCD ＝90°，CD ⊥BC ． ∴OG 是△BCD 的中位线． ∴OG ∥CD ．由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6. ∴CD ＝AE ＝6． ∴OG ＝12CD ＝3．∵AD ＝8. ∴BC ＝AD ＝8．∴S △BCD ＝12BC×CD ＝24，S △BOF ＝12BF×OG ＝152． ∴S 四边形OFCD ＝S △BCD －S △BOF ＝332．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定. 矩形——矩形的性质. 四边形基础——四边形面积.11. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析．（2）四边形ACEF的周长为：2＋2√3．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°=√3.2∴AF＝CE＝2AG＝√3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋√3＋1＋√3＝2＋2√3．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形． （2）求证：四边形EFMN 是矩形．（3）连接DM ，若DM ⊥AC 于点M ，ON ＝3，求矩形ABCD 的面积．答案：（1）答案见解析． （2）证明见解析．（3）36√3．解析：（1）（2）∵点 E ，F 分别为OA ，OB 的中点.∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ．同理，NM ∥DC ，NM ＝12DC ．∵四边形ABCD 是矩形. ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AC ＝BD. ∴EF ∥NM ，EF ＝NM.∴四边形EFMN 是平行四边形．∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点. ∴OE ＝12OA ，OM ＝12OC ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴EM ＝OE ＋OM ＝12AC ． 同理可证FN ＝12BD ． ∴EM ＝FN ．∴四边形EFMN 是矩形．（3）∵DM ⊥AC 于点M.由（2）可知，OM ＝12OC. ∴OD ＝CD ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD. ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD. ∴△COD 是等边三角形. ∴∠ODC ＝60°. ∵NM ∥DC.∴∠FNM ＝∠ODC ＝60°. 在矩形EFMN 中，∠FMN ＝90°. ∴∠NFM ＝90°－∠FNM ＝30°. ∵ON ＝3.∴FN ＝2ON ＝6，FM ＝3√3，MN ＝3. ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点. ∴BC ＝2FM ＝6√3.∴矩形ABCD 的面积为BC×CD ＝36√3.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理. 直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理. 四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(-3，0) ，(2，0)，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是 ．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝√AD2−AO2=√52−32=4.∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.14.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．√3A. 2√3B.3√3C. 6√3D.92答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝√BD2−DC2=3√3．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.15.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.16.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF．（1）求证：△AEN≌△CMF．（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析．（2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.{AN=CM ∠A=∠C AN=CF.∴△AEN ≌△CMF．（2）由（1）△AEN ≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF ≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.18.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析．（2）S菱形AECD＝2√3．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝2√3．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形. ∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=2√3×22＝2√3．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.19.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：√2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝√2.所以答案为√2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A. S＝2B. S＝2.4C. S＝4D. S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×2+a2+12a(2−a)−12(2+a)a−12×2×2.＝4+a2+a−12a2−a−12a2−2.＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.21.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的．（几分之几）答案：12.解析：在图1中，∠GBF ＋∠DBF ＝∠CBD ＋∠DBF ＝90°.∴∠GBF ＝∠CBD ，∠BGF ＝∠CDB ＝45°，BD ＝BG. ∴ △FBG ≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB 的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的18．设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y. 则有14X 2=18y 2. ∴y =√2x ．同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为14y 2=12x 2.∴阴影部分的面积是正方形B 面积的12．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.22. 如图，正方形 的对角线交于O ，OE ⊥AB ，EF ⊥OB ，FG ⊥EB ．若△BGF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为 ．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE ⊥AB 于点E ，EF ⊥OB 于点F ，FG ⊥EB 于点G. ∴E 为AB 的中点，F 为BO 的中点，G 为EB 的中点. ∴AB ＝EB ＝EO ＝12AB ，EF ＝BF ＝FO ，GF ＝BG ＝EG ＝12EB .∴BGAB =14.∴S△BGFS△BAD =(BGAB)2=116.∴S△BAD＝16.∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.23.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析．（2）1+12√14．解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝√2．在Rt△AMG中.∵AM2+GM2=AG2.∴GM=√7.∵DG=DM+GM=√2+√7.∴S△ADG=12×DG×AM=12×(√2+√7)×√2=1+12√14．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.24.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32.解析：∵DE 为△ABC 的中位线.∴DE ＝12BC =4，点D 是线段AB 的中点. 又∵∠AFB ＝90°. ∴DF =12AB =52. ∴EF =DE −DF =32.所以答案为32.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.25. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为（ ）．A. 14B. 12C. 24D.48 答案：B解析：∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点．∴EF =HG =12AC ＝4，FG =EH =12BD ＝3，EF ∥HG ，FG ∥EH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm ．答案：6.解析：由题意，得：EFAB ＝12.在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12AB.又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.27.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：√5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.AF.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5.∴CH＝√5.故答案为：√5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.28.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.29. 边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称ah 为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ． （2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为98）中的格点，则△ABC 的面积为 ．答案：（1）1:3.（2）12. 解析：（1）如图所示．∵“形变度”为3. ∴ah ＝3，即h ＝13a .∴一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为aℎa 2=ℎa =13． （2）在正方形网格中，△ABC 的面积为：6×6−12×3×3－12×3×6−12×3×6=272.由（1）可得，在菱形网格中，△ABC的面积为89×272=12．考点：式——探究规律——定义新运算.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——菱形——菱形的性质.30.有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：___________________________．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．答案：（1）求证：∠B＝∠D．证明见解析．（2）筝形的两条对角线互相垂直.（3）不成立．解析：（1）求证：∠B ＝∠D ．已知：如图，筝形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ． 证明：连接AC ，如图． 在△ABC 和△ADC 中.{AB =AD CB =CD AC =AC.∴△ABC ≌△ADC ． ∴∠B ＝∠D ．（2）筝形的其他性质．①筝形的两条对角线互相垂直． ②筝形的一条对角线平分一组对角． ③筝形是轴对称图形．（3）不成立．反例如图2所示．在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC ＝∠ADC ，AC 平分BD ，但该四边形不是筝形．考点：四边形——平行四边形.。

八年级下册数学平行四边形难题

八年级下册数学平行四边形难题

八年级下册数学平行四边形难题平行四边形是几何学中一个非常重要的图形，它有许多重要的性质和应用。

在初二下学期的平行四边形单元中，学生们将学习如何证明平行四边形的性质和判定，以及解决一些相关的几何问题。

为了更好地帮助学生掌握这个单元的知识点，下面列举了一些常见的易错题和难题。

一、易错题1、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC=4，BD=2，则AB的取值范围是？这道题是一道易错题，很多学生会认为AB的取值范围是2<AB<4。

然而，这个答案是错误的。

因为在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD互相平分，即AO=CO=2，BO=DO=1，根据三角形的三边关系，可以得到AB的取值范围是1<AB<5。

2、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AC垂直于AB，BD垂直于CD，AC=4，BD=3。

求平行四边形ABCD的面积。

3、这道题是一道易错题，很多学生会认为平行四边形ABCD的面积是12。

然而，这个答案是错误的。

因为在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD互相平分，即AO=CO=2，BO=DO= 5，根据勾股定理可以得到AB= 5。

根据三角形的面积公式可以得到平行四边形ABCD的面积是25。

二、难题1、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AC垂直于AB，BD垂直于CD，AC=4，BD=3。

求平行四边形ABCD的周长。

这道题是一道难题，需要学生灵活运用平行四边形的性质和判定来解决。

在解决这道题时，需要先根据已知条件求出AB的长度，再利用平行四边形的对边相等的性质求出平行四边形ABCD的周长。

由于这道题涉及到的知识点较多，很多学生难以全面掌握并灵活运用。

2、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD。

求证：平行四边形ABCD是矩形。

这道题是一道难题，需要学生通过证明两条对角线互相平分来证明平行四边形是矩形。

中考数学与平行四边形有关的压轴题附答案解析

中考数学与平行四边形有关的压轴题附答案解析

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．2．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．413【答案】（1）证明见解析；（2【解析】分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x=133， ∵∴OB=12∵BD ⊥EF ，∴∴EF=2EO=3． 点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键3．在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG ≌△AEF ；(2)若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N(如图②)，求证：EF 2=ME 2+NF 2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF ，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题4．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）43；（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===； （3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则△CEF 的面积就会最大．由（2）得，S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF =﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE ≌△ACF 是解题的关键．5．问题情境在四边形ABCD 中，BA ＝BC ，DC ⊥AC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ，M 是边AD 的中点，连接MB ，ME.特例探究(1)如图1，当∠ABC ＝90°时，写出线段MB 与ME 的数量关系，位置关系；(2)如图2，当∠ABC ＝120°时，试探究线段MB 与ME 的数量关系，并证明你的结论； 拓展延伸(3)如图3，当∠ABC ＝α时，请直接用含α的式子表示线段MB 与ME 之间的数量关系．【答案】(1)MB ＝ME ，MB ⊥ME ；(2)ME 3．证明见解析；(3)ME ＝MB·tan 2 .【解析】【分析】（1）如图1中，连接CM ．只要证明△MBE 是等腰直角三角形即可；（2）结论：EM=3MB ．只要证明△EBM 是直角三角形，且∠MEB=30°即可； （3）结论：EM=BM•tan2 ．证明方法类似；【详解】(1) 如图1中，连接CM ．∵∠ACD=90°，AM=MD ，∴MC=MA=MD ，∵BA=BC ，∴BM 垂直平分AC ，∵∠ABC=90°，BA=BC ，∴∠MBE=12∠ABC=45°，∠ACB=∠DCE=45°， ∵AB ∥DE ，∴∠ABE+∠DEC=180°，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=∠CDE=45°，∴EC=ED ，∵MC=MD ，∴EM 垂直平分线段CD ，EM 平分∠DEC ，∴∠MEC=45°，∴△BME 是等腰直角三角形，∴BM=ME ，BM ⊥EM ．故答案为BM=ME ，BM ⊥EM ． (2)ME ＝3MB ．证明如下：连接CM ，如解图所示．∵DC ⊥AC ，M 是边AD 的中点，∴MC ＝MA ＝MD ．∵BA ＝BC ，∴BM 垂直平分AC ．∵∠ABC ＝120°，BA ＝BC ，∴∠MBE ＝12∠ABC ＝60°，∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∠DCE ＝60°. ∵AB ∥DE ，∴∠ABE ＋∠DEC ＝180°，∴∠DEC ＝60°，∴∠DCE ＝∠DEC ＝60°，∴△CDE 是等边三角形，∴EC ＝ED ．∵MC ＝MD ，∴EM 垂直平分CD ，EM 平分∠DEC ， ∴∠MEC ＝12∠DEC ＝30°， ∴∠MBE ＋∠MEB ＝90°，即∠BME ＝90°.在Rt △BME 中，∵∠MEB ＝30°，∴ME ＝3MB ．(3) 如图3中，结论：EM=BM•tan 2α．理由：同法可证：BM ⊥EM ，BM 平分∠ABC ，所以EM=BM•tan2α． 【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．6．如图，抛物线y=mx 2+2mx+n 经过A （﹣3，0），C （0，﹣32）两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）过点C 作CE ∥x 轴交抛物线于点E ，写出点E 的坐标，并求AC 、BE 的交点F 的坐标 （3）若抛物线的顶点为D ，连结DC 、DE ，四边形CDEF 是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+x﹣32；（2）F点坐标为（﹣1，﹣1）；（3）四边形CDEF是菱形．证明见解析【解析】【分析】将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式；根据（1）题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标，由CE∥x轴，可知C、E关于对称轴对称。

平行四边形难题

平行四边形难题

平行四边形难题1.平行四边形可以作两个不同的平行四边形。

在等腰△ABC中，AB＝AC＝8cm，DF∥AC，DE∥AB，则▱AEDF的周长为24cm。

在△ABC中，BD＝CF，AB＝ED＋FG。

在▱ABCD中，点E为BC的中点，点F是AB的三分之一点，则S△.在▱ABCD中，∠ABC=75°，DE＝2AB，则∠AED的大小是65°。

在▱ABCD中，AD⊥BD，OA＝6，OB＝4，BC＝8，AB＝10.在平行四边形中，各内角度数分别为120°。

在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，▱ABCD的周长为30.在五边形ABCDE中，△BCP≌△XXX。

已知P为▱ABCD内一点，S▱ABCD＝100，则S△PAB＋S△PCD＝50.在▱ABCD中，▱ABC的周长为14cm，▱ABCD的周长为24cm，一组邻边长分别为6cm和12cm。

4.在四边形ABCD中，已知AB=4cm，AD=7cm，∠ABC 的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，且DF等于3cm。

求四边形BCEF的周长。

6.在四边形ABCD中，已知周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，且DE=5，DF=8.求BE＋BF的长。

1.将AB延长至F使得BF=AB，再将BA延长至E使得AE=AB。

判断EC与FD的位置关系，并说明理由。

7.在四边形ABCD中，已知AB=38.AP⊥BC于点P，CQ⊥AD于点Q，且BE=DF。

证明：EF与PQ互相平分。

4.在▱ABCD中，EF过对角线交点O，分别交CD、AB 于E、F，且AB=4cm，AD=3cm，OF=1.3cm。

求四边形BCEF的周长。

11.在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，AM=AN，MN∥AC。

证明：MN=AC。

2.在△ABC中，已知等边为8，M是△ABC内一点，MD∥AC，ME∥AB，MF∥BC，点D、E、F分别在AB，BC，AC上。

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初二平行四边形难题集锦
1、如图AD是⊿ABC的中线，EF为⊿ABC 的中位线，求证：EF和AD互相平分
A
E F
B D C
2、如图，四边形ABCD是平行四边形M、N是BD上两点BN=DM.
求证：四边形ANCM是平行四边形
A D
M
N
B C
3、在□ABCD中，E、F分别是AB、CD中点连接DE、BF、BD
⑴求证：△AED≌△CBF
⑵若AD⊥BD，猜想四边形BFDE是什么特殊四边形？并证明
D F C
A E B
4、把矩形纸片ABCD沿对角线折叠重合部分是什么图形？试说明理由。

E
A F D
B C
5、求证：顺次连结任意四边形（菱形）各边中点所得四边形是平行四边形（矩形）
6、证明：对角线相等的平行四边形是矩形或对角线互相垂直的矩形是正方形
7、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，F，G，是AB边上的两个点，且FC平分
∠ BCD，GD平分∠ADC，FC与GD相交与点E。

A F G B
(1)求证：AF=GB E
(2)若AD=5 FG=3求DC的长 D C
8、如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°,过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，
求证：四边形AECD是等腰梯形。

A B E
9、菱形周长是24㎝，其中一个内角60°，求菱形对角线的长和面积
10、如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC与点Q.
⑴试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ;
1；
⑵当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的
6
D C。

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